Introducción a Matrices y Determinantes.
Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos y su manejo. El objetivo de introducir el curso con este tema tiene un carácter instrumental. Es decir, conocer las matrices como entes matemáticos y saber realizar operaciones básicas con ellas es de mucha utilidad a los efectos del resto de la temática del curso. Asimismo se verán algunas aplicaciones de matrices a problemas de contexto real.
Definición:
Una matriz es una función del tipo Amxn :Im,n → R siendo Im,n =
{
(i, j),i∈N/1≤i≤m,1≤ j≤n}
(El dominio puede ser cualquier conjunto no vacío; en general para nosotros es el conjunto R de los Números Reales).
Ejemplo: Sea I2,3={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3)} y una matriz A2x3 podría estar definida a partir de la siguiente
correspondencia:
Nota: A cada real imagen del elemento (i,j) lo denominaremos aij y a la matriz resultante la notaremos (aij).
Observación: Es costumbre disponer los elementos
( )
aij en forma rectangular:
mn m m n na
.
.
.
a
a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
.
.
.
a
a
a
.
.
.
a
a
2 1 2 22 21 1 12 11Donde "m" representa el número de filas y "n" representa el número de columnas. Siendo así en el ejemplo anterior la matriz quedaría representada de la siguiente manera:
− = 2 1 2 1 10 1 0 3 2 / / A X
π
Menos formalmente, podemos pensar en una matriz como una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas
Nota: Al conjunto de todas las matrices de orden mxn con elementos reales se lo representa como Mmxn (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 0 1 π -10 1/2
Tipos de Matrices
a) Se denomina MATRIZ NULA a la que tiene todos sus elementos igual a cero. Ejemplo:
=
0
0
0
0
0
0
2 3 XM
matriz nula de dimensión 3X2b) Se denomina MATRIZ FILA a la matriz que tiene únicamente una fila.
Ejemplo: − 7
π
3 1 1 4 1XW matriz fila de dimensión 1X4
c) Se Se denomina MATRIZ COLUMNA a la matriz que tiene únicamente una columna.
Ejemplo: 0 1 1 2 X
C matriz columna de dimensión 2 X1
d) Se denomina MATRIZ CUADRADA a la matriz que tiene igual número de filas que de columnas. Ejemplo:
−
−
−
=
3
1
1
1
4
0
2
1
1
3 3π
,
F
X matriz cuadrada de orden 3Nota: Llamamos diagonal principal de una matriz cuadrada a los elementos aijtales que i= j, en el caso de la
matriz F la diagonal principal está formada por 1,4 y −3
e) Llamamos MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR a la matriz cuadrada cuyos elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.
f) Llamamos MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR a la matriz cuadrada cuyos elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos.
Ejemplo: 4 4 3 4 4 2 1 INFERIOR TRIANGULAR X A − − = 5 6 2 0 7 2 0 0 1 3 3 4 4 8 4 4 7 6 SUPERIOR TRIANGULAR X B − = 9 0 0 13 34 0 4 2 5 3 3
g) Se denomina MATRIZ IDENTIDAD I , a la matriz cuadrada en la cual los elementos situados en la diagonal principal son iguales a uno y el resto son nulos.
Cuando sea importante hacer énfasis en el la dimensión, escribiremos In para designar la matriz identidad de orden
n
. Ejemplo: = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4Álgebra de matrices
Igualdad de matrices:
Observemos que por ser funciones, dos matrices Amxn y Bm’xn’ son iguales si sus dominios y codominios son iguales, y las imágenes de los elementos de una son respectivamente iguales a las imágenes de los elementos de la otra. Esto implica:
' xn ' m mxn B
A = ⇔ m = m’, n = n’ ∧ aij = bij (i=1,...,m ; j=1,2,...,n ), siendo aij los elementos de Amxn y bij los
elementos de Bm’xn’.
Es decir, dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y sus elementos respectivos son iguales
Producto por un número real.
SiA=(aij )∈Mmxn y
β
∈ℜ, definimosβ
.A=(qij)∈Mmxn, siendoqij =β
.aij(i=1,...,m∧ j=1,...,n). A dicho número real se lo suele llamar escalar.Ejemplo: − − = − − 5 6 2 24 10 2 2 0 4 2 5 3 12 5 2 0 2 1 2 / e / e Propiedades:
Siendo
α
yβ
números reales y A y B matrices den
×
m
; i. 1.A= Aii.
( )
α
.
β
.
A
=
α
.
( )
β
.
A
iii.
(
α
+
β
)
.
A
=
α
.
A
+
β
.
A
iv.
α
.
(
A
+
B
)
=
α
.
A
+
α
.
B
Todas ellas se de deducen en forma inmediata de las propiedades de la estructura de los números reales y sus operaciones.
Suma de matrices.
Se considera el conjunto Mmxn de las matrices reales de dimensión
m
×
n
(m
filas yn
columnas),definimos la suma de dos matrices (de igual dimensión) de la forma siguiente:
Si A=(aij ),B=(bij ), definimos A±B=
( )
sij ∈MmXn siendo sij =aij ±bij con i=1,...,myj=1...nEjemplo: + − = + + + − + − + = − + − 12 11 2 7 2 6 1 11 6 5 2 7 0 3 1 4 2 1 6 2 7 3 4 11 5 0 1 2 e e e
Propiedades de la suma y diferencia:
i. Asociativa
A
±
(
B
±
C
) (
=
A
±
B
)
±
C
ii. Conmutativa A±B=B±A
iii. Existencia del neutro (la matriz nula)
iv. Existencia del opuesto (en el caso de A su opuesto es−A) (intenta estas demostraciones).
Ejercicios:
i. Calcula a,by
c
para que se cumpla la siguiente igualdad: − = − + + + − − − 6 0 2 2 1 0 2 1 4 2 6 1 4 2 3 a c b a c b a ii. Si = 1 0 1 1 A y − = 2 0 0 1
B Hallar una matriz X que verifique la ecuación 2.X −4.A=B
iii. Determina las matrices X eY sabiendo que:
= + − − = − 0 3 4 2 3 1 8 2 1 5 3 Y X Y X Producto de matrices
Siendo las matricesA=(aij )∈Mmxn B=(bjk)∈Mnxp, se define el productoA.B=C con C=(cik)∈Mnxp
siendo 1 1 2 2 1 . . ... . . h n ik i k i k in nk ih hk h c a b a b a b a b = = = + + + =
∑
con (i=1,...,m ∧ j=1,...,p) Ejemplo: − − − − = × + × × + − × × + × × − + × − × − + − − × − + × − × + × − × + − − × + × − × + × × + − × + × = − ⋅ − − − 7 1 1 40 4 19 17 1 29 26 2 17 4 0 7 1 0 0 1 1 5 0 1 1 4 3 7 4 0 3 1 4 5 3 1 4 4 6 7 1 0 6 1 1 5 6 1 1 4 3 7 2 0 3 1 2 5 3 1 2 4 0 5 7 1 1 0 1 3 4 6 1 3 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Observaciones:Se desprende de la definición de producto de matrices que para poder multiplicar dos matrices deben coincidir el número de columnas de la primera con el número de filas de la segunda, esto nos da como resultado una nueva matriz de igual cantidad de filas que la primera e igual cantidad de columnas que la segunda. Es decir, AnXm×BmXp =CnXp Propiedades: 1. Asociativa
A
.
( ) ( )
B
.
C
=
A
.
B
.
C
2. DistributivaA
.
(
B
+
C
)
=
A
.
B
+
A
.
C
Ejercicios: i.Si − − = 6 2 3 1 A y − = 1 2 5 3
B calcula si es posible A.B y B.A¿coinciden?
ii. Ídem anterior para
−
−
=
1
4
2
0
1
1
A
y − = 5 1 1 2 0 3 Biii.Calcula todos los productos posibles entre las matrices
= 5 4 3 0 1 2 C
=
1
2
1
B
y
−
=
1
2
0
1
1
1
3
2
1
A
iv.Calcula A2 y A3v.Determina los valores de
a
yb para que A= A2 con − = b a A 2 1
Consecuencias de la definición anterior
El producto de matrices no es conmutativo. ¿Podrías decir por qué?
El producto de matrices puede dar la matriz nula aunque esta no sea uno de los factores. ¿Podrías dar un ejemplo de esto?
En el caso de las matrices cuadradas podemos observar que la misma matriz I funciona como neutro de la multiplicación, es decir que: A.I =I.A= A para todas las matrices de Mnxn.
Definición:
Dadas las matrices cuadradas A y B si se verifica que A.B=B.A=I decimos que B es la INVERSA de la matriz A y se anota −1
A .
Si la matriz A tiene inversa diremos que es invertible.
Observación:
NO toda matriz cuadrada tiene inversa. ¿Puedes pensar en un ejemplo de esto?
Trasposición de matrices
Dada una matriz AmXn llamamos matriz traspuesta de A (anotamos T
A ) a la matriz que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas.
Ejemplo: − − − = 2 7 6 4 3 1 A entonces
−
−
−
=
2
4
7
3
6
1
TA
Observación:Propiedades: siendo k∈ℜ con A y B matrices de
n
×
m
1.( )
AT T = A2.
(
A+B)
T = AT +BT3.
( )
k.AT =k.ATNota:
A partir de la definición de matriz traspuesta surgen las matrices simétricas y antisimétricas: a. MATRIZ SIMÉTRICA: matriz que coincide con su traspuesta, es decir A=AT
Ejemplo:
−
7
5
0
5
3
2
0
2
1
b. MATRIZ ANTISIMÉTRICA : matriz cuya traspuesta coincide con su opuesta, es decir AT =−A
Ejemplo:
−
−
−
−
7
13
32
13
3
2
32
2
1
Aplicaciones de matrices
Las matrices se usan para resolver múltiples tipos de problemas dentro de las ciencias sociales, ingeniería y otras áreas. En esta oportunidad veremos dos tipos de aplicaciones de matrices: en redes de comunicación y en problemas de transición.
Ejemplo 1
Considera una red de cuatro computadoras conectadas como indica la figura 1. Las flechas indican qué computadora tiene acceso a cual.
Por ejemplo la computadora
a
tiene acceso a la b, pero la b no puede acceder a laa
, en cambio lac
y lab tienen acceso mutuo. A partir de esta información podemos crear una matriz asociada a esta red. Hacia computadoraAcceso desde computadora
A d c b a d c b a = 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0
Un “1” indica que hay acceso directo y un “0” que no hay acceso directo, (asumiremos que las máquinas no tienen acceso a sí mismas a través de la red) si queremos ver si la máquina b accede a la
c
observamos la segunda fila y la última columna y veremos un “1”.Llamamos a la matriz A una matriz de comunicación.
Ahora bien, estando en la red, las computadoras pueden conectarse a otras de manera directa o por intermedio de otras, así la computadora
c
, por ejemplo, puede tener acceso a la b directamente o a través dea
. Se puede demostrar que la matriz A2 nos indica la cantidad de maneras en las que una computadora puede tener acceso a otra a través de un intermediario.Hacia Desde 2 A d c b a d c b a = 2 1 1 1 1 2 2 0 1 1 2 1 1 1 0 0
Si observamos la figura 1 vemos que la computadora
c
puede acceder a la b con un intermediario de dos formas distintas:1.
c
conecta cona
que conecta con b2.
c
conecta con d que conecta con bSi observamos A2 veremos que el elemento
( )
3,
2
es un “2”En resumen, la matriz A representa el acceso directo de una máquina a otra y la matriz 2
A representa el acceso vía un intermediario. Se puede demostrar que de la misma forma A3 representa el acceso con tres intermediarios y así sucesivamente.
Ejercicio:
Ejemplo 2
Puede resultar útil para un gobierno predecir cambios poblacionales, por necesidades de planificación, de políticas de urbanización o sociales. También las empresas pueden necesitar este tipo de información para planificar sus inversiones o estrategias de mercado.
Supongamos que una región tiene una población de 25 millones de habitantes de los cuales 10 millones viven en ciudades, 8 millones viven en zona suburbana y 7millones viven en zona rural.
Asumamos que el cuadro a continuación describe la migración anual estimada de esta población: A
Desde
Ciudades Z. Suburbana Área Rural
Ciudades 65% 31% 4%
Z. Suburbana 18% 70% 12%
Área Rural 17% 8% 75%
Podemos entonces construir dos matrices P y T:
La matriz P que representa la localización original de los 25 millones de habitantes, expresada en millones.
(
10 8 7)
= P Rural Suburbana CiudadY la matriz T asociada a la tabla anterior:
T
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Rural
Suburbana
Ciudad
Rural
Suburbana
Ciudad
=
75
0
08
0
17
0
12
0
70
0
18
0
04
0
31
0
65
0
Esta última es llamada matriz de transición y describe justamente la transición de una condición a otra. Se puede entonces demostrar que si multiplicamos PxT obtenemos una nueva matriz (¿de qué dimensión?), que representa la distribución de la población al finalizar el año:
PxT=
(
6,5+1,44+1,19 3,1+5,6+0,56 0,40+0,96+5,25) (
= 9,13 9,26 6,61)
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 vector este resulta que observa y ción multiplica la RealizaSe puede observar que el primer elemento del vector está compuesto por 6,5 que es el 65% de 10 millones que permanece en las ciudades, más el 18% de 8 que pasa de las zonas suburbanas a las ciudades (1,44), más el 17% de 7 (1,19) que pasa del área rural a las ciudades, de esta manera obtenemos el número de millones de
personas que hay en las ciudades al finalizar el año. Así también con la zona suburbana y con el área rural, segundo y tercer elemento del vector respectivamente.
Si asumimos que la matriz de transición también predice la migración para el año siguiente, se puede obtener la población estimada luego de dos años. Esto debido a que al tener el vector resultante de la población para el primer año, éste se multiplica por T y así obtenemos el vector resultante de la distribución de la población para el segundo año. Otra manera de hacer esto mismo es multiplicar el vector original de distribución de población (P) por la matriz T2. Observándose que se puede predecir la población para la cantidad de años que queramos, elevando la matriz de transición al exponente correspondiente y multiplicando el vector P por la matriz resultante.
Ejercicio:
Función determinante
Sea A una matriz cuadrada de orden
n
, llamamos determinante de la misma (y lo notaremos det (A), oA
) al número real que se obtiene de la siguiente manera:Si n=1
⇒
A
=
(
a
11)
⇒
det(
A
)
=
a
11 Si n=2 11 22 21 12 22 21 12 11)
det(
A
a
a
a
a
a
a
a
a
A
⇒
=
−
=
⇒
Si n=3 11 12 13 21 22 23 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 11 32 23 21 12 33 31 32 33 det( ) a a a A a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⇒ = ⇒ = + + − − − Si n≥4 lo calcularemos teniendo en cuenta las siguientes definiciones:
Definición: Menor complementario
Dada una matriz A de orden
n
, llamamos menor complementario del elemento aij de la misma (lonotaremos
α
ij) al determinante de la matriz que se obtiene luego de suprimir en la matriz A la fila i y la columna j.Definición: Adjunto
Dada una matriz A de orden
n
, llamamos adjunto del elemento aij de la misma (lo notaremos Aij) alproducto que surge luego de multiplicar el menor complementario del elemento por −1 elevado a la suma de los subíndices.
Es decir Aij =
( )
−1i+j.α
ijPropiedad de Laplace:
El valor del determinante de una matriz de orden
n
es igual a la suma den
términos, cada uno de los cuales son losn
elementos de una línea (cualquiera) multiplicados por sus adjuntos respectivos.Ejemplo determinante de una matriz de orden 4:
14 14 13 13 12 12 11 11 44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11
A
a
A
a
A
a
A
a
)
A
det(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
⇒
=
+
+
+
=
2xfila1+fila2 A A' -1 7 -1 7 2 3 0 17 → 14243 14243 fila1 fila3 A A' -1 3 6 3 1 4 -1/2 -7 0 -1/2 -7 0 3 1 4 -1 3 6 → 1442443 1442443
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Sea A cualquier matriz de
n
×
n
yk un número real cualquiera.1.
Si A contiene una fila o columna de ceros, entoncesdet
( )
A
=
0
.2.
Si multiplicamos todos los elementos de una línea de la matriz A por un número real k el determinante de A queda multiplicado por ese número2’
.
Corolario: n kA =k A
(Intenta demostrarlo aplicando la propiedad anterior)
3.
Si permutamos dos líneas paralelas de la matriz A, su determinante cambia de signo Ejemplo:Calcula
det
( )
A
ydet
( )
A
'
4.
Si a una línea de una matriz se le suma otra línea (paralela) multiplicada por un número, el determinante no cambia.Ejemplo:
Observa que la fila dos de A’ se obtiene a partir de realizar la operación indicada sobre la flecha.
Calcula
det
( )
A
ydet
( )
A
'
5.
El determinante se anula si dos filas o dos columnas son iguales. Demo:Si se invierten las dos filas (o columnas) que son iguales entonces (por propiedad II)
−
det
( )
A
=det
( )
A
'
⇒
2
.
det
( )
A
=
0
⇒
det
( )
A
=
0
Q.E.D
7.
Si una matriz cuadrada tiene dos filas proporcionales su determinante es cero. (Intenta demostrarlo aplicando las propiedades anteriores.)8.
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces:det
( )
A
.
B
=
det
( ) ( )
A
.
det
B
(No se demostrará en este curso)Teorema:
Una matriz cuadrada A es invertible si y solo si
det A
( )
≠
0
. Demo:Si A es invertible, entonces I=AA-1 de modo que 1=det(I)=det(A)det(A-1).
Por tanto,
det A
( )
≠
0
.Q.E.D Corolario: Si A es invertible, entonces
( )
( )
11
det
det
A
A
−=
.Repartido de ejercicios.1
1. Dadas las matrices:
− = − − − − = − − = 1 0 2 / 1 1 2 3 3 / 2 8 1 1 3 5 . 3 / 1 2 2 3 / 1 6 0 10 1 3 1 C B A
Realizar las siguientes operaciones:
a) Hallar: A+B 2A-3B A.C AT AT+BT
b) Hallar la matriz X tal que: 2A+X=B.
c) Hallar el det (C). ¿Es C una matriz invertible? d) Hallar la matriz Z tal que: Z=C -1
2. Hallar la matriz X, Y o Z según corresponda.
a) A.X=B
b) Y=(A+B)t
c) Z=A-1
3. Verdadero o falso con justificación o contraejemplo.
a) A.B=B.A para toda A y B matrices cuadradas de igual dimensión. b) A.A-1= A-1.A=I para toda matriz de n por n.
c) Sea A una matriz cuadrada de orden n, tal que, todos los elementos de una de sus filas son ceros. Entonces el determinante de A es cero.
d) det(A) = det(At) para toda A matriz cuadrada de orden 3. e) Siendo A y B dos matrices de mxn se cumple que : A+B= B+A
4. Calcula los siguientes determinantes:
b
a
b
a
2 2a
c)
5
2x
-y
2
y
-3x
b)
2
3
1
5
)
5. Hallar x∈ℜ, tal que:
0
4
x
3
x
x
x
2
)
b
0
3
5
1
x
x
2
)
a
=
+
−
=
−
6. Calcular los siguientes determinantes:
1 7 3 2 2 10 4 2 1 A= − − B = − −
1
1
1
1
1
2
/
1
2
/
2
/
)
36
25
14
18
15
12
6
4
2
)
2
4
2
6
0
3
5
1
8
)
2a
a
a
c
b
a
−
−
−
−
7. Sea − − = 4 5 3 1 7 9 1 2 6 0 0 5 8 1 1 8A hallar: α21, A21, α24, A24, y det (A).
8. Calcula aplicando propiedades:
