PROPORCIONALIDAD

TEMA 4: PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

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1.1.- Razón cociente de dos números. Ej: María encesta 6 tiros de 10 lanzamientos . Al 6 se le llama antecedente y al 10 consecuente.

1.2.- Proporciónigualdad de dos razones. Ej: .

1.3.- Los elementos que forman una proporción son: los extremos (6 y5), los medios (10 y 3), los antecedentes (6 y 3) y los consecuentes (10 y 5).

1.4.- Constante de proporcionalidadcociente de las razones que forman la proporción. Ej:

1.5.- Propiedades de las proporciones:

a) Fundamental: El producto de extremos es igual al producto de medios

b) La suma de antecedentes dividida entre la suma de consecuentes es igual a la constante de proporcionalidad. Ej:

c) Calculo del término desconocido.

 Ej: Calcula el cuarto proporcional de los nos _{3, 12 y 9 }

 Ej: Calcula el valor de :

 Ej: Calcula la media proporcional o la media geométrica de 4 y 9 

2 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES.

2.1.- Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por dicho número. Ej: El peso de los plátanos y el precio

kg 1 2 3 5 y Precio € 1,5 3 4,5 x 15

 ¿Cómo se calcula x e y? Cuando son directas se cumple: ;

 Estos problemas se denominan de regla de tres (nos dan cono mínimo tres datos y falta un cuarto que hay que hallar) simple (intervienen solo dos magnitudes) directa.

 Por una tabla y una proporción directa:

D

 Por una regla de tres y una proporción:

Cantidad --

D-

 Reduciendo a la unidad: Si 6 barras cuestan 4,20 €

1 barra costará= Y 12 barras costarán

3 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

3.1.- Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número. Ej: la velocidad (km/h) y el tiempo (h)

veloc(km/h) 90 180 60 y tiempo (h) 2 1 x 10

 ¿Cómo se calcula x e y? Cuando son inversas se cumple:

 Estos problemas se denominan de regla de tres simple inversa.

3.2.- Problema: Con un consumo de 5 horas diarias un depósito de gas dura 18 días. ¿Cuánto duraría con un consumo de 3 horas diarias?

¿Cómo se resuelve? De varias maneras:  Por medio de una tabla inversa: Consumo diario (h) 5 3

Duración (días) 18 x

 Por una regla de tres inversa:

 Por reducción a la unidad: Funcionando 5 horas diarias dura 18 días

Si funcionará 1hora diaria duraría = ; como funciona 3 horas diarias durará =

4.- PORCENTAJES 4.1.- Ideas previas:

 ¿Qué es? Un tanto por ciento o porcentaje, cuyo símbolo es %, es una razón que tiene por consecuente 100. También se puede decir que es un nº decimal:

Ej:

 ¿Cómo se calcula? Multiplicando el porcentaje por la cantidad y dividiendo entre 100. Ej: .

También se puede calcular

 Problema: ¿Cuál es el precio final de un turismo de 12000 € si debemos de pagar el 18 % de IVA?

Datos Planteamiento Solución:

valor12000 € El precio final 14160 €

18 % de IVA Precio final= 12000 + 2160 = 14160 Precio final = ?

4.2.- Relación entre porcentaje, fracción y decimal.

4.3.- PROBLEMAS DE PORCENTAJES Se pueden resolver de dos maneras:

 Mediante una ecuación o

 Mediante una regla de tres directa.

Problema 1º: El 35 % de los habitantes de un pueblo utilizan gafas. Si el nº de habitantes es 3600, ¿cuántos usan gafas?

 Ecuación habitantes  Regla de tres:

Problema 2º: De un total de 150 alumn@s de ESO han aprobado la 1ª y 2ª Evaluación de Matemáticas 90. ¿Qué porcentaje han tenido evaluación positiva?

 Ecuación % han aprobado.  Regla de tres:

%

 Ecuación censo electoral

 Regla de tres:

5.- REPARTOS PROPORCIONALES

5.1.- Directamente proporcionales: Consiste en repartir una cantidad total de una magnitud entre varias cantidades de otra magnitud.

 Problema: Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno? .De esta serie

de razones iguales se cogen proporciones y se hallan x, y y z

5.2.- Inversamente proporcionales: Consiste en repartir una cantidad total de una magnitud en parte directamente proporcionales a las inversas de las cantidades de la otra magnitud.

 Problema: Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

1º Escribimos los inversos y reducimos a común denominador:

2º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores

6.- Regla de tres compuesta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta: 6.1.- Regla de tres compuesta directa

Problema: Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

 A más grifos, más euros Directa.  A más horas, más euros Directa.

9 grifos 10 horas 20€

15 grifos 12 horas x €

6.2.- Regla de tres compuesta inversa:

Problema: Cinco obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

 A menos obreros, más días Inversa.  A más horas, menos días Inversa.

5 obreros 6 horas 2 días

4 obreros 7 horas x días 6.3.- Regla de tres compuesta mixta:

Problema: Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?

 A más obreros, menos días Inversa.  A más horas, menos días Inversa.  A más metros, más días Directa. 8 ob 9 d 6 h 30 m