MODULO Ecuaciones Diferenciales 2013-2.PDF Unad

0

ECUACIONES

1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA PROGRAMA CIENCIAS BÁSICAS

100412 – ECUACIONES DIFERENCIALES RICARDO GOMEZ NARVAEZ

Director

JUAN JOSE CRUZ (Acreditador)

2

ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2009 por Carlos Iván Bucheli Chaves docente de la UNAD, ubicado en el CEAD de San Juan de Pasto, el Autor es físico-matemático, especialista en docencia universitaria, magíster en enseñanza problemita y otros. Se ha desempeñado como tutor de la UNAD desde 2001 hasta la fecha y ha sido catedrático de diversidad Universidades de Pasto.

El presente módulo ha tenido 4 actualizaciones realizadas por su autor Carlos Iván Bucheli Chaves. Y una quinta actualización que se realiza con los tutores Ricardo Gómez Cead Palmira y Pablo Pinto (Bogotá).

El material ha sido revisado por la dirección de la Escuela de Ciencias básicas, Tecnología e Ingeniería: Jorge Eliécer Rondón y por su primer acreditador: Ricardo Gómez Narváez, los cuales han aportado para la calidad de este material.

3

INTRODUCCIÓN

El curso de ECUACIONES DIFERENCIALES, es una de las temáticas con mayor grado de importancia en el desarrollo de la educación superior ya que esta se considera una de las herramientas de mayor utilidad especialmente en el área de la ingeniería. La estrategia para comprender esta rama de la matemática, implica interés, dedicación compromiso y sobre todo responsabilidad. La enseñanza de las ecuaciones diferenciales ha experimentado una gran evolución, tanto en términos pedagógicos como el contenido. Lo que una vez se pudo considerar como una colección de métodos, ha avanzado sustancialmente con el fin de proporcionar a sus investigadores diversos experiencias, que un reconocido matemático ha denominado conceptualización, exploración y solución de problemas de dificultad superior.

El curso de Ecuaciones Diferenciales, se ha sometido a diversos cambios estructurales con el único objetivo de consolidar un material práctico para el estudiante, este le permitirá instruirse con mayor facilidad y así obtener un mayor rendimiento académico.

El curso contiene material necesario para un completo aprendizaje de ecuaciones diferenciales, los ejercicios desarrollados y propuestos no quieren otros conocimientos de los que se han trabajado a lo largo de la carrera. Se hace un desarrollo más o menos profundo, y un estudio detallado de las diferentes ecuaciones a tratar.

En el desarrollo del curso, el estudiante tiene la oportunidad de encontrar las definiciones de los temas tratados incluidos en tres unidades, así mismos encontrará ejemplos prácticos por cada tema a tratar como también ejercicios para resolver. Una característica particular del módulo es la presentación resumida de los conceptos fundamentales a tener en cuenta en el desarrollo intelectual

4

INDICE DE CONTENIDO

UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Capítulo 1:INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales. Lección 2: Concepto de una ecuación diferencial.

Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial. Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Lección 5: Ejercicios propuestos.

Capítulo 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

Lección 6: Ecuaciones con variables separables. Lección 7: Ecuaciones Homogéneas.

Lección 8: Ecuaciones exactas. Lección 9: El factor integrante. Lección10: Ejercicios Propuestos.

Capítulo 3: CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

Lección 11: Trayectorias Ortogonales.

Lección 12: Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones diferenciales.

Lección 13: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales. Lección 14: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.

Lección 15: Ejercicios Propuestos.

UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

Capítulo 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN.

Lección 16: Ecuaciones diferenciales de segundo orden y métodos de solución. Lección 17: La Solución General de una ecuación diferencial como Combinación Lineal de Soluciones Linealmente Independientes.

Lección 18: Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas con coeficientes Constantes.

Lección 19: Operador para la solución de ecuaciones diferenciales. Lección 20: Ejercicios Propuestos.

5

Capítulo 5: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Lección 21: Ecuaciones diferenciales lineales de orden n.

Lección 22: Ecuaciones diferenciales de orden superior con coeficientes constantes

Lección 23: Ecuación diferencial de orden superior homogénea y no homogénea con coeficientes constantes.

Lección 24: Métodos generales de solución de las ecuaciones diferenciales de orden superior.

Lección 25: Ejercicios propuestos.

Capítulo 6: CAMPO DE APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR.

Lección 26: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden Lección 27: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior Lección 28: Ecuaciones diferenciales de Euler.

Lección 29: Ecuaciones diferenciales de Chebyshev y de Bessel . Lección 30: Ejercicios Propuestos.

UNIDAD III. ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES Capítulo 7: GENERALIDADES DEL ESTUDIO DE SERIES. Lección 31: Definición de serie matemática.

Lección 32: Clasificación de las series matemáticas.

Lección 33: Técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales mediante series matemáticas.

Lección 34: Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular en una Ecuación diferencial.

Lección 35: Ejercicios Propuestos.

Capítulo 8: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS.

Lección 36: Estudio de Series De Potencias.

Lección 37: Propiedades y Convergencia de las series de potencias.

Lección 38: Solución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante Series de potencias.

Lección 39: Solución de ecuaciones diferenciales de orden superior mediante Series de potencias.

6

Capítulo 9: FUNCIONES ESPECIALES Y SERIES MATEMATICAS. Lección 41: Funciones analíticas.

Lección 42: Series De Taylor.

Lección 43: Solución de ecuaciones diferenciales mediante Series de Taylor. Lección 44: Series de MacLaurín.

Lección 45: Ejercicios Propuestos. AUTOEVALUACION DEL CURSO

7

LISTADO DE TABLAS

Pag. Tabla 1………... 40

8 LISTADO DE GRÁFICOS Pag. 1) Gráfica 1 ……… 16 2) Gráfica 2 ……… 46 3) Gráfica 3 ……… 55 4) Gráfica 4 …..………... 55 5) Gráfica 5 ………. 56 6) Gráfica 6 ………...56 7) Gráfica 7 ………..105 8) Gráfica 8 ……….106

9

UNIDAD 1

Nombre de la Unidad ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Introducción Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una

ecuación de la forma

F x y y

( , , ')



0

En la que aparecen una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada. La razón por la cual a las ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales ordinarias1

En esta unidad trataremos los siguientes aspectos de mucha Importancia en la ingeniería y sus diferentes proyecciones a la solución de problemas así: estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden, clasificación, tipo, orden, linealidad y métodos de solución para las ecuaciones de variables separadas y homogéneas. Donde los tipos de ecuaciones diferenciales a trabajar principalmente son las exactas y las lineales, veremos sus características, su modo de identificación y la manera de resolver cada una de ellas, dando ejemplos, ejercicios explicativos y aplicaciones para esta unidad. Justificación Las ecuaciones diferenciales, de primer orden,

constituyen uno de los más importantes instrumentos teóricos y a su vez herramienta para la praxis y así interpretar y modelar fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad. Son por eso de especial importancia práctica y teórica para los ingenieros de cualquier rama. El área de los sistemas ha penetrado prácticamente en todas las áreas de la tecnología, porque permite abordar y manejar sistemáticamente aspectos de optimización y logro de comportamientos deseados. El área de los sistemas es transversal y genérica. Transversal por aplicarse a varias áreas de conocimiento: sistemas mecánicos, eléctricos, de procesos, humanos, económicos entre otras áreas, por eso se encuentra todo género de investigadores: ingenieros de todas las disciplinas, economistas, físicos, matemáticos entre otros. Intencionalidades

Formativas

· Reconoce y distingue una ecuación diferencial de primer orden.

· Clasifica ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo, orden y linealidad.

1

10

· Reconoce la diferencia entre una solución particular y una solución general de la ecuación diferencial.

· Define campo de direcciones correspondientes a la ecuación diferencial de primer orden.

· Identifica ecuaciones diferenciales de variables separadas y homogéneas.

· Emplea el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. · Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales homogéneas.

· Reconoce una ecuación diferencial exacta y las resuelve.

· Encuentra el factor integrante para una ecuación diferencial lineal.

· Resuelve ecuaciones diferenciales lineales.

· Identifica, distingue y resuelve correctamente ecuaciones diferenciales de Bernoulli.

· Realiza sustituciones adecuadas para poder resolver ecuaciones diferenciales con tipos ya conocidos empleando sustituciones.

· El estudiante plantea problemas correctamente

empleando la modelación con ecuaciones diferenciales de primer orden.

· Por último, resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantifica la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos.

Denominación de capítulos

1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

1.3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Introducción

Dejaremos de lado las funciones de dos o más variables y comenzaremos con el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, y así encontraras algunas definiciones importantes que nos permitirán el estudio de diferentes tipos y métodos de solución a la ecuación para luego ubicarlas en el fascinante mundo de las matemáticas como herramienta de aplicación a nivel socioeconómico y científico.

11

Se indican las estrategias que debes seguir para el provecho de la unidad, las mismas están orientadas a explicar los aspectos relacionados con las ecuaciones diferenciales, su estructura y aspectos básicos.

Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales.

Ver módulo de Cálculo diferencial y cálculo integral Unad 2010.

Lección 2: Concepto de una ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Son ejemplos de ecuaciones diferenciales las siguientes:

2 2

2

3

0

d y

dy

y

dx



dx





2 2

2

d y

x

dx



2 3 2

(1

)

d y

dy

dx

 

dx

( )

( )

7

0

f x



f



x



x



2 2

0

d y

y

dx





3

y

 

x

cos( )

0

y

 

x



3

2

y

  

y

x



12

5

0

y

x

x









5 3 4 3

6

u

u

x

x



_



_





En los anteriores ejemplos se observa que las ecuaciones cumplen la definición de ecuación diferencial, porque tienen derivadas de diferente orden y tipo (ordinarias y parciales), además en los ejemplos se observan diferentes notaciones de derivada como lo hemos aprendido en el cálculo diferencial. En resumen podemos decir que una ecuación que tiene derivadas se llama ecuación diferencial.

A través de los ejercicios y actividades de esta franja, tendrás la oportunidad de verificar la comprensión del material en el cual las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes y útiles; sin embargo su manejo requiere del conocimiento profundo de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial

Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir y sus derivadas en la ecuación la reduce a una identidad. Por ejemplo, derivando y sustituyendo es fácil comprobar que

y = e

-2x es una solución de la ecuación diferencial:

2

0

dy

y

dx





Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la forma

y = C e

-2x, solución general.

Donde C denota cualquier número real.

Derivando la ecuación

y = C e

-2x _derivando

y’ = -2C e

-2x

Reemplazando en la ecuación diferencial la función y su respectiva derivada, efectivamente existe una identidad

-2C e

-2x

_{= -2C e}

-2x

Ejemplo:

Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial: 2 2

0

d y

y

dx

 

a)

y = sen x

b) y = e

2x

13

c) y = 4e

-x

d) y = C e

x Averiguemos: a) Como

: y = sen (x)

cos( )

dy

x

dx



2 2

( )

d y

sen x

dx

 

2 2

–

2

0

d y

y

sen x

sen x

sen x

dx



 

 



Por tanto,

y



sen x

 

no es solución.

b) Como

y



e

2x ( , ) tf x y  _y

2 2 2

4

x

d y

e

dx



entonces 2 2 2 2 2

4

3

0

x x x

d y

y

e

e

e

dx

 







Por tanto, y = e2x no es solución.

c) Como

y = 4 e

–x

4

x

dy

e

dx



 

_y

d y

2₂

4

e

x

dx





_entonces 2 2

4

4

0

x x

d y

y

e

e

dx

 

 





14

d)

Como

y = C e

x x

dy

Ce

dx



2 2 x

d y

Ce

dx



2 2

0

x x

d y

y

Ce

Ce

dx

 





Por tanto

, y = C e

x

es solución.

Ejemplo: Solución particular

Para la ecuación diferencial

x

dy

3

y

0

dx





verificar que y = Cx

3

es solución y hallar la solución particular determinada por la condición inicial

y = 2

para cuando

x = -3

Solución:

Sabemos que y = Cx3 _{es una solución, ya que y’ = 3Cx}2, por lo tanto:





 

3

2

–

3

0

x 3 Cx

3 Cx

dy

x

y

dx







Además, la condición inicial y = 2 cuando x = -3 implica que la solución general esta dada por: y = C x3, al remplazar el valor de x que es la condición inicial se tiene:

2= (-3)3C por tanto C= -2/27

Luego concluimos que la solución particular es:

3

2

27

x

y

 

y = -2x3/27

Para determinar una solución particular, el número de condiciones iníciales ha de coincidir con el de constantes arbitrarias en la solución general.

Recordemos que la solución de una ecuación diferencial no es una sola función, sino todo un conjunto de funciones (familia de soluciones).

Ejemplo: 4

4

y

y





c

_{es la solución general de} 3

0

dy

x

dx





15

Derivando y Tenemos: 3

dy

x

dx



al sustituir en la ecuación diferencial, la convierte

en una identidad

x

3

= x

3

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas o familia de soluciones, una para cada valor asignado a la constante arbitraria C.

El término “condiciones iníciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0

El problema de valor inicial implica hallar la solución de una ecuación diferencial sujeta a una condición inicial Y(X0) = Y0, y es el punto de partida para encontrar la

familia de curvas.

Cabe aclarar que la solución del problema de valor inicial no es una familia de curvas, sino una curva de ellas que cumple las condiciones.

Ejemplo:

Al resolver la ecuación diferencial dy 2x

dx  es fácil observar que la solución general

es y = x2 + c generando una familia de curvas (familia de parábolas) y al dar una condición inicial se obtiene de esa familia de curvas una única curva, por ejemplo con la condición inicial y(2) = 5 _{tenemos que C=1 por tanto la curva es y = x}2+1 (veamos la gráfica demostrativa):

Grafica 1

Gráfica de color rojo es la única curva que satisface las condiciones iníciales y las otras curvas pertenecen a la familia de curvas solución.

16

Grafica del programa derive y Editor Matemático Mathtype Fuente: Esta investigación

Autor: Carlos Buchely

Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.

4.1 Clasificación por Tipo:

Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables

dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO):

Ejemplo: a)

dy

3

y

e

x

dx





, b) , c) 2 2

3

0

d y

dy

y

dx



dx





,

En el ejemplo b) podemos notar que hay dos variables dependientes y solo una variable independiente.

Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP)

Ejemplo: a) 2 2 2 2

0

d y

d y

dx



dz



, b) 2 2 2 2

u

u

u

x

v

v



_



_









, c)

0

du

dv

dx



dx



En estos estos ejemplos se nota que existen más de dos variables independientes, contrario a las ecuaciones diferenciales ordinarias que solo tiene una variable independiente.

4.2. Clasificación según el orden:

El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación:

Por ejemplo: a) 3 2 2

2

3

0

d y

dy

y

dx

dx







_

_









, esta ecuación es de orden 2, no debe

confundirse con el exponente 3 que esta definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.

17

b) y’’’+ 3y’’ – 3y’ – y = 0 es una ecuación de orden 3

c) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y’ = dy/dx.

4.3. Clasificación según la Linealidad:

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n)

. Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0 es:

1

1 1 0

( )

n

( )

n

( ) '

( )

( )

n n

a x y



a

_

x y



 

a x y



a x y



g x

En la combinación aditiva en el lado izquierdo de la anterior podemos afirmar que: La variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n)

son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,…, an dependen solo de la variable x.

Los ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales se tiene las siguientes:

a) 2 2 2

3

x

d y

dy

x

y

e

dx



dx





, b) y’’’ + y’’ + y = 0, c) (1-x) y’’ – 4xy’ + 5y = cos x

Los ejemplos de ecuaciones no lineales tenemos:

a) (1-y) y’’ – 2y=

e

x

, es una ecuación diferencial no lineal porque el coeficiente de la variable dependiente y’’ también depende de y.

b) y’’ + sen y = 0 Es una ecuación diferencial no lineal porque la función seno es función de y

c) y’’ + y2 = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y es 2, y no 1 para que sea lineal.

d) (y’’’)3 + xy’’ – 3y = 0, es una ecuación diferencial no lineal porque la potencia de la variable y’’’ es 3 y para ser lineal debe ser 1

Lección 5: Ejercicios propuestos

Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias.

18

A. Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden:

1)

dy

3

xy

x

2

dx





Sol. Ordinaria y de primer orden 2) 2 2

2

1

d y

dy

y

dx



dx

 

Sol. Ordinaria y de segundo orden 3) 2 2

4

t

d x

dy

x

e

dt



dt





Sol. Ordinaria y de segundo orden

4) 2 2

sec( )

u

du

t

t

dt



_

_



Sol. Parcial y de segundo orden. 5) 2 2 2

(

d y

)

3(

dy

) 4

y

0

dx



dx





Sol. Ordinaria y de segundo orden.

B. Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial.

1.

y



C cos x

1



C sen x

2

, 2 2

d y

y

o

dx

 

2. 1

2 x x

y



C e



cos x



C e



senx

, 2 2

2

2

0

d y

dy

y

dx



dx





3.

u



e

–t

sen bx

, 2 2 2

u

u

b

t

t



_







19

C. Hallar la solución particular que pasa por el punto (-4,4)

2 3

y



Cx

,

2x(

dy

) 3

y

0

dx





Autoevaluación Capitulo 1

1. En las siguientes ecuaciones diferenciales establece el orden, el tipo y la linealidad. 2 2 4 0 2 0 8 8 0 y y y y y d y dy x dx dx y y y y            

2. Verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial.

2 2 3

4

32;

8

1

2

0;

(

)

;

1

dy

y

y

dx

x dy

xydx

y

x

dy

dy

x

y y

x

dx

dx











 





 

3. verifique la solución de la ecuación diferencial dy 1 x

dx xy  

Donde su solución es y2 = 2(Ln (x) + x c) (como x > 0, no se necesita de valor absoluto).

- Grafique la familia de curvas o familia solución. - Encuentre una solución particular cuando y(1) = 4

20

Algunos casos importantes de Derivadas n n

―

-1

―

a. y = x y = nx b. y = c y = o s n cos n n e

―

-1

―

c. y = cx y = ncx d. y = x y = x cos s e n e e

―

x

―

x e. y = x y = x f. y = y = 1 g  

―

―

―

―

g. y = lnx y = x h. y = fx gx y = f x x 2 0 g g g g  

―

―

―

―

―

―

i. y = fx gx y = f x x + fx x fx j. y = gx gx f x x - fx x y = [gx]

21

Algunos casos importantes de Integrales - Capitulo 1

1 2

.

.

1

1

.

0

.

0

cos

. s

n

0

.

1

.

s

n

1

. sec

tan

. cos

. csc

n n

a

dx

b

dx

c

n

n

e

c

e

dx

c

n

n

a

d

a dx

c

a

Loga

Kx

e

e

Kxdx

c

K

K

dx

f

c

x

g

e

x

c

h

xdx

x

c

senKx

i

Kxdx

c

K

j

x dx

c











 







































_

_





















-1 nx nx x x 2 2

= x + c

x

x

=

=

=

=

= Lnx

=

x

=

=

= -ctgx

22

CAPITULO 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Introducción

En este aparte daremos a conocer técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Como lo es la solución de ecuaciones por el método de separación de variables, solución de ecuaciones diferenciales homogéneas, solución de ecuaciones exactas y utilización del factor integrante. Entonces se da a conocer los procedimientos respectivos y a su vez ejemplos que afianzaran el aprendizaje.

Una ecuación de primer orden y primer grado puede reducirse a la forma:

M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0

Siendo M y N funciones de X e Y



M x, y dx

 

 

N x, y dy

 



K

Siendo una solución de la ecuación.

Lección 6

:

Ecuaciones con variables separables

En este aparte comenzamos estudiando técnicas para resolver familias específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Como una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma:

( )

( )

dy

0

M x

N y

dx





Donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua de y solamente. Para este tipo de ecuaciones, todos los términos en x se pueden unir con dx y todos los términos en y con dy, y se obtiene una solución por integración. El procedimiento de resolución se denomina separación de variables. Los pasos necesarios son los siguientes:

1. Expresar la ecuación en forma diferencial:

De la siguiente ecuación:

M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0

23

2. Integrar para obtener la solución general:

( ) ( ) M x dx N y dyC





Despejando obtenemos: ( ) ( ) M x dx  N y dy C





Igualmente la ecuación por variables separables se define:

Definición: Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma:

( , ) dy

f x y

dx  se puede expresar como una función que depende solamente de x,

multiplicada por una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama separable. Es decir una ecuación es de variables separables si y solo si se puede escribir de la forma:

( ) ( ) dy

g x p y dx 

La forma de resolver las ecuaciones por variables separables es la siguiente: 1. Operamos por 1/p(y) ambos lados de la ecuación por tanto se

tiene: 1 ( )

( ) dy

g x p y dx 

2. Por conveniencia sustituimos h(y)= 1/p(y), luego h y( )dy g x( ) dx

3. Se sigue el paso al otro lado de la igualdad el diferencial dx, entonces h(y)dy = g(x) dx

4. Se integra ambos lados de la igualdad por lo tanto: h y dy( ) g x dx( ) 5. Finalmente se obtiene: H(y) = G(x) +C

6. La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita.

24

ECUACION DIFERENCIAL EN VARIABLES SEPARABLES

2

3

dy

0

x

y

dx





2

3y dy

 

x dx

(

senx

)

dy

cos

x

dx



dy



(tan )

x dx

2

1

y

dy

x

dx

e





1

2

1

y

dy

dx

e





x

EJEMPLO

Hallar la solución general de:

2

(x 4)dy xy dx  

Solución: Para empezar, observamos que y = 0 es una solución. Con el fin de hallar otras soluciones, supongamos y  0 y separamos las variables así:



2



x



4 dy



xy dx

Forma diferencial 2

4

dy

x

dx

y



x



Separar variables Integrando, obtenemos: 2 4 dy x dx y  x 





Integrar 2 1

1

(

4)

2

Ln y



Ln x

 

C

25 1 2

4

C

y



e

x



1 2

₄

C

y

 

e

x



Como y  0 también es solución, podemos escribir la solución general como:

2

4

y



C x



Solución general

Recuerde que en ciertos casos no es posible escribir la solución general en la forma explícita y=f(x), por tanto se puede utilizar la derivación explicita para verificar dicha solución.

Ejemplo:

2

₂

(

1)

0

x

x y dx e



y



dy



donde y es diferente de 0 Donde la solución general es

2 _{2 2}

ln

2

x

e



y



y



c

. Ejemplo

Por el método de separación de variables encuentre la solución general de la ecuación diferencial y encuentre su solución particular.

2

2

y

 

y



Con la condición y= 1/2 si

x = 4

Solución:

Por tanto por separación de variables

2 2

dy

y

dx

 

Entonces

2 2

dy

dx

y





integrando 2 2 dy dx y  





se tiene: 2 2 ln 2 y x c  _{ }

Remplazando la condición inicial c = - 4 por tanto la solución

particular es

ln

2 2

4

2

y

x



_{ }

(solución implícita). Ejemplo

Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (2,6) y tiene pendiente 2

y

x

26

Solución: como la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la

curva entonces 2

dy

y

dx



x

Separando variables e integrando se llega a

2 dy dx y  x



y



0

Entonces ln y 1 c x    donde (1/ )x c 1/x

y e



 



ce



como

y = 6 y x = 2

entonces

6 = C e

-1/2 luego

C = 6 e

1/2 por tanto la curva que se pide es

y = 6 e

1/2

e

-1/x simplificando

y



6

e

(1/2 1/ ) x

Al trabajar con las constantes en el método de separación de variables dicha constante aparece cuando integramos el lado derecho o sea dx por tanto utilizamos una sola constante C.

Lección 7: Ecuaciones Homogéneas

Una función f(x, y) es homogénea de grado n si para un número real n satisface la siguiente identidad:

( , )

n

( , )

f tx ty



t f x y

Veamos con ejemplos si la función es homogénea o no.

a)

f( x,y) = x

2

y – 4x

3

+ 3xy

2es una función homogénea de grado 3 porque:

f tx ty



,



=

   

tx

2

ty



4

 

tx

3



3

  

tx ty

2 =

     

3 2 3 3 3 2

4

3

t x y



t

x



t

xy

=

t

3



x y

2



4

x

3



3

xy

2



=

t f x y

3



,



27 /

( ,

)

x y

ty

f tx ty

txe

tysen

tx





/

(

x y

y

)

t xe

ysen

x





( , )

tf x y



c) f(x,y) = x + y2no es homogénea porque f(tx, ty) = tx + t2 y2

t x





ty

2





t

n



x



y

2



d)

f( x, y) = x

2

_2xy

Es homogénea de grado

2 2 2

(

,

)

(

)

2(

)(

)

(

,

)

(

2

)

f tx ty

tx

tx ty

f tx ty

t

x

xy









e)

f(x,y) = x

3

y – xy

3

+ 5

No es homogénea (verificar)

En una mayoría de casos se puede verificar si una función es homogénea si observas el grado de cada término de la función. Como ejemplo a lo anterior veamos ejemplos:

2 2 3

( , )

f x y



x y



y x



y

El grado de los 3 términos es 3 por tanto es homogénea de grado 3

5

( , )

12

f x y

 

x

xy

Esta función tiene dos términos de grado 5 y 2 respectivamente por tanto no es homogénea.

Ahora veamos si una ecuación diferencial es homogéneas.

DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: Si la ecuación diferencial tiene la forma:

M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0

Y cumple con la propiedad:

28

(

,

)

( ,

)

(

,

)

( ,

)

n n

M tx ty

t M x y

y

N tx ty

t N x y





Se dice que la ecuación diferencial es homogénea siempre y cuando tienen el mismo grado n.

MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Si la ecuación diferencial tiene el mismo grado de homogeneidad se pueden reducir a una ecuación de separación de variables utilizando una sustitución

y= ux

o

x = vy

Donde u y v son variables dependientes. Si elegimos

_{y= ux}

entonces

( ,

)

( ,

)[

]

0

dy

udx

xdu

M x ux dx

N x ux

udx

xdu











Por homogeneidad del mismo grado

[

M

(1, )

u



uN

(1, )

u dx



xN

(1, )

u du



0

Y por tanto por homogeneidad la ecuación se transforma a variables separadas y procedemos a resolverla con los procedimientos para separación de variables, explicado con anterioridad en el modulo.

Veamos lo anterior con ejemplos: Ejemplo: Resolver la ecuación: 2 2

dy

dy

y

x

xy

dx

dx





Solución: 2 2

(

)

0

y dx



x



xy dy



29

Aquí M = y2 y N = x2 - xy. Ambas son homogéneas y de segundo grado “X” y “Y”. Además tenemos.

2 2

dy

y

dx



xy



x

Haciendo la sustitución

y = ux

, se obtiene:

2

1

du

u

x

u

dx

u



 



O sea

udx x



(1



u du

)



0

A fin de separar las variables, dividimos por

ux

, esto da:

(1

)

0

du

u du

x

u







Integrando se tiene:

,

c u c u u

Lnx

Lnu

u

C

Lnux

C

u

ux

e

e

e

ux

Ce





 











Pero u y x

 Luego la solución general es:

y



Ce

y x/

El aprendizaje significativo permite al estudiante, tener mayor conciencia sobre lo que se aprende y de los procesos que utiliza para su consolidación, así como darse cuenta del arsenal de herramientas disponibles para abordar los retos. Ecuaciones Homogéneas. Son de la forma

.

y

y

f

x

 

   

_{ }

Se hace el cambio de la función y(x) por u(x) mediante y=ux, transformándose así la E.D. en una de variables separadas.

30

Ejemplo: resolver la ecuación

xy

2

dy

y

3

x

3

dx





La ecuación la escribimos

xy dy

2



(

y

3



x

3

)

dx



0

Como es una ecuación diferencial homogénea de grado 3 sustituimos

Y



ux

por

tanto 2 3 3

(

) (

)

((

)

)

0

dy

udx

xdu

x ux

udx

xdu

ux

x dx













Haciendo distribución y reduciendo la ecuación se tiene:

2 4 3

u x du



x dx

Como 2

1

0,

x

u du

dx

x





Integrando y33ln x 3c remplazando la sustitución

Y



ux

entonces

u



y / x

obtenemos

y

3



3

x

3

ln

x



3

cx

3

Ejemplo: Comprueba que la ecu

aci

ón diferencial

(

x y dx x dy



)





0

es homogénea de grado 1 y al resolver la ecuación su resultado es

ln

x

x

 

y cx

Lección 8: Ecuaciones exactas

Si en la ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0

El lado izquierdo corresponde a la derivada total de alguna función f (x,y) la ecuación diferencial es exacta.

Criterio de exactitud

Si M y N tienen derivas parciales continuas, entonces la ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es exacta si y solamente si:

M

N

y

x



_







31 a) La ecuación diferencial:



2



2

xy



x dx



yx dy



0

Es exacta porque:

2

M

N

xy

y

x



_



_







2



 

2

xy

x

2xy

yx

y

x















b) la ecuación

(y

2

+1) dx + xy dy = 0

no es exacta.

c) la ecuación cos y dx + (y2 + x sen y) dy = 0 no es exacta, a pesar de que difiere de la primera ecuación solamente en un signo.

En algunos casos se ve que una ecuación es exacta después de una agrupación adecuada de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término. Ejemplo: 2 2

(

x



y dx

)



(

y



x dy

)



0

Es exacta porque: 2 2

(

)

1

(

)

M

N

x

y

y

x

y

y

x

x



_



_

_{  }



_

_











Ejemplo: 3 4 2 2 3 2

(4

2

)

(3

)

0

12

2

x

xy dx

x y

x

dy

M

N

x y

x

y

x











_

_

_







La ecuación es exacta. Ejemplo: 3 3 3

(3

2 )

0

3

x x x

e y

x dx

e dy

M

N

e

y

x



















Ejemplo:

32

(cos

cos )

(

)

0

cos

y

y

x dx

senx xseny dy

M

N

seny

x

y

x













 









Solución de una ecuación diferencial exacta

El método de solución de la ecuación diferencial exacta es el siguiente:

1. Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta

M N

y x

 

  

2. Suponemos que existe una función f tal que f M x y( , ) x

 _ 

3. Encontramos f integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x y mantenemos constante y:

( , ) ( , ) ( )

f x y 



M x y dxg y , donde

g (y)

es la constante de integración.

4. Ahora derivamos f(x, y) con respecto a y por tanto se debe obtener N(x, y)

( ( , ) ( )) ( ) ( , ) ( , ) f M x y dx g y y y g y N x y M x y dx y  _  _{ }       





donde

5. Ahora integrando esta última ecuación obtenemos respecto a y obtenemos g(y)

6. Reemplazamos lo encontrado y tenemos en su totalidad la función a encontrar f(x,y).

Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial



_{2xy – 3x dx x – 2y dy 0}2







2





33

2xy 3x



2



2x

x – 2y



2



y

x















Podemos obtener la solución general

f x y

 

,

como sigue:

2

( ,

)

( ,

)

(2

3 )

f

x y





M x y dx





x



dx

2 3

( , )

( )

f x y



x y x

 

g y

Determinamos g( y) integrando N( x,y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de

f(x,y)

2 2 1 2 3 2 1

( )

( , )

( )

2

( , )

g y

N x y dy

g y

x

ydy

y

C

f x y

x y

x

y

C







 















Ejemplo: Resolver la ecuación

2 2

2

0

x

x

dx

dy

y



y



Verificando las derivadas M N 2x₂

y x y  _ _{ }   Suponemos f 2x x y  _

 integrando respecto a x tenemos:

2

( , ) x ( ) f x y g y

y

  Ahora derivamos respecto

a

y se tiene:

M y   N x  

34 2 2 ( ) f x g y x y  _{   }  Igualando a

N x, y

 

2 2 2 2

( )

x

x

g y

y

y





 



Entonces g’(x) por lo tanto g(y) = c donde c es una constante arbitraria.

Remplazando

2

( , )

x

f x y

c

y





_{esta es la función solución.}

Lección 9: El factor integrante

Cuando una ecuación diferencial no es exacta se puede convertir en exacta, multiplicando por un factor apropiado

u x y

 

,

,

llamado factor integrante de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si la ecuación diferencial

2 0

y dx



x dy



Ecuación no exacta

Es multiplicada por el factor integrante

u x y

 

,



,

x

la ecuación resultante

2

2

xy dx



x dy



0

_{Es una ecuación exacta}

Otro ejemplo: si la ecuación y dx – xdy =0 Ecuación no exacta

Si al multiplicarla por el factor integrante u x y( , ) 1₂ y  , la ecuación resultante: 2

1

0

x

dx

dy

y



y



Es una ecuación exacta.

Y luego se resuelve la ecuación de acuerdo a lo explicado anteriormente. Ahora cuando se presenta una ecuación diferencial exacta es necesario encontrar el factor integrante. Cómo encontrarlo?

Si

M x y dx

 

,



N x y dy

 

,



0

no es exacta entonces, se buscará un

factor integrante:

)

(

M

N

y

x

a si

f x

N



_







_

35

Función solo de x, entonces

( )

f x dx

e



es un factor integrante de la ecuación diferencial.

b)

Función de solo de y, entonces

( ) g y dy

e



es un factor integrante de la ecuación diferencial. Ejemplo 3 2 2 2 3 4 2 4 2

(2

2

)

(

3 )

0

8

2

6

1

2

2

3

y y y y y y y

xy e

xy

y dx

x y e

x y

x dy

M

xy e

xy e

xy

y

N

xy e

xy

x



































La ecuación no es exacta. Sin embargo, Luego: 4 ( ) M N y x g y M y  _   _{   }

(

)

M

N

y

x

si

g y

M



_







_{ }

3 2

8

y

8

4

M

N

xy e

xy

y

x



_



_

_

_





36

4

( )

₄

4

1

dy

g y dy

_Lny

dx

e

e

e

y





_



_

_

_

Es un factor integrante, al remplazarlo en la ecuación diferencial inicial la ecuación es exacta.

2

2 4

3

2

4

(2

xe

y

2

dy

x

)

dx

(

x e

x

3

x

)

dy

0

dx

y

y

y













EJEMPLO 3 2 2 2 4 3 2 3 2 3

(2

4

2

2 )

2(

)

0

4

4

4

4

2

2(2

1)

x y

x y

xy

xy

y dx

y

x y

x dy

M

x y

x

xy

xy

y

N

xy

x







































La ecuación es exacta.

2

M

N

y

x

xy

N



_







_

El factor integrante es 2 2 xdx _x

e





e

Si se introduce en la ecuación se convierte en:

2 2

3 2 2 2 4 3 2

(2

x y



4

x y



2

xy



xy



2 )

y e dx

x



2(

y



x y x e dy



)

x



0

Luego la ecuación diferencial es exacta.

Ejemplo 3



y

2

– 2 0

x dx





y dy



37

(

)

2

(2 )

0

M

My

y

x

y

y

N

y

x



_

_





_



Sin embargo como:

( , )

( , )

₂

₀

1

( )

( , )

2

y x

M

x y

N x y

_y

h x

N x y

y



_



 

Donde

e

xes un factor integrante. Multiplicando la ecuación diferencial dada por

e

x, obtenemos la ecuación exacta:



_{y e – x e dx 2y e dy 0}

2 x x





x



Se deja al lector para que los anteriores ejercicios sean resueltos por el método de ecuaciones diferenciales exactas.

Lección 10: Ejercicios Propuestos

Sistema de Aprendizaje Auto gestionado Asistido sostienen, que el aprendizaje es para toda la vida y el proceso de aprender también debe llevarse a cabo durante todo el tiempo que vivamos, además que cada individuo elabora y construye su aprendizaje y los procesos para lograrlo, de forma singular y de acuerdo a sus vivencias.

1. De acuerdo a las ecuaciones diferenciales dadas completa los cuadros que se piden: 1) 2 2 2 2 2 2 2 0 u u u u x y x y







 









  2) 6 4 3 6 4 3 d x d x d x x t dt dt dt    _{  }     3) ( ) ” x2  4 y x y  x  2  0 4) ₂ 1 2 3         ds r d ds dr 5) ₂ 2 dt y d t ( ) y  sen  0 6) ₂ 2 dt y d y ( ) t  sen  0

38 7) dy x y2 xex dx  8) x dy2  y dx2  ₀ Ecuació n Ordinaria o Parcial Orden Función incógnita Variables independien tes 1 2 Ordinaria 6 x(t) t 3 4 5 6 7 8 Tabla 1

2. Para las ecuaciones ORDINARIAS responde también a lo siguiente Ecuació n Lineal ¿SI o NO? Términos NO lineales Justificación de la NO linealidad 2 NO

 



_’’’



x

iv

x

Los coeficientes de la cuarta y de la

tercera derivada dependen de la variable dependiente 3 5 6 7 8

Ecuación Están en forma estándar ¿SI o NO?

(si NO lo están ponerlas en esa forma) Homogéne a ¿SI o NO? Término NO homogéne o 1 2 3 5 8 Tabla 2

39

2. Por separación de variables resuelva:

2 3 2

1.

3

1

2.

3.

4

1

2

4.

5.

(1

)

6.sec( )

cot(

)

dy

x

dx

dy

x

dx

y

xy

y

dx

y

dy

ysenx

dp

p

p

dt

x dy

x

y dy







 











4. Determine si la ecuación diferencial es homogénea y determine el grado

3 2 2

1.

( ,

)

8

x y

x y

f

x y

x

y







2

2. ( , )

f x y

  

(

x

y

1)

3. ( , )

f x y

cos(

x

)

x

y





4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y encuentre la solución particular. 2 3 3

1.

xy

dy

y

x y

, (1)

2

dx

 



2 2 2

2.

xtdx



x dt



t x



t dt t

, (0) 1



5. Determine si es exacta, si es exacta resuelva la ecuación por su método caso contrario si no es exacta, encuentre el factor integrante.

1.(2

x



y dx

)



(

x



6 )

y dy



0

2.(

x



y x

)(



y dx x x

)



(



2 )

y dy



0