GEOMETRÍA.
Vectores en tres dimensiones:
Sea la base ortonormal ,, , las coordenadas de un vector son (x, y , z) en dicha base si
Combinación lineal. Un vector es combinación lineal de otros si se puede expresar como suma de estos últimos por escalares (números).
Módulo de un vector es su medida. =
Dirección el de la de la recta que lo contiene. Dentro de una misma dirección hay dos sentidos.
Operaciones con vectores: - Suma de vectores. - Producto por un escalar.
- Producto escalar. (Resultado un número) - Producto vectorial. (Resultado un vector) - Producto mixto. (Resultado un número)
Producto escalar.
Proyección de sobre =
Dos vectores no nulos son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es cero.
Para hallara el ángulo que forman dos vectores:
Producto vectorial.
es un vector que tiene por módulo , su dirección es perpendicular al plano que determinan y su dirección es la de un sacacorchos que gira de hacia
El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo que determinan los dos vectores.
Si cambia el orden cambia el sentido del vector resultante:
Para calcularlo:
Producto mixto.
(El resultado es un número).
Geométricamente representa el volumen del paralelepípedo que determinan los tres vectores.
. Si cambiamos el orden de los factores cambia el signo.
PUNTOS Y RECTAS EN EL ESPACIO.
Partimos de un sistema de referencia: { O, i, j, k }. Un punto X tiene la coordenadas del vector OX.
Coordenadas de un vector AB = coordenadas del extremo (B) - coordenadas del origen (A). Tres puntos, A, B y C están alineados si AB // BC.
Punto medio de A y B se calcula como
Punto simétrico de un punto A respecto de otro P. P sería el punto medio entre A y el punto X
buscado, por lo tanto , y de aquí se despeja X.
Otra forma sería hallar el vector y X= P+
ECUACIONES DE LA RECTA.
Para hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto y tiene como vector director , un punto X de la recta cumple , por lo
tanto: en paramétricas.
En forma continua:
En forma implícita, se multiplican dos de las igualdades y se obtienen dos ecuaciones (cada una representa un plano)
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS.
Puede ocurrir que sean: coincidentes, paralelas, que se corten o que se crucen.
Si los vectores direccionales son proporcionales, serán coincidentes o paralelas. En el caso de que el vector que une dos de sus puntos también sea de la misma dirección, serán coincidentes y si dicho vector no tiene la misma dirección, serán paralelas.
Si los vectores direccionales no son proporcionales, se cortarán o se cruzarán. En el caso de que el vector que une dos de sus puntos esté en el mismo plano, se cortarán y si no está en el mismo plano, se cruzarán.
Resumiéndolo en estudio de rangos: Sea y
Si Rang M= 1 y Rang M’=1, las rectas son coincidentes.
Si Rang M=1 y Rang M’=2, Las rectas son paralelas.
Si Rang M= 2 y Rang M’=2, las rectas se cortan.
ECUACIONES DEL PLANO.
Sean dos vectores direccionales del plano. y P un punto del plano. Cualquier punto X del plano podrá ponerse como siendo s y t dos números reales cualesquiera. En
paramétricas:
Como el vector se puede poner como combinación lineal de , para hallar la ecuación
general del plano: = , y de aquí sale la ecuación:
El vector es un vector perpendicular (normal) al plano.
Conocido un punto P del plano y el vector perpendicular al plano, la ecuación se halla:
, se despeja el valor de D y tenemos la ecuación del plano.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PLANOS.
Puede ocurrir: que se corten en una recta, que sean coincidente, o que sean paralelos.
Sean M= y M'=
Si Rang M=2 , Rang M' =2 y se cortan en una recta.
Si Rang M=1 y Rang M’=1 , son coincidentes.
Si Rang M=1 y Rang M’=2, son paralelos.
POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS.
Sean y
Si Rang M=3=Rang M’, el sistema tiene solución única y se cortan en un punto.
Si Rang M=2= Rang M’, el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones y se corta en una recta.
Si Rang M=2<Rang M’=3, el sistema no tiene solución, pueden ser dos planos paralelos y el otro que los corte, o un prisma triangular.
Si Rang M=1<Rang M’, el sistema no tiene solución, pueden ser tres planos paralelos , o dos coincidentes y el otro paralelo.
POSICIÓN RELATIVA ENTRE PLANO Y RECTA.
Sea un vector normal del plano y un vector direccional de la recta:
Si =0, los vectores son perpendiculares por lo tanto, la recta y el plano son paralelos. No se cortan.
Si los vectores no son perpendiculares por lo tanto recta y plano se cortan en un punto.
PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL ESPACIO.
Ángulo entre dos rectas, es el ángulo que forman sus vectores direccionales. Ángulo entre dos planos es el ángulo que forman sus vectores normales.
Ángulo entre plano y recta es el complementario del que forman el vector direccional de la recta y el normal del plano.
Distancia entre dos puntos: Es el módulo del vector que los une:
Distancia de punto a recta. Sea P el punto dado y R un punto cualquiera de la recta, la distancia del punto a la recta es la altura del paralelogramo que forman y el vector direccional de la recta,
por lo tanto:
Distancia de un punto a un plano. Se puede calcular hallando la ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por P y haciendo el punto de corte con un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas o bien utilizando la fórmula:
Distancia entre dos rectas:
Si son paralelas se halla un punto de una de ellas y luego la distancia de este punto a la otra recta. Si se cruzan se puede hacer hallando un plano paralelo a r y que contenga a s y después hallar la distancia de punto a plano.
También se puede interpretar como la altura del paralelepípedo que forman los vectores direccionales y el vector que une un punto de cada recta :
, siendo P un punto de r y Q un punto de s,
Distancia de recta a plano. (En caso de que sean paralelos, ya que en otro caso la distancia es cero). Es la distancia de un punto cualquiera P de la recta, al plano.
Distancia entre dos planos paralelos. (Si no son paralelos la distancia es cero) es la distancia de un punto cualquiera de uno de los planos, al otro.
Si se toman los mismos coeficientes de A; B y C para los dos planos, se puede hallar con la
