F´ ormulas de Euler

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F´ ormulas de Euler e identidades trigonom´ etricas

Objetivos. Deducir algunas identidades trigonom´etricas usando la f´ormula de Euler y la pro- piedad principal de la funci´on exponencial.

Requisitos. N´umeros complejos, definici´on de la funci´on exponencial a trav´es de una serie, propiedad principal de la funci´on exponencial.

Definici´ on de la funci´ on exp y su propiedad principal (repaso)

1. Escriba la definici´on de exp(z) como una serie:

exp(z) := 1 + z +z2 2 + z3

3! + + + . . . (1)

2. Escriba la definici´on de la funci´on exp(z) usando el s´ımbolo P:

exp(z) := X

k=

Nota. Es posible definir ax para todo a > 0, a 6= 1, y todo x real, empezando con potencias racionales y luego aproximando los n´umeros reales con racionales. Luego es posible demostrar que para todo x real se cumple la igualdad exp(x) = ex, donde e = exp(1) ≈ 2.71828. Por eso para todo z complejo en vez de exp(z) se usa tambi´en la notaci´on ez.

3. Propiedad principal de la funci´on exponencial. Sean z1, z2 ∈ C. Entonces

exp(z1) exp(z2) =

Esta propiedad se puede demostrar usando transformaciones de las series y aplicando la f´ormula de la potencia del binomio. No lo vamos a hacer aqu´ı.

4. Usando la definici´on (1) calcule exp(0).

5. Calcule: exp(z) exp(−z) =

6. Calcule: 1 exp(z) =

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F´ ormulas de Euler

Definici´on de cos y sen a trav´es de exp.

Las funciones cos : C → C y sen : C → C se pueden definir de la siguiente manera:

cos(ϕ) := exp(i ϕ) + exp(− i ϕ)

2 , sen(ϕ) := exp(i ϕ) − exp(− i ϕ)

2 i .

7. Exprese exp(i ϕ) + exp(− i ϕ) a trav´es de cos(ϕ):

exp(i ϕ) + exp(− i ϕ) = 8. Exprese exp(i ϕ) − exp(− i ϕ) a trav´es de sen(ϕ):

exp(i ϕ) − exp(− i ϕ) = 9. Sume las igualdades de los ejercicios anteriores:

2 exp(i ϕ) = Exprese exp(i ϕ) a trav´es de cos(ϕ) y sen(ϕ):

exp(i ϕ) =

10. Reste las igualdades de los ejercicios7 y 8:

2 exp(− i ϕ) = Exprese exp(− i ϕ) a trav´es de cos(ϕ) y sen(ϕ):

exp(− i ϕ) =

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Propiedades de paridad de cos y sen

Ejemplo. sen(−ϕ) = ei(−ϕ)− e− i(−ϕ)

2 i = e− i ϕ− ei ϕ

2 i = −ei ϕ− e− i ϕ

2 i = − sen(ϕ).

11. Calcule: cos(−ϕ) =

Exprese cos(−ϕ) a trav´es de cos(ϕ) y sen(−ϕ) a trav´es de sen(ϕ):

12. cos(−ϕ) = sen(−ϕ) =

Deducci´ on de las identidades para los productos cos(α) cos(β), cos(α) sen(β) y sen(α) sen(β)

Usando las f´ormulas de Euler y la propiedad principal de la funci´on exponencial calcule los siguientes productos y expr´eselos a trav´es de cos(α ± β) o sen(α ± β):

13. 2 cos(α) cos(β) =

14. 2 cos(α) sen(β) =

15. 2 sen(α) sen(β) =

16. Resumen:

2 cos(α) cos(β) =

2 cos(α) sen(β) =

2 sen(α) sen(β) =

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Deducci´ on de las identidades para cos(α + β) y sen(α + β)

Escribamos las identidades obtenidas en la secci´on anterior de otra manera:

17. cos(α + β) + cos(α − β) =

18. cos(α + β) − cos(α − β) =

19. sen(α + β) + sen(α − β) =

Intercambiamos los papeles de α y β en la identidad anterior:

20. sen(β + α) + sen(β − α) =

21. Tomando en cuenta que sen(−ϕ) = , establezca una relaci´on entre sen(β − α) y sen(α − β):

sen(β − α) =

22. Sumando las igualdades anteriores deduzca las identidades para cos(α + β) y sen(α + β):

cos(α + β) =

sen(α + β) =

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