Derivaci´on e integraci´on Problemas para examen

(1)

Derivaci´ on e integraci´ on

Problemas para examen La lista de problemas todav´ıa no es completa.

´ Indice

1. L´ımites de funciones mon´otonas 1

2. Estructura de discontinuidades de funciones crecientes 2

3. Derivadas de Dini 4

4. El lema de Vitali 5

5. La derivada de una funci´on mon´otona 5

6. Funciones de variaci´on acotada 6

7. Funciones absolutamente continuas 10

8. El primer teorema fundamental de c´alculo 11

9. El segundo teorema fundamental de c´alculo 12

1. L´ımites de funciones mon´ otonas

En este curso aceptamos como un hecho la existencia del supremo e ´ınfimo de cualquier subconjunto de R.

1 Ejercicio (sobre los l´ımites de una funci´on creciente en los extremos de un intervalo).

Sean a, b ∈ [−∞, +∞], a < b, y sea f : (a, b) → R una funci´on creciente. Denotemos por V la imagen de la funci´on f :

V := f [(a, b)] = {y ∈ R : ∃x ∈ (a, b) f (x) = y}.

Demostrar que

x→blim

x∈(a,b)

f (x) = sup(V ), (1)

x→alim

x∈(a,b)

f (x) = inf(V ). (2)

Considerar varios casos: a = −∞, a ∈ R, b = +∞, b ∈ R, sup(V ) ∈ R, sup(V ) = +∞, inf(V ) ∈ R, inf(V ) = −∞.

(2)

2 Ejercicio (sobre los l´ımites de una funci´on decreciente en los extremos de un intervalo).

Sean a, b ∈ [−∞, +∞], a < b, y sea f : (a, b) → R una funci´on decreciente. Denotemos por V la imagen de la funci´on f :

V := f [(a, b)] = {y ∈ R : ∃x ∈ (a, b) f (x) = y}.

Demostrar que

limx→b x∈(a,b)

f (x) = inf(V ), (3)

x→alim

x∈(a,b)

f (x) = sup(V ). (4)

Considerar varios casos: a = −∞, a ∈ R, b = +∞, b ∈ R, sup(V ) ∈ R, sup(V ) = +∞, inf(V ) ∈ R, inf(V ) = −∞.

3 Ejercicio (el l´ımite de la parte entera en el infinito). Demostrar que

x→+∞lim bxc = +∞, lim

x→−∞bxc = −∞.

Sugerencia: sabemos que bxc ≤ x < bxc + 1 para cada x en R.

4 Ejercicio. Calcular

sup

x>−1

x x + 1.

2. Estructura de discontinuidades de funciones cre- cientes

5 Ejercicio (los l´ımites laterales de una funci´on creciente en un punto). Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x ∈ int(A). Demostrar que existen

lim

t→x⁺f (t), lim

t→x⁻f (t).

Estos l´ımites se denotan por f (x⁺) y f (x⁻). Demostrar que f (x⁻) ≤ f (x) ≤ f (x⁺).

6 Ejercicio (repaso: el criterio de l´ımite en t´erminos de l´ımites laterales). Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on, x ∈ int(A), v ∈ R. Demostrar que

limt→xf (t) = v

lim

t→x⁻f (t) = v ∧ lim

t→x⁺f (t) = v

. Sugerencia: usar la definici´on del l´ımite.

(3)

7 Ejercicio (el criterio de continuidad de una funci´on creciente en un punto). Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x ∈ int(A). Mostrar que f es continua en x si, y solo si,

f (x⁻) = f (x⁺).

8 Ejercicio (el comportamiento de una funci´on creciente en un extremo del dominio).

Explicar c´omo modificar las afirmaciones de los ejercicios anteriores, si x es un punto extremo del intervalo A.

9 Ejercicio (las discontinuidades de una funci´on creciente en los puntos interiores del intervalo son saltos). Sean A un intervalo de R, f : A → R una funci´on creciente, x ∈ int(A). Mostrar que si f no es continua en x, entonces x es un salto de f , es decir, f (x⁻) < f (x⁺).

10 Ejercicio (comparación de los l´ımites laterales de una función creciente en dos puntos diferentes). Sean A un intervalo de R, f : A → R una función creciente, x, y ∈ A, x < y.

Demuestre que

f (x⁺) ≤ f (y⁻).

Sugerencia: construir un punto z en (x, y) y demostrar que f (x⁺) ≤ f (z) ≤ f (y⁻).

11 Ejercicio (sobre una suma finita de las alturas de saltos de una funci´on creciente).

Sean a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R una funci´on creciente, m ∈ N, a < x1 < . . . < xm < b.

Demostrar que

m

X

k=1

(f (x⁺_k) − f (x⁻_k)) ≤ f (b) − f (a).

12 Ejercicio (una cota superior para el número de los saltos grandes de una función creciente). Sean a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R una función creciente, h > 0. Pongamos

Sh := {x ∈ (a, b) : f (x⁺) − f (x⁻) ≥ h}.

Demostrar que el conjunto S_h es finito y

#(S_h) ≤ f (b) − f (a)

h .

Sugerencia: en el principio de la demostraci´on, todav´ıa no sabemos que el conjunto S_h es finito, y no podemos numerar todos los elementos de Sh. Se recomienda suponer que x₁, . . . , x_m son algunos elementos de S_h, diferentes a pares, y obtener una cota superior para m.

(4)

13 Ejercicio (el conjunto de las discontinuidades de una funci´on creciente en un intervalo acotado es finito o numerable). Sean a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R una funci´on creciente.

Pongamos

T := {x ∈ (a, b) : f (x⁺) − f (x⁻) > 0}.

Demostrar que el conjunto T es finito o numerable.

14 Ejercicio (el conjunto de las discontinuidades de una funci´on creciente en un intervalo arbitrario es finito o numerable). Sea A un intervalo en R y sea f : A → R una funci´on creciente. Demostrar que el conjunto

T := {x ∈ int(A) : f (x⁺) − f (x⁻) > 0}

es finito o numerable. Sugerencia: representar A como una uni´on numerable de intervalos acotados.

15 Ejercicio. Modificar los ejercicios anteriores para funciones decrecientes.

3. Derivadas de Dini

16 Ejercicio (derivadas de Dini). Escribir las definiciones de las derivadas laterales su- periores e inferiores de una funci´on real:

(D⁺f )(x) := lim sup

t→x⁺

f (t) − f (x)

t − x , (D₊f )(x) =?, (D⁻f )(x) =?, (D−f )(x) =?.

17 Ejercicio (relaciones simples entre las derivadas de Dini). Explicar por qu´e se cumplen las siguientes desigualdades:

(D+f )(x) ≤ (D⁺f )(x), (D−f )(x) ≤ (D⁻f )(x).

18 Ejercicio. ¿Cu´ando todas las cuatro derivadas de Dini son iguales entre si?

19 Ejercicio (criterio de derivabilidad en un punto, en t´erminos de las derivadas de Dini).

Sean f : [a, b] → R, x ∈ (a, b). Supongamos que

(D⁺f )(x) ≤ (D−f )(x), (D₊f )(x) ≥ (D⁻f )(x).

Mostrar que f tiene una derivada en x.

20 Ejercicio. Sean f : [a, b] → R, x ∈ [a, b) y v ∈ R tal que v < (D⁺f )(x). Muestre que para cada δ > 0 existe h en (0, δ) tal que x + h ∈ [a, b] y

f (x + h) − f (x) > vh.

21 Ejercicio. Sean f : [a, b] → R, x ∈ (a, b] y u ∈ R tal que u > (D⁻f )(x). Muestre que para cada δ > 0 existe h en (0, δ) tal que x − h ∈ [a, b] y

f (x) − f (x − h) < uh.

(5)

4. El lema de Vitali

22 Ejercicio (cubiertas de Vitali). Sea E un subconjunto de R y sea A una colecci´on de subconjuntos de R. ¿Cu´ando se dice que A es una cubierta de Vitali de E?

23 Ejercicio. Sean E un subconjunto de R, A una cubierta de Vitali de E, F un subconjunto cerrado de R y x ∈ E \ F . Demostrar que existe A en A tal que x ∈ A y A ∩ F = ∅.

24 Ejercicio (el lema de Vitali: reducci´on al caso de conjuntos cerrados). Demostrar el lema de Vitali suponiendo que este lema ya est´a demostrado para el caso cuando cada elemento de A es un conjunto cerrado.

25 Ejercicio (aproximaci´on de la medida superior por arriba, usando conjuntos abiertos).

Sea E un subconjunto de R tal que µ^∗(E) < +∞. Mostrar que existe un conjunto abierto U en R tal que E ⊆ U y µ(U ) < +∞.

26 Ejercicio (el lema de Vitali: reducci´on al caso de conjuntos contenidos en un conjunto abierto). Sea E un subconjunto de R tal que µ^∗(E) < +∞ y sea U un subconjunto abierto de R tal que E ⊆ U y µ(U ) < +∞. Sea A es una cubierta de Vitali de E. Pongamos

B := {A ∈ A: A ⊆ U}.

Demostrar que B es una cubierta de Vitali de E.

27 Ejercicio (el lema de Vitali). Enunciar y demostrar el lema de Vitali. Usando los resultados de los ejercicios anteriores, se puede suponer que todos los elementos de la cubierta son intervalos cerrados y que todos los elementos de la cubierta est´an contenidos en un conjunto abierto de medida finita.

5. La derivada de una funci´ on mon´ otona

28 Ejercicio (el teorema sobre la derivada de una funci´on creciente). Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Demostrar que f tiene derivada en casi todo punto de [a, b].

29 Ejercicio (una cota superior para la integral de la derivada de una funci´on creciente).

Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Demostrar que f⁰ es medible y

b

Z

a

f⁰(x) dx ≤ f (b) − f (a).

Se recomienda usar el Teorema28.

(6)

6. Funciones de variaci´ on acotada

En este tema suponemos que a, b ∈ R, a < b.

30 Ejercicio (particiones de un intervalo). Denotamos porP(a, b) el conjunto de las particiones de [a, b] en el mismo sentido que se usa en la teor´ıa de la integral de Riemann. En otras palabras, τ ∈P(a, b) si, y solo si, τ es una lista finita de puntos, τ = (τ0, τ₁, . . . , τ_n), tal que

a = τ₀ < τ₁ < . . . < τ_n = b.

Revisar los siguientes ejemplos de particiones.

τ = (a, b).

τ = (a, c, b), donde a < c < b.

τ = (τ₀, . . . , τ_n), donde

τ_k = a + b − a

n k (k ∈ {0, . . . , n}).

31 Ejercicio (la suma de los incrementos de una funci´on en una partici´on). Sea τ = (τ₀, τ₁, . . . , τ_n) ∈P(a, b) y sea f : [a, b] → R. Demostrar que

n

X

k=1

f (τ_k) − f (τ_k−1) = f (τn) − f (τ₀).

32 Ejercicio (la suma absoluta de los incrementos de una funci´on en una partici´on). Sea τ = (τ₀, τ₁, . . . , τ_n) ∈P(a, b) y sea f : [a, b] → R. Pongamos

S_abs(f, τ ) :=

n

X

k=1

f (τ_k) − f (τ_k−1) .

Demostrar que

|f (τ_n) − f (τ₀)| ≤ S_abs(f, τ ).

33 Ejercicio (la parte positiva y la parte negativa de n´umeros reales, repaso). Recordar las definiciones de las funciones P y N . Demostrar que para cada x en R,

x = P (x) − N (x), |x| = P (x) + N (x), P (x) = |x| + x

2 , N (x) = |x| − x 2 .

34 Ejercicio (la propiedad subaditiva de la parte positiva y de la parte negativa de n´umeros reales, repaso). Demostrar que para cualesquier x, y en R,

P (x + y) ≤ P (x) + P (y), N (x + y) ≤ N (x) + N (y).

(7)

35 Ejercicio (las sumas de los incrementos positivos y negativos de una función en una partición). Sea τ ∈ P(a, b) y sea f : [a, b] → R. Recordar la definición de S+(f, τ ) y S−(f, τ ).

36 Ejercicio (la variación total, la variación positiva y la variación negativa de una función en un segmento). Sea f : [a, b] → R. Pongamos

Var^b_a(f ) := sup

τ ∈P(a,b)S_abs(f, τ ).

Escribir las definiciones de PVar^b_a(f ) y NVar^b_a(f ).

37 Ejercicio (las diferencias absolutas de los valores de una funci´on en los extremos de un intervalo se acotan por la variaci´on total). Sea f : [a, b] → R. Demostrar que

|f (b) − f (a)| ≤ Var^b_a(f ).

Sugerencia: considerar la partici´on trivial τ = (a, b). Mostrar que

|f (b) − f (a)| = S_abs(f, τ ) ≤ Var^b_a(f ).

38 Ejercicio (las diferencias absolutas de los valores de una funci´on en un intervalo se acotan por la variaci´on total). Sea f : [a, b] → R y sean x, y ∈ [a, b]. Demostrar que

|f (y) − f (x)| ≤ Var^b_a(f ).

Sugerencia: construir una partici´on τ de [a, b] que incluya los puntos x, y. Mostrar que

|f (y) − f (x)| ≤ S_abs(f, τ ) ≤ Var^b_a(f ).

39 Ejercicio (la parte positiva de la diferencia de los valores de una funci´on en los extremos de un intervalo se acota por la variaci´on positiva). Sea f : [a, b] → R. Demostrar que

P (f (b) − f (a)) ≤ PVar^b_a(f ).

Sugerencia: considerar la partici´on trivial τ = (a, b). Mostrar que P (f (b) − f (a)) = S₊(f, τ ) ≤ PVar^b_a(f ).

40 Ejercicio (la parte negativa de la diferencia de los valores de una funci´on en los extremos de un intervalo se acota por la variaci´on negativa). Sea f : [a, b] → R. Demostrar que

N (f (b) − f (a)) ≤ NVar^b_a(f ).

Sugerencia: considerar la partici´on trivial τ = (a, b). Mostrar que N (f (b) − f (a)) = S−(f, τ ) ≤ NVar^b_a(f ).

(8)

41 Ejercicio (la variación total, la variación positiva y la variación negativa de una función creciente). Sea f : [a, b] → R creciente. Calcular Var^ba(f ), PVar^b_a(f ), NVar^b_a(f ).

42 Ejercicio (la variación total, la variación positiva y la variación negativa de una fun- ción decreciente). Sea f : [a, b] → R decreciente. Calcular Var^ba(f ), PVar^b_a(f ), NVar^b_a(f ).

43 Ejercicio (relaci´on entre S_abs, S₊y S−). Sea f : [a, b] → R y sea τ ∈ P(a, b). Demostrar que

S₊(f, τ ) = S₋(f, τ ) + f (b) − f (a), S_abs(f, τ ) = S₊(f, τ ) + S−(f, τ ).

44 Ejercicio (relaci´on entre Var, PVar, NVar). Sea f : [a, b] → R. Demostrar que PVar^b_a(f ) = NVar^b_a(f ) + f (b) − f (a),

Var^b_a(f ) = PVar^b_a(f ) + NVar^b_a(f ).

45 Ejercicio (la suma de las diferencias absolutas se aumenta al agregar un punto a la partición). Sea τ = (τ₀, . . . , τ_n) una partición de [a, b] y sea τ⁰ una partición de [a, b] que se obtiene de τ al agregar un punto c:

τ₀ < τ₁ < . . . < τ_m < c < τ_m+1 < . . . < τ_n. Sea f : [a, b] → R. Demostrar que

S_abs(f, τ ) ≤ S_abs(f, τ⁰).

Demostrar propiedades similares para S₊ y S−.

46 Ejercicio (la variaci´on total de una funci´on en un intervalo dividido en varias partes).

Sea f : [a, b] → R y sea c ∈ (a, b). Demostrar que

Var^b_a(f ) = Var^c_a(f ) + Var^b_c(f ).

47 Ejercicio (la variaci´on positiva y negativa de una funci´on en un intervalo dividido en varias partes). Sea f : [a, b] → R y sea c ∈ (a, b). Demostrar que

PVar^b_a(f ) = PVar^c_a(f ) + PVar^b_c(f ), NVar^b_a(f ) = NVar^c_a(f ) + NVar^b_c(f ).

48 Ejercicio (funciones de variaci´on acotada). Escribir la definici´on de BV([a, b], R).

49 Ejercicio (sobre la variación total, variación positiva y la variación negativa, con el l´ımite superior variable). Sea f ∈ BV([a, b], R). Definimos u : [a, b] → R, v : [a, b] → R,

u(x) := Var^x_a(f ), v(x) := PVar^x_a(f ), w(x) := NVar^x_a(f ).

Mostrar que las funciones u, v, w son crecientes. Demostrar que si x ∈ (a, b) y las funciones f y u son derivables en x, entonces

|f⁰(x)| ≤ u⁰(x). (5)

Demostrar desigualdes similares para v⁰ y w⁰:

P (f⁰(x)) ≤ v⁰(x), N (f⁰(x)) ≤ w⁰(x).

(9)

50 Ejercicio (teorema: cada función real de variación acotada es una diferencia de dos funciones crecientes). Sea f ∈ BV([a, b], R). Construir funciones crecientes g, h : [a, b] → R tales que f = g − h. Dos métodos:

usando Var^x_a(f ),

usando PVar^x_a(f ) y NVar^x_a(f ).

51 Ejercicio (funciones complejas de variación acotada). Explicar cuáles de las afirmaciones anteriores se generalizan a funciones complejas de variación acotada. Demostrar que si f ∈ BV([a, b], C), entonces f es una combinación lineal de cuatro funciones crecientes.

52 Ejercicio (las funciones de variaci´on acotada son acotadas). Demostrar que si f ∈ BV([a, b], C), entonces f es acotada.

53 Ejercicio (sobre la integral del valor absoluto de la derivada de una funci´on de variaci´on acotada). Sea f ∈ BV([a, b], R). Demostrar que f es derivable c.t.p., f⁰ ∈L¹([a, b]), y

b

Z

a

|f⁰| dµ ≤ Var^b_a(f ).

Un camino posible es usar los resultados de los Ejercicios 49y 29.

54 Ejercicio (sobre la integral de la parte positiva de la derivada de una funci´on de variaci´on acotada). Sea f ∈ BV([a, b], R). Demostrar que f es derivable c.t.p., f⁰ ∈L¹([a, b]), P ◦ f⁰ ∈L¹([a, b]), y

b

Z

a

P (f⁰(x)) dx ≤ PVar^b_a(f ).

Un camino posible es usar los resultados de los Ejercicios 49y 29.

55 Ejercicio (sobre la integral de la parte negativa de la derivada de una funci´on de variaci´on acotada). Sea f ∈ BV([a, b], R). Demostrar que f es derivable c.t.p., f⁰ ∈L¹([a, b]), N ◦ f⁰ ∈L¹([a, b]), y

b

Z

a

N (f⁰(x)) dx ≤ NVar^b_a(f ).

56 Ejercicio (las funciones de variaci´on acotada forman un espacio normado). Demostrar que Var^b_a tiene propiedades de seminorma. Demostrar que BV([a, b], C) es un espacio vectorial. Demostrar que la funci´on

kf k_BV := kf ksup+ Var^b_a(f ) es una norma en BV([a, b], C).

(10)

57 Ejercicio. Algunos autores prefieren trabajar con otra norma en BV([a, b], C), definida como

kf k_BV,a := |f (a)| + Var^b_a(f ).

Demostrar que las normas k · k_BVy k · k_BV,a son diferentes entre si, pero equivalentes. M´as precisamente, demostrar que existe C > 0 tal que para cada f en BV([a, b], C) se tiene

kf k_BV,a≤ kf k_BV≤ C kf k_BV,a.

58 Ejercicio. Demostrar que el espacio BV([a, b], C) es completo.

59 Ejercicio (una receta constructiva para aproximar la variaci´on total de una funci´on, usando solamente las particiones uniformes). Sea f ∈ C¹([a, b], R). Para cada n en N y cada k en {0, . . . , n} pongamos

tn,k := a + b − a n k.

Demostrar que

Var^b_a(f ) = lim

n→∞

n

X

k=1

f (t_n,k) − f (t_n,k−1) .

7. Funciones absolutamente continuas

60 Ejercicio. Sea f : [a, b] → C. ¿Cu´ando se dice que f es absolutamente continua?

Escribir la definici´on. Denotamos por AC([a, b], C) al conjunto de todas las funciones de esta clase. Para las funciones absolutamente continuas con valores reales usamos la notaci´on AC([a, b], R).

61 Ejercicio (cada funci´on Lipschitz continua es absolutamente continua). Demostrar que

Lip([a, b], C) ⊆ AC([a, b], C).

62 Ejercicio (cada funci´on absolutamente continua es continua). Demostrar que AC([a, b], C) ⊆ C([a, b], C).

63 Ejercicio (teorema: cada funci´on absolutamente continua es de variaci´on acotada).

Demostrar que

AC([a, b], C) ⊆ BV([a, b], C).

64 Ejercicio (las funciones absolutamente continuas son acotadas). Demostrar que si f ∈ AC([a, b], C), entonces f es acotada.

65 Ejercicio (sobre el producto de dos funciones absolutamente continuas). Demostrar que si f, g ∈ AC([a, b], C), entonces f g ∈ AC([a, b], C).

(11)

66 Ejercicio. Mostrar que AC([a, b], C) es un espacio vectorial complejo.

67 Ejercicio. Mostrar que AC([a, b], C) es un ´algebra compleja. Mostrar que esta ´algebra tiene un elemento neutro multiplicativo.

68 Ejercicio (cada funci´on absolutamente continua es derivable casi en todos puntos, y su derivada es integrable). Sea f ∈ AC([a, b], C). Mostrar que f es derivable c.t.p. y que f⁰ ∈L¹([a, b]).

8. El primer teorema fundamental de c´ alculo

En los problemas de esta secci´on definimos F : [a, b] → C mediante

F (x) :=

x

Z

a

f dµ. (6)

69 Ejercicio (las integrales con l´ımite superior variable son funciones absolutamente continuas). Sea f ∈L¹([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C por la f´ormula (6). Demostrar que F ∈ AC([a, b], C).

70 Ejercicio. Sea f ∈L¹([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C por la f´ormula (6). Demos- trar que F es de variaci´on acotada, continua y derivable en c.t.p. Demostrar que F⁰ es integrable.

71 Ejercicio (el lema principal sobre las funciones definidas como integrales con l´ımite variable). Sea f ∈L¹([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C por la f´ormula (6). Supongamos que F (x) = 0 para cada x en [a, b]. Demostrar que f = 0 c.t.p.

72 Ejercicio (el primer teorema fundamental de c´alculo para las funciones continuas).

Sea f ∈ C([a, b]). Definimos F mediante (6). Demostrar que F⁰ = f .

73 Ejercicio (el primer teorema fundamental de c´alculo para las funciones esencialmente acotadas). Sea f ∈L^∞([a, b]). Definimos F mediante (6). Demostrar que F⁰ = f c.t.p.

74 Ejercicio (el primer teorema fundamental de c´alculo para las funciones Lebesgue integrables). Sea f ∈L¹([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C como

F (x) :=

x

Z

a

f dµ.

Demostrar que F⁰ = f c.t.p.

(12)

9. El segundo teorema fundamental de c´ alculo

75 Ejercicio (el lema principal sobre la derivada de una funci´on absolutamente continua).

Sea F ∈ AC([a, b], C). Supongamos que F⁰ = 0 c.t.p. Demostrar que F es una constante.

Sugerencia: utilizar el lema de Vitali.

76 Ejercicio (el segundo teorema fundamental de c´alculo para funciones absolutamente continuas). Sea F ∈ AC([a, b]). Demostrar que

b

Z

a

F⁰dµ = F (b) − F (a).

Sugerencia: aplicar el Teorema74 a la funci´on f := F⁰, luego usar el Lema 75.

77 Ejercicio (criterio de una funci´on absolutamente continua). Sea F : [a, b] → C. De- mostrar que las siguientes tres condiciones son equivalentes:

F ∈ AC([a, b], C),

∀x ∈ [a, b] F (x) = F (a) +

x

Z

a

F⁰dµ,

existen f en L¹([a, b], C) y c en C tales que

∀x ∈ [a, b] F (x) = c +

x

Z

a

f dµ.

78 Ejercicio (expresión de la variación acotada de una función absolutamente continua en términos de su derivada). Sea F ∈ AC([a, b], C). Demostrar que

Var^b_a(F ) =

b

Z

a

|F⁰| dµ.

Indicaci´on: ya hemos demostrado una desigualdad entre los dos lados de esta f´ormula, ver el resultado del Ejercicio 53.

79 Ejercicio (expresión de la variación positiva y negativa de una función absolutamente continua real en términos de su derivada). Sea F ∈ AC([a, b], R). Demostrar que

PVar^b_a(F ) =

b

Z

a

P (F⁰(x)) dx, NVar^b_a(F ) =

b

Z

a

N (F⁰(x)) dx.

Indicaci´on: pueden ser ´utiles los resultados de los Ejercicios 54 y 55.

(13)

80 Ejercicio (las funciones absolutamente continuas forman un espacio normado). Mos- trar que el conjunto AC([a, b], C) con la norma

kf k_AC := |f (a)| + Var^b_a(f ) (7)

es un espacio normado. Por el resultado del Problema 66, ya sabemos que AC([a, b], C) es un espacio vectorial complejo. Falta verificar que la funci´on k · k_AC es subaditiva, homog´enea absoluta y si kf k_AC = 0, entonces f es la constante cero.

81 Ejercicio (las funciones absolutamente continuas forman un espacio de Banach).

Mostrar que el conjunto AC([a, b], C) con la norma (7) es un espacio normado completo.

Indicación: en vez de usar la fórmula (7), se puede usar la fórmula

kf k_AC := |f (a)| +

b

Z

a

|f⁰| dµ. (8)

Las f´ormulas (7) y (8) son equivalentes debido al resultado del Problema 78.