INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CONTROL DE UN MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA SIN ESCOBILLAS

(1)

INSTITUTO POLIT´

ECNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACI ´ON Y DESARROLLO

DE TECNOLOG´IA DIGITAL

MAESTR´IA EN CIENCIAS EN SISTEMAS DIGITALES

“CONTROL DE UN MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA

SIN ESCOBILLAS”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTR´IA EN CIENCIAS EN SISTEMAS DIGITALES

PRESENTA

ING. YAJAIRA SELENE QUEVEDO PILLADO

BAJO LA DIRECCI ´ON DE

DR. EDUARDO JAVIER MORENO VALENZUELA

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Control un motor de corriente

directa sin escobillas

Resumen

En este trabajo de tesis se presenta el desarrollo y diseño de controladores adapta-bles para el seguimiento de trayectoria de un motor de corriente directa sin escobillas. El funcionamiento de los esquemas de control comprendidos en este documento son com-probados con la realización de simulaciones y experimentos. As´ı mismo, se hace uso de proyectores para mejorar las estimaciones de algunos parámetros, y evitar que tomen valores negativos.

Los controladores estudiados en este trabajo son un controlador por modelo exacto pa-ra el seguimiento de tpa-rayectoria que requiere el conocimiento de todos los parámetros del motor, seguido de un controlador adaptable para seguimiento de trayectoria con la esti-mación de 14 parámetros del motor. Además, se expone una modificación del controlador adaptable logrado una reducción del número de parámetros estimados a 9 y finalmente se introduce un nuevo controlador adaptable para el seguimiento de trayectoria con la estimación de 7 parámetros con su correspondiente análisis de estabilidad.

Además, se muestra el desarrollo de una plataforma experimental para el ensayo de controladores en un motor de corriente directa sin escobillas, y la descripción de los componentes de la misma, la cual se utilizó para demostrar en forma práctica los controladores estudiados en este trabajo.

Palabras Clave: Motor de corriente directa sin escobillas, control adaptable, control de motores, experimentos, inversor trif´asico.

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Brushless direct current motor

control

Abstract

This thesis presents the development and design of adaptive controllers for trajectory tracking for brushless direct current motors. The performance of control schemes included in this document is evaluated by executing numerical simulations and real-time experi-ments. Two of the adaptive controller studied in this document incorporate projectors in the adaptation laws.

The controllers involved in this work are an exact model controller for trajectory tracking, adaptive controller for trajectory tracking with the adaptation of 14 parameters; adaptive controller with the adaptation of 9 parameters; and finally, a new adaptive controller for trajectory tracking with the adaptation of 7 parameters.

In addition, this document provides the description of an experimental platform for the testing of controllers in a brushless direct current motor, which was used to implement in real-time the studied controllers.

Keywords: Brushless direct current motor, adaptive controller, motor control, expe-riments, three-phase inverter.

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Dedicatoria

A los pilares de mi vida, Mar´ıa de Jesús Pillado Cordero y Ángel Rafael Quevedo Camacho, por su incondicional apoyo, motivación, confianza y cariño. Por ser un ejemplo de fortaleza, bondad y dedicación.

A mis hermanos Charity, Corina y Kevin por estar siempre ha mi lado y por compartir conmigo tantos buenos momentos.

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Agradecimientos

A mi director de tesis, Dr. Eduardo Javier Moreno Valenzuela, quien con su dedicación, sus conocimientos, su experiencia y su motivación, hizo posible lograr la culminación de este trabajo.

A mi comité tutorial, Dr. Roberto Sepúlveda, Dr. Juan José Tapia, Dr. Luis A. González y M.C. David Saucedo, por enriquecer mi trabajo con sus diversos puntos de vista y por dedicar parte de su tiempo en cada avance de tesis.

A mis compañeros Regino Pérez, Carlos Aguilar, Jorge Guzmán, Octavio Garc´ıa, Fatsin Cota, Daniel Gutiérrez, Gerardo Diaz, Kenia Picos, Ulises Orozco, Leopoldo Gaxiola y compañeros de generaciones cercanas, por su amena compañia durante en este camino, por su linda amistad, ayuda y apoyo.

A mi compa˜nero y amigo Rafael Fernando quien siempre me motiv´o a seguir adelante y me apoyo incondicionalmente.

Al Instituto Politécnico Nacional a través del Centro de Investigación y Desarrollo de Tecnolog´ıa Digital, CITEDI-IPN por abrirme las puertas para continuar con mi preparación profesional.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa, CONACYT por el apoyo econ´omico brindado.

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Contenido

1. Introducci´on 1 1.1. Antecedentes . . . 3 1.2. Objetivos . . . 4 1.2.1. Objetivo general . . . 4 1.2.2. Objetivos espec´ıficos . . . 4 1.3. Motivaci´on . . . 4 1.4. Aportaciones . . . 5

1.5. Organizaci´on del contenido por cap´ıtulo . . . 5

2. Preliminares 7 2.1. Control adaptable . . . 7

2.2. Teor´ıa de proyectores . . . 9

2.2.1. Proyectores para evitar valores negativos o cero en la estimaci´on de los par´ametros . . . 9

2.2.2. Proyectores para mantener el valor de la estimaci´on de par´ametros en un rango de valores . . . 10

2.3. Estabilidad en sentido de Lyapunov . . . 11

3. Modelo del motor de corriente directa sin escobillas 15 3.1. Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas . . . 15

3.1.1. Parte mec´anica del modelo trif´asico del motor . . . 15

3.1.2. Parte el´ectrica del modelo trif´asico del motor . . . 16

3.2. Modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas . . . 19

4. Controladores no lineales para seguimiento de trayectoria con compara-ci´on de desempe˜no 21 4.1. Controlador por modelo exacto . . . 22

4.1.1. Dise˜no del controlador . . . 22

(9)

CONTENIDO ii

4.1.2. Simulaciones num´ericas para el CME . . . 25

4.2. Controlador adaptable simple . . . 28

4.2.2. Simulaciones num´ericas para CAS . . . 32

4.3. Controlador adaptable con reducci´on de sobre-parametrizaci´on . . . 36

4.3.2. Experimentos para el controlador adaptable con reducci´on de sobre-parametrization . . . 41

4.4. Controlador adaptable propuesto . . . 48

4.4.1. Controlador adaptable de la parte el´ectrica . . . 48

4.4.2. Controlador adaptable de la parte mec´anica . . . 53

4.4.3. Experimentos para el controlador adaptable propuesto . . . 56

4.5. Comparaci´on y desempe˜no de controladores . . . 62

5. Conclusiones y trabajo futuro 63 A. Publicaciones 66 B. Transformaciones matriciales de Clarke y Park 67 B.1. Transformada de Clarke . . . 67

B.2. Transformada de Park . . . 69

C. Modulaci´on por espacios vectoriales 70 D. Inversor trif´asico para el motor de CD sin escobillas 77 E. Plataforma experimental 80 E.1. Computadora-PC . . . 80

E.2. Tarjetas para la adquisici´on de datos Sensorayr _{626 . . . .} ₈₁

E.3. Inversor trif´asico . . . 83

E.4. Tarjeta para monitoreo de las corrientes . . . 84

E.5. Tarjeta de filtro de corriente . . . 84

(10)

´

_{Indice de figuras}

1.1. Diagrama de un motor trif´asico . . . 2

1.2. Diagrama a bloques del sistema de control para el motor de CD sin escobillas. 5 2.1. Diagrama de b´asico de un sistema adaptable. . . 8

2.2. Gráfica de estimación de un parámetro con proyectores. . . 9

2.3. Gráfica de estimación de un parámetro con proyectores. . . 10

2.4. Concepto de equilibrio. . . 12

2.5. Noci´on de estabilidad. . . 13

3.1. Circuito equivalente del motor de CD sin escobillas. . . 16

4.1. Diagrama a bloques del controlador por modelo exacto . . . 25

4.2. Seguimiento de posici´on del controlador CME. . . 26

4.3. Seguimiento de velocidad del controlador CME. . . 27

4.4. Seguimiento de las corrientes del controlador CME. . . 27

4.5. Diagrama a bloques del control adaptable simple. . . 32

4.6. Seguimiento de posici´on del controlador adaptable simple. . . 34

4.7. Seguimiento de velocidad del controlador adaptable simple. . . 34

4.8. Seguimiento de corrientes del controlador adaptable simple. . . 35

4.9. Parámetros estimados de la parte mecánica del controlador adaptable simple. 35 4.10. Parámetros estimados de la parte eléctrica del controlador adaptable simple. 36 4.11. Diagrama a bloques del control con reducción de sobre-parametrización. . . 41

4.12. Seguimiento de posición del controlador con reducción de sobre-parametrización. . . 44

4.13. Seguimiento de velocidad del controlador con reducci´on de sobre-parametrizaci´on. . . 44

4.14. Seguimiento de corrientes del controlador con reducci´on de sobre-parametrizaci´on. . . 45

4.15. Estimación de parámetros parte mecánica. . . 45 iii

(11)

´_{INDICE DE FIGURAS} _iv

4.16. Estimación de parámetros parte eléctrica. . . 46

4.19. Diagrama a bloques del controlador propuesto. . . 56

4.20. Seguimiento de posici´on del controlador propuesto. . . 58

4.21. Seguimiento de velocidad del controlador propuesto. . . 59

4.22. Seguimiento de corrientes del controlador propuesto. . . 59

4.23. Estimación de parámetros parte mecánica. . . 60

B.1. Diagrama vectorial de Iabc y Iαβ . . . 68

C.1. Inversor trif´asico de dos niveles. . . 71

C.2. Estados de conmutaci´on de un inversor trif´asico representado en forma de vectores. . . 71

C.3. Diagrama vectorial obtenidos a partir de los estados de conmutaci´on trif´asico. 72 C.4. Sector I del diagrama vectorial. . . 73

C.5. Secuencia de conmutaci´on del sector I. . . 75

C.6. Secuencia de conmutaci´on de los vectores para los seis sectores. . . 76

C.7. Modulaci´on de onda caracterizada por el interruptor S1. . . 76

D.1. Inversor trif´asico. . . 77

D.2. Inversor trif´asico con protecci´on de sobre corriente tomado de [1]. . . 79

E.1. Diagrama a bloques de la plataforma experimental . . . 81

E.2. Fotograf´ıa de la plataforma experimental . . . 82

E.3. Diagrama de conexiones t´ıpicas de tarjeta Sensoray 626. . . 83

E.4. Diagrama a bloques del inversor trif´asico. . . 84

E.5. Diagrama de conexiones del circuito inversor. . . 86

E.6. Diagrama de conexiones del circuito inversor. . . 87

E.7. Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5. . . 87

E.8. Diagrama de conexiones del sensor de corriente NT-5. . . 87

E.9. Filtros para corrientes. . . 88

E.10.Motor de CD sin escobillas . . . 89

(12)

´

_{Indice de tablas}

4.1. Valores de los parámetros del motor. . . 26 4.2. Ganancias de control para control por modelo exacto. . . 26 4.3. Índices de desempeño para la simulación del controlador CME en las

ecua-ciones (4.19) y (4.23). . . 28 4.4. Ganancias de control para control adaptable simple. . . 33 4.5. Ganancias de adaptación para control adaptable simple. . . 33 4.6. Índices de desempeño para la simulación del controlador CAS en las

ecua-ciones (4.41). . . 33 4.7. Ganancias para el controlador con reducción de sobre-parametrización. . . 41 4.8. Ganancias de adaptación para control adaptable con reducción de

sobre-parametrización. . . 41 4.9. Condiciones iniciales de los parámetros estimados. . . 42 4.10. Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores. . . 43 4.11. Índices de desempeño para el controlador adaptable con reducción de

sobre-parametrización en las ecuaciones (4.62)-(4.63). . . 47 4.12. Ganancias de control para el controlador propuesto en experimento. . . 57 4.13. Ganancias de adaptació para control adaptable propuesto en experimento. 57 4.14. Tabla de valores de cotas inferiores para proyectores. . . 58 4.15. Indices de desempeño del controlador adaptable propuesto en las ecuaciones

(4.91) y (4.92). . . 61 4.16. Comparación de desempeño de controladores adaptables CAR y CAP. . . 62 C.1. Tiempo de encendido de vectores para cada sección. . . 74 E.1. Componentes del circuito inversor. . . 85 E.2. Conexiones de terminales de encoder . . . 89

(13)

Cap´ıtulo 1

Introducci´

on

Avances a finales de los ochenta en sistemas robóticos, máquinas de control numérico, máquinas de ensamble, y microprocesadores, permitieron el desarrollo de motores el´ ectri-cos [2].

En la actualidad, los motores eléctricos son una parte integral de las plantas indus-triales; no menos de 5 billones de motores son construidos en todo el mundo cada año. Debido a la creciente demanda por motores compactos y fiables se popularizó el motor de corriente directa sin escobillas; esto no hubiera sido posible sin la evolución de semi-conductores de potencia de bajo costo y materiales de imanes permanentes. Actualmente, estos motores están presentes desde las más sencillas aplicaciones del hogar, hasta en las aplicaciones más vanguardistas de la industria aeroespecial [3].

El motor de corriente directa sin escobillas, también conocido como BLDC (por sus siglas en inglés, brushless direct current ) son motores s´ıncronos trifásicos que cuentan con dos componentes principales: un rotor de imanes permanentes y un estator con múltiples devanados. Estos motores eliminan las escobillas y los anillos de conmutación utilizando un imán permanente que reduce considerablemente la frecuencia del mantenimiento.

Debido a su diseño, el motor CD sin escobillas es también conocido por otros nombres como BLDC, motor s´ıncrono de imanes permanentes (permanent magnet synchronous motor, PMSM), motor sin escobillas de imán permanente o simplemente motor de ima-nes permanentes. La vida útil de los imanes que conforman el rotor se ve afectada por temperaturas elevadas o por la presencia de un campo magnético externo. El motor se encuentra cubierto por una carcasa que lo protege contra el medio ambiente y la corrosión; además, sobre la carcasa se montan los soportes del eje del rotor, dispositivos de medición de velocidad y otros elementos que brindan una correcta instalación del mismo.

El movimiento de estos motores se realiza alimentando los devanados con una cierta secuencia de corrientes, es decir, para lograr cualquier movimiento se debe realizar un

(14)

2

Figura 1.1: Diagrama de un motor trif´asico

control de la corriente de los devanados. Otras caracter´ısticas destacables de los motores de CD sin escobillas son la producción de alto torque, la reducción significativa de fricción, tamaño reducido (comparado con motores de propiedades similares), una menor inercia en relación con los motores de inducción, buena disipación de calor, y la habilidad de operar a altas velocidades [4].

Conceptualmente, el motor de CD sin escobillas tiene una estructura como la mostrada en la figura 1.1. Aqu´ı se muestra un motor de 2 polos y 3 fases; los devanados del est´ator (a, b, c) son id´enticos pero separados entre si 120o₍2π

3 radianes), cada uno con Nsvueltas y

resistencia r. Los devanados del estátor generan campos magnéticos, estos se representan como los ejes a, b y c y los ejes magnéticos del rotor d y q [5]. La salida de corriente se representa por cruces y la entrada por puntos.

El desplazamiento angular el´ectrico es θe define la separaci´on entre el eje a y q. La

ve-locidad del campo magn´etico giratorio es ωe. El motor se alimenta de los voltajes trif´asicos

aplicados a los devanados del est´ator, estos voltajes generan un campo magn´etico giratorio con una velocidad angular ωe dada por:

ωe = 2πf, (1.1)

(15)

1.1 Antecedentes 3

con velocidad angular mec´anica ωm con:

ωe = npωm, (1.2)

donde np es el n´umero de pares de polos. De la ecuaci´on (1.2) se puede decir que los

motores con pocos pares de polos se utilizan para velocidades elevadas y los que cuentan con muchos pares de polos en aplicaciones de baja velocidad.

1.1. Antecedentes

Existen diversos precedentes en investigaciones en torno al motor de CD sin escobillas, acerca de diversas clases de controladores, estudio de los modelos del motor y aplicaciones espec´ıficas. A continuaci´on se presenta una breve descripci´on de la literatura relevante de trabajos anteriores.

Dawson et al. [6] propone el diseño de tres controladores de seguimiento de trayectoria para el motor de CD sin escobillas. El primero de ellos introduce el diseño del modelo d-q del motor de CD sin escobillas junto con un controlador sencillo por modelo exacto para seguimiento de trayectoria. El segundo es un control adaptable simple cuenta con una es-timación de 14 parámetros adaptables. El tercer y último controlador es una modificación del controlador adaptable simple, reduciendo la sobre-parametrización logrando la esti-mación de 9 parámetros adaptables. Estos controladores se exponen usando simulaciones y experimentos.

Langarica [5] muestra aspectos generales del motor de CD sin escobillas. Establece el modelo dinámico trifásico del sistema, el circuito equivalente del motor, una breve introducción de las transformaciones entre el modelo trifásico y el modelo d-q.

Salas [2] se presenta el modelo trif´asico y el modelo d-q del motor de CD sin escobillas junto a una breve descripci´on de la transformada de Park y Clarke.

Campa et al. [7] se describe en primer lugar las principales caracter´ısticas y el modelo electromec´anico completo de un sistema de motor de CD sin escobillas, incluyendo 3 esquemas de control:

control de posici´on PID,

control de posici´on PI + Control de velocidad P, y control de posici´on P + Control de velocidad PI.

(16)

1.2 Objetivos 4

1.2. Objetivos

Los objetivos de este trabajo de investigación se presentan por medio de un objetivo general y un conjunto de objetivos espec´ıficos que dejan en claro la finalidad de esta investigación y los cuales se muestran a continuación.

1.2.1. Objetivo general

Estudio e implementaci´on de diferentes t´ecnicas de control para un motor de corriente directa sin escobillas en tiempo real.

1.2.2. Objetivos espec´ıficos

Estudio y an´alisis detallado del motor de CD sin escobillas.

Estudio del modelo matem´atico trif´asico del motor de CD sin escobillas.

Estudio del modelo matemático transformado d − q del motor de CD sin escobillas. Estudio y estimación de parámetros de un motor de CD sin escobillas.

Estudio y análisis de algoritmos de control y simulaciones numéricas. Construcción de driver inversor para el motor de CD sin escobillas. Construcción de plataforma experimental.

Diseño, implementación y evaluación de controladores de controladores adaptables para el seguimiento de trayectoria.

1.3. Motivaci´

on

El motor de CD sin escobillas cuenta con un funcionamiento peculiar, ya que una de las caracter´ısticas principales es el requerimiento de un controlador para su funcionamiento. En la figura 1.2 se muestra el diagrama a bloques del sistema de control para el motor trifásico, en donde se observa que además del controlador existen transformadas vectoria-les para simplificar el diseño de control, un bloque de modulación de señal denominado SVM (por sus siglas en inglés vector space modulation) y un inversor trifásico, originando conjuntamente un problema de control compuesto.

El presente tema de tesis considera estudiar y analizar un conjunto de controladores adaptables que cuentan con la forma presentada en el la figura 1.2.

(17)

1.4 Aportaciones 5

Figura 1.2: Diagrama a bloques del sistema de control para el motor de CD sin escobillas.

1.4. Aportaciones

Las aportaciones del presente trabajo de tesis son

Dise˜no de un nuevo controlador adaptable de seguimiento de trayectoria para el motor de CD sin escobillas.

Prueba de estabilidad del nuevo controlador adaptable.

Construcci´on de plataforma experimental para la prueba de controladores.

Comparaci´on por medio de experimentos del nuevo controlador adaptable con res-pecto a un controlador ya reportado en la literatura.

Construcci´on de un inversor trif´asico para el control de un motores.

1.5. Organizaci´

on del contenido por cap´ıtulo

La organizaci´on de este documento est´a compuesta de la siguiente manera.

El cap´ıtulo 2 presenta un conjunto de temas que sirven como preámbulo para el desa-rrollo de tesis, entre los cuales se encuentran conceptos de control adaptable, teor´ıa de proyectores para estimación de parámetros en controladores adaptables y conceptos im-portantes del la teor´ıa de estabilidad de Lyapunov.

(18)

1.5 Organizaci´on del contenido por cap´ıtulo 6

En el cap´ıtulo 3 se presentan 2 modelos matemáticos del motor de CD sin escobi-llas. El primero de ellos es el modelo trifásico abc, obtenido mediante la ecuación que describe el voltaje que pasa por los devanados del motor. Seguido a esto se proporciona el modelo transformado d-q, obtenido con la aplicación de dos transformaciones conoci-das como transformada de Clarke y transformada de Park las cuales permiten pasar del modelo trifásico abc a un modelo simplificado d-q, facilitando el diseño y aplicación de controladores para el motor de CD sin escobillas.

El cap´ıtulo 4 es la parte más relevante de este documento, aqu´ı se muestran 4 diferen-tes controladores para el motor de CD sin escobillas. El primero de ellos es un controlador por modelo exacto para el seguimiento de trayectoria donde el controlador conoce cada uno de los parámetros con los que cuenta el motor. El segundo y tercero son controladores adaptables para seguimiento de trayectoria con la estimación de 14 y 9 parámetros del motor, respectivamente. El cuarto y último es un controlador adaptable para seguimien-to de trayecseguimien-toria propuesseguimien-to con la estimación de 7 parámetros del motor. Los 2 primeros controladores se encuentra acompañados de simulaciones y los siguientes de experimentos. Finalmente, se presenta una evaluación de desempeño y comparación entre los controla-dores.

Por ´ultimo, en el cap´ıtulo 5 se presentan las conclusiones de la investigaci´on y el trabajo futuro que se puede realizar en torno a este tema.

(19)

Cap´ıtulo 2

Preliminares

En este cap´ıtulo, se presentan los conceptos fundamentales necesarios para comprender con claridad el desarrollo y an´alisis de los controladores desarrollados en este trabajo de investigaci´on.

2.1. Control adaptable

El control adaptable es una técnica de diseño destinada para aplicaciones de alto desempeño en control de sistemas dinámicos con incertidumbre, la cual se supone carac-terizada por un conjunto de parámetros constantes desconocidos. Aun as´ı, el diseño de los controladores adaptables requiere del conocimiento preciso de la estructura del sistema a controlar, sin embargo a diferencia del control robusto, el control adaptable no necesita información sobre los l´ımites de estos parámetros inciertos o variables en el tiempo [8].

Una ventaja de esta clase de control es que si los parámetros de la planta cambian durante el funcionamiento, el controlador se ajusta a estos cambios permitiendo con ello un mejor desempeño del sistema. En un sistema no adaptable donde el controlador se diseña suponiendo los parámetros de la planta constantes, los cambios en los parámetros pueden llegar afecta negativamente el desempeño de la planta y/o del controlador. Otra ventaja de los sistemas de control adaptable es que no se requiere conocimiento de los parámetros exactos de la planta para el diseño del controlador. Es decir, el control adaptable incluye un conjunto de técnicas que permiten sistemáticamente un ajuste automático del control en tiempo real, con la finalidad de lograr o mantener un nivel deseado de rendimiento en el sistema de control cuando en el modelo dinámico los parámetros de la planta se desconoce y/o cambia en el tiempo.

Existen 2 posibles escenarios que se pueden presentar en un control adaptables:

(20)

2.1 Control adaptable 8

Figura 2.1: Diagrama de b´asico de un sistema adaptable.

En primer lugar, es cuando los parámetros del modelo dinámico de la planta son desconocidos pero constantes (por lo menos en una cierta región de la operación). En tales casos, aunque la estructura del controlador no dependerá en general de los valores particulares de los parámetros del modelo, el ajuste correcto de la parámetros del controlador no se puede hacer sin el conocimiento de sus valores.

El segundo caso, es que los parámetros del modelo dinámico de la planta cambian imperceptiblemente en el tiempo. Estas situaciones se producen por cambios en el medio ambiente o porque el modelo no lineal se ha simplificado a un modelo lineal. Con el fin de alcanzar y mantener un nivel aceptable del rendimiento del sistema de control cuando los cambios grandes y desconocidos en los parámetros del modelo se producen, un enfoque de control adaptable tiene que ser considerado. En tales casos, la adaptación operará la mayor parte del tiempo, razón por la cual también es llamado adaptación continua. En la figura 2.1 se muestra un diagrama básico de control adaptable.

Un fundamento importante del control adaptable es la estimación de parámetros. Entre los métodos comunes para la estimación de parámetros se encuentran: m´ınimos cuadrados recursivos y gradiente descendente. Ambos métodos, proporcionan leyes de actualización que se utilizan para modificar las estimaciones en tiempo real. La estabilidad de Lyapunov se utiliza para derivar las leyes de actualización y el criterio de convergencia. La proyección (matemática) y la normalización se utilizan comúnmente para mejorar la robustes de los algoritmos de estimación [9].

(21)

2.2 Teor´ıa de proyectores 9

Figura 2.2: Gráfica de estimación de un parámetro con proyectores.

2.2. Teor´ıa de proyectores

Debido a la convergencia de los parámetros del motor, es posible implementar el uso de proyectores, herramienta presentada en [10] y [11], que ayuda a que la convergencia de los parámetros sea mas rápida y se mantenga acotada en un rango de valores permisibles o que ayuden a que la estimación de los parámetros no llegue a un valor negativo o cero, evitando con ello singularidades.

2.2.1. Proyectores para evitar valores negativos o cero en la

es-timaci´

on de los par´

ametros

Para evitar que la estimación de un parámetro sea negativa o en un caso particular llegue a ser cero, se implementa el uso de un proyector sencillo presentado en [11], el cual consiste en limitar la estimación del parámetro a una cota minima, es decir, se determinan las condiciones necesarias para que la solución de un valor estimado ˆθi no descienda de

un valor deseado, tal como se muestra a continuaci´on

˙˜ θi = −˙ˆθi =      γiφi, si ai < ˆθi, −γiφi, si θˆi ≤ ai y φi ≤ 0, γiφi, si θˆi < ai y φi > 0, (2.1)

donde, ai es la cota inferior de los valores posibles a tomar por ˆθi, γi es una ganancia de

adaptación positiva, φi es la ley de adaptación para calcular la estimación del parámetro

ˆ

θi. En la figura 2.2 se ilustra la estimaci´on de un par´ametro con el uso de esta clase de

(22)

2.2 Teor´ıa de proyectores 10

Figura 2.3: Gráfica de estimación de un parámetro con proyectores.

2.2.2. Proyectores para mantener el valor de la estimaci´

on de

par´

ametros en un rango de valores

Otra clase de proyectores son los presentados en [10], usados cuando se tiene noción de un rango de valores que debe de tener el parámetro estimado. Básicamente la imple-mentación de los proyectores se hace en cada uno de los estados en que se calculan los parámetros, basados en la regla de la ley de adaptación dada por

˙ˆθi = [proj(ˆθ, φ)]i =                γiiφi, si ai < ˆθi < bi o si θî ≥ bi < bi y φi ≤ 0 o si θî ≤ ai y φi ≥ 0, γii(1 + bi−ˆ_δθi)φi, si θî ≥ bi y φi ≥ 0, γii(1 + ˆ θi−ai δ ), si θî ≤ ai y φi ≤ 0, (2.2)

donde γii es una ganancia positiva, ˆθi es el par´ametro estimado, ai es la cota inferior de

los valores posibles a tomar por ˆθi, bi es la cota superior de los posibles valores a tomar

por ˆθi, δ > 0 es un número suficientemente pequeño y φi es la ley de adaptación para los

par´ametros.

Para los controladores adaptables las estimaciones algunas veces llegan a un valor aceptable en un periodo corto de tiempo, por lo que la implementación de proyectores no es estrictamente necesaria, sin embargo para algunos otros, el uso de proyectores ayuda significativamente a la adaptación de los parámetros. En la figura 2.3 se muestra una gráfica ejemplificado una estimación de un parámetro con sus limites inferior ai y superior

(23)

2.3 Estabilidad en sentido de Lyapunov 11

2.3. Estabilidad en sentido de Lyapunov

Uno de los conceptos primarios en control es la estabilidad. Sin la estabilidad, el resto de especificaciones como: convergencia, rapidez del transitorio, oscilaciones reducidas, rechazo de perturbaciones, robustes, carecer´ıan de sentido.

Para el caso de sistemas lineales el concepto de estabilidad es claro, es decir, es la condición necesaria y suficiente bien conocida, parte real negativa de todos los polos de la función de transferencia o de los valores propios de la matriz de transición de estados. Además existen criterios sencillos que permiten analizarla, tales como los criterios de Routh-Hurwitz y de Nyquist. Sin embargo cuando se tratan sistemas no lineales, estos métodos no tienen validez [12].

La riqueza dinámica de los sistemas no lineales presenta ciertos fenómenos que no se evidencian al estudiar los sistemas lineales. Uno de estos fenómenos es la existencia de múltiples puntos de equilibrio aislados. Un sistema lineal puede tener un solo punto de equilibrio aislado, y por lo tanto un solo estado de régimen estacionario. En cambio, los sistemas no lineales pueden tener varios puntos de equilibrio, y la convergencia a uno estable depende del estado inicial. Debido a esto, resulta importante estudiar la estabilidad de los diferentes puntos de equilibrio de los sistemas no lineales para comprender su comportamiento.

Entre las teor´ıas que realizan el análisis de estabilidad de sistemas no lineales, se encuentra la teor´ıa basada en Lyapunov, que tiene un lugar destacado por la riqueza en la descripción de los diversos conceptos y los métodos para el análisis de estabilidad que establecen condiciones suficiente para un sistema conserve la estabilidad [13].

Para complementar la adecuadamente los conceptos de estabilidad, el resto de la pre-sente secci´on se basa en las referencias [13] y [14].

La teor´ıa de estabilidad de Lyapunov, tiene como principal objetivo estudiar el com-portamiento de sistemas din´amicos descritos por ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma.

˙x˙

x˙x = fff (t, xxx), xxx ∈ IRn, t ∈ IR+, (2.3)

donde, xxx ∈ IRncorresponde al estado del sistema representado en la ecuación (2.3). Entre los conceptos básicos de la teor´ıa de estabilidad de Lyapunov destacan los siguientes: Definición 2.1 (Equilibrio) Un vector constante xe ∈ IRn es un equilibrio del sistema

(2.3) si:

f (t, xe) = 0, ∀t ≥ 0.

(24)

Figura 2.4: Concepto de equilibrio.

que:

x(t) = xe, ∀ t ≥ t0 ≥ 0,

˙

x(t) = 0, ∀ t ≥ t0 ≥ 0.

En la figura 2.4, se representa el caso de x(t0) ∈ IR2. El estado inicial x(t0) es precisamente

xe, as´ı la evoluci´on de la soluci´on x(t) corresponde exactamente al valor constante xepara

todo tiempo t ≥ t0.

Otra definici´on importante es la estabilidad que es definida bajo las consideraciones del equilibrio de ecuaciones diferenciales y no por las propias ecuaciones. Para introducir esta definici´on suponga que x = 0 es un equilibrio de (2.3).

Definición 2.2 (Estabilidad) El origen es un equilibrio estable (en sentido de Lyapu-nov) de la ecuación (2.3), si para cada número ε > 0 se puede encontrar un número δ > 0 tal que:

k x(0) k< δ ⇒k x(t) k< ε, ∀ t ≥ 0, (2.4) entonces el origen del espacio de estados es estable.

La definici´on de estabilidad requiere la existencia de un δ > 0 para cada ε > 0 y no para alg´un ε > 0. En la figura 2.5, se ilustra el concepto de estabilidad, la trayectoria con un estado inicial x(t0) ∈ IRn de tal manera que el origen de estados x = 0 ∈ IRn es

un equilibro estable. También se observa en la figura 2.4, donde ε y δ deben satisfacer la condición de la definición de estabilidad, esto es, kx(t0)k < δ implica que kx(t)k < ε para

todo t ≥ t0 ≥ 0.

Definici´on 2.3 (Estabilidad uniforme) El origen es un equilibro estable en sentido de Lyapunov, si para cada n´umero ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que (2.4) se cumpla.

(25)

Figura 2.5: Noci´on de estabilidad.

Definición 2.4 (Estabilidad asintótica) El origen del espacio de estados es un equi-librio asintóticamente estable del sistema (2.3) si:

1. El origen estable.

2. El origen es atractivo, es decir, existe un n´umero δ0 = δ0(t0) > 0 tal que:

k x(0) k< δ0 ⇒k x(t) k→ 0 cuando t → ∞. (2.5)

Definición 2.5 (Estabilidad asintótica uniforme) El origen del espacio de estados es un equilibrio uniforme asintóticamente estable del sistema (2.3) si:

1. El origen es uniformemente estable.

2. El origen es uniformemente atractivo, esto es que existe un n´umero δ0 > 0 tal que (2.5) se mantiene con una velocidad de convergencia independiente a t0.

Definición 2.6 (Estabilidad asintótica global) El origen del espacio de estados es un equilibrio global y asintóticamente estable del sistema (2.3) si:

1. El origen estable.

2. El origen es atractivo para todo x(0) ∈ IRn, es decir:

k x(t) k→ 0 cuando t → ∞, ∀ x(t0) ∈ IRn, t0 ≥ 0.

Un equilibrio global asintóticamente estable implica que dicho equilibrio es también asintóticamente estable, pero lo contrario, es falso.

(26)

Definición 2.7 ( Estabilidad global asintótica uniforme) El origen de espacios de estados es un equilibro global asintóticamente estable de la ecuación (2.3) si:

1. El origen es uniformemente estable con δ(ε) en la definici´on de estabilidad uniforme que satisfaga δ(ε) → ∞ cuando ε → ∞ (uniformemente acotada) y

2. El origen del espacio de estados es globalmente atractivo, esto es para todo x(t0) ∈

IRn y todo t0 ≥ 0

k x(t) k cuando t → ∞ (2.6)

con una velocidad de convergencia independiente a t0.

Definici´on 2.8 ( Estabilidad exponencial global) El origen del sistema (2.3) es glo-balmente exponencialmente estable, si existe una constante positiva α y β, independiente de t0 tal que:

(27)

Cap´ıtulo 3

Modelo del motor de corriente

directa sin escobillas

En este cap´ıtulo, se presentan dos modelos matemáticos del motor de CD sin escobillas, el primero de ellos es el modelo trifásico también conocido como el modelo abc, que se obtiene mediante el circuito equivalente del motor de CD sin escobillas, posteriormente se describe el modelo transformado, popularmente llamado el modelo d-q.

El presente cap´ıtulo est´a inspirado de la referencias [5], [6] y [15].

3.1. Modelo abc del motor de corriente directa sin

escobillas

El modelo del motor de corriente directa sin escobillas se puede dividir en su parte mecánica y eléctrica, presentado a continuación.

3.1.1. Parte mec´

anica del modelo trif´

asico del motor

El modelo dinámico de la parte mecánica del motor con carga pendular, está dado por:

M ¨q + B ˙q + N sin(q) = τ, (3.1)

donde, M es una constante positiva relacionada a la inercia mecánica del sistema (incluida la inercia del motor), N es una constante positiva relacionada con la masa de la carga y el coeficiente de gravedad y B es un coeficiente positivo de la fricción viscosa y τ representa el torque electromecánico.

(28)

3.1 Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas 16

Figura 3.1: Circuito equivalente del motor de CD sin escobillas.

3.1.2. Parte el´

ectrica del modelo trif´

asico del motor

En este apartado, se desarrollarán las ecuaciones del modelo matemático trifásico del motor de CD sin escobillas. El circuito equivalente del motor se muestra en la figura 3.1. Por construcción los devanados tienen la misma resistencia representada por rs, las

corrientes de los devanados son dadas por ia, ib y ic y los voltajes para cada fase del

est´ator est´an dados por Va, Vb y Vc, los sub´ındices a, b y c se usa para referirse a cada uno

de los devanados. Las ecuaciones del motor se deducen bajo las siguientes suposiciones seg´un [15]:

La distribución espacial de los devanados por fase del estátor se asume que es sinu-soidal, por lo tanto, la fuerza magnetomotriz producida por el estátor se considera sinusoidal.

No existe ningún efecto térmico sobre las resistencias del estátor ni sobre el imán permanente.

El material magnético se supone lineal, es decir, que no existe efecto de saturación. No existen pérdidas en el entre hierro de la máquina.

Con estas suposiciones es posible obtener las ecuaciones del voltaje para los devanados del est´ator. En la representaci´on matricial de las ecuaciones, el sub´ındice s hace referencia

(29)

3.1 Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas 17

al estátor y la ecuación de los voltajes trifásicos del motor es dada por Vabcs= RsIabcs+

d

dtλabcs, (3.2)

donde, el vector Vabcs es el voltaje del est´ator por fase, Rs es la matriz de resistencias de

las bobinas del est´ator, iabcs es el vector de corrientes por fase del est´ator, y λabcs es el

vector del flujo concatenado del est´ator, definidos expl´ıcitamente como

Vabcs=    Va Vb Vc   , (3.3) Rs =    rs 0 0 0 rs 0 0 0 rs   , (3.4) iabcs=    ias ibs ics   , (3.5) λabcs=    λas λbs λcs   . (3.6)

El flujo concatenado del estátor es creado por el mismo flujo del estátor y por el flujo de los imanes permanentes del rotor, por este motivo existen dos sub´ındices: r referente al rotor y s al estátor. El flujo concatenado creado por el estátor se obtiene de la matriz de inductancias de las bobinas del estátor y el vector corriente del estátor, además el flujo concatenado creado por el rotor se obtiene de un vector que contempla el ángulo eléctrico del rotor (θr) y la amplitud del flujo vista desde el estátor, que es creada por los imanes del

rotor. La ecuación que define el flujo concatenado del motor está dada por (3.7), definida bajo la suma del flujo concatenado del estátor y del rotor dados por las ecuaciones (3.8) y (3.9), respectivamente. Esto es,

(30)

3.1 Modelo abc del motor de corriente directa sin escobillas 18 donde λabcs(s) =   

Laas Labs Lacs

Lbas Lbbs Lbcs Lcas Lcbs Lccs   iabcs, (3.8) λabcs(r)=    sin(θr) sin(θr− 2π₃ ) sin(θr+2π₃ )   . (3.9)

Por medio de las ecuaciones (3.10) se permite el cálculo de las auto-inductancias e induc-tancias de los devanados del estátor y del rotor respectivamente, donde las inductancias son dadas en función de la posición del rotor o ángulo eléctrico del rotor (θr).

Laas = Lls+ LA− LBcos(2θr), (3.10) Lbbs = Lls+ LA− LBcos 2θr+ 2π 3 , Lccs = Lls+ LA− LBcos 2θr− 2π 3 , Labs = Lbas = − 1 2LA− LBcos 2θr− 2π 3 , Lacs = Lcas = − 1 2LA− LBcos 2θr+ 2π 3 , Lbcs = Lcbs = − 1 2LA− LBcos(2θr),

donde Lls es la inductancia de dispersi´on, es decir son las l´ıneas de flujo que se cierran

sin pasar por otro devanado, también consideradas perdidas de flujo. De manera similar se realiza el mismo procedimiento para cada una de las tres fases del estátor. La señal θr

es el ángulo eléctrico del rotor o ángulo mecánico, siempre y cuando el número de polos sea el mismo. Los términos LA y LB son las inductancias de los devanados, dadas por

LA= Ns 2 2 πµ0rlε1, (3.11) LB = 1 2 Ns 2 2 πµ0rlε2, (3.12)

(31)

3.2 Modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas 19 donde ε1 = 1 2 1 gmin + 1 gmax , (3.13) ε2 = 1 2 1 gmin − 1 gmax ,

Nses el n´umero de vueltas en las bobinas, r es el radio del devanado desde el centro hasta

la circunferencia interior del est´ator, l es la longitud axial del entre hierro del devanado, µ0 corresponde a la permeabilidad del aire, gmin y gmax son el grosor m´aximo y m´ınimo

del entre hierro, respectivamente.

De acuerdo a (3.2) y sustituyendo los t´erminos correspondientes, se obtiene la siguiente ecuaci´on matricial del modelo del motor:

   Va Vb Vc   =    Rs 0 0 0 Rs 0 0 0 Rs       Ia Ib Ic   + d dt      

Laas Labs Lacs

Lbas Lbbs Lbcs Lbcs Lcbs Lccs       Ia Ib Ic   + λm    sin(θr) sin(θr−2π₃) sin(θr+2π₃)      . (3.14) Sin embargo, este sistema cuenta con algunas dificultades para su uso como

el sistema de ecuaciones diferenciales es no lineal, y existen t´erminos que dependen del ´angulo θr.

Para poder resolver estos problemas es posible transformar el sistema y obtener un modelo del motor, que será representado por ecuaciones más sencillas de analizar y de tratar. Para lograr el objetivo se requiere usar dos transformaciones matriciales de llamadas transformada de Clark y transformada de Park, presentadas en el apéndice B, obteniendo como resultado el modelo de ecuaciones transformadas y simplificadas a 2 fases, conocido como modelo d-q.

3.2. Modelo d-q del motor de corriente directa sin

escobillas

El modelo del motor de CD sin escobillas mostrado a continuación fue propuesto por [6], el cual asume que el circuito magnético es lineal, los devanados del motor se encuentran conectados en estrella, y el eje del motor se encuentra ensamblado a un brazo robótico de un solo enlace. El modelo del motor de CD sin escobillas procedente de la simplificación del sistema de ecuaciones trifásicas abc dado en (3.1) y (3.14) es conocido como: modelo transformado d-q, en donde se simplifica las 3 ecuaciones eléctricas del modelo trifásico

(32)

3.2 Modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas 20

abc, a un modelo compuesto por una ecuación que representa la parte mecánica del motor y dos mas que representan la parte eléctrica del motor.

El modelo d-q es representado por las siguientes ecuaciones, en donde con un abuso de la notaci´on, el sub´ındice00a00 refiere a la fase 00d00 y el sub´ıncice00b00 refiere a la fase00q00, resultantes de las transformaciones de Park y Clarke. Espec´ıficamente, el modelo d-q del motor de corriente directa sin escobillas es dado por

M ¨q + B ˙q + N sin(q) = (KbIb+ 1)Ia, (3.15)

LaI˙a = −RIa− npLbIbq − K˙ τ 2q + V˙ a, (3.16)

LbI˙b = −RIb+ npLaIaq + V˙ b, (3.17)

donde Kτ 2y Kbson dos constantes positivas de transmisi´on de torque, M es una constante

positiva relacionada a la inercial mecánica del sistema (incluida la inercia del motor), N es una constante positiva relacionada con la masa de la carga y el coeficiente de gravedad y B es un coeficiente positivo de la fricción viscosa. Los sub´ındices a y b hacen referencia a los ejes de cuadratura (o bien, a los ejes de cuadratura d-q). Los parámetros y variables del motor se definen de la siguiente manera: La y Lb representa las inductancias de los

devanados ya transformadas, R es una constante positiva de resistencia en los devanados, np es el n´umero de pares de polos de imanes permanentes en el rotor, q(t), ˙q(t) y ¨q(t)

representan la posici´on, velocidad y aceleraci´on respectivamente, Ia(t) e Ib(t) representan

las corrientes transformadas en los devanados. Finalmente, Va(t) y Vb(t) simbolizan los

voltajes en los devanados ya transformados.

El modelo simplificado d-q es el que se estar´a manejando para el desarrollo y an´alisis de los controladores estudiados en este trabajo.

El ap´endice B describe las transformaciones de Clarke y Park, con las cuales el modelo (3.14) se transforma en (3.15)-(3.17).

(33)

Cap´ıtulo 4

Controladores no lineales para

seguimiento de trayectoria con

comparaci´

on de desempe˜

no

En este cap´ıtulo se introduce la aportación más importante en este documento, com-prendido por el desarrollo de 4 controladores para el motor de CD sin escobillas. Prime-ramente se presenta un controlador por modelo exacto denominado por sus siglas como CME, seguido por el desarrollo de tres controladores adaptables para el seguimiento de trayectoria. El primero de ellos se denomina controlador adaptable simple, tambien de-nominado por sus siglas como CAS, con una estimación de 14 paraámetros del motor. El segundo controlador estudiado es una modificación de este controlador conocido como controlador adaptable con reducción de sobre−parametrización, denominado por sus siglas como CAR, el cual cuenta con una estimación de 9 parámetros del motor. Finalmente, se presenta el controlador adaptable propuesto, conocido por sus siglas como CAP con una estimación de 7 parámetros del motor.

Con la medici´on de la posici´on q(t), velocidad ˙q(t) y las corrientes de las fases del motor Ia(t) y Ib(t), el objetivo de control es lograr el seguimiento de trayectoria, es decir,

se pretende que el error de seguimiento entre una trayectoria deseada qd(t) y la trayectoria

del motor q(t) tienda a cero cuando el tiempo tiende a infinito, tal como se muestra en la ecuaci´on

l´ım

t→∞e(t) = 0, (4.1)

donde el error de posici´on esta dado por

e = qd− q. (4.2)

(34)

4.1 Controlador por modelo exacto 22

Para simplificar el dise˜no y an´alisis del control se define un error de seguimiento filtrado dado por r(t) como

r = ˙e + αe, (4.3)

donde, α es una ganancia de control positiva, y ˙e se refiere al error de velocidad, rescri-biendo la ecuaci´on se tiene que la derivada del error filtrado es

˙r = (¨qd+ α ˙e) − ¨q. (4.4)

4.1. Controlador por modelo exacto

El control por modelo exacto es una técnica de diseño de control de sistemas. Este controlador es presentado en la literatura por Dawson et al. [6], y en este trabajo este controlador es denominado sus siglas como CME. Una caracter´ıstica importante de esta técnica es que se requiere del conocimiento preciso de la estructura del sistema a controlar y de los parámetros exactos del motor para su implementación. Una desventaja de este esquema de control es que pueden verse afectado fácilmente cuando se presentan cambios en los valores de los parámetros, perjudicando directamente el funcionamiento de la planta.

4.1.1. Dise˜

no del controlador

Basado en el objetivo de control mencionado anteriormente y conociendo la estructura del sistema y los parámetros del motor, se requiere diseñar un controlador para el segui-miento de trayectoria del sistema dinámico dado por las ecuaciones (3.15)-(3.17) reescritas en términos del estadoh r ηa ηb

i

∈ IR3 como

M ˙r = Wτθτ − Ida+ ηa− KbIaIdb+ 1 + KbIaηb, (4.5)

Laη˙a = LaI˙da+ RIa+ npLbIbq + K˙ τ 2q − V˙ a, (4.6)

Lbη˙b = LbI˙db+ RIb− npLaIaq − V˙ b, (4.7)

donde Wτ(q, ˙q, t) ∈ IR1×3 es la matriz de regresi´on

Wτ = h ¨ qd+ α ˙e q sin(q)˙ i , (4.8)

el vector de par´ametros θτ ∈ IR3 es

θτ =

h

M B N

iT

(35)

ηa y ηb representan el error de seguimiento en las corrientes de las fases transformadas del

motor dados por

ηa = Ida− Ia, (4.10)

ηb = Idb− Ib,

donde las trayectorias deseadas de la corriente a y b se dise˜nan de forma que permitan el seguimiento de la trayectoria deseada, y son representadas por Ida y Idb,

Ida = Wτθτ+ ksr, (4.11)

Idb = 0,

y sus derivadas son

˙

Ida = W˙τθτ + ks˙r, (4.12)

˙

Idb = 0,

donde, ks es una ganancia de control positiva y ˙r es la derivada del error filtrado definido

en la ecuaci´on (4.4).

Sustituyendo las corrientes deseadas Ida y Idb en las ecuaciones de la din´amica de la

parte mec´anica (4.5) se tiene

M ˙r = −ksr + ηa+ KbIaηb. (4.13)

Adem´as, sustituyendo la derivada de la matriz de regresi´on ˙Wτ y la derivada del error

filtrado ˙r en la ecuaci´on (4.12) se tiene ˙

Ida = M (

...

q_d+ α(¨qd− ¨q)) + B ¨q + N ˙q + ks(¨qd− ¨q + α ˙e), (4.14)

donde se cuenta con las señales medibles q y ˙q, sin embargo, se requiere el término de la aceleración ¨q, el cual se obtiene de la ecuación (3.15) y con ayuda de los parámetros conocidos M , N , B y Kb, es posible calcular ¨q de la siguiente forma

¨ q = −B Mq −˙ N M sin(q) + 1 M (KbIb+ 1) Ia, (4.15)

(36)

sustituyendo la aceleración ¨q dada por la ecuación (4.15) en la ecuación (4.14) se obtiene ˙ Ida = M ( ... q_d_{+ α¨}_q_d_{) + N ˙}_{q cos(q) + k}_s_(¨_q_d_{+ α ˙e)} _(4.16) +(B − M α − ks) −B Mq −˙ N M sin(q) + 1 M(KbIb+ 1)Ia .

Pasando al desarrollo de la parte el´ectrica del controlador, se realiza la sustituci´on de ˙Ida

dada en la ecuaci´on (4.16) en la ecuaci´on (4.6)

Laη˙a= wa− Va, (4.17)

donde se utiliza la variable auxiliar wa(q, ˙q, Ia, Ib, t) dada por

wa = La(M ( ... q_d_{+ α¨}_q_d_{) + N ˙}_{q cos(q) + k}_s_(¨_q_d_{+ α ˙e))} _(4.18) +La(B − M α − ks) −B Mq −˙ N M sin q + 1 M(KbIb+ 1)Ia +RIa+ npLbIbq + K˙ τ 2q.˙

Por medio de la ecuación (4.17) se puede diseñar fácilmente la entrada de control Va que

logre que ηa(t) tienda a cero,

Va = wa+ k1ηa+ r, (4.19)

donde k1 es una ganancia de control positiva. Sustituyendo el voltaje Va de la ecuaci´on

(4.19) en la ecuaci´on (4.17) se obtiene

Laη˙a= −k1ηa− r. (4.20)

De forma similar al procedimiento anterior, se hace lo mismo para la ecuaci´on (4.7), donde se sustituye ˙Idb dada por (4.11) en (4.7) obteniendo

Lbη˙b = wb− Vb, (4.21)

donde

wb = RIb− npLaIaq.˙ (4.22)

Basados en (4.21) se dise˜na la entrada de voltaje Vb para garantizar que el error ηb(t)

tienda a cero,

Vb = wb+ k2ηb+ KbIar, (4.23)

(37)

Figura 4.1: Diagrama a bloques del controlador por modelo exacto

(4.23) en la ecuaci´on (4.21) se obtiene

Lbη˙b = k2ηb− KbIar. (4.24)

En resumen la din´amica del sistema de lazo cerrado del control por modelo exacto est´a da-da por las ecuaciones (4.13), (4.20) y (4.24). El controlador por modelo exacto se des-prende de las ecuaciones (4.11), (4.19) y (4.23), que representan las corrientes deseadas y las entradas de control representadas por los voltajes de entrada del motor.

4.1.2. Simulaciones num´

ericas para el CME

Para comprobar el funcionamiento del controlador por modelo exacto se realizaron si-mulaciones num´ericas con ayuda de la herramienta de computo M AT LABr_{y Simulink}r_.

En la figura 4.1 se muestra el diagrama a bloques para las simulaciones del controlador CME. Para simular el motor de CD sin escobillas real se utilizaron los par´ametros pro-puestos mostrados en la tabla 4.1. Adem´as, en la tabla 4.2 se presentan las ganancias de control utilizadas.

La trayectoria deseada para este controlador es

qd= 2 sin(4t) + 1.5 [rad]. (4.25)

Como resultado de estas simulaciones se desprende la figura 4.2 que muestra el seguimiento de la trayectoria de la posición q(t). Además, en la figura 4.3 se ilustra el seguimiento de la trayectoria de la velocidad ˙q(t) y finalmente en la figura 4.4 se muestra el seguimiento de las corrientes de cada fase Ia(t) e Ib(t). Como complemento de la información presentada

en la tabla 4.1.2 se muestra el valor RMS del error de posici´on e(t), corrientes ηa(t) y ηb(t)

(38)

Par´ametro Descripci´on Valor

Lb Inductancia devanado b 0.00465

La Inductancia devanado a 0.00310

R Resistencia en devanados 0.93220

Kτ 2 Constante de torque 0.50600

Kb Constante de torque 0.02460

M Inercia mec´anica 0.02920

N Masa de carga y coeficiente de gravedad 2.23870 B Coeficiente de fricci´on viscosa 0.02980

np N´umero de pares polos 4.0

Tabla 4.1: Valores de los par´ametros del motor.

Ganancia de control Valor

α 2.0

ks 0.7

k1 0.5

k2 0.5

Tabla 4.2: Ganancias de control para control por modelo exacto.

0 5 10 15 20 25 −2 −1 0 1 2 3 4 5

[r

a

d

]

T iempo

[s]

Seguimiento de posici´

on q

(t)

q

(t)

q

_d

(t)

(39)

4.1 Controlador por modelo exacto 27 0 5 10 15 20 25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

[r

a

d

/

se

g

]

T iempo [s]

Seguimiento de velocidad ˙q(t)

˙q(t)

˙q

d

(t)

Figura 4.3: Seguimiento de velocidad del controlador CME.

0 5 10 15 20 25 −20 0 20

[Am

p

]

Corrientes

I

_a

(t)

I

_da

(t)

0 5 10 15 20 25 −5 0 5

[Am

p

]

T iempo

[s]

I

b

(t)

I

db

(t)

(40)

4.2 Controlador adaptable simple 28

´_Indice _Valor _Unidad

RM S{e(t)}∀20 ≤ t ≤ 25 0.01708 [rad] RM S{ ηa(t) ηb(t) T }∀20 ≤ t ≤ 25 0.005416 [Amp] RM S{ Va(t) Vb(t) T }∀20 ≤ t ≤ 25 3.2 [V olts]

Tabla 4.3: Índices de desempeño para la simulación del controlador CME en las ecuaciones (4.19) y (4.23).

a 25 [seg].

Como se puede observar en las figuras anteriores, el seguimiento de posición, velocidad y corrientes se realiza adecuadamente. Un punto a resaltar en estas simulaciones es el valor m´ınimo de los errores, ésto debido a que este controlador usa los valores exactos de los parámetros del motor, lo cual permite una convergencia más rápida del error.

4.2. Controlador adaptable simple

El segundo controlador que se presenta es el llamado control adaptable simple pro-puesto en la literatura por Dawson et al. [6]. Denominado en este trabajo por sus siglas como CAS. Este controlador no tiene conocimiento de los parámetros con los que cuen-ta el motor de CD sin escobillas, as´ı que se realiza la estimación de dichos parámetros por medio de leyes de adaptación. El denominado controlador adaptable simple estima 14 parámetros del motor. Una ventaja de este controlador es que al presentarse cambios en los parámetros de motor, no se perjudica el funcionamiento del controlador.

4.2.1. Dise˜

no del controlador

Para el desarrollo del control adaptable simple, se tiene que la dinámica de sistema está dada por las ecuaciones (3.15), (3.16) y (3.17), donde se cuenta con incertidumbre en los parámetros del sistemas. La posición q, la velocidad ˙q y las corrientes de los devanados Ia e Ib son los estados medibles. Para el desarrollo de este controlador, inicialmente se

dise˜nan la trayectorias deseadas de las corrientes en los devanados, definidas como

Ida = Wτθˆτ+ ksr, (4.26)

(41)

donde Wτ ∈ IR1×3 es la matriz de regresi´on definida por la ecuaci´on (4.8), ˆθτ ∈ IR3 es el

vector de par´ametros estimados dado por ˆ θτ = h ˆ M Bˆ Nˆ iT , (4.27)

que representa una aproximaci´on del vector de par´ametros definido en (4.9) y ks es una

ganancia de control positiva.

Los par´ametros estimados ˆθτ son definidos por la ley de adaptaci´on

ˆ θτ =

Z t

0

ΓτWτT(σ)r(σ)dσ, (4.28)

donde Γτ ∈ IR3×3 es una matriz diagonal de ganancias adaptables, definida positiva.

Además, el error entre los parámetros estimados ˆθτ y los parámetros reales θτ esta dado

por

˜

θτ = θτ − ˆθτ. (4.29)

La ley de adaptación (4.28) puede ser escrita en términos del error de parámetros como ˙˜

θτ = −ΓτWτTr = −˙ˆθ. (4.30)

Sustituyendo las ecuaciones de las corrientes deseadas de (4.26) en la dinámica de la-zo abierto en términos del error dada por la ecuación (4.5), produce como resultado la dinámica en lazo cerrado en términos del error de la parte mecánica del sistema dada por

M ˙r = Wτθτ − ksr + ηa+ KbIaηb. (4.31)

Ya finalizando el diseño de la dinámica en lazo cerrado de la parte mecánica, se procede a complementar el diseño con la obtención de los voltajes de entrada del motor, para esto se obtienen las derivadas de las corrientes deseadas, de modo que ˙Ida y ˙Idb son dadas por

˙

Ida = W˙τθˆτ + Wτ˙ˆθτ + ks˙r, (4.32)

˙

Idb = 0.

Sustituyendo los valores de la matriz de regresi´on dada por (4.8) y el error de seguimiento filtrado dado por (4.4) en ˙Ida de la ecuaci´on (4.32) tenemos

˙

Ida = ˆM

...

(42)

donde, ˆM , ˆB y ˆN son los componentes escalares del vector ˆθτ en (4.27).

Sustituyendo ˙Ida en la ecuaci´on (4.6) se obtiene la din´amica en lazo cerrado de la parte

el´ectrica a del motor en t´erminos del error como

Laη˙a = Waθa− Va, (4.34)

donde Wa(q, ˙q, Ia, Ib, ˆθ, t) ∈ IR1×8 es una matriz de regresi´on y el vector de par´ametros

desconocidos esta dado por θa∈ IR8 y expl´ıcitamente son definidos por

θa = h La M LaB M LaN M LaKb M R Kτ 2 Lb La iT , (4.35) y Wa= h Wa1 Wa2 Wa3 Wa4 Wa5 Wa6 Wa7 Wa8 i , (4.36) con Wa1 = ( ˆB − α ˆM − ks)Ia, Wa2 = −( ˆB − α ˆM − ks) ˙q, Wa3 = −( ˆB − α ˆM − ks) sin(q), Wa4 = −( ˆB − α ˆM − ks)IaIb, Wa5 = Ia, Wa6 = q,˙ Wa7 = npIbq,˙ Wa8 = M (ˆ ... q_d_{+ α¨}_q_d_{) + ˆ}_{N cos q + k}_s_(¨_q_d_{+ α ˙e) + W}_τ_Γ_τ_WT τ r.

De forma similar, se utiliza la ecuaci´on (4.7) para obtener la din´amica del error de segui-miento de la corriente ηb como

Lbη˙b = RIb− npLaIaq − V˙ b, (4.37)

que puede ser reescrita como

Lbη˙b = Wbθb− Vb − KbIar, (4.38)

donde, el termino KbIar se a˜nadi´o y substrajo y Wb(q, ˙q, Ia, Ib, t) ∈ IR1×3 es una matriz

de regresi´on dada por

Wb =

h

Wb1 Wb2 Wb3

i

(43)

con

Wb1 = Ib,

Wb2 = −npIaq,˙

Wb3 = Iar,

y θb ∈ IR3 es el vector de par´ametros dado por

θb =

h

R La Kb

i

∈ IR3. (4.40)

Recordando que el par´ametro np representa el n´umero de pares de polos, el cual se asume

conocido. El segundo paso para el dise˜no del controlador comprende los voltajes Va y Vb,

para el sistema de lazo abierto dado por la estructura de las ecuaciones (4.31), (4.34) y (4.38) se dise˜na los voltajes de entrada como

Va = Waθˆa+ k1ηa+ r, (4.41)

Vb = Wbθˆb+ k2ηb,

donde k1 y k2 son ganancias de control positivas, ˆθa ∈ IR8 y ˆθb ∈ IR3 son vectores de

par´ametros estimados, los cuales son calculados por las la siguientes leyes de adaptaci´on ˆ θa = Z t 0 ΓaWaT(σ)ηa(σ)dσ, (4.42) ˆ θb = Z t 0 ΓbWbT(σ)ηb(σ)dσ,

donde Γa ∈ IR8×8 y Γb ∈ IR3×3 son matrices diagonales de ganancias adaptables que son

definidas positivas. Los errores de los par´ametros son definidos por ˜

θa= θa− ˆθa, (4.43)

˜

θb = θb− ˆθb,

representando las leyes de adaptación de la ecuación (4.42) en términos de los errores de estimación de los parámetros se tiene

˙˜

θa = −ΓaWaTηa = −˙ˆθa, (4.44)

˙˜

(44)

Figura 4.5: Diagrama a bloques del control adaptable simple.

Ahora bien, sustituyendo los voltajes Va y Vb en la din´amica de lazo abierto mostrada en

las ecuaciones (4.34) y (4.38), se obtiene la din´amica en lazo cerrado en t´erminos de los errores de corriente ηa y ηb como

Laη˙a = Waθ˜a− k1ηa− r (4.45)

y

Lbη˙b = Wbθ˜b− k2ηb− KbIar. (4.46)

En resumen, la dinámica del controlador adaptable simple de Dawson et al. [6] está dada por las ecuaciones (4.30), (4.31), (4.44),(4.45) y (4.46), las cuales representan el sistema electromecánico en lazo cerrado y el control adaptable se compone por las ecuaciones (4.26), (4.28), (4.41) y (4.42), por medio de las cuales se implementan los voltajes de entrada del motor.

4.2.2. Simulaciones num´

ericas para CAS

Para comprobar el adecuado funcionamiento del controlador adaptable simple se rea-lizaron simulaciones numéricas. En la figura 4.5 se muestra el diagrama a bloques del controlador adaptable simple. Los parámetros usados para las simular el modelo del mo-tor de CD sin escobillas real se muestran en la tabla 4.1, además en la tabla 4.4 presentan las ganancias de control y la tabla 4.5 presentan las ganancias de adaptación para los parámetros del motor.

La trayectoria deseada para el seguimiento de trayectoria utilizada en el control adap-table simple es

qd(t) = 2 sin(4t) + 1.5 [rad].

(45)

Ganancia de control Valor

α 10.0

ks 0.3

k1 1.5

k2 1.5

Tabla 4.4: Ganancias de control para control adaptable simple.

Ganancia de Valor Ganancia de Valor

control control Γτ 1 0.002 Γa6 0.001 Γτ 2 0.0095 Γa7 0.001 Γτ 3 0.008 Γa8 0.001 Γa1 0.001 Γb1 0.0001 Γa2 0.05 Γb2 0.001 Γa3 0.001 Γb3 0.001 Γa5 0.001

Tabla 4.5: Ganancias de adaptaci´on para control adaptable simple.

adaptable simple son cero.

Los resultados obtenidos del controlador CAS en simulación son los mostrados a con-tinuación. En la figura 4.6 se muestra el seguimiento de trayectoria de la posición q(t), en la figura 4.7 se ilustra el seguimiento de la trayectoria de la velocidad ˙q(t), en figura 4.8 se muestra el seguimiento de las corrientes Ia(t) e Ib(t).

Además, en las figuras 4.9 y 4.10 se muestran los parámetros estimados de la parte mecánica del motor ˆM (t), ˆB(t) y ˆN (t) y algunos de los parámetros estimados de la parte eléctrica del motor tales como ˆLa, ˆKb y ˆR.

Para complementar la informaci´on presentada, en la tabla 4.6 se muestra los valores RMS del error de posici´on, corrientes y valor de RMS de voltaje entregado, capturados en una ventana de tiempo de 20 [seg] a 25 [seg].

´_Indice _Valor _Unidad

RM S{e(t)}∀20 ≤ t ≤ 25 0.27 [rad] RM S{ ηa(t) ηb(t) T }∀20 ≤ t ≤ 25 1.814 [Amp] RM S{ Va(t) Vb(t) T }∀20 ≤ t ≤ 25 3.2 [V olts]

Tabla 4.6: Índices de desempeño para la simulación del controlador CAS en las ecuaciones (4.41).

(46)

4.2 Controlador adaptable simple 34 0 5 10 15 20 25 −2 −1 0 1 2 3 4 5

[r

a

d

]

T iempo

[s]

Seguimiento de posici´

on q

(t)

q

(t)

q

_d

(t)

Figura 4.6: Seguimiento de posici´on del controlador adaptable simple.

0 5 10 15 20 25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

[r

a

d

/

se

g

]

T iempo [s]

Seguimiento de velocidad ˙q(t)

˙q(t)

˙q

d

(t)

(47)

4.2 Controlador adaptable simple 35 0 5 10 15 20 25 −20 0 20

[Am

p

]

Corrientes

I

a

(t)

I

da

(t)

0 5 10 15 20 25 −5 0 5

[Am

p

]

T iempo

[s]

I

_b

(t)

I

_db

(t)

Figura 4.8: Seguimiento de corrientes del controlador adaptable simple.

0 5 10 15 20 25 −0.1 0 0.1

c M

(t

)

P ar´ametros estimados parte mec´anica

0 5 10 15 20 25 0 0.5

b B

(t

)

0 5 10 15 20 25 0 0.2 0.4

b N

(t

)

T iempo

[s]

(48)

4.3 Controlador adaptable con reducci´on de sobre-parametrizaci´on 36 0 5 10 15 20 25 −0.01 0 0.01

b L

a

(t

)

P ar´ametros estimados parte el´

ectrica

0 5 10 15 20 25 −4 −2 0x 10 −4

b K

(t

b

)

0 5 10 15 20 25 −1 −0.5 0x 10 −6

b R

(t

)

T iempo

[s]

Figura 4.10: Par´ametros estimados de la parte el´ectrica del controlador adaptable simple.

4.3. Controlador adaptable con reducci´

on de

sobre-parametrizaci´

on

El control adaptable simple con reducción de sobre-parametrización de Dawson et al. [6], es denominado en este documento como controlador CAR, este controlador es una modificación del controlador adaptable simple el cual cuenta con una reducción del número de parámetros estimados. El controlador CAR es un controlador para el seguimiento de trayectoria que realiza la estimación de 9 parámetros del motor de CD sin escobillas.

4.3.1. Dise˜

no del controlador

Comenzando con el desarrollo del controlador adaptable presentado en la literatura por [6], el cual toma la dinámica del motor dado por las ecuaciones (3.15), (3.16) y (3.17), donde se observa que existen 9 parámetros desconocidos para el controlador, tomando en cuenta que el número de pares polos np es conocido. Para simplificar la formulación del

control y el análisis de estabilidad, se define un error de seguimiento filtrado r(t) dado por la ecuación (4.4). Otra definición de gran utilidad para el desarrollo del controlador es el error de seguimiento de las corrientes representado por ηa(t) y ηb(t), dado por las

(49)

4.3 Controlador adaptable con reducci´on de sobre-parametrizaci´on 37

El primer paso para el desarrollo del controlador CAR es dise˜nar las trayectorias de corrientes deseadas Ida y Idb

Ida = Wτθˆτ+ ksr, (4.47)

Idb = 0, (4.48)

donde Wτ ∈ IR1×3 es conocida como la matriz de regresi´on y esta dada por

Wτ = h ¨ qd+ α ˙e q sin(q)˙ i , (4.49)

θτ ∈ IR3 es el vector de par´ametros dado por

θτ =

h

M B N

iT

, (4.50)

y ks es una ganancia de control positiva. Un factor que ser´a de suma utilidad para la

presentaci´on de este controlador son las matrices de regresi´on Wa ∈ IR1×8 y Wb ∈ IR1×3

que se definen a continuaci´on como

Wa= [ Wa1 Wa2 Wa3 Wa4 Wa5 Wa6 Wa7 Wa8 ], (4.51) con Wa1 = ( ˆB − α ˆM − ks)Ia, Wa2 = −( ˆB − α ˆM − ks) ˙q, Wa3 = −( ˆB − α ˆM − ks) sin(q), Wa4 = −( ˆB − α ˆM − ks)IaIb, Wa5 = Ia, Wa6 = q,˙ Wa7 = npIbq,˙ Wa8 = M (ˆ ... q_d_{+ α¨}_q_d_{) + ˆ}_{N cos q + k}_s_(¨_q_d_{+ α ˙e)} +WτΓτ(WτTr + Y T a ηa+ YbTηb), y Wb = h Wb1 Wb2 Wb3 i , (4.52)

(50)

4.3 Controlador adaptable con reducci´on de sobre-parametrizaci´on 38

en donde

Wb1 = Ib,

Wb2 = −npIaq,˙

Wb3 = Iar.

El error de adaptación ˜θτ de la parte mecánica es dada en (4.29). La ley de adaptación

para estimar el vector θτ ∈ IR3 ahora es definida como

˙ˆθτ = Γτ[WτTr + Y T

a ηaYbTηb] = −θ˙˜τ, (4.53)

donde ηa y ηb son los errores de corriente definido en (4.10), y los vectores auxiliares Ya y

Yb son Ya = h 0 Wa2 Wa3 i ∈ IR1×3, (4.54) Yb = h Wb2 0 0 i ∈ IR1×3_, _(4.55)

donde Wa2 y Wa3 se encuentra previamente descritas en (4.51) y Wb2 en (4.52).

Para lograr el seguimiento de la parte el´ectrica del motor, se procede a reescribir la din´amica de los errores de seguimiento de corriente ηa y ηb de la siguiente manera

Laη˙a = Wa1b + Ye1θe+ bWa4θk+ bYaθτ − Va, (4.56) donde b = La M, (4.57) θe = h La Lb R Kτ 2 iT ∈ IR4×1, (4.58) θk = Kb, (4.59) Ye1 = h Wa8 Wa7 Wa5 Wa6 i ∈ IR4×1_, _(4.60)

Wa8, Wa7, Wa6 y Wa5 se encuentran definidas en (4.51). Para la corriente de la fase b, en

referencia al de error de corriente ηb, se describe la siguiente din´amica

Lbη˙b = Ye2θe+ bYbθτ + bWb3θk− Vb− bKbIar, (4.61)