Proporcionalitat i percentatges
Proporcions ... 2
Propietats de les proporcions ... 2
Càlul del quart proporcional ... 3
Proporcionalitat directa ... 3
Proporcionalitat inversa ... 5
El tant per cent ... 6
Coneixement Curs d’ESO Unitat
Proporcions
Una raó entre dos nombres és la relació que s’expressa per mitjà d’una divisió. Per exemple, l’expressió 3,3
1,5 és una raó. Si la divisió és entre dos nombres naturals la raó és una fracció. Així tenim que la raó 3
5 també és una fracció.
Com que les raons, en general, provenen de la relació entre dues magnituds, i els valors que pren una magnitud són sempre positius, en tot el text considerarem les raons com a divisions entre dos nombres positius.
La igualtat entre dues raons és una proporció. Les igualtats següents són proporcions:
3,3 1,1
1,5 =0,5
3 6
5 =10
Observa que la segona proporció és també una equivalència de fraccions. Els quatre nombres que determinen una proporció s’anomenen termes de la proporció, dos d’aquests termes són els extrems i els altres dos, els mitjans. En la primera de les proporcions anteriors els nombres 3,3 i 0,5 són els extrems, mentre que 1,5 i 1,1 són els mitjans.
Propietats de les proporcions
• En tota proporció es verifica que el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans. És a dir:
si a c a d · · b c
b = →d =
Vegem-ho en les dues proporcions escrites anteriorment:
3,3 1,1
1,5 =0,5 → es verifica que: 3,3 · 0,5 = 1,65 i 1,5 · 1,1 = 1,65
3 6
si a c a c a i a c c
b d b d b b d d
+ +
= → = =
+ +
Per exemple: a partir de la proporció 2 4
7 =14, sumant els numeradors i els denominadors obtenim una nova raó, 6
21; que verifica
6 2 6 4
i
21= 7 21=14
Càlul del quart proporcional
Donats tres termes d’una proporció, se’n pot calcular el quart. Aquest s’anomena el quart proporcional als altres tres.
Tenim la proporció 4
5 7
c
= , on c és el quart proporcional. Per la propietat de les proporcions es verifica la igualtat: 4 · 7 = 5 · c, igualtat que ens permet calcular el valor de c: 5c 28 c 28 5,6 c = → = = ; c = 5,6 és el quart proporcional. Obtenim la proporció: 4 5,6 5 = 7
Proporcionalitat directa
Observa la taula següent, en la qual s’indica l’import a pagar per la compra d’un determinat nombre de capses de galetes:
Capses de galetes 1 2 3 4 5 6
Import en € 2,5 5 7,5 10 12,5 15
Tal com figura a la taula, una capsa de galetes costa 2,5 €; si en comprem dues, en pagarem el doble, 5 €; si en comprem tres, pagarem 7,5 €, és a dir, el triple; i així successivament. El nombre de capses de galetes i l’import que cal pagar són dues magnituds directament proporcionals.
Per a cada dos parells de valors corresponents de la taula, podem escriure
una proporció. Per exemple: 1 2
2,5 = 5 ,
3 6
7,5 =15 ,
4 5
La constant de proporcionalitat de les magnituds de la taula és 0,4, ja que:
1 2 3 4 5 6
0,4 2,5 = =5 7,5 =10 =12,5 =15 =
O bé és 2,5; si considerem les raons inverses de les anteriors:
2,5 5 7,5 10 12,5 15
2,5
1 = =2 3 = 4 = 5 = 6 =
La proporcionalitat directa es caracteritza pel fet que si una magnitud es duplica o es triplica, l’altra també es duplica o es triplica. De la mateixa manera, si una es redueix a la meitat, l’altra també ho fa. Aquesta característica de les magnituds directament proporcionals es pot expressar de la manera següent:
Prenem una de les raons escrites anteriorment, per exemple: 1 2
2,5 = 5 . Si en permutem els mitjans obtenim una nova proporció: 1 2,5
2 = 5 .
Aquesta nova proporció no relaciona valors corresponents, un de cada magnitud, sinó que relaciona valors de la mateixa magnitud. La raó 1
2 és una raó de la magnitud nombre de capses, mentre que la raó 2,5
5 és una raó de la magnitud import.
En les magnituds directament proporcionals, són proporcionals les raons de valors corresponents i també són proporcionals les raons d’una magnitud en relació amb l’altra.
Si a i b són dos valors corresponents de dues magnituds directament proporcionals, aleshores: ab = k, on k és la constant de proporcionalitat. Dues magnituds són directament proporcionals si el quocient entre parells de valors corresponents és constant. Aquest valor s’anomena constant de
Proporcionalitat inversa
En l’apartat anterior hem vist models de proporcionalitat directa. Hi ha un altre tipus de proporcionalitat, més complexa que l’anterior, que és la proporcionalitat inversa; per treballar-la ho farem també a partir d’una taula de valors que relaciona dues magnituds:
Nombre de persones 1 2 3 4 5 6
Import en € 120 60 40 30 24 20
En la taula s’indica els diners que ha de pagar cada persona que participa en la compra d’un regal. Tal com s’observa, si augmenta el nombre de persones disminueix l’import que ha de pagar cadascuna.
Fixa’t, a més, que si es duplica el nombre de persones que participa en el regal, l’import que ha de pagar cadascuna es redueix a la meitat. En canvi, si el nombre de persones es redueix una tercera part, l’import individual es triplica.
Les magnituds nombre de persones i import que cal pagar són dues magnituds inversament proporcionals.
Prenem dues raons que relacionin dos valors consecutius de cada magnitud. És a dir, prenem dues raons, una de cada magnitud, per exemple:
1 2 i
120 60
Aquestes dues raons són inverses l’una de l’altra ja que: 1 120
1 2⋅ 60 =
Amb els quatre termes d’aquestes dues raons, podem establir una proporció:
1 60
2 =120
S’observa que la raó d’una magnitud és igual a la inversa de la raó de l’altra magnitud. Aquest és el motiu pel qual les dues magnituds s’anomenen inversament proporcionals.
Si observes amb atenció la taula anterior, podràs comprovar fàcilment que el producte dels parells de valors que es corresponen és sempre el mateix: 120. En efecte:
1 · 120 = 2 · 60 = 3 · 40 = 4 · 30 = 5 · 24 = 6 · 20 = 120
És lògic que sigui així, ja que si multipliquem el nombre de persones per la quantitat que aporta cadascuna, obtenim l’import del regal, que és de 120 €. Aquest tipus de comportament només passa en les magnituds inversament proporcionals.
La característica de les magnituds inversament proporcionals es pot expressar de la manera següent:
Mentre que en les magnituds directament proporcionals, treballades en l’apartat anterior, hem utilitzat que la relació entre els valors corresponents és
a k
b = , en les magnituds inversament proporcionals, utilitzarem la relació ab = k.
El tant per cent
Els percentatges o tants per cent apareixen sovint en els mitjans de comunicació: premsa, ràdio, televisió, etc. També s’utilitzen molt en el món de la publicitat, i en les ciències socials i les ciències naturals.
És a dir, el tant per cent relaciona un valor d’una magnitud amb el valor 100 de la mateixa magnitud. Així el 13 % el podem expressar amb la raó: 13
100. Si calculem el quocient que indica la raó, obtenim el tant per u; per exemple, en el cas del 13 %, el tant per u corresponent és 13 0,13
100= .
L’expressió d‘un tant per cent equival a una raó de denominador 100. Si a i b són dos valors corresponents de dues magnituds inversament proporcionals, aleshores: ab = k.
Dues magnituds són inversament proporcionals si en multiplicar els parells de valors que es corresponen s’obté el mateix resultat.
• Si volem calcular el 17 % de 30 mL, podem establir la proporció següent: 17
100 30 mL
x =
ja que el tant per cent és l’expressió d’una raó entre magnituds directament proporcionals. A partir de la proporció anterior, calculem el quart proporcional i trobem el valor de x, que és el tant per cent demanat:
17 30 mL
5,1mL 100
x = ⋅ =
• També el podem trobar calculant la fracció 17
100 de 30 mL: 17
· 30 mL 5,1 mL
100 =
• També podem multiplicar la quantitat pel tant per u: 0,17 · 30 mL = 5,1 m L
Aquest últim procediment és el més ràpid per calcular un percentatge, ja que només cal fer una multiplicació.
Habitualment els percentatges apareixen en els problemes de tipus comercial, tant en càlculs d’augment com de descompte de quantitats. També hi ha diferents maneres de resoldre’ls, però n’hi ha una que en facilita molt el càlcul i permet, de manera senzilla, resoldre qualsevol situació que es plantegi.
Volem determinar quin és el preu d’una calculadora que marca 12,40 € i està rebaixada un 15 %.
Per resoldre aquest problema podem seguir diferents processos, el més habitual seria el següent:
El 15 % de 12,40 € és:
0,15 · 12,40 € = 1,86 €.
Per tant, la calculadora està rebaixada 1,86 €, d’on obtenim que el preu final és de:
12,40 € – 1,86 € = 10,54 €.
Si la calculadora està rebaixada el 15 %, vol dir que hem de pagar el 85 % del preu marcat. Si ho expressem en tant per u, tindrem:
1 – 0,15 = 0,85.
Si multipliquem 0,85 per la quantitat inicial, obtenim directament el preu final: 0,85 · 12,40 € = 10,54 €.
Una expressió que ens facilita els càlculs en un problema de tipus comercial amb descomptes és la següent:
f = (1 – r)p
on f indica el preu final, r el tant per u de descompte i p el preu inicial, és a dir, abans del descompte.
Si apliquem aquesta expressió en el problema anterior, obtenim: f = (1 – r)p = (1 – 0,15)12,40 € = 0,85 · 12,40 € = 10,54 €
Observa que és el mateix procediment que hem fet servir en la segona manera de resoldre el problema.
Resolem ara un problema d’augment de preu, per exemple, volem saber quant pagaríem per un producte que marca 23,50 € i se li aplica un 8 % d’augment:
El 8 % de 23,50 € és:
0,08 · 23,50 € = 1,88 € 23,50 € + 1,88 € = 25,38 €
Fixa’t que si efectuem el producte: 1,08 · 23,50 € = 25,38 € ens dóna directament el resultat final. Per tant, per resoldre un problema de tant per cent d’augment, podem utilitzar l’expressió:
f = (1 + r)p
on f indica el preu final, r el tant per u d’augment i p el preu inicial, és a dir, abans de l’augment.
Aplicant aquesta expressió a l’últim exemple resolt, obtenim:
f = (1 + r)p = (1 + 0,08)23,50 € = 1,08 · 23,50 € = 25,38 €
Resumint, tenim una única expressió que ens permet resoldre de manera ràpida els problemes comercials, relatius a tants per cent d’augment o de
Només cal tenir present que si es tracta d’un descompte s’utilitza la resta de l’expressió, i si és un augment, la suma. És a dir:
Descompte: f = (1 – r)p Augment: f = (1 + r)p
