Transferencia de Calor

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(1)TRANSFERENCIA DE CALOR GUÍA DE CLASE. NÉSTOR GOODING GARAVITO.

(2) TRANSFERENCIA DE CALOR.

(3) TRANSFERENCIA DE CALOR. CONTIENE : FUNDAMENTOS TEORICOS 94 PROBLEMAS RESUELTOS 264 PROBLEMAS PROPUESTOS. NESTOR GOODING GARAVITO INGENIERO QUIMICO PROFESOR ASOCIADO FACULTAD DE INGENIERIA. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA. SEGUNDA EDICION 2008.

(4) TABLA DE CONTENIDO CAPITULO 1 - INTRODUCCION. 1. Conducción – Convección – Radiación – Problemas resueltos – Problemas Propuestos.. CAPITULO 2 - CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL. 11. Ecuación básica de energía – Placa plana – Sistemas radiales – Conducción con conductividad térmica variable – Condiciones de contorno con convección – Coeficiente global de transferencia de calor – Espesor crítico de aislamiento – Sistemas con generación de calor – Transferencia de calor desde aletas – Problemas resueltos – Problemas propuestos.. CAPITULO 3 - CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL. 39. Solución analítica – Solución gráfica – Análisis numérico – Analogía eléctrica para la conducción bidimensional – Problemas resueltos – Problemas propuestos.. CAPITULO 4 - CONDUCCION NO ESTACIONARIA. 65. Sistemas de capacidad térmica global – Números de Biot y Fourier – Flujo de calor transitorio en un sólido semi-infinito – Condiciones de contorno convectivas – Soluciones gráficas (Diagramas de Heisler) – Sistemas multidimensionales – Análisis numérico – Problemas resueltos – Problemas propuestos.. CAPITULO 5 - CONVECCION FORZADA. 109. Capa límite hidrodinámica – Capa límite hidrodinámica y laminar en una superficie plana isotérmica – Capa límite térmica – Número de Nusselt y coeficiente de transferencia de calor – Analogía entre la transferencia de calor y la fricción – Transferencia de calor en una placa con convección forzada en régimen turbulento – Procedimiento de cálculo en convección forzada para flujo sobre placas planas – Flujo por el interior de tubos – Flujo a través de conductos no circulares – Flujo transversal a cilindros – Flujo a través de haces.

(5) de tubos – Relaciones empíricas para convección forzada – Problemas resueltos - Problemas propuestos. CAPITULO 6 - CONVECCION NATURAL. 151. Ecuaciones para la convección natural en una placa plana vertical – Parámetros adimensionales – Coeficiente local de transferencia de calor – Coeficiente medio de transferencia de calor – Relaciones empíricas para convección natural – Ecuaciones simplificadas para el aire – Problemas resueltos – Problemas propuestos. CAPITULO 7 - CONDENSACION Y EBULLICION. 173. Condensación – Tubos verticales – Tubos horizontales – Condensación en película turbulenta - Ebullición – Ebullición en recipientes – Relaciones simplificadas para el agua – Problemas resueltos – Problemas propuestos.. CAPITULO 8 - INTERCAMBIADORES DE CALOR. 191. Tipos de intercambiadores de calor – Coeficiente global de transferencia de calor – Temperatura media logarítmica – Método del NTU–Rendimiento Factor de suciedad – Problemas resueltos – Problemas propuestos.. CAPITULO 9 - RADIACION. 229. Propiedades y definiciones – Radiación del cuerpo negro – Superficies reales y cuerpo gris – Intercambio de calor entre cuerpos negros (factor de forma) – Intercambio de calor entre cuerpos grises – Pantallas de radiación – Problemas resueltos – Problemas propuestos.. TABLAS. BIBLIOGRAFIA. 271.

(6) CAPITULO 1. INTRODUCCION El área de la ingeniería conocida como ciencia térmica incluye la termodinámica y la transferencia de calor. El papel de la transferencia de calor es complementar la termodinámica, la cual considera sólo sistemas en equilibrio, con leyes adicionales que contemplan la rapidez con que se transfiere dicha energía. Estas leyes están basadas en las tres formas fundamentales de transferencia de calor, comunmente llamadas conducción, convección y radiación.. 1.1 CONDUCCION Un gradiente de temperaturas dentro de una sustancia homogénea, da como resultado una transferencia de energía, que según la termodinámica, debe efectuarse desde la región de alta temperatura hasta la región de baja temperatura. Se dice que la energía se ha transferido por conducción y que el flujo de calor es proporcional al gradiente normal de temperatura. Dicho flujo de calor puede ser calculado por la expresión: ∂T q = - k A ⎯⎯ ∂x donde q es el flujo de calor, (∂T/∂x) es el gradiente de temperaturas en la dirección normal al área A. La constante positiva k se llama conductividad térmica del material y se coloca el signo menos para satisfacer el segundo principio de la termodinámica, es decir, que el calor debe fluir en el sentido de las temperaturas decrecientes. La ecuación anterior se denomina ley de Fourier y las unidades de k son vatio por metro y por grado Celsius en un sistema de unidades en el que el flujo de calor se expresa en vatios. Si el perfil de temperaturas dentro del medio es lineal (ver figura), es posible reemplazar el gradiente (derivada parcial) por:.

(7) 2. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. ΔT T2 – T1 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯ Δx x2 – x1. T. T1. T2. x1. x2. x. La linealidad anterior siempre existe en un medio homogéneo de conductividad térmica constante y con transferencia de calor en estado estacionario. La transferencia de calor en estado estacionario ocurre cuando la temperatura de cada punto dentro del cuerpo, incluyendo las superficies, es independiente del tiempo. Si la temperatura cambia con el tiempo (τ), la energía se está almacenando o removiendo desde el cuerpo. Este flujo de energía es: ∂T qalmacenada = m cP ⎯⎯⎯ ∂τ donde la masa m es el producto del volumen V y la densidad ρ.. 1.2 CONVECCION Cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido y si las temperaturas del fluido y del sólido son diferentes, habrá transferencia de calor entre el fluido y la superficie sólida debido al movimiento relativo entre el fluido y la superficie, a este mecanismo de transferencia de calor se le denomina convección. Se dice que existe convección forzada si el movimiento es inducido.

(8) CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 3. artificialmente, bomba o ventilador que impulse el fluido sobre la superficie. Se dice que existe convección libre (o natural) si el movimiento del fluido es ocasionado por fuerzas de empuje debidas a diferencias de densidad causadas por diferencias de temperatura en el fluido. Si la temperatura del fluido es T∞ y la temperatura de la superficie del sólido es Ts el calor transferido por unidad de tiempo está dado por: q = h A (Ts - T∞) La ecuación anterior es conocida como la ley de Newton del enfriamiento, donde A es el área de la superficie y h se denomina coeficiente de transferencia de calor por convección. Las unidades de h son vatio por m2 y por grado Celsius, cuando el flujo de calor se expresa en vatios. La determinación de este coeficiente se hace analíticamente, pero en situaciones complejas debe hacerse experimentalmente. Es importante notar que el intercambio fundamental de energía en el límite sólido-fluido es por conducción y que dicha energía es llevada por convección a través del fluido. Por comparación de las ecuaciones para conducción y convección puede obtenerse:. h A (Ts - T∞) = - k A (∂T/∂y) y=0 donde el sub-índice en el gradiente de temperaturas indica su evaluación para y=0.. 1.3 RADIACION La transferencia de calor por conducción y por convección requieren de un medio material para la propagación de la energía. Sin embargo, el calor puede propagarse en el vacío absoluto mediante el mecanismo de radiación. A una temperatura dada, todos los cuerpos emiten radiación en forma de energía electromagnética en diferentes longitudes de onda, siendo la radiación dependiente de la temperatura absoluta del cuerpo y de sus características superficiales. Evidencias experimentales indican que la transferencia de calor por radiación es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta. La ley de Stefan-Boltzmann es: q = σ A T4.

(9) 4. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. donde T es la temperatura absoluta. La constante σ es independiente de la superficie, medio y temperatura, se denomina constante de Stefan-Boltzmann y su valor es 5,669 x 10-8 W/m2 K4. El emisor ideal o cuerpo negro, es aquel cuya energía radiante está dada por la ecuación anterior. Todas las demás superficies emiten algo menos de ésta cantidad de energía y la emisión térmica de muchas superficies (cuerpos grises) puede representarse por: q = ε σ A T4 donde ε es la emisividad de la superficie, que relaciona la radiación de la superficie “gris” con la de la superficie ideal negra, su valor esta en un intervalo de 0 a 1. La radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura absoluta T1 hacia una envolvente a temperatura T2 que lo rodea completamente y la cual se comporta también como cuerpo negro, puede evaluarse mediante la expresión: q = σ A1 (T14 – T24) Por otra parte, la radiación emitida por un cuerpo gris a una temperatura T1 hacia la misma envolvente a temperatura T2, puede calcularse ahora mediante la expresión: q = ε1 σ A1 (T14 – T24) Si se considera la radiación entre dos cuerpos grises a temperaturas absolutas T1 y T2 respectivamente, el flujo neto de energía radiante entre ellos puede calcularse mediante la expresión: q = σ F A1 (T14 – T24) donde F es una función que depende de las emisividades de ambos cuerpos y de la fracción de energía radiante emitida por el cuerpo 1 que es interceptada por el cuerpo 2..

(10) CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 5. PROBLEMAS RESUELTOS 1.1 Determinar el flujo de calor transferido por unidad de área a través de un bloque homogéneo de 4 cm de espesor con sus dos caras mantenidas a temperaturas uniformes de 40ºC y 20ºC. La conductividad térmica del material es 0.1903 W/m oC. W (20 – 40) oC W q T2 – T1 ⎯ = - k ⎯⎯⎯⎯ = - 0.1903 ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 95.15 ⎯⎯⎯ m oC 0.04 m2 A x2 – x1 1.2 Una cara de una placa de cobre ( k = 370 W/m oC ) de 3 cm de espesor se mantiene a 450ºC y la otra cara se mantiene a 80ºC. ¿Qué cantidad de calor se transfiere a través de la placa? q ΔT (80 – 450) MW ⎯ = -k ⎯⎯ = - 370 ⎯⎯⎯⎯⎯ = 4.56 ⎯⎯⎯ A Δx 0.03 m2 1.3 El coeficiente de transferencia de calor por convección forzada para un fluido caliente que circula sobre una superficie fría es 226.8 W/m2 oC. La temperatura del fluido es 120ºC y la superficie está a 10ºC. Determinar el flujo de calor transferido por unidad de área desde el fluido hasta la superficie.. q W W ⎯ = h (T∞ - Ts) = 226.8 ⎯⎯⎯ x (120 – 10) oC = 24948 ⎯⎯ m2 A m2 oC 1.4 Sobre una placa caliente de 60 x 90 cm que se mantiene a 280ºC pasa aire a 18ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección es 25 W/m2 o C. Calcular el flujo de calor transferido. q = h A (Ts - T∞) = 25 W/m2 oC x (0.6 x 0.9) m2 x (280 – 18) oC = 3.537 kW 1.5 Una corriente eléctrica pasa por un hilo de 1 mm de diámetro y 15 cm de largo. El hilo se encuentra sumergido en agua líquida a la presión atmosférica y se incrementa la corriente interior hasta que el agua hierve. Si h = 5000 W/m2 oC y la temperatura del agua es 100ºC. ¿Cuánta potencia eléctrica se debe suministrar al hilo para mantener su superficie a 118ºC?.

(11) 6. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. El área superficial del hilo será: A = π D L = π (0.001) (0.15) = 4.71 x 10-4 m2 q = h A (Ts - T∞) = 5000 W/m2 oC x 4.71 x 10-4 m2 x (118 – 100) oC = 42.39 W 1.6 Luego de una puesta del sol, la energía radiante puede ser percibida por una persona parada cerca de una pared de ladrillo. Tales paredes con frecuencia tienen una temperatura en su superficie de 44ºC y el valor de la emisividad del ladrillo es del orden de 0.92. ¿Cuál podría ser el flujo de radiación térmica por m2 desde la pared de ladrillo?. q W W ⎯ = ε σ T4 = 0.92 x 5,669 x 10-8 ⎯⎯⎯ x (44+273)4 k4 = 526.6 ⎯⎯ m2 A m2 k4 1.7 Dos placas infinitas a 800oC y 300oC intercambian calor por radiación. Calcular el calor transferido por unidad de área.. q W kW ⎯ = σ (T14 – T24) = 5,669 x 10-8 ⎯⎯⎯ x (10734 – 5734) k4 = 69.03 ⎯⎯ m2 A m2 K4. 1.8 Un termopar de 0.8 mm de diámetro se emplea para medir la temperatura del aire en un horno eléctrico. La lectura del termopar es de 150ºC. Se sabe, sin embargo, que el flujo de calor por radiación que recibe el termopar de la pared del horno es igual a 0.001 W/cm de longitud. El coeficiente de transferencia de calor en el termopar es igual a 5 W/m2 oC. Estimar la temperatura correcta del aire en el horno.. q W W ⎯ = h π D (Ts - T∞) = 0.001 ⎯⎯ = 0.1 ⎯⎯ L cm m.

(12) CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 7. q/L 0.1 W/m T∞ = Taire = Ts - ⎯⎯⎯ = 150ºC - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ πDh π (0.8/1000) m x 5 W/m2 T∞ = 150 – 7.95 = 142oC 1.9 En el problema 1.4, si la placa tiene 3 cm de espesor y una conductividad térmica de 40 W/m oC y suponiendo que se pierden por radiación desde la placa 300 W, calcular la temperatura interior de la placa. qconducción = qconvección + qradiación ΔT - k A ⎯⎯ = 3.537 + 0.3 = 3.837 kW Δx 3.837 ΔX 3.837 X 0.03 ΔT = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = - 5.33 oC -kA - 40 x (0.6 x 0.9) La temperatura en el interior de la placa será: 280 + 5.33 = 285.33 oC. 1.10. Una tubería horizontal de acero que tiene un diámetro de 5 cm se mantiene a una temperatura de 60ºC en un salón grande donde el aire y las paredes están a 20ºC. La emisividad de la superficie de la tubería de acero puede tomarse como 0.8. El coeficiente de transferencia de calor, en convección natural puede tomarse como h = 6.5 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor de la tubería por unidad de longitud.. Por metro de longitud de tubería: A = π D L = π x 0.05 x 1 = 0.157 m2 qconv = h A (Ts - T∞) = 6.5 W/m2 oC x 0.157 m2 x (60 – 20) oC = 40.82 W El calor transferido por radiación será: qrad = ε1 A1 σ (T14 – T24) = 0.8 x 0.157 m2 x 5,669 x 10-8 W/m2 k4 x (3334 – 2934).

(13) 8. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. qrad = 35.07 W La pérdida total de calor por metro de longitud será: qtotal = qconv + qrad = 40.82 + 35.07 = 75.89 W. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.11 Una pared plana de 15 cm de espesor, hecha de material homogéneo con k = 0.4325 W/m oC tiene temperaturas estables y uniformes de 71ºC y 21ºC. Determinar el flujo de calor transferido por m2 de área superficial.. 1.12 Si por conducción se transfieren 3 kW a través de un material aislante de 1 m2 de sección recta, 2.5 cm de espesor y cuya conductividad térmica puede tomarse igual a 0.2 W/m oC, calcular la diferencia de temperaturas entre las caras del material. 1.13 En una capa de fibra de vidrio de 13 cm de espesor se impone una diferencia de temperaturas de 85ºC. La conductividad térmica de la fibra de vidrio es 0.035 W/m oC. Calcular el calor transferido a través del material por hora y por unidad de área. 1.14 Un cilindro de 30 cm de alto está hecho de aluminio. El diámetro es 7.5 cm. La superficie inferior se mantiene a 90ºC y la superior a 540ºC. La superficie lateral está aislada. ¿Cuál es el flujo de calor en vatios? La conductividad térmica del aluminio puede suponerse 215 W/m oC. 1.15 Las temperaturas de las caras de una pared plana de 15 cm de espesor son 370ºC y 93ºC. La pared está construida de vidrio con una conductividad térmica de 0.78 W/m oC. ¿Cuál es el flujo de calor a través de la pared? 1.16 Un material superaislante cuya conductividad térmica es 2 x 10-4 W/m oC se utiliza para aislar un depósito de nitrógeno líquido que se mantiene a – 196ºC; para evaporar 1 kg de nitrógeno a esa temperatura se necesitan 199 kJ. Suponiendo que el depósito es una esfera que tiene un diámetro interior de 0.61 m, estimar la cantidad de nitrógeno evaporado por día.

(14) CAPITULO 1 : INTRODUCCION ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 9. para un espesor de aislante de 2.5 cm y una temperatura ambiente de 21ºC. Suponer que la temperatura exterior del aislante es 21ºC. 1.17 Una capa de 5 cm de asbesto, poco compacta, está colocada entre dos placas a 100ºC y 200ºC. Calcular el calor transferido a través de la capa. La conductividad térmica del asbesto es 0.149 W/m oC. 1.18 Un aislante tiene una conductividad térmica de 10 W/m oC. ¿Qué espesor será necesario para que haya una caída de temperatura de 500ºC para un flujo de calor de 400 W/m2? 1.19 Considere el cárter de un automóvil. Este tiene aproximadamente 75 cm de longitud, 30 cm de ancho y 10 cm de profundidad. Suponiendo que la temperatura de la superficie del cárter es de 80ºC cuando el vehículo se desplaza a 100 km/h y que el coeficiente de transferencia de calor es igual a 82 W/m2 oC, determine el calor disipado. Desprecie la radiación y use para las superficies del frente y de atrás el mismo coeficiente de transferencia de calor que para el fondo y los lados. La temperatura del aire ambiente es 30ºC. 1.20. Un oleoducto de 50 cm de diámetro transporta, en el Ártico, petróleo a 30ºC y está expuesto a una temperatura ambiente de – 20ºC. Un aislante especial de polvo de 5 cm de espesor y de conductividad térmica 7 mW/m oC cubre la superficie del oleoducto. El coeficiente de convección en el exterior del oleoducto es 12 W/m2 oC. Calcular la pérdida de energía del oleoducto por unidad de longitud.. 1.21 Aire es forzado a fluir a través de un intercambiador de calor convectivo. El coeficiente de transferencia de calor es 1134 W/m2 oC. La temperatura de la superficie del intercambiador puede considerarse constante a 65oC y la del aire es 18oC. Determinar el área superficial del intercambiador para un flujo de calor de 8.78 kW. 1.22 Una tubería desnuda que transporta vapor húmedo a una presión absoluta de 1 MPa se localiza en una habitación cuya temperatura ambiente es 20ºC. Si el coeficiente de transferencia de calor entre el tubo y el ambiente es de 10 W/m2 oC, calcular las pérdidas de calor por metro de longitud. El diámetro es igual a 10 cm. 1.23 Una placa cuadrada vertical de 30 x 30 cm que está fría se expone al vapor de agua a una presión de 1 atm de modo que se condensan 3.78 kg/h. Calcular la temperatura de la placa. Se pueden consultar las tablas de vapor de agua para las propiedades que se requieran..

(15) DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO 10 TRANSFERENCIA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 1.24 Una de las caras de una pared plana se mantiene a 100ºC mientras que la otra se expone al ambiente que está a 10ºC, siendo h = 10 W/m2 oC el coeficiente de convección. La pared tiene una conductividad térmica k= 1.6 W/m oC y un espesor de 40 cm. Calcular el flujo de calor a través de la pared. 1.25 Dos superficies perfectamente negras están dispuestas de tal manera que toda la energía radiante que sale de una de ellas, que se encuentra a 800ºC, es interceptada por la otra. La temperatura de esta ultima superficie se mantiene a 250ºC. Calcular la transferencia de calor entre las superficies, por hora y por unidad de área de la superficie que se mantiene a 800ºC. 1.26 Dos planos paralelos y muy grandes, cuyas condiciones superficiales se aproximan a las de un cuerpo negro, se mantienen a 1100oC y 425ºC, respectivamente. Calcular el calor transferido entre los planos por unidad de tiempo y por unidad de área. 1.27 Un pequeño calentador radiante tiene tiras de metal de 6 mm de ancho con una longitud total de 3 m. La emisividad de la superficie de las tiras es 0.85.¿A qué temperatura habrá que calentar las tiras si tienen que disipar 1600 W de calor a una habitación a 25ºC? 1.28 Calcular la energía emitida por un cuerpo negro a 1000ºC. 1.29 Si el flujo radiante del sol es 350 W/m2, ¿cuál sería su temperatura equivalente de cuerpo negro? 1.30 Una esfera de 4 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 150ºC y se coloca en una habitación muy grande que se encuentra a 20ºC. Calcular la pérdida de calor por radiación si la emisividad de la superficie de la esfera es 0.65..

(16) CAPITULO 2. CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL 2.1 ECUACION BASICA DE ENERGIA La ecuación básica para un sistema tridimensional con generación interna de energía y variación de la temperatura con el tiempo es: ∂2T ∂2T q* 1 ∂T ∂2T ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯ = ⎯ ⎯⎯ ∂x2 ∂y2 ∂z2 k α ∂τ donde: α = difusividad térmica = k / ρ c q* = energía generada por unidad de volumen y por unidad de tiempo τ = tiempo ρ = densidad c = calor específico del material. Para flujo unidimensional, estacionario y sin generación interna de calor se tiene: (∂2T/∂y2) = 0 ; (∂2T/∂z2) = 0 luego: (d2T/dx2) = 0 constante.. : (∂T/∂τ) = 0 ; (q*/k) = 0. que es la misma ecuación de Fourier cuando q es.

(17) 12. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 2.2 PLACA PLANA El problema más simple de transferencia de calor es la conducción unidimensional en estado estacionario a través de una placa plana de material homogéneo, cuya conductividad térmica es constante y cuyas temperaturas en ambas caras son uniformes. Ver figura. A partir de la ley de Fourier: kA T2 – T1 q = - k A ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ (T1 – T2) Δx x2 – x1. T1. q /A. T2. Δx x1. x2. o también: diferencia de potencial térmico T1 – T2 q = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δx / kA resistencia térmica Nótese que la resistencia al flujo de calor es directamente proporcional al espesor del material, inversamente proporcional a la conductividad térmica del material e inversamente proporcional al área normal a la dirección de la transferencia de calor..

(18) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 13. Estos conceptos pueden extenderse al caso de una pared plana compuesta como se aprecia en la siguiente figura:. q. a b. 1. 2. 3. En estado estacionario el flujo de calor transferido que entra por la cara izquierda es el mismo que sale por la cara derecha, por tanto:. T1 – T2 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δxa/kaA. y. T2 – T3 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δxb/kbA. T1 – T3 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (Δxa/kaA) + (Δxb/kbA) Las ecuaciones anteriores ilustran la analogía entre la transferencia de calor por conducción y el flujo de corriente eléctrica o de manera similar entre la ley de Fourier y la ley de Ohm. Puede ser conveniente expresar la ley de Fourier asÍ:. diferencia global de temperaturas flujo de calor por conducción = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ suma de las resistencias térmicas La extensión de las ecuaciones anteriores para tres o más paredes es obvia..

(19) 14. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 2.3 SISTEMAS RADIALES La siguiente figura muestra un cilindro hueco de una sola capa compuesta de un material homogéneo de conductividad térmica constante y temperaturas uniformes interna y externa. Para un radio dado (r) el área normal para un flujo de calor radial por conducción es 2πrL, donde L es la longitud del cilindro. Sustituyendo lo anterior en la ecuación de Fourier e integrando para q constante:. T2. r1. r1. T1 r2. a. T3. T2. T1. r2 r3. b. q r2 T2 – T1 = - ⎯⎯⎯ ln ⎯⎯ 2πk L r1 o también, 2πkL (T1 – T2) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln (r2/r1) A partir de la ecuación anterior, la resistencia térmica de una capa cilíndrica simple es [ln(r2/r1)] /2πkL. Para un cilindro con dos capas (ver figura) el flujo de calor transferido está dado por:.

(20) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 15. 2πL (T1 – T3) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 r3 1 r2 ⎯ ln ⎯ + ⎯ ln ⎯ kb r2 ka r1 La ecuación anterior puede extenderse a tres o más capas. Para transferencia de calor por conducción radial en una pared esférica el área para un radio (r) está dada por 4πr2. Sustituyendo en la ley de Fourier e integrando con q constante:. 4πk (T1 – T2) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 1 ⎯ - ⎯ r2 r1 A partir de la ecuación anterior, la resistencia térmica de una capa esférica simple es [(1/r1) – (1/r2)] / 4πk. Para un sistema multicapas esféricas la resistencia total es la suma de las resistencias individuales de cada capa.. 2.4 CONDUCCION CON CONDUCTIVIDAD TERMICA VARIABLE La conductividad térmica de un metal puede representarse generalmente en un amplio intervalo de temperaturas por: k = ko (1 + bθ + cθ2) donde θ = T – Tref. y ko es la conductividad a la temperatura de referencia Tref.. Para la mayoría de las aplicaciones en ingeniería el intervalo de temperaturas es relativamente pequeño y la conductividad puede tomarse como: k = ko ( 1 + bθ).

(21) 16. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Se demuestra que las ecuaciones de transferencia de calor para placas planas y sistemas radiales son: T1 – T2 q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δx / km A 2πkm L (T1 – T2) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln (r2/r1) donde km es la conductividad térmica evaluada a la temperatura media de la pared.. 2.5 CONDICIONES DE CONTORNO CON CONVECCION Para la transferencia de calor por convección: (Ts - T∞) qconv = h A (Ts - T∞) = ⎯⎯⎯⎯⎯ 1/ h A donde el término 1/hA es la resistencia a la transferencia de calor por convección.. 2.6 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR Para la pared plana de la figura en contacto con un fluido caliente A por una cara y con un fluido más frío B por la otra cara. La transferencia de calor se expresa por:. kA q = h1A(TA – T1) = ⎯⎯ (T1 – T2) = h2A(T2 – TB) Δx.

(22) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 17. TA Fluido A T1 q. h2 T2. h1. Fluido B. TB. La transferencia de calor global se calcula como el cociente entre la diferencia total de temperaturas y la suma de las resistencias térmicas.. TA – TB q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1/h1A) + (Δx/kA) + (1/h2A). La transferencia de calor global que combina la conducción y la convección se expresa con frecuencia en función de un coeficiente global U, definido por la relación: q = U A ΔTglobal luego el coeficiente global será:. 1 U = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (1/h1) + (Δx/k) + (1/h2) Para el esquema de un cilindro hueco con contorno convectivo:.

(23) 18. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Fluido B. Fluido A. 1. 2. TA – TB q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 1 ln(re/ri) ⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯ hiAi 2πk L heAe Los términos Ai y Ae representan las áreas de las caras interna y externa del tubo interior.. 2.7 ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTO Considerando una capa de aislamiento instalada alrededor de una tubería circular:. h. ri. T∞. Ti re.

(24) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 19. La temperatura interna del aislante es Ti y la temperatura externa está expuesta a un entorno T∞ . La transferencia de calor será:. 2πL (Ti - T∞) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 ln(re/ri) ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ k reh Para determinar el radio exterior de aislamiento re que hace máxima la transferencia de calor se debe cumplir que (dq/dre) = 0 , lo que conduce a la relación: re = k/h. Si el radio exterior es menor que el valor dado por esta relación, la transferencia de calor aumentará al añadir más aislante.. 2.8 SISTEMAS CON GENERACION DE CALOR Tienen aplicación en conductores eléctricos para calentamiento, generación de calor en reactores nucleares y en sistemas químicamente reactivos.. PAREDES PLANAS. Se considera la pared plana con generación interna de calor mostrada en la figura:. Suponiendo conductividad térmica constante y dimensiones muy grandes en las direcciones y, x, el gradiente de temperatura es sólo significativo en la dirección x, y el flujo puede considerarse unidimensional. La ecuación del balance de energía es: 2 q* dT ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 dx2 k.

(25) 20. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. (a). (b). Para la figura (a) se fijan las siguientes condiciones de contorno: T = T1 para x = 0. y. T = T2. para. x = 2L. Integrando doblemente la ecuación anterior respecto a x se tiene: q* T = - ⎯⎯ x2 + C1 x + C2 2k Utilizando las condiciones de contorno dadas: q* L T2 – T1 C1 = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ 2L k. C2 = T1. Reemplazando los valores de las constantes en la ecuación integrada: ⎡ T − T1 q * (2 L − x ) ⎤⎥ x + T1 + T=⎢ 2 2k ⎣ 2L ⎦. el flujo de calor dependerá de la localización de x. Para el caso más sencillo como el de la figura (b), x=L. y. T1 = T2 = Ts.

(26) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 21. Se tiene: To =. q * L2 + Ts 2k. Ts = temperatura en la superficie ; To = temperatura en el centro de la pared Diferenciando la ecuación anterior respecto a x, dT q* L ⎯⎯ = ⎯⎯⎯ dx k Introduciendo la expresión anterior en la ley de Fourier q = - q* A L El signo menos indica que el calor se transfiere en sentido contrario a la coordenada x, para x = 2L sería el mismo valor pero positivo. El producto AL es la mitad del volumen de la placa.. CILINDRO La ecuación del balance de energía será ahora: 2 q* dT ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 k dr2. Considerando como condiciones de contorno: T = Ts. para. r=R. y. dT/dx = 0 para. Se demuestra que T − Ts =. R2 q * ⎡ ⎢1 − 4k ⎢ ⎣. To = Ts +. 2 ⎛r ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ R ⎠ ⎦⎥. q *R2 4k. r=0.

(27) 22. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. To = temperatura para r = 0 (centro del cilindro). 2.9 TRANSFERENCIA DE CALOR DESDE ALETAS Las superficies extendidas o aletas son utilizadas para incrementar la efectividad del área superficial en la transferencia de calor por conducciónconvección en intercambiadores de calor, máquinas de combustión interna, equipo electrónico, etc.. ALETAS RECTANGULARES Haciendo referencia a la figura, se realiza un balance de energía en un elemento de espesor dx de aleta, así: Energía que entra por la cara izquierda. =. Energía que sale por la cara derecha. Energía perdida por convección. +. qconv t. A → q’2. q’1 →. Z. Δx. L x. El anterior balance de energía conduce a la siguiente ecuación: d2θ ⎯⎯ - m2 θ = 0 dx2.

(28) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Donde: h = coeficiente de convección,. θ = T - T∞ ,. m=. 23. hP / kA. La solución general de la ecuación diferencial anterior es: θ(x) = C1 e mx + C2 e -mx Una condición de contorno es: x = 0 , θ(x) = θ0 = T0 - T∞ = C1 + C2 Una segunda condición de contorno: x = ∞ , θ(∞) = C1 (∞) + (C2/∞) → C1 = 0 → C2 = θ0 Reemplazando en la ecuación general: [ θ(x) / θ0 ] = e - mx Esta ecuación indica la distribución de temperaturas en la aleta. La transferencia de calor a través de la aleta puede ahora calcularse tomando el flujo de calor por conducción que llega a la base de la aleta: q = - kA (dT/dx)x=0 = - kA (dθ/dx)x=0 Para el caso presente de una aleta rectangular de longitud infinita se tiene: q = k A m θ0 Dos casos que pueden presentarse son también los siguientes:. Aleta de longitud finita con extremo aislado. cosh [m (L – x) ] Distribución de temperaturas: θ/θ0 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL Calor transferido: q = k A m θ0 [tanh (mL)].

(29) 24. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Aleta de longitud finita con pérdida de calor por convección en el extremo. Distribución de temperaturas: cosh [m (L – x) + (h/mk) senh [m (L – x)] ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL + (h/mk) senh mL Calor transferido: senh mL + (h/mk) cosh mL q = k A m θ0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cosh mL + (h/mk) senh mL. EFICIENCIA DE ALETAS El propósito fundamental de las aletas es incrementar la efectividad del área superficial de transferencia de calor que está expuesta a un fluido en un intercambiador. El comportamiento de las aletas se expresa en términos de su eficiencia ηa que no es otra cosa que la razón entre la transferencia de calor de aleta a la transferencia de calor que existiría sin la aleta o:. calor real transferido ηa = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ calor transferido si toda la aleta está a la temperatura base Como ejemplo para una aleta de sección transversal uniforme y extremo aislado la eficiencia sería:. hPkA θ0 tanh mL tanh mL ηa = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ mL hPLθ0.

(30) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 25. PROBLEMAS RESUELTOS 2.1 Un horno industrial está construido de un ladrillo refractario de 20 cm de espesor con k = 1.038 W/m oC. El horno está recubierto de una superficie externa de 3 cm de espesor de material aislante con k = 0.07 W/m oC. La superficie interior está a 980ºC y la superficie exterior está a 38ºC. Calcular el calor transferido por m2 de superficie. Considerando las dos capas como a y b: 980 – 38 W q T1 -T3 ⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1516 ⎯⎯ Δxb 0.20 0.03 m2 A Δxa ⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ka kb 1.038 0.07 2.2 Con frecuencia en ingeniería el problema es la determinación del espesor de un aislamiento que se necesita para un flujo especificado de calor. Si en el problema 2.1 el máximo flujo de calor se establece en 1000 W/m2, la pared de ladrillo se mantiene y se utiliza el mismo material aislante, ¿cuál debe ser el espesor de este material?. 980 – 38 q T1 – T3 ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1000 A Δxa Δxb 0.20 Δxb ⎯⎯ + ⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ kb 1.038 0.07 ka Resolviendo: Δxb = 0.052 m = 5.2 cm. 2.3 Una pared está formada por tres capas así: 0.5 cm de placa de aluminio, 0.25 cm de una capa de asbesto y 2 cm de un material aislante. El asbesto es la capa central. La superficie externa de aluminio está a 500ºC y el material interno aislante está a 50ºC. Determinar el flujo de calor por unidad de área. Las conductividades térmicas son: kAl = 268.08 W/m oC, kasb = 0.166 W/m oC, kaisl = 0.0548 W/m oC..

(31) 26. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. q 500 – 50 ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1184 W/m2 A 0.005 0.025 0.02 ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ 268.08 0.166 0.0548 2.4 Una pared exterior de una casa se puede aproximar a una capa de 10.16 cm de ladrillo corriente (k = 0.7 W/m oC) seguida de una capa de 3.81 cm de yeso (k = 0.48 W/m oC). ¿Qué espesor aislante de lana de roca (k = 0.065 W/moC) debería añadirse para reducir en un 80% la pérdida de calor a través de la pared? Sin aislamiento: q ΔT ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A ΔxL Δxy ⎯⎯ + ⎯⎯ ky kL Con aislamiento: q ΔT ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Δxy Δxaisl A ΔxL ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ ky kaisl kL (q/A)sin a. – (q/A)con a. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.8 (q/A)sin a. (q/A)con a. 1 - ⎯⎯⎯⎯ = 0.8 (q/A)sin a. (q/A)con a. ⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.2 (q/A)sin a..

(32) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 27. (0.1016/0.7) + (0.0381/0.48) 0.2 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (0.1016/0.7) + (0.0381/0.45) + (Δxaisl/0.065) Δxaisl = 0.058 = 5.8 cm 2.5 Un tubo de paredes gruesas de acero inoxidable (k = 19 W/m oC) de 2 cm de diámetro interior (Di) y 4 cm de diámetro exterior (DE), se cubre con una capa de 3 cm de aislante de asbesto (k = 0.2 W/m oC). Si la temperatura de la pared interna del conducto se mantiene a 600 oC, calcular la pérdida de calor por metro de longitud. La temperatura exterior es 100ºC. Calcular también la temperatura de la interfaz tubo-aislante.. 2π (600 – 100) q 2π (T1 – T3) ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 680 W/m ln(r3/r2) ln(2) ln(5/2) L ln(r2/r1) ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯ ⎯ + ⎯⎯⎯ kaisl ka 19 0.2 Utilizando este flujo de calor, se calcula la temperatura de la interfaz entre la pared del tubo y el aislante. q 2π (T2 – T3) ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 680 W/m L ln(r3/r2)/k T2 = 595.8 oC 2.6 Una pared de cobre (k = 375 W/m oC) de 1 cm de espesor, la cual está expuesta por una de sus superficies a vapor de agua condensándose (h = 10000 W/m2 oC) a una temperatura de 200ºC. La otra superficie está en contacto con aire ambiente (h = 5 W/m2 oC) a una temperatura de 25ºC. Calcular el calor transferido por unidad de área a través de la placa, y las temperaturas de ambas superficies. 200 – 25 q T1 – T2 ⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 874.45 W/m2 A 1 Δx 1 1 0.01 1 ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ k h2 10000 375 5 h1.

(33) 28. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Puesto que el calor transferido por convección del vapor a la placa es igual al calor por conducción a través de ésta y a su vez al calor por convección de la placa al aire. (q/A) = h1(T∞ - T1) ⇒ T1 = T∞ - (q/A)/h1 T1 = 200 - (874.45/10000) = 199.91oC (q/A) = h2(T2 - T∞) ⇒ T2 = T∞ + (q/A)/h2 T2 = 25 + (874.45/5) = 199.89oC 2.7 Una pared de ladrillo de 30 cm de espesor se utiliza en un edificio. En un día de invierno las siguientes temperaturas fueron medidas: temperatura interior del aire, Ti = 21ºC; temperatura exterior del aire, To = - 10ºC; temperatura de la superficie interna, T1 = 13ºC; temperatura de la superficie externa, T2 = - 7ºC. Utilizando k = 1.31 W/m oC, determinar los valores promedio de los coeficientes de transferencia de calor hi y ho. Para la pared de ladrillo: (q/A) = - k(ΔT/Δx) = - 1.31 (- 7 – 13)/0.3 = 87.23 W/m2 (q/A) = 87.33 = h1(21 – 13) ⇒ hi = 10.91 W/m2 oC (q/A) = 87.33 = ho[ - 7 – (- 10)] ⇒ ho = 29.11 W/m2 oC 2.8 Por el interior de un tubo de 2.5 cm de diámetro interior circula agua a 50ºC de modo que hi = 3500 W/m2 oC. El tubo tiene una pared de 0.8 mm de espesor, con una conductividad térmica de 16 W/m oC. El exterior del tubo pierde calor por convección natural con h = 7.6 W/m2 oC. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor y la pérdida de calor por unidad de longitud hacia el aire circundante, que está a 20ºC. Se calculan las correspondientes resistencias térmicas. 1 1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00364 oC/W (3500) (π) (0.025) (1) hi Ai.

(34) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 29. ln(Do/Di) ln (0.0266/0.025) ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.00062 oC/W 2πkL 2π(16)(1) 1 1 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1.575 oC/W (7.6) (π) (0.0266) (1) ho Ao La resistencia exterior a la transferencia de calor por convección es la mayor y en consecuencia controla la transferencia total de calor. El coeficiente global de transferencia de calor se basará en el área exterior del tubo y por lo tanto: q = (ΔT/ΣR) = U Ao ΔT 1 1 Uo = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ao (ΣR) [(π) (0.0266) (1)] [(0.003364) + (0.00062) + (1.575)] Uo = 7.577 W/m2 oC Observar que el valor es muy próximo al valor de ho = 7.6 q = U Ao ΔT = (7.577) (π) (0.0266) (1) (50 – 20) = 19 W (por m de longitud) 2.9 Calcular el espesor crítico de aislamiento para el asbesto (k = 0.17 W/moC) que rodea a una tubería y se halla expuesto al aire de una habitación a 20ºC con h = 3 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor desde una tubería a 200ºC, de 5 cm de diámetro, cuando se cubre de aislante con el radio crítico y sin aislamiento. re = (k/h) = 0.17/3 = 0.0567 m = 5.67 cm El radio interior del aislamiento es 5/2 = 2.5 cm 2π (200 – 20) 2πL (Ti - T∞) q = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 105.77 W/m 1 ln(5.67/2.5) 1 ln(ro/ri) ⎯⎯⎯ + ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ k reh 0.17 (0.0567) (3) Sin aislamiento, la convección desde la superficie exterior de la tubería es:.

(35) TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 30. (q/L) = (h) (2π) r (Ti – To) = (3) (2π)(Ti – To) = (3) (2π) (0.025) (200 – 20) (q/L) = 84.8 W/m Luego la adición de 3.17 cm de aislamiento, lo que está haciendo es aumentar la transferencia de calor en 105.73 – 84.8 = 20.93 W/m. 2.10. Para una placa plana con generación uniforme de calor se tiene los siguientes datos: k = 200 W/m oC, q* = 40 MW/m3, T1 = 160ºC (x=0) , T2 = 100ºC (x=2L), espesor de la placa 2 cm. Determinar: (a) T como una función de x. (b) q/A en la cara izquierda. (c) q/A en la cara derecha. (d) q/A en el centro de la placa.. a) ⎡ T − T1 q * (2 L − x ) ⎤⎥ x + T1 T=⎢ 2 + 2 L 2 k ⎣ ⎦ ⎡ 100 − 160 ( 4 x 10 7 ) (0.02 − x ) ⎤ 3 5 2 T=⎢ + ⎥ x + 160 = 160 − 10 x − 10 x 2 (200) ⎥⎦ ⎢⎣ 0.02. T en oC. y. x en m. b) Se calcula dT/dx en x = 0 y se reemplaza en la ecuación de Fourier. (dT/dx) = - 103 – (2) (105) x (dT/dx) x=0 = - 103 (q/A) = - k (dT/dx) = - (200) (-103) = + 200 kW/m2 El signo + significa que el calor fluye hacia el interior de la cara izquierda. c) Se calcula dT/dx en x = 2L y se reemplaza en la ecuación de Fourier (dT/dx)2L = - 103 – 2 (105) (0.02) = - 5 (103) (q/A)2L = - k (dT/dx) = - (200) (- 5 x 103) = 1 MW El balance de energía en la placa es.

(36) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 31. (q/A)x=2L = (q/A)x=0 + (q* x volumen /A) el cual puede ser utilizado para chequear los resultados. d) (dT/dx)x=L = - 103 – 2 (105) (0.01) = - 3 x 103 (q/A)x=L = - (200 (- 3 x 103) = + 600 kW/m2 2.11. Una corriente de 200 amperios pasa a través de un hilo de acero inoxidable (k = 19 W/m oC) de 3 mm de diámetro. La resistividad del acero puede tomarse como 70 μΩ.cm y la longitud del hilo es 1 m. Se sumerge el hilo en un líquido a 110ºC siendo el coeficiente de transferencia de calor por convección de 4 kW/m2 oC. Calcular la temperatura en el centro del hilo y el calor generado por unidad de volumen.. La potencia generada en el interior del hilo se disipa por convección hacia el líquido. P = I2R = q = hA(Ts - T∞) La resistencia del hilo es: R = ρ (L/A) = 70 x 10-6 [100/(π) (0.15)2] = 0.099 Ω donde ρ es la resistividad del hilo. El área superficial del hilo es πDL, luego: (200)2(0.099) = (4000) (π) (0.003) (1) (TP – 110) = 3960 W TP = 215oC El calor generado por unidad de volumen será: P 3960 q* = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 560.2 MW/m3 (π) (0.015)2(1) πr2L.

(37) 32. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. La temperatura en el centro del hilo será: (5.602 x 108) (0.015)2 q* ro2 To = ⎯⎯⎯ + TP = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 215 = 231.6 oC 4k (4) (19). 2.12. Una superficie extendida de sección transversal rectangular tiene las siguientes dimensiones: longitud 3.5 cm, ancho 3.0 cm y espesor 0.2 cm. Si la aleta es de aluminio (k = 205 W/m oC), el coeficiente promedio de transferencia de calor es 600 W/m2 oC, la temperatura en la base es igual a 135ºC y la temperatura del aire ambiente es 40ºC, calcular el calor disipado por la aleta. Considere longitud finita y desprecie el flujo de calor en el extremo de la aleta. q = hPkA (To - T∞) Tanh mL A = (0.03) (0.002) = 6 x 10-5 m2 (2) (A) (2 ) (6 x 10-5) m2 (P/A) ≈ (2/t) ⇒ P = ⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.06 m t 0.002 m m = 2h / kt = (2)(600) /(205)(0.002 ) = 54.1 m-1 L = 0.035. Reemplazando: q=. (600)(0.06)(205)(6x10 −5 (135 – 40) [tanh (54.1 x 0.035)]. q = 60.21 W. PROBLEMAS PROPUESTOS 2.13 Una pared de concreto (k = 1 W/m oC) de 10 cm de espesor tiene sus superficies a 80oC y 20ºC, respectivamente. Calcular el flujo de calor por unidad de área a través de la pared..

(38) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 33. 2.14 Se va a construir una pared de 2 cm de espesor con un material que tiene una conductividad térmica media de 1.3 W/m oC. Se aisla la pared con un material que tiene una conductividad térmica media de 0.35 W/m oC de modo que la pérdida de calor por m2 no supere los 1830 W. Suponiendo que las temperaturas de las superficies interna y externa de la pared aislada son 1300ºC y 30ºC, calcular el espesor de aislante necesario. 2.15 Una pared compuesta está formada por una placa de cobre de 2.5 cm, una capa de asbesto de 3.2 mm y una capa de 5 cm de fibra de vidrio. La pared está sometida a una diferencia de temperaturas total de 560ºC. Calcular el flujo de calor por unidad de área a través de la estructura compuesta. 2.16 Encontrar la transferencia de calor por unidad de área, a través de la pared compuesta esquematizada. Suponer flujo unidimensional.. B C. A T1 = 370oC. T2 = 66oC. D. 2.5 cm. 7.5 cm. 5.0 cm. Se tienen además los siguientes datos: kA = 150 W/m oC, kB = 30, kC = 50, kD = 70, AB = AD , AC = 0.1 m2. 2.17 Una cara de un bloque de 5 cm de espesor se mantiene a 260ºC. La otra cara está cubierta con una capa de fibra de vidrio de 2.5 cm de espesor. El exterior de la fibra de vidrio se mantiene a 38ºC, y el flujo total de calor a través del conjunto cobre-fibra de vidrio es 44 kW. ¿Cuál es el área del bloque? 2.18 Una pared exterior de un edificio consiste en una capa de 10 cm de ladrillo corriente y una capa de 2.5 cm de fibra de vidrio (k = 0.05 W/m oC). Calcular el flujo de calor a través de la pared para una diferencia de temperaturas de 45ºC. 2.19 Una cara de un bloque de cobre de 4 cm de espesor se mantiene a 175ºC. La otra cara está cubierta con una capa de fibra de vidrio de 1.5 cm de.

(39) 34. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. espesor. El exterior de la fibra de vidrio se mantiene a 80ºC, y el flujo total de calor a través del bloque compuesto es 300 kW. ¿Cuál es el área del bloque? 2.20 Un material determinado tiene un espesor de 30 cm y una conductividad térmica de 0.04 W/m oC. En un instante dado la distribución de temperaturas en función de x, distancia desde la cara izquierda, es T = 150 x2 – 30 x, donde x está en metros. Calcular el flujo de calor por unidad de área en x=0 y x=30 cm. ¿Se está enfriando o calentando el sólido? 2.21 Una pared está construida con 2 cm de cobre, 3 mm de lámina de asbesto (k = 0.166 W/m oC) y 6 cm de fibra de vidrio. Calcular el flujo de calor por unidad de área para una diferencia de temperaturas total de 500ºC. 2.22 Una pared está construida con una chapa de 4 mm de espesor de acero inoxidable (k = 16 W/m oC) con capas plásticas idénticas a ambos lados del acero. El coeficiente de transferencia de calor global, considerando convección a ambos lados del plástico es 120 W/m2 oC. Si la diferencia total de temperaturas a través del conjunto es 60ºC, calcular la diferencia de temperaturas a través del acero inoxidable. 2.23 Un depósito esférico, de 1 m de diámetro, se mantiene a una temperatura de 120ºC y está expuesto a un ambiente convectivo con h=25 W/m2 oC y T∞ = 15ºC, ¿qué espesor de espuma de Styrofoam habría que añadir para asegurarse que la temperatura externa del aislante no sobrepase los 40ºC? ¿Qué tanto por ciento de reducción de pérdida de calor se obtiene al instalar este aislante? 2.24 Una pared de concreto de 15 cm de espesor, tiene una conductividad térmica k = 0.865 W/m oC y está expuesta al aire a 20ºC por una cara y a aire a –7ºC por la cara opuesta. Los coeficientes de transferencia de calor son hI = 11.34 w/m2 oC sobre la cara de 20ºC y ho = 56.7 W/m2 oC sobre la cara de –7ºC. Determinar el flujo de calor transferido y la temperatura superficial de las dos caras. 2.25 La pared de un horno de una estufa está constituida por dos placas de acero delgadas, con aislante de fibra de vidrio (k = 0.035 W/m oC) en el interior de ellas. La temperatura máxima de operación del horno puede suponerse 250ºC, mientras la temperatura ambiente de la cocina es 35ºC. Calcular el espesor de aislante que deben tener las paredes para evitar que la temperatura en la superficie exterior no exceda de 60ºC. El coeficiente de transferencia de calor para convección en ambas superficies puede suponerse 10 W/m2 oC..

(40) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 35. 2.26 La pared de una casa se puede aproximar a dos capas de 1.2 cm de plancha de fibra aislante, una capa de 8 cm de asbesto poco compacta, y una capa de 10 cm de ladrillo corriente. Suponiendo coeficientes de transferencia de calor por convección de 15 W/m2 oC en ambas caras de la pared, calcular el coeficiente global de transferencia de calor de este conjunto. 2.27 Una tubería de acero de 7.62 cm de diámetro exterior está recubierta con una capa de asbesto de 1.25 cm, la cual a su vez está recubierta con 5 cm de lana de vidrio. Determinar: a) El flujo de calor por metro de longitud. b) La temperatura de la interfaz entre el asbesto y la lana de vidrio, si la temperatura exterior de la tubería es 205ºC y la temperatura exterior de la lana de vidrio es 35ºC. 2.28 Una tubería de acero de 5 cm de diámetro exterior (DE) está recubierta por un aislamiento de 6.4 mm de asbesto (k = 0.166 W/m oC), seguido de una capa de 2.5 cm de fibra de vidrio (k = 0.048 W/m oC). La temperatura de la pared de la tubería es 315ºC, y la temperatura del exterior del aislamiento es 38ºC. Calcular la temperatura de la interfaz entre el asbesto y la fibra de vidrio. 2.29 Una tubería de vapor caliente con una temperatura superficial interna de 250ºC tiene un diámetro interior de 8 cm y un espesor de pared de 5.5 mm. Ésta está recubierta de una capa de 9 cm de un aislante que tiene k = 0.5 W/m oC, seguida de una capa de 4 cm de aislante que tiene k = 0.25 W/m oC. La temperatura exterior del aislamiento es 20ºC. Calcular la pérdida de calor por metro longitudinal. Suponer k = 47 W/m oC para la tubería. 2.30 Una tubería está recubierta con asbesto (k = 0.208 W/m oC). El coeficiente externo de transferencia de calor es 8.5 W/m2 oC. Si Ti = 120ºC y To = 20ºC, construya un gráfico de (q/L) W/m en función del radio ri haciendo variar ri desde 1.25 cm hasta 3.8 cm. Analizar el gráfico respecto al radio crítico de aislamiento. 2.31 Una pared plana de 6 cm de espesor genera internamente un calor de 0.3 MW/m3. Una cara de la pared está aislada, y la otra cara está expuesta a un entorno a 93ºC. El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la pared y el entorno es 570 W/m2 oC. La conductividad térmica de la pared es 21 W/m oC. Calcular la temperatura máxima de la pared. 2.32 En una varilla cuadrada de cobre de 2.5 cm, se genera un calor de 35.3 MW/m3. La varilla está expuesta a un entorno convectivo a 20ºC, y el.

(41) 36. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. coeficiente de transferencia de calor es 4000 W/m2 oC. Calcular la temperatura superficial de la varilla. 2.33 Una placa de 3 cm de espesor genera uniformemente un calor de 5 x 105 W/m3. Una cara de la placa se mantiene a 200ºC y la otra cara a 50ºC. Calcular la temperatura en el centro de la placa para k = 20 W/m oC. 2.34 En una placa de acero inoxidable cuyo k = 20 W/m oC, se genera calor de manera uniforme. El espesor de la placa es 1 cm y la generación de calor es 500 MW/m3. Si las dos caras de la placa se mantienen a 100ºC y 200ºC, respectivamente, calcular la temperatura en el centro de la placa. 2.35 Una placa con un espesor de 4 mm tiene una generación interna de calor de 200 MW/m3 y una conductividad térmica de 25 W/m oC. Una cara de la placa está aislada y la otra cara se mantiene a 100ºC. Calcular la temperatura máxima de la placa. 2.36 El alambre de un calentador de resistencia eléctrica tiene un diámetro de 2.03 mm. La resistividad eléctrica es 80 x 10-6 Ω.cm y la conductividad térmica es 19.03 W/m oC. Para una corriente eléctrica de 150 amperios que pasa por el alambre, determinar la elevación de temperatura desde la superficie del alambre hasta su centro. 2.37 Un cable de 30 cm de largo de acero inoxidable y 3.2 mm de diámetro, se somete a un voltaje de 10 voltios. La temperatura de la cara externa del cable se mantiene a 93ºC. Calcular la temperatura del centro del cable. Tomar la resistividad del cable como 70 μΩ.cm y la conductividad térmica como 22.5 W/m oC. 2.38 Un cable eléctrico de una aleación de aluminio tiene k = 190 W/m oC, un diámetro de 30 mm, y transporta una corriente eléctrica de 230 amperios. La resistividad del cable es 2.9 μΩ.cm, y la temperatura de la superficie exterior del cable es 180ºC. Calcular la temperatura máxima dentro del cable si el aire ambiente está a 15ºC. 2.39 El exterior de un hilo de cobre de 2 mm de diámetro está expuesto a un entorno convectivo con h = 5000 W/m2 oC y T∞ = 100ºC. ¿Qué corriente debe pasar a través del hilo para que la temperatura en el centro sea de 150ºC? La resistividad del cobre es 1.67 μΩ.cm. 2.40 Un tubo hueco que tiene 2.5 cm de diámetro interior y una pared de 0.4 mm de espesor está expuesto a un entorno con h = 100 W/m2 oC y T∞ = 40ºC. ¿Qué generación de calor por unidad de volumen dentro del tubo.

(42) CAPITULO 2 : CONDUCCION ESTACIONARIA UNIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 37. originará una temperatura máxima del tubo de 250ºC para k = 24 W/m o C? 2.41. Por el interior de una tubería de aluminio de 2.5 cm de diámetro interior (DI) circula agua. El espesor de la pared es 2 mm, y el coeficiente de convección en el interior es 500 W/m2 oC. El coeficiente de convección en el exterior es 12 W/m2oC. Calcular el coeficiente global de transferencia de calor.. 2.42 Una esfera de acero inoxidable (k = 16 W/m oC) que tiene un diámetro de 4 cm está expuesta a un ambiente convectivo a 20ºC, h = 15 W/m2 oC. Dentro de la esfera se genera un calor uniforme de 1.0 MW/m3. Calcular la temperatura en el centro de la esfera. 2.43 Una aleta recta rectangular de 2 cm de espesor y 14 cm de longitud está fabricada en acero y colocada en el exterior de una pared mantenida a 200ºC. La temperatura del ambiente es de 15ºC, y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 20 W/m2 oC. Calcular el calor perdido por la aleta por unidad de anchura. 2.44 Una aleta recta rectangular tiene una longitud de 2 cm y un espesor de 1.5 mm. La conductividad térmica es 55 W/m oC, y está expuesta a un ambiente convectivo a 20ºC y h = 500 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor máxima posible para una temperatura de la base de 150ºC. ¿Cuál es la pérdida real de calor para esta temperatura de la base? 2.45. Una aleta anular de perfil rectangular rodea un tubo de 2.5 cm de diámetro. La longitud de la aleta es 6.4 mm, y el espesor es de 3.2 mm. La aleta está fabricada con acero templado. Si se sopla aire sobre la aleta de modo que se alcance un coeficiente de transferencia de calor de 28 W/m2 oC, y las temperaturas de la base y el aire son 260 y 93oº, respectivamente, calcular la transferencia de calor desde la aleta.. 2.46 Una aleta de aluminio de 1.6 mm de espesor rodea un tubo de 2.5 cm de diámetro. La longitud de la aleta es 12.5 mm. La temperatura de la pared del tubo es 200ºC y la temperatura ambiente es 20ºC. El coeficiente de transferencia de calor es 60 W/m2 oC¿Cuál es el calor perdido por la aleta? 2.47. Una aleta recta de perfil rectangular está fabricada en duraluminio (94% Al, 3% Cu) con un espesor de 2.4 mm. La aleta tiene 19 mm de longitud, y está sometida a un entorno convectivo con h = 85 W/m2 oC. Si la temperatura de la base es 90ºC y el ambiente está a 25ºC, calcular la transferencia de calor por unidad de longitud de la aleta..

(43) 38. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 2.48 Un tubo de 2.5 cm de diámetro tiene aletas anulares de perfil rectangular, longitudinalmente espaciadas en incrementos de 9.5 mm. Las aletas son de aluminio, de 0.8 mm de espesor y 12.5 mm de longitud. La temperatura de la pared del tubo se mantiene a 200ºC, y la temperatura ambiente es 93ºC. El coeficiente de transferencia de calor es 110 W/m2 o C. Calcular la pérdida de calor del tubo por metro de longitud. 2.49 Una aleta recta rectangular de acero (1% de C) tiene 2.6 cm de espesor y 17 cm de largo. Está colocada en el exterior de una pared mantenida a 230ºC. La temperatura del aire circundante es 25ºC, y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 23 W/m2 oC. Calcular la pérdida de calor de la aleta por unidad de anchura y el rendimiento de la aleta..

(44) CAPITULO 3. CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL La ecuación de Laplace aplicable a un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional y suponiendo conductividad térmica constante sin generación de calor es: ∂2T ∂2T ∂2T ⎯⎯ + ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 ∂x2 ∂y2 ∂z2 El objetivo fundamental es con frecuencia determinar el flujo de calor o la temperatura resultante de un flujo de calor. Teniendo en cuenta que la principal aplicación de la ecuación anterior se hará sólo en las dimensiones x, y (flujo bidimensional) la ecuación será: ∂2T ∂2T ⎯⎯ + ⎯⎯ = 0 ∂y2 ∂x2 La solución de la ecuación anterior proporciona la temperatura en un cuerpo bidimensional como función de x e y. El flujo de calor puede calcularse después a partir de las ecuaciones de Fourier: qx = - kA (∂T/∂x). y. qy = - kA (∂T/∂y). Estos flujos de calor se dirigen en la dirección x o y. El flujo total de calor en cualquier punto del material es el resultado de qx y qy en este punto. El vector flujo total de calor es entonces perpendicular a las líneas de temperatura constante en el material (ver figura)..

(45) 40. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. qy. q = qx + q y. qx. Existen diferentes métodos para resolver la ecuación de Laplace, entre los cuales están: técnicas analíticas, gráficas, numéricas y análogas.. 3.1 SOLUCION ANALITICA Considerando la placa rectangular del diagrama, como caso particular y más sencillo y resolviendo la ecuación de Laplace por el método de separación de variables y con una distribución sinusoidal de temperaturas se tiene:. Y T = f(x). T1. T1. H. T1 W. X. Para las siguientes condiciones de contorno: T = T1 en y = 0 ; T = T1 en X = 0 ; T = T1 en x = W ; T = T2 en y = H.

(46) CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. T – T1 2 ⎯⎯⎯ = ⎯⎯ T2 – T1 π. ∞. ∑ n=1. 41. ( - 1)n+1 + 1 nπx senh (nπy/W) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ sen ⎯⎯⎯ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ n W senh (nπH/W). 3.2 SOLUCION GRAFICA. La figura representa una tubería con una capa de material aislante. La superficie interior está a T1 mientras que la superficie exterior se encuentra a T2 y existe un flujo de calor en la dirección T1> T2.. isotermas típicas. Δx Δy T1 > T2 T2. Como se ve en la figura, las isotermas y las líneas de flujo de calor forman grupos de figuras (elementos) curvilíneas. El flujo de calor por unidad de profundidad para cada elemento será: (q/L) = - k Δx (ΔT / Δy) Cada sección perpendicular a la línea isotérmica puede llamarse un “ducto” de flujo de calor y el número de éstos correspondiente a un área determinada será M. Si en cada elemento Δx ≅ Δy se tiene: (q/L) = k ΔT. ΔT debe tomarse positivo.

(47) 42. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Como el flujo de calor es proporcional a ΔT a través de cada elemento debe ser el mismo dentro de cada “ducto” de flujo de calor, por lo tanto: ΔT = ΔTglobal / N = (T1 – T2) / N. N = número de elementos por ducto. Luego el flujo de calor a través de los M “ductos” de calor será: q (T1 – T2) ⎯⎯ = k ⎯⎯⎯⎯ x M L N Para el ejemplo de la figura, en cada cuadrante: M = 4 y N = 4. Luego (M/N) = 1. La relación (M/N) se denomina factor de forma conductivo y se representa por la letra S. En un sistema bidimensional en el que sólo hay involucradas dos temperaturas límite el flujo de calor por unidad de profundidad será: q/L = k S ΔTglobal = k S (T1 – T2) Valores de S se han calculado para diversas geometrías y se pueden consultar en la siguiente tabla: Tabla 3-1 Factores de Forma Conductivos Nota: Para objetos inmersos, la diferencia de temperaturas es ΔT = Tobjeto – Tcampo lejano . La temperatura del campo lejano se toma igual a la temperatura de la superficie isoterma para un medio semi-infinito. Sistema Físico Cilindro isotermo de radio r inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma.. Esquema. Factor de forma. Isoterma. Restricciones L>>r. 2πL ⎯⎯⎯⎯⎯ -1 cosh (D/r). 2π L ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln (D/r). L>>r D>3r.

(48) CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Esfera isoterma de radio r inmersa en un medio infinito. Esfera isoterma de radio r inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma ΔT = Tsup – Tcampo lejano. Conducción entre dos cilindros isotermos de longitud L inmersos en un medio infinito.. 4π r. Isoterma. 4πr ⎯⎯⎯⎯ 1 – r/2D. 2πL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 2 2 D – r1 – r2 -1 cosh (⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯) 2r1r2. L>>r L>>D. Cubo inmerso en un medio infinito, lado L 8.24 L. Cilindro isotermo de radio r situado en un medio semi-infinito como se muestra.. Paralelepípedo rectangular isotermo inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma.. 2πL ⎯⎯⎯⎯ ln (2L/r). b -0.59 1.685 L [log (1 + ⎯ ) a b -0.078 x ( ⎯) c. L>>2r. 43.

(49) 44. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Pared plana. A/L. Flujo de calor unidimensional. Cilindro hueco, longitud L. 2πL ⎯⎯⎯⎯ ln(re/ri). L>>r. Esfera hueca 4 π reri ⎯⎯⎯⎯ re - ri Disco delgado horizontal inmerso en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma. Semiesfera inmersa en un medio semi-infinito ΔT = Tesfera – Tcampo lejano Esfera isoterma inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie está aislada.. Dos esferas isotermas inmersas en un medio infinito. Placa rectangular delgada de longitud L, inmersa en un medio semi-infinito cuya superficie es isoterma.. Isoterma. 4r 8r 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -1 (π/2) – tan (r/2D). D=0 D >>2 (D/2r)>1 -1. tan (r/2D) en radianes. 2π r. 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 + (r/2D). 4π r2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 4 r2 (r1/D) 2r2 ⎯ [1- ⎯⎯⎯⎯] - ⎯⎯ 2 1 – (r2/D) D r1 πW ⎯⎯⎯⎯ ln(4W/L) 2π W ⎯⎯⎯⎯ ln(4W/L). D>5rmáx. D=0 W>L D>>W W>L.

(50) CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Discos paralelos inmersos en un medio infinito.. Cilindros excéntricos de longitud L. Cilindro centrado en un prisma cuadrado de longitud L. Cilindro horizontal de longitud L centrado en una placa infinita.. Disco delgado horizontal inmerso en un medio semi infinito cuya superficie es adiabática.. 2π W ⎯⎯⎯⎯⎯ ln(2πD/L). W>>L D>W. 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ π -1 [ ⎯ - tan (r/D)] 2. D>5r. 45. -1. tan (r/D) en radianes. 2πL L>>r2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2 2 2 r1 + r2 - D -1 cosh (⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯) 2r1r2. 2π L ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ln(0.54W/r). L>>W. 2π L ⎯⎯⎯⎯ ln(4D/r). (D/2r) >1 4π r ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -1 (π/2) + tan (r/2D). Para facilitar los cálculos: cosh-1 x = ln (x ±. -1. tan (r/D) en radianes. x2 − 1 ). Un caso particular como la pared tridimensional de un horno, se utilizan por separado factores de forma para calcular el flujo de calor a través de las secciones de las aristas y de las esquinas..

(51) 46. TRANSFERENCIA DE CALOR : NESTOR GOODING GARAVITO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. Si todas las dimensiones interiores son mayores que un quinto del espesor de la pared: Spared = (A/L) ; Sarista = 0.54 D ; Sesquina = 0.15 L A = área de la pared L = espesor de la pared D = longitud de la arista. 3.3 ANALISIS NUMERICO. Consideramos el cuerpo bidimensional de la figura. El cuerpo tiene un espesor uniforme L en la dirección z y no hay gradiente de temperaturas en esta dirección. Considerando incrementos Δx y Δy apropiados, el cuerpo se divide en un gran número de rectángulos, donde cada uno tiene un punto nodal o nodo en su centro..

(52) CAPITULO 3 : CONDUCCION ESTACIONARIA MULTIDIMENSIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯. 47. Un balance de energía al interior de un punto nodal, en estado estacionario es: q 1⇒. n. + q2⇒n + q3⇒n + q4⇒n = 0. Utilizando la ecuación de Fourier:. (T2 – Tn) (T3 – Tn) (T4 – Tn) (T1 – Tn) kL(Δy) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δx) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δy) ⎯⎯⎯⎯ + kL(Δx) ⎯⎯⎯⎯ = 0 Δx Δy Δx Δy Si Δx = Δy T1 + T2 + T3 + T4 – 4 Tn = 0 Para aplicar el método numérico debe escribirse la ecuación anterior para cada nodo dentro del material y resolver el sistema de ecuaciones resultante para las temperaturas de los nodos. La solución del sistema de ecuaciones puede hacerse empleando matrices, regla de Cramer, método de eliminación de variables de Gauss, método de relajación o utilizando el método iterativo de Gauss-Seidel. Para ilustrar la aplicación del método anterior consideramos el ejemplo mostrado en la figura:.

Figure

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Referencias

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