Tema 14 Dibujo Técnico 1ºBachillerato Sandoval

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INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS. DISTANCIAS

OBJETIVOS

1. Reconocer el sistema diédrico o sistema de Monge como el recurso descriptivo gráfico más adecuado en el diseño industrial y arquitectónico.

2. Manejar con soltura los conceptos espaciales de inter-secciones, paralelismo, perpendicularidad y distancias en-tre elementos, traduciéndoles al sistema diédrico.

3. Resolver problemas de distancias entre elementos en el es-pacio, utilizando el sistema diédrico como sistema de me-dida para obtener, fácilmente, verdaderas magnitudes.

1 INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS

1.1 Intersección entre planos conocidas sus trazas: procedimiento general.

Dos superficies planas, no paralelas, se cortan se-gún una recta. Dicha recta intersección i al perte-necer a ambos planos ααyββ, verifica con cada

uno de ellos las condiciones de pertenencia a un plano: su punto traza horizontal I1 estará en la

in-tersección de las trazas horizontalesαα1y ββ1 de

los planos y, su punto traza vertical I2 en la

inter-sección de las trazas verticalesαα2yββ2(fig. 1.1).

1.2 Intersección cuando las trazas de los planos se cortan fuera de los límites del dibujo. Si las trazas de los planos se cortan fuera de los lí-mites del papel, se emplea otro procedimiento al-ternativo para localizar la recta intersección de ambos planos: consiste en localizar puntos de la recta intersección diferentes de sus puntos traza. Para ello, se corta a los planosααyββdados, me-diante planos auxiliares horizontales o frontales, del tipo ωω o δδque muestra la fig.1.2.

Por tanto, se trazan paralelas a la LT para encon-trar las trazas verticales A’’ y B’’ de las rectas a y

b . Las proyecciones horizontales a’ y b’ serán

res-pectivamente paralelas a las trazas horizontales αα1

yββ1de los planos. De esta forma se localiza el

punto M’, proyección horizontal del punto M, perte-neciente a la recta intersección de ambos planos. Asimismo, para localizar otro punto de la recta in-tersección y con ello definirla, se puede operar con planos frontales del tipo del plano

δδ

como muestra la perspectiva. Así se obtendría otro punto N que unido con M determinaría la recta intersección. La representación diédrica que se acompaña a la derecha de la visión en perspectiva (fig.1.2) – que únicamente pretende ayudar en la percepción es-pacial para su representación en el sistema dié-drico –, muestra la recta intersección i de los pla-nosααyββ cuyas trazas verticales salen fuera de los límites de la superficie del dibujo. Por ello, y en correspondencia con lo que ilustra la perspectiva, se ha utilizado para determinar el punto M de la recta i, un plano auxiliar horizontal que, unido al punto traza horizontal I1, define la recta

intersec-ción de los planosααyββconsiderados.

2 INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO

La intersección de una recta r con un plano αα, no

palalelo a la recta, obviamente, es un punto. Es evidente que si por una recta r se hace pasar un plano cualquieraππ(en el sistema diédrico pre-ferentemente un plano proyectante) y, se halla la recta intersección i, del plano ααcon el plano ππ,

(según se muestra en el esquema gráfico de la de-recha), el punto común de la recta i con la r deter-mina el punto intersección I de ésta con el plano αα.

2.1 Intersección de recta y plano dado por sus trazas.

En diédrica, por su facilidad de uso, se hace pa-sar por la recta r, indistintamente, un plano pro-yectante horizontal (caso de la fig. 2.1 con el pla-noππ) o bien un plano proyectante vertical. La recta i , intersección de ππcon αα, corta a la recta r en el punto I buscado.

2.2 Intersección de recta y plano dado por tres puntos o por dos rectas que se cortan. Cuando el plano no está dado por sus trazas sino por tres puntos A , B, C o por dos rectas AB y AC se sigue idéntico procedimiento.

En la fig. 2.2 se ha considerado el plano proyec-tante horizontal que contiene a la recta r : su pro-yección horizontal r ’ es coincidente con la proyec-ción horizontal i’ de la recta i (recta intersecproyec-ción del plano proyectante ππque contiene a la recta r con el plano AB C ). Considerados los puntos 1’ y

2’ se obtienen sus correspondientes proyecciones

verticales 1’’ y 2’’ que definen i’’ y con ello la pro-yección I’’ del punto intersección buscado. En los ejercicios de intersección de recta y plano se supone, en ocasiones, que el plano es opaco y se diferencian en la recta que lo atraviesa las regio-nes cuyas proyeccioregio-nes son vistas u ocultas para un observador situado en el primer cuadrante.

α2 β2 β1 α1 I1 I2 i’’ i’ α2 β₂ β1 α1 I’’2 I’2 I’’1 I’1 i’’ i’

V

H

1.1 Perspectiva y representación diédrica de la intersección de dos planos αα y ββ.

H

V

1.2 Perspectiva y representación diédrica de la intersección de dos planos αα y ββ cuando alguna o ambas trazas se cortan fuera de los límites del papel.

1’’ 2’’ 1’ 2’ B’ A’ C’ C’’ B’’ A’’ I’ I’’ i i’’ r’’ r’ i’ α I π r α2 π2 π1 α1 α2 π1 I’’ I’ I” I’ i π r α1 I

H

V

1º.- Trazar π (r) 2º.- πØα i 3º.- i Ø r I PASOS A SEGUIR ESQUEMA i i” π2 r’ i’ r” i” r” r’ i’ α Plano horizontal ω β1 I1 α1 β2 α2 N A B M a b ω2 δ1

H

I2

V

H

i’’ i’ β1 α1 α2 β2 ω2 I”1 I’2 I’1 A’ B’ b’ M’ a’ M’’ B’’ A’’ Plano vertical δ i a’’ b’’ I’1 I’’1 _I’ 2 I’’2

β

_α

β

2.1 Perspectiva y representación diédrica de la obtención del punto intersección de una recta r con un plano αα dado por sus trazas αα1 y αα2.

rØ α I

π

2.2 Intersección de una recta r con plano dado por tres puntos ABC, mediante el «método directo».

(2)

B’’2 A’1 β1 β2 α2 α1 B’1 A’’2 A’2 A’’1 B”1 B’2 b’’ β2 β1 α2 β2 β1 α1 α1 A1 α2 A2 a’ b’ B1 β2 β1 A’’2 B’’2 A’’1 A’1 B’2 B’’1 B’1 P’ P” α2 α1 α p A’2

V

H

α1 α2

α

q 3.2 Esquema y representación diédrica de una recta p pa-ralela al plano αα ; es decir, paralela a una recta q con-tenida en dicho plano.

α b

H

V

B2 m’’ n’’ u’ v’

3.1b Rectas paralelas: las proyecciones homónimas son paralelas.

3.3.1 Paralelismo entre los planos αα y ββ: las trazas homónimas son paralelas.

3.3.2 Consecuencia del paralelismo entre planos.

3.1c Rectas paralelas contenidas en un mismo plano proyectante.

3.1d Rectas paralelas y a la vez perpendiculares al plano de proyección.

3.1a b’’ a’’ a e” d” Plano pr oyectante

V

H

e’ d’ d e A1 a’’ A2 a’ b’’ b’ B1 B2

V

H

a b m’ n’ π π m n a’ c’ b’ π a b c π

β

α

β

α

P p” p’ q’ q” a’’ a’ b’ b’’ e’ d’ d’’ e’’ n’ m’ v’’ u’’ a’ _b’ a’’ 3 PARALELISMO

Todas las construcciones que se llevan a cabo en diédrico para la resolución de problemas o para comprobaciones de paralelismo entre rectas, pla-nos o rectas y plapla-nos, se basan en las propieda-des del espacio que se indican a continuación. 3.1 Paralelismo entre rectas. Fundamentos.

•Figura 3.1a .

«Si dos rectas a y b son paralelas también lo son sus proyecciones a’ y b’ sobre un planoππ cualquiera».

No es cierto, en cambio, lo recíproco (condición necesaria pero no suficiente), ya que aunque sean paralelas las proyecciones, por ejemplo b’ y c’ so-bre un mismo planoππde las rectas del espacio b

y c , no se puede asegurar que las rectas ( b y c) lo

sean. •Figura 3.1b .

«Cuando son paralelas las proyecciones de dos rectas sobre dos planos distintos secantes las rectas del espacio son, también, paralelas».

Si la proyección a’ es paralela a la b’ y además la proyección a” es paralela a la b” las rectas a y b son paralelas.

En diédrico las rectas de perfil son una excepción de esta propiedad. Todas ellas tienen sus proyec-ciones horizontales y verticales perpendiculares a la LT y, por tanto, paralelas entre sí; sin embargo no son, en general, paralelas.

•Figura 3.1c .

«Si las proyecciones de dos rectas sobre un plano se confunden y las proyecciones sobre otro plano secante son paralelas, las rectas son paralelas».

O sea que, si la proyección e’ es la misma recta

d’, y además e’’ es paralela a d’’, las rectas e y d son paralelas.

•Figura 3.1d.

«Si las proyecciones de dos rectas sobre un mismo plano se reducen a un punto, las rectas son paralelas».

Es el caso de las rectas m y n , donde las proyec-ciones sobre el planoππson los puntos m’ y n’ res-pectivamente.

En diédrico, las rectas pueden ser de punta (m y

n ) o perpendiculares ( u y v ) al plano horizontal. 3.2 Paralelismo entre recta y plano.

«Para que una recta sea paralela a un plano bas-ta que sea paralela a una recbas-ta de dicho plano».

En la fig. 3.2 , la recta p es paralela al plano ααsi es paralela a la recta q contenida en dicho plano. En este caso la recta p no corta al plano en ningún punto (condición de paralelismo de recta y plano). 3.3 Paralelismo entre planos.

«Dos planos paralelos cortan a un tercer plano según rectas paralelas».

En la fig. 3.3.1 , si los planosαα y ββ son paralelos y cortan a un tercer plano

H

o

V

, las rectas de

in-tersección o trazasαα1y ββ1 o αα2 y ββ2,

respec-tivamente, son paralelas.

En consecuencia, en el sistema diédrico, los pla-nos paralelos tienen sus trazas homónimas parale-las:αα1 paralela aββ1 yαα2 paralela aββ2.

No sólo las trazas de planos paralelos serán para-lelas entre sí, sino que, además, lo serán las pro-yecciones de todas las rectas horizontales de am-bos planos. Análogamente sucede con las rectas frontales de ambos planos.

Nótese que, en general, las rectas contenidas en dos planos paralelos simplemente se cruzan. Para que además sean paralelas, deben ser pa-ralelas sus proyecciones, como se indica en la

fig. 3.3.2: a’ es paralela a b’ y a’’ es paralela a b’’, lo que significa que las rectas a y b del

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P’’

P’

α1

α2

4.1a Teorema de las tres perpendiculares. 4.1b Recta perpendicular a un plano. 4.1c Haz de planos perpendicular a otro plano.

4.2b

4.3b

4.4 Planos perpendiculares entre sí.

4.3a Plano ββ que pasa por un punto Q y es perpendicular

a la recta r. β2 β1 h’ h Q Q’ Q’’ H2

V

h’’ r r’ r’’ Q’ Q” r’ r” β1 H’2 H’’2 β2 h’’ h’

V

α

4.2a Recta r perpendicular a un plano αα.

r’’ r’ r’ r’’ α2 α1 P’ P P’’ r β

π

90° a a’ b’ a b P e c d

α

p α2 π2 P’’ P’ i’ i’’ I’1 I’2 I’’2 I’’1 π1 α1 b α β

γ

π

i

π

_α

π

α

β

α

β 171 4 PERPENDICULARIDAD

La relación de perpendicularidad puede darse entre dos rectas ; dos planos o entre una recta y un plano.

En proyecciones diédricas, en contra de lo que sucede en paralelismo, dos rectas que son per-pendiculares, o dos planos que son perpendi-culares, no guardan relación singular entre sí; es decir, que la perpendicularidad no se con-serva en el paso del espacio a la proyección. 4.1 Fundamentos.

En la resolución de los problemas de perpen-dicularidad se han de tener en cuenta los si-guientes principios geométricos.

•Figura 4.1a .

Teorema de las tres perpendiculares: «Si dos rectas son perpendiculares en el es-pacio (cruzándose o cortándose) y una de ellas es paralela a un plano, las proyeccio-nes ortogonales de las dos rectas sobre di-cho plano son perpendiculares entre sí».

Las rectas a y b son perpendiculares entre sí y, por consiguiente, los planos ααyββque las contienen serán perpendiculares entre sí, sien-do, asimismo, perpendiculares al planoππ. •Figura 4.1b .

«Si una recta es perpendicular a un plano, también lo es a todas las infinitas rectas con-tenidas en él».

La recta p es perpendicular al planoαα y, por tanto, también a las rectas a , b, c , d , … En de-finitiva, dos rectas, p y e por ejemplo, serán perpendiculares si por una de ellas se puede trazar un planoαα perpendicular a la otra. •Figura 4.1c .

«Un plano ααserá perpendicular a otroππ cuando contenga a una recta i perpendicu-lar al mismo».

•Figura 4.1c .

«Un plano ππserá perpendicular a otros dos (αα, ββ,

γγ

, … ) cuando lo sea a su recta inter-sección ( i ) , y recíprocamente».

Todos los planos del haz que pasan por i son perpendiculares al planoππ.

4.2 Perpendicularidad entre recta y plano. Como se ha dicho anteriormente, si una recta r es perpendicular a un planoαα, será

necesaria-mente perpendicular a todas las rectas conteni-das enααy, por consiguiente, a su traza αα1;

por ello, la proyección r’ de la recta será per-pendicular a la trazaαα1del plano. ( Fig. 4.2a ) .

Idéntico razonamiento puede hacerse con res-pecto al plano vertical de proyección. Por tanto, si el sistema diédrico trabaja, básicamente, con los dos planos de proyección (

H

y

V

) puede

enunciarse la siguiente conclusión:

«Para que una recta sea perpendicular a un plano ha de verificarse que las proyecciones de la recta sean perpendiculares a las trazas homónimas del plano».

Así, si por un punto P se traza una recta r per-pendicular al plano αα( fig. 4.2b), será

suficien-te con dibujar por P’ y P’’ las proyecciones r’

y r’’ perpendiculares a las trazas del plano.

4.3 Plano que pasa por un punto dado y es perpendicular a una recta.

Análogamente, para trazar por un punto Q da-do un plano ααperpendicular a una recta r , bastará con trazar por las proyecciones del punto ( Q’ - Q’’ ) una horizontal h del planoββ,

cuya proyección h ’ sea perpendicular a la proyección horizontal r’ de la recta dada (o bien una frontal f del plano ββ, cuya

ción vertical f ’’ sea perpendicular a la

proyec-ción vertical r’’ de dicha recta).

En la fig. 4.3 puede verse cómo por el punto traza vertical H2de la horizontal h, que pasa

por el punto Q , se dibuja la trazaββ2,

perpendi-cular a r’’ ; y por el punto de corte de dicha tra-za con la línea de tierra la tratra-za horizontal ββ1,

perpendicular, asimismo, a la proyección hori-zontal r’ (paralela a h’).

4.5 Recta perpendicular a otra.

De acuerdo a lo dicho en la fig. 4.1b , todas las rectas que estén contenidas en un plano per-pendicular a una recta dada serán perpendicu-lares a ella. Por tanto, para dibujar una recta perpendicular a otra dada y que pase por un punto P , bastará determinar el punto I de in-tersección del plano que contiene a P y es per-pendicular a la recta. La recta PI determina la perpendicular a la recta dada.

4.4 Plano perpendicular a otro.

De acuerdo a lo dicho en la fig. 4.1c , el plano ααserá perpendicular a otro ππcuando uno de ellos, por ejemplo el αα, contenga a una recta ( i ) perpendicular al otro. Por consiguiente,

to-dos los planos que pasen por la recta i serán perpendiculares aππ, de ahí que existan

infini-tas soluciones.

En la fig. 4.4, para trazar por el punto P un pla-no a perpendicular a otroππdado, se comienza por dibujar una recta i ( i’ - i’’ ) perpendicular a ππ. Cualquier plano cuyas trazas pasen por las trazas de la recta i , esto es por I’1e I’’2, será

(4)

5 DISTANCIAS

Como se recordó en geometría plana, hablar de distancia es referirse a la mínima distancia que existe entre dos elementos geométricos ( puntos, rectas o planos ) , es decir, hallar la verdadera magnitud del segmento que los une. Siempre, claro está, partiendo de su representación en el sistema diédrico.

Dentro de este epígrafe se desarrollan aspectos que constituyen una aplicación directa de los conceptos tratados anteriormente en perpendicu-laridad.

5.1 Distancia entre dos puntos.

Como sabemos, distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los une.

Si proyectamos ortogonalmente un segmento AB sobre un plano de proyección paralelo a él es evidente que obtendremos un segmento A’B’ idéntico al AB del espacio. Pero cuando el seg-mento es oblicuo al plano de proyección no apa-rece en verdadera magnitud, por tanto, se hace precisa la obtención y, consiguientemente, la uti-lización de algún artificio constructivo que con-duzca a determinar el valor real de la distancia entre sus extremos.

5.1.1 Verdadera magnitud de un segmento por diferencia de cotas o de alejamiento entre sus extremos.

En la fig. 5.1.1, se dibuja, a la izquierda, una pers-pectiva de la posición de un segmento AB en el espacio y, a su derecha, las proyecciones diédri-cas del mismo. Si se traza por B una paralela a la proyección horizontal A’B’, se obtiene un triángulo rectángulo de catetos A’B’ y la diferencia de co-tas (∆z), con hipotenusa el segmento AB en el espacio.

Si se considera el segmento A’B’ proyección ho-rizontal del segmento AB y por un extremo, el A en la figura, se traza la perpendicular al segmen-to A’B’, y sobre ella se lleva la magnitud ∆z, se consigue el punto (A) que, unido con B’, deter-mina la distancia real entre los puntos A y B , ex-tremos del segmento considerado. El triángulo rectángulo A’B’(A), situado en el plano

H

,

repre-senta el abatimiento, sobre dicho plano, del trián-gulo espacial coloreado en la ilustración que se acompaña.

5.1.2 Verdadera magnitud de un segmento por giro del mismo, situándolo frontalmente. Si giramos el triángulo rectángulo espacial, con-siderado anteriormente y contenido en un plano proyectante horizontal, alrededor del eje AA’ (que contiene al punto A y es perpendicular al plano

H

sobre el que se proyecta el segmento AB) hasta que quede paralelo al plano vertical, el segmento

AB, ahora AB1, queda situado frontalmente, es

decir, paralelo al plano vertical de proyección. En esta situación la proyección del segmento AB1

sobre el plano vertical

V

, esto es, A’’B’’1, estará en

verdadera magnitud, siendo A’’B’’1= AB.

Tanto éste como el anterior procedimiento para conseguir la verdadera magnitud de un segmento, son las formas más utilizadas para medir o llevar

distancias entre elementos geométricos.

5.2 Distancia de un punto a un plano.

La distancia de un punto P a un plano ααes la magnitud del segmento perpendicular al plano definido por el citado punto P y su punto intersec-ción I con dicho plano. Esto es, la magnitud PI. 5.3 Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto Q a una recta r, viene dada por la longitud existente entre dicho punto y el punto J de corte de la recta con la perpendicu-lar a ella trazada desde dicho punto Q. Esta distancia se consigue trazando por Q un pla-no ααperpendicular a la recta r dada y hallando el punto intersección J de la recta r con el plano αα. La magnitud QJ es la solución buscada.

5.4 Distancia entre rectas paralelas.

La distancia entre dos rectas paralelas r y s vie-ne determinada por la longitud del segmento

MN, cuyos puntos extremos son los de

intersec-ción de las rectas consideradas con un plano cualquiera que cumpla la condición de ser per-pendicular a dichas rectas.

5.5 Distancia entre planos paralelos.

La distancia entre dos planos paralelosααyββ

queda determinada por la longitud del segmen-to AB, delimitado por los punsegmen-tos de intersección, de cada uno de los planos considerados, con una recta r cualquiera que sea perpendicular a ambos planos.

α

B’’ A’’ B’ A’ ¬Z ¬ Z ϕ (A)

5.1.1 Verdadera magnitud de un segmento por diferencia de cotas.

5.1.2 Giro de un segmento AB para situarlo frontalmente y poder medir su verdadera magnitud.

5.2 Distancia de un punto P a un plano αα.

5.4 Distancia entre rectas r y s, paralelas.

5.5 Distancia entre rectas αα y ββ, paralelos.

5.3 Distancia de un punto Q a una recta r. P I d Q d J N M A B d Verdadera magnitud del segmento AB B’’ A’’ A ¬Z ¬Z (A) B’ Verdadera magnitud r r’’ ϕ ϕ r’

V

H

B A’ B’’1 B’1 B’’ A’’ O’’ O’ A’ B’ Verdadera magnitud del segmento AB r’’ r’1 r’’1 r’ r’ r’’ B1 B’’1 B’1 B” B B’ O’ A’ O A A’’ O’’

δ

Verdadera magnitud

V

H

r’’ r’ r’1 r’’1 r r1 ϕ

δ

r r s d r

β

Plano paralelo al coordenado

V

e (Eje de giro)

α

Ángulo de AB con el H

(5)

1. Dibuja, representando partes VISTAS y OCULTAS, la RECTA INTER-SECCIÓN del plano

αα

(

αα

1 -

αα

2) con el plano ββ (ββ1 - ββ2).

2. Determina la RECTA INTERSECCIÓN del plano

γγ

(

γγ

1 -

γγ

2) con el pla-no

δδ

, PROYECTANTE VERTICAL, que contiene a la recta r. 3. Representa la RECTA común a las superficies definidas por el cuadrilátero

ABCD y el triángulo PQR. Imagina que ambos polígonos son OPACOS

y de distinto color; con lo que diferenciando partes VISTAS y OCULTAS, debes dibujar cómo se antepone uno sobre el otro, en cada proyección. 4. Halla el punto I, INTERSECCIÓN del plano

αα

(

αα

1-

αα

2) con la recta r (r’-r ’’). 5. Halla el punto I, INTERSECCIÓN al plano

δδ

(

δδ

1-

δδ

2) con la recta r (r’-r’’). 6. Determina el PUNTO COMÚN de la recta r con el cuadrilátero opaco ABCD. Mostrar, como siempre, partes VISTAS y OCULTAS de la recta r.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

I

NTERSECCIONES.

P

OSICIONES

R

ELATIVAS nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS Y DE RECTA CON PLANO

2

3 1

52

4

5 δ

1

δ

2

6

α2 α1

2

3

B’’ A” R” Q” D’’ C’’ P’’ R’ C’ B’ A’ D’ Q’ P’

γ

1

γ

2 r’’

1

α2 α1 _r’ r’ r’’ r’ β2 β1 C” B’’ D’’ A’’ B’ C’ D’ A’ r’ r” r” I’ I’’ η2 η1 I’’ I’ β1 r” I’2 I’’2 I’’1 I’1

δ

1 i’’ i’ 1” 2’ N’ M’ 1’ N” M’’ 2” I’’2 I’2 I’1 I’’1 COMENTARIO

Al ser el plano δδ (que contiene a r) proyectante vertical, las proyecciones verticales de todos sus elementos coincidirá con la traza vertical δδ2y, por ello, coincidente con la

proye-cción vertical de la recta común a ambos planos. Por tanto: γγØ δδ Ö i (i’ - i”).

PASOS 1. Se traza el plano proyectante ββ que contiene a la recta r. 2. αα Ø ββ Ö i 3. i Ø r Ö I r’’ i’’ i’ i’ r’’ i’’ r’ 2‘‘ 1’’ 1’ I’ I’’ i” r” 2’ r’ i’ I’1 I’2 I’’1 I’’2

δ

2 i’’ i’ i” i’ β2

(6)

VERIFICACIONES

B’’ A‘‘ C’’ A’ C’ B’ 1. Representar la RECTA INTERSECCIÓN del plano

αα

con el plano proyectante horizontal

ββ

.

2. Determinar el PUNTO INTERSECCIÓN de la recta r con el plano definido por el TRIÁNGULO OPACO ABC. Con ello, representar partes VISTAS y OCULTAS de la recta r, debido a la opacidad del plano.

r’ α2 α1 β1 β2 r’’

1 INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA

CON OTRO PROYECTANTE

2 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANO

DADO POR TRES PUNTOS

1. Representar la RECTA INTERSECCIÓN del plano

αα

con el plano proyectante horizontal

ββ

.

2. Determinar el PUNTO INTERSECCIÓN de la recta r con el plano definido por el TRIÁNGULO OPACO ABC. Con ello, representar partes VISTAS y OCULTAS de la recta r, debido a la opacidad del plano.

1’’ I’’ 2’’ 1’ I’ 2’ i’ r’ I’’1 I’’2 I’2 I’1 i’’ i’ i’’

(7)

1. Al análisis de la perspectiva que muestra el esquema, se pide: Hallar, en PROYECCIONES DIÉDRICAS, la RECTA intersección del plano

αα

con el ββ, que pasa por la línea de tierra y contiene al punto A. 2. Dibuja las PROYECCIONES DIÉDRICAS de la intersección del TRIÁN-GULO ABC con el CUADRILÁTERO (romboide) MNOP, diferencian-do sus partes VISTAS y OCULTAS. La recta común a ambos planos

se determina mediante dos puntos. Para ello, halla la INTERSECCIÓN de un lado del triángulo con la superficie del cuadrilátero; por ejemplo: ABØ MNOP para determinar un punto de la recta intersección y, BC Ø MNOP para determinar otro punto de dicha recta.

Para facilitar la visión final de las proyecciones, es aconsejable COLO-REAR cada uno de los polígonos en un tono diferente.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

I

NTERSECCIONES.

P

OSICIONES

R

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS

2

3 1

53

1

2

A’ A’’ ESQUEMA DE SITUACIÓN Y ANÁLISIS

H

V

Plano definido por la LT y el punto A β A’’ m’’ m’ A’ P’ P Q A P’’ V δ H m

Plano auxiliar paralelo al HH

α1 α2

δ

2 H’’2 H’2 α δ

V

H

β α i_αβ i’’_αβ i’_αβ B’’ O’’ A’’ C’’ M’’ N’’ P’’ M’ P’ O’ N’ A’ C’ B’ α2 α1 h h’ h’ m’’ (A) P’’ P’

δ

2 H’’2 H’2 h’’ h’ Q’ Q’’ m’ V H i’_αβ i’’_αβ 1’’ 3’’ 2’’ 4’’ 1’ 3’ 2’ U’’ V’’ N’’ P’’ 4’ P’ U’ PASOS EN LA CONSTRUCCIÓN

1º.- AB Ø MNOP Ö punto: U (U’- U”) 2º.- BC Ø MNOP Ö punto: V (V’- V”)

¬ABC Ø MNOP Ö UV (U’V’ - U”V”)

V’

COMENTARIO

αα Ø ββ Ö iαβαβ = PQ

αα Ø δδ Ö h

(8)

VERIFICACIONES

η2

θ

2

η1

θ

₁

INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS

PROYECTANTES VERTICALES

γ

2

δ

2

γ

1

INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA

CON OTRO HORIZONTAL

1. Dibujar la RECTA COMÚN a los planos ηη y θθ PROYECTANTES VERTICALES. Indicar el TIPO DE RECTA que resulta de la INTERSECCIÓN. 2. Determinar la RECTA INTERSECCIÓN del plano

γγ

con otro

δδ

, paralelo al horizontal de referencia. Indicar el TIPO DE RECTA resultante.

1

2

COMENTARIO

Dado que se trata de dos planos perpendiculares al plano vertical de referencia, su recta intersección será, asimismo, perpendicular a éste. Esto es:

COMENTARIO

Al ser uno de los planos horizontal, la recta común a ambos será, igual-mente, horizontal.

Esto es:

1. Dibujar la RECTA COMÚN a los planos ηη y _θθ PROYECTANTES VERTICALES. Indicar el TIPO DE RECTA que resulta de la INTERSECCIÓN. 2. Determinar la RECTA INTERSECCIÓN del plano

γγ

con otro

δδ

,paralelo al horizontal de referencia. Indicar el TIPO DE RECTA resultante.

H’’2 H’2 I’’2 i’’ I’2

γγ

Øδδ Ö h ηηØ

θθ

Ö i i’ h’ h’’

(9)

1. Dados los SEGMENTOS de perfil AB y CD, se desea comprobar si son o no PARALELOS hallando sus TERCERAS PROYECCIONES. 2. Traza por el punto A, TRES RECTAS PARALELAS al plano αα: una h (HORIZONTAL), paralela al HH; otra f (FRONTAL), paralela al VV; y una tercera recta r, CUALQUIERA en posición ARBITRARIA. 3. Traza, por el punto P un PLANO PARALELO a otro ββ dado.

4. Traza por el punto Q un PLANO PARALELO a otro εε dado, paralelo, a su vez, a la LÍNEA DE TIERRA.

5. Dibuja las TRAZAS de un plano ππ que sea PARALELO a la recta d y que contenga a la recta r.

Para ello, traza por un PUNTO CUALQUIERA de la recta r, una recta s PARALELA a la recta d. Las rectas r y s definen el plano ππ pedido.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

I

NTERSECCIONES.

P

OSICIONES

R

PARALELISMO DE RECTAS Y PLANOS

2

3 1

54

A’’ B’’ C’’ D’’ A’ B’ C’ D’ A” A’ α1 α2 β2 β1 P’’ P’ Q’ Q’’

ε

2

ε

1 r’

1 PARALELISMO ENTRE RECTAS DE PERFIL

2 RECTAS PARALELAS A UN PLANO

3 PLANOS PARALELOS

4 PARALELISMO ENTRE PLANOS PARALELOS A LA LT

5 PLANO PARALELO A UNA RECTA CONTENIENDO A OTRA

r’’ d’ d’’ A’’’ C’’’ B’’’ D’’’ y1 y2 y3 y1 y2 y3 A’’

γ

1

γ

2 h’’ h’ H’’2 H’2 s’ t’ t’’ s’’

ω

2

ω

1 T’’1 T’2 T’1 T’’2 π1 π2 s’ A’ A’’ s’’ S’’2 S’1 S’2 R’1 R’2 S’’1 R’’1 R’’2 COMENTARIO

El paralelismo de la tercera proyección, en rectas de perfil, verifica si los segmentos lo son. En el ejercicio: AB äCD.

COMENTARIO

Por un punto exterior a un plano pueden trazarse infinitas rectas paralelas a dicho plano: todas aquéllas que sean paralelas a cualquiera de las contenidas en él.

COMENTARIO

En el ejercicio se ha hecho uso de una horizontal ( h ) contenida en el plano (γγ) que se busca, sabiendo que sus proyec-ciones homónimas serán paralelas a las horizontales del plano ββ.

COMENTARIO

Por un punto arbitrario A de la recta r se traza una parale-la ( s ) a parale-la recta d. Las trazas del pparale-lano ππ pasarán por los puntos traza correspondientes de las rectas r y s.

COMENTARIO

En este caso no es posible emplear horizontales o frontales de plano. Se hace uso de una recta s arbitraria situada en εε, y por el punto dado Q se traza la paralela t. Las trazas del plano ωω buscado pasarán por los puntos traza ( T1-T2) de la recta.

r’’ f’’ s’’ h’’ s’ r’ f’ h’

(10)

1 PARALELISMO ENTRE RECTAS

VERIFICACIONES

M’’

N’

1. Determinar las PROYECCIONES DIÉDRICAS del segmento MN sabiendo que es PARALELO a la recta r. 2. Determinar y dibujar la RECTA INTERSECCIÓN de los planos αα y ββ, PARALELOS a la línea de tierra.

α2 β2 α1 β1 ESQUEMA DE SITUACIÓN LT π2

π

1 α1 β1 β2 I b a δ Paralela a la LT

2 INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS PARALELOS A LA LT

π2

π

1 δ α2 α2 α1 β2 i_αβ r” r’

1. Determinar las proyecciones diédricas del segmento MN sabiendo que es PARALELO a la recta r. 2. Determinar y dibujar la RECTA INTERSECCIÓN de los planos _{αα y ββ, PARALELOS a la línea de tierra.}

N’’ M’ δ1 δ2 COMENTARIO ( b ) ( a ) ( I ) αα Ø ββ Ö iαβ ; Por tanto: αα Ø δδ Ö a ββ Ø δδ Ö b aØb Ö I δδ: Plano auxiliar de perfil

i’’_αβ

(11)

1. Partiendo de representar los puntos: A ( 20 ,25 ,0 ), B ( 20, 35, 25 ), C ( -15, 0, 0 ) y P ( - 40, 50, 25 ), te proponemos:

a) Determinar las TRAZAS del plano αα definido por los puntos A, B y C. b) Dibujar la RECTA m, que pasa por P y es perpendicular al plano αα. c ) Obtener el PUNTO DE INTERSECCIÓN de la recta m con el plano αα.

d) Hallar la DISTANCIA, en posición y magnitud, del punto P al plano αα. Nota.- Para situar los puntos A, B, C y P dados por sus coordenadas car-tesianas, considera el origen en el punto O de la LT.

2. Determina, en posición y magnitud, la MÍNIMA DISTANCIA entre el punto M y la recta r.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

I

NTERSECCIONES.

P

OSICIONES

R

ELATIVAS nombre y apellidos nº curso/grupo fecha

PERPENDICULARIDAD Y DISTANCIAS

2 3 1

55

O r’’ r’ M’’ M’ N M ESQUEMA A B C

α

1 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

2 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

ESQUEMA

α

P m I r i’ C’ C’’ P’’ I’’ I’ A’ B’ h’ P’ α2 β2 α1 β1 ZI -ZP Z I- Z P A’’ B’’ h’’ Verdadera magnitud de PI COMENTARIO

•Intersección de recta m con el plano αα:

m Ø αα Ö punto I. •Distancia PI = 45 mm. α2 N’’ N’ α1 ∆_z ∆ z i’_ωα ω2 F’’1 F’1 Verdadera magnitud de MN f” f’ i’’_ωα ω1 PASOS

1. Por M se traza un plano αα à r. 2. r Ø αα Ö N.

3. MN ( mínima distancia ) = 50 mm.

m’’

i’’