INSTITUTO DE PROFESORES “ARTIGAS”

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INSTITUTO DE PROFESORES “ARTIGAS”

ESPECIALIDAD MATEMÁTICA GEOMETRÍA

UNIDAD 3

FICHA 3: PERPENDICULARIDAD EN EL ESPACIO

1 – Perpendicularidad entre recta y plano 2 – Perpendicularidad entre planos

2008

Material elaborado por la Sala de Geometría

a partir de un trabajo del Profesor Sergio Peralta

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1 – PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO.

DEFINICION – Recta perpendicular a un plano.

Una recta y un plano secantes son perpendiculares, si la recta es perpendicular a toda recta que está contenida en el plano y pasa por el punto de intersección.

TEOREMA 1 – Condición necesaria y suficiente de perpendicularidad entre recta y plano.

La condición necesaria y suficiente para que una recta y un plano sean perpendiculares en un punto, es que la recta sea perpendicular a dos rectas contenidas en el plano que pasen por el punto.

Condición necesaria:

( H ) r ⊥ α O ∈ r O ∈ α a ⊂ α O ∈ a

b ⊂ α O ∈ b ( T ) r ⊥ a ∧ r ⊥ b

La demostración es inmediata por la definición de recta perpendicular a un plano.

Condición suficiente:

( H ) O ∈ r O ∈ α

a ⊂ α O ∈ a r ⊥ a b ⊂ α O ∈ b r ⊥ b ( T ) r ⊥ α

Debemos probar que r es perpendicular a cualquier otra recta c, contenida en α y que pase por O.

Consideraremos dos puntos P y Q de la recta r, que sean simétricos respecto a O y probaremos que c es mediatriz del segmento PQ.

Sean A y B dos puntos pertenecientes respectivamente a las

rectas a y b de modo que la intersección de las rectas AB y c no sea vacía. AB ∩ c = {C}.

Como O equidista de P y Q para probar que c es mediatriz del segmento PQ es suficiente probar que C también equidista de P y Q.

Los triángulos ABP y ABQ son congruentes por tener sus tres lados respectivamente congruentes: el segmento AB es común, los segmentos AP y AQ son congruentes puesto que a es mediatriz del segmento PQ, análogamente con los segmentos BP y BQ.

Dado que los triángulos ABP y ABQ son congruentes, también lo son los triángulos ACP y ACQ, por lo que son congruentes los segmentos PC y QC. Esto significa que C equidista de P

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TEOREMA 2 – Lugar geométrico de las perpendiculares a una recta por un punto.

El lugar geométrico de los puntos que pertenecen a las perpendiculares a una recta en uno de sus puntos, es el plano perpendicular a ella en el punto.

TEOREMA 3 – Plano perpendicular a una recta por un punto.

Por un punto cualquiera pasa un plano y sólo uno, perpendicular a una recta dada.

PLANO MEDIATRIZ

DEFINICION – Se llama plano mediatriz de un segmento AB al plano perpendicular a la recta AB por el punto medio del segmento.

RECTAS ORTOGONALES.

DEFINICION – Una recta (a) es ortogonal con una recta (b) si está contenida en un plano perpendicular a (b).

a || b ⇔ ∃ α / a ⊂ α ∧ α ⊥ b

TEOREMA 4 – Teorema de las tres perpendiculares. Propiedad recíproca de la ortogonalidad de rectas.

Si una recta (a) es ortogonal con (b), entonces (b) es ortogonal con (a).

( H ) a || b ( T ) b || a

Por definición de ortogonalidad:

( H ) ⇔ ∃ α / a ⊂ α ∧ α ⊥ b ( T ) ⇔ ∃ β / b ⊂ β ∧ β ⊥ a

Determinamos el plano β con la recta b y el punto P, proyección de O sobre la recta a.

Por la determinación de β, la recta b está contenida en él. Para probar la tesis sólo resta demostrar que la recta a es perpendicular a ese plano.

La recta a es perpendicular a OP por construcción, justifiquemos que también es perpendicular a cualquier recta determinada por P y un punto Q de b.

Si A y B son dos puntos de a, simétricos respecto a P, resulta que Q equidista de ellos puesto que los triángulos AOQ y BOQ son congruentes. Como Q equidista de A y B y P también, la recta PQ es mediatriz del segmento AB por lo cual a es perpendicular a PQ.

La recta a es perpendicular a dos rectas (OP y PQ) contenidas en β por lo que es perpendicular a este plano.

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2 – PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS.

DEFINICION – Planos perpendiculares.

Un plano α es perpendicular a un plano β, si contiene a una recta perpendicular a β.

α ⊥ β ⇔ ∃ r / r ⊂ α ∧ r ⊥ β

TEOREMA 5 – Propiedad recíproca de la perpendicularidad de planos.

Si un plano α es perpendicular con uno β, entonces β es perpendicular con α.

α ⊥ β ⇒ ∃ r / r ⊂ α ∧ r ⊥ β sean r ∩ β = { P }, α ∩ β = i y s tal que s ⊂ β y s ⊥_P i

r ⊥ β en P ⇒ r ⊥ i y r ⊥ s s ⊥_P r ∧ r ⊂ α

⇒ s ⊥ α

s ⊥_P i ∧ i ⊂ α ⇒ β ⊥ α s ⊂ β

COROLARIO – Perpendicular a la intersección de dos planos perpendiculares, contenida en uno de ellos.

Si dos planos son perpendiculares toda perpendicular a la intersección que esté contenida en uno, es perpendicular al otro.

TEOREMA 6 – Perpendicular a un plano por un punto.

Por un punto pasa una y sólo una recta perpendicular a un plano dado.

Dado un punto P y un plano α construiremos la perpendicular al plano por el punto.

P ∈ α.

Construcción:

1) a ⊂ α

2) b / b ⊂ α ∧ b ⊥ a por P. Sea a ∩ b = {H}

3) β / α ∩ β = a

4) c / c ⊂ β ∧ c ⊥_H a. (b, c) = γ 5) r / r ⊂ γ ∧ r ⊥_P b

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P ∉ α.

Construcción:

1) a ⊂ α 2) β = (a, P)

3) b / b ⊂ β ∧ b ⊥ a por P. Sea a ∩ b = {H}

4) c / c ⊂ α ∧ c ⊥ H a. (b, c) = γ 5) r / r ⊂ γ ∧ r ⊥ c por P

En ambas construcciones, justificar que r ⊥ α y que r es única.

COROLARIOS

Por un punto pasan infinitos planos perpendiculares a un plano dado. Todos los que contienen la recta perpendicular al plano por el punto.

Si dos planos son perpendiculares, la perpendicular a uno de ellos por un punto del otro está contenida en éste.

α ⊥ β, r ⊥ β, P ∈ r, P ∈ α ⇒ r ⊂ α

TEOREMA 7 – Plano perpendicular a dos planos secantes.

Si dos planos son secantes, todo plano perpendicular a ambos es perpendicular a su intersección.

TEOREMA 8 – Plano perpendicular a la intersección de dos planos secantes.

Si dos planos son secantes, todo plano perpendicular a su intersección es perpendicular a cada uno de ellos.

DEFINICIÓN – Rectilíneo de un diedro.

Se llama rectilíneo de un diedro a la intersección del diedro con un plano perpendicular a su arista.

Dado un diedro de caras α y β, sea O un punto cualquiera de su arista r y γ el plano perpendicular a r en O.

El rectilíneo del diedro, es el ángulo aOb, intersección del plano γ con el diedro.

TEOREMA 9 – Rectas perpendiculares a un plano.

Dos rectas perpendiculares a un plano, son paralelas.

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DEFINICIÓN – Recta oblicua a un plano.

Una recta se llama oblicua a un plano, si es secante con él y no es perpendicular.

TEOREMA 10 – Plano perpendicular a otro que contiene una oblicua a él.

Dada una recta oblicua a un plano, existe un sólo plano perpendicular al dado que contiene a la

DEFINICIONES

Proyección ortogonal de un punto sobre un plano.

Se llama proyección ortogonal de un punto A sobre un plano α a la intersección de la perpendicular al plano por A con α.

Distancia de un punto a un plano.

La distancia de un punto a un plano es la distancia entre el punto y su proyección ortogonal sobre él.

Proyección ortogonal de una recta sobre un plano.

La proyección ortogonal de una recta sobre un plano es el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales de sus puntos sobre el mismo.

Ángulo de una recta con un plano.

El ángulo de una recta oblicua con un plano es el menor ángulo que determina la recta con su proyección ortogonal sobre el plano. El ángulo de una perpendicular a un plano con él es un ángulo recto.

La recta r’ es la proyección ortogonal de r sobre α.

El ángulo de r con α es el menor de los ángulos que determinan r y r’.

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NORMAL COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN – Construcción.

Dadas las rectas alabeadas, a y b construiremos una recta r, perpendicular a ambas.

Construcción:

1) h || b por un punto L perteneciente

a la recta (a). α = (a, h).

α es el plano paralelo a (b) que contiene a la recta (a).

2) s ⊥ α por un punto P pertenecien-

te a la recta (b). β = (b, s).

β es el plano perpendicular a α que

contiene a (b).

3) α ∩ β = i i ∩ a = { M }.

4) r / r ⊥ b por M. r ∩ b = { N }.

Justificar la construcción.

Justificar que d(M, N) es la mínima distancia entre un punto de (a) uno de (b).

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PROBLEMAS

I) Sea ABCDEFGH un paralelepípedo recto de base rectangular tal que AB=2a AD=a, AE=ae I es el punto medio del segmento AB.

1) Calcula HC, IC, HI en función de a.

2) Muestra que HI⊥IC.

II) Sea ABCDEFGH un cubo, I punto medio del segmento FB, J punto medio del segmento GC, K punto medio del segmento EA. Probar:

1) AC || BF, IJ || AE.

2) ^IK^⊥

(

^ADE

)

^,^BE ^⊥

⁽

^ADG

⁾

^.

3) ^CH^⊥

(

^ADG

)

^.

¿FC es perpendicular a (IJK)? Justifica.

III) Sea ABCDEFGH un cubo de arista a e I el centro de la cara EFGH.

1) Expresa HF en función de a y para el caso a = 8 construye en verdadera magnitud el cuadrilátero HFBD.

2) Demuestra: i) FD⊥ BI. ii) ^GE^⊥

(

^BDF

)

^,^FD^⊥

(

^EGB

)

^.

IV) ABCD es un tetraedro tal que los triángulos BAC, CAD y DAB son isósceles y rectángulos en A. Sean I , J y K los puntos medios de las aristas BC, CD y DB respectivamente. Demuestra que AIJK es un tetraedro regular.

V) Sea el triángulo ABC de ortocentro H y M un punto de la recta r tal que r es

perpendicular al (ABC) por H . Demuestra que ^AB⊥

(

^MCH

)

y deduce que las aristas opuestas del tetraedro MABC son ortogonales dos a dos .

VI) Sean r y s alabeadas, A exterior a ellas.

Construir t que pase por A y sea ortogonal a r y s.

VII) ABC es un triángulo rectángulo en A y D es un punto de la recta perpendicular al (ABC) que pasa por B. Demuestra que:

1) el plano mediatriz del segmento AB, contiene los puntos medios de los segmentos CD y AD .

2) el plano mediatriz del segmento AC, contiene el punto medio del segmento BC.

VIII) Sea ABCDEFGH un cubo.

1) Demuestra que E y C pertenecen al plano mediatriz del segmento HF y deduce que EC || HF.

2) Demuestra que : EC || AF, ^EC^⊥

(

^AFH

)

^.

3) Construye la intersección de los planos (AEC) y (AFH).

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IX ) ABCD es un tetraedro tal que ABC es equilátero cuyo lado mide a y las aristas AD, BD y CD miden 2a. X e Y son los puntos de AB tales que AX = XY = YB = AB.

Construir en verdadera magnitud:

1) la distancia de C al plano ABD.

2) el rectilíneo del diedro de caras AB,C y AB,D.

3) la sección de ABCD con el plano paralelo al (XCD) por Y.

X) ABCDE es una pirámide recta, cuya base ABCD es un cuadrado que tiene centro O, AB = a y OE = 2a.

1) Construir en verdadera magnitud y calcular el rectilíneo del diedro de caras AB,C y AB,E.

2) Construir en verdadera magnitud y calcular el rectilíneo del diedro que determinan dos

caras laterales.

3) Construir en verdadera magnitud y calcular, en función de a, la distancia de O a las caras laterales.

4) Construir en verdadera magnitud y calcular, el ángulo que forma cada arista lateral con

la base.

5) Calcular, en función de a, la mínima distancia entre dos aristas que se cruzan.

6) Demostrar que ABCDE es inscriptible y calcular, en función de a, el radio de la esfera

circunscripta.

7) Demostrar que ABCDE es circunscriptible y calcular, en función de a, el radio de la esfera inscripta.