EJERCICIOS (supón bases ortonormales)
1. Descompón un vector de módulo 100 en dos componentes rectangulares, tales que sus módulos sean iguales.
2. Dos vectores a y b, vienen expresados por: a = 3.ux + 4.uy + uz y b = 4.ux – 5.uy + 3.uz.
a. Calcula los módulos y los cosenos directores (los cosenos de los ángulos que forma el vector con los vectores de la base) de ambos vectores.
b. Señala si son perpendiculares
3. Dados los vectores a (3, -2, 0) y b (5, 1, -2), deduce sus módulos, su producto es-calar, el ángulo que forman y su diferencia.
4. Conocidos los vectores a (4, a, -2) y b (-a, 2a, 8), averigua el valor de “a”, si dichos vectores son perpendiculares.
5. Determina la suma de los vectores a (4, 8, -6) y b (-5, 0, 6) y el ángulo que forma la resultante con cada vector.
6. Si el producto vectorial de dos vectores a x b = 3.ux - 6.uy +2.uz, y sus módulos son 4 y 7, respectivamente, deduce su producto escalar.
7. Suponiendo dos vectores cuyos módulos son 7 y 8, y el ángulo que forman es de 30°, computa el módulo de su producto vectorial e indica el ángulo que formará con ambos vectores.
8. Los vectores a (3, 2, -5), b (6, -4, 0) y c (0, 7, 4) están sometidos a la siguiente ope-ración: v = 2.a + b +c. Especifica:
a. El módulo de v.
b. El producto escalar de a y v.
9. Dados los vectores a (2, -1, 0), b (3, -2, 1) y c (0, -2, 1), di:
a. (a + b) . c. b. (a - b) x c. c. (a x b) . c d. (a . b) . c e. (a x b) x c
10. El origen de un vector es el punto A (3, -1, 2) y su extremo B (3, 2, 4). Indica su momento (Momento, M=CAxAB) respecto al punto C (1, 1, 2).
11. El vector v (1, -2, 3) está aplicado en el punto P (2, 1, 2). ¿Cuál es su momento respecto al origen de coordenadas? ¿Cuánto valdrá su módulo?
13. Dados los siguientes vectores: a 2iˆ3jˆkˆ
; b 4iˆ3jˆ 3kˆ
y c jˆ 4kˆ
. Determinar:
a) ab b) a3b2c c) (a2b)3c d) (4a3c)2b
e) El ángulo que forma el vector a con cada uno de los ejes coordenados. f) El ángulo entre los vectores: 3b y 2c
14. Hallar las componentes rectangulares del vector |a| = 5, en la dirección 30º respec-to al semieje positivo de las x.
15. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur-Este y F3 = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.
16. Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10 unidades se encuentran formando un ángulo de 60º. Encontrar el producto escalar y el producto vectorial.
17. Sean los puntos A (2, -1, 3), B(-1,5,m), C (m, 2, -2) y D (0, 1,-3). Calcula el valor de m, sabiendo que el paralelepípedo determinado por los vectores AB, AC y AD tiene un volumen de 40 u3.
18. Dados los puntos A(-2,0,1), B (1,-3,2), C (-1, 4, 5) y D (3, 1, -2), calcula: a. El área del triángulo de vértices A, B y C.
b. El volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.
19. Dados los vectores u(2, -1, 1), v (3, -1, 0) y w(m, 2, -m):
a. Halla el valor de m para que u y w sean perpendiculares. b. Calcula el ángulo que forman u y v.
20. Demuestra que los vectores u(k, 3, 2), v (k, 3, 2) y w (1, 0, 0) son linealmente inde-pendientes, cualquiera que sea el valor de k.
21. Dados los vectores u (1, 0, -1) y v (0, 2, -1), se pide hallar, si existe, el valor de a para que el vector a (a, a, - 6) se pueda expresar como combinación lineal de u y v.
22. Dados los vectores u (1, 0, 0) y v (1, 1, 0) halla la proyección de u sobre v, así co-mo el ángulo que forman u y v. Encuentra un vector no nulo que sea combinación lineal de u y v, y que sea perpendicular a (1, 0, 0).
23. Dados los vectores a =2i - j ; b = i + 2j – k ; halla x e y de forma que c =x i + y j sea perpendicular a b y tenga el mismo módulo que a.
25. Calcula los valores de x sabiendo que el triángulo ABC de vértices A(0,3,-1), B(0,1,5) y C(x,4,3) tiene un ángulo recto en C.
26. Halla un vector v coplanario con a(2,-1,1) y b(1,0,3) y ortogonal a c(2,3,0)
27. De dos vectores u y v sabemos que son ortogonales y que |u | = 6, | v | = 10. Cal-cula |u + v | y |u - v |
28. Sean a y b tales que |a | = 4, |b | = 2, con áng(a,b ) = 60º. Calcula |a + b | y |a - b |
29. Dados los vectores u(1,-1,2), v(3,1,-1) halla el conjunto de vectores que, siendo perpendiculares a u, sean coplanarios con u y v.
30. Obten para que los siguientes vectores sean linealmente dependientes u1 (3,2,5), u2 (2,4,7), u3 (1, –3, ). Para = 3 , expresa el vector v(7,3,15) como combinación lineal de u1 , u2 y u3.
31. Dados los vectores u1 (2,0,0), u2 (0,1,-3), u3 = a u1 + b u2 , ¿qué relación deben cumplir a y b para que u3 sea ortogonal al vector v(1,1,1)?
32. Calcula las coordenadas de un vector u que sea ortogonal a v(1,2,3) y w(1,-1,1) y tal que [u, v, w] = 19
33. Comprueba que el paralelogramo determinado por los vectores u(3,-2,1), v(4,3,-6) es rectángulo.
34. Dado el vector v(-2,2,-4) halla las coordenadas de los siguientes vectores: a. Unitarios y de la misma dirección que v.
SOLUCIONES
1. (50√2, 50√2, 0) = (50, 0, 0)+(0, 50, 0)
2.
a. | a | = √26 cos(a,i)= 3/√26 cos(a,j)= 4/√26 cos(a,k)= 1/√26 | b |= √50 cos(a,i)= 4/√50 cos(a,j)= –1/√2 cos(a,k)= 3/√50 b. No
3. | a |= √13 | b |= √30 a · b= 13 (a^j)= 48’8311º a–b (–2, –3, 2).
4. 4 ó –2.
5. a+b = (–1, 8, 0) 46’2922º y 85’4456º.
6. 3 7.
7. 28 y 90º.
8.
a. √229. b. 20.
9.
a. 7
b. (–1, 1, 2). c. 3
d. (0, –16, 8) e. (–4, 1, 2)
10. (-4, -4, 6).
11. (7, -4, -5) y 3√10
12. (1/√26, 3/√26, –4/√26).
13.
a) 2√19 b) (–14, 10, 0) c) –87 d) (–42, 16, 72) g) 122,31º – 36,7º – 74,5º h) 51,40º
14.
0 , 2 5 , 2
3 5
.
15. 13’22 48’8º al Sur-Este.
17.
18.
a. 12’27 b. 22’67
19. a) 2
b) 25’311º
20. –
21. 4
22. (½, ½, 0) 45º (0,b,0) con b no nulo
23. (2, –1, 0) ó (–2, 1, 0)
24. Cualquier valor excepto –2 y 1
25. √5 ó –√5
26. Cualquiera de la forma (–3k, 2k, k), pe. (–3, 2, 1)
27. Los dos valen 2√34
28. 2√7 y 2√3
29. (–3k,k,k)
30. –27/8 v=(28/17, 10/17, 15/17)
31. a=b
32. (5/2, 1, –3/2)
33. u·v=0
GEOMETRÍA
1. Halla el ángulo determinado por los planos x2y50 y 3x2yz40
2. Halla la ecuación del plano que contiene a la recta x=y=z; y forma con el plano XY un ángulo de 45º
3. Determina el ángulo formado por las rectas siguientes:
a)
0 1 5
2
2
x y z
r s(x,y,x)(3,1,4)
1,0,2
b) 3 4 2 3 z y x
r sx yz
4. A) Halla la ecuación de la recta que pasa por P(0, 1, -1) y es paralela a los planos 0
2 2
:x yz
y :2xy2z10 B) Calcula el ángulo que forman y .
5. Dadas las rectas
4 1 2 3 3 2 : 1
y z
x
r y
1 3 3 1 2 1 : 2
y z
x
r halla:
a) La ecuación del plano que contiene a r2 y es paralelo a r1. b) Distancia entre ambas rectas.
6. Considera el plano 2xyz40.
a) Halla los puntos de corte del plano con los ejes coordenados. b) Calcula el área del triángulo determinado por estos tres puntos.
c) Halla el volumen del tetraedro determinado por el plano y los ejes de coordenadas.
7. a) Halla el punto simétrico de P(0, 2, 1) respecto al plano :xyz 2. b) Calcula la distancia del punto al plano.
8. a) Calcula el ángulo que forman las rectas 2 2 1 : z y x r y 1 2 1 2 1 :
y z
x s
b) Obtén la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
9. a) Obtén la ecuación del plano que pasa por el punto medio del segmento PQ
siendo P(2, 1, 0) y Q(0, 3, 4) y es perpendicular a dicho segmento.
b) El plano del apartado anterior corta a los ejes de coordenadas en los puntos A B y C. Calcula el área del triángulo de vértices ABC.
10. a) Determina el punto simétrico de A(-2, 1, 3) respecto a la recta
0 2 2 1 1 :
y z
x r
11. a) Halla la proyección ortogonal de la recta t z t y t x r 2 2 1
: sobre el plano :xyz20.
b) Calcula el ángulo formado por la recta r y el plano.
12. Dadas las rectas 2 2 1 : z y x r y 0 2 2 0 4 3 2 : z y y x
s halla:
a) Distancia entre las dos rectas.
b) Obtén la ecuación de la recta perpendicular a r y s.
13. A(0, 1, 2) B(0, 2, 3) y C(0, 2, 5) son tres vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D
está en la recta
1 1 1 1 2 :
y z
x
r . Halla las coordenadas de D para que el volumen
del tetraedro sea igual a 2
14. Determina la ecuación de un plano paralelo al plano x-y+z+2=0 y que dista 20 unida-des del punto (0, 2, 3).
15. Determina la ecuación del plano que pasa por P(1, -2,0) y es perpendicular a la recta
0 2 3 0 z y y x
16. P(0, 2, 0) Q(2, 1, -1) son dos vértices de un triángulo, y el tercero S, pertenece a la
recta 3 2 : z t y t x
r . La recta que contiene a P y a S es perpendicular a la recta r.
a) Determina las coordenadas de S. b) Calcula el área del triángulo.
c) Halla la ecuación de la mediana que pasa por el vértice P.
17. Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos 0
1 3
2
: x yz
:3xy2z50
18. Di si la siguiente ecuación corresponde a una esfera. En caso afirmativo, calcula su centro y su radio: 3x23y23z224x12y12z360.
19. a) Obtén la ecuación de la esfera que tiene el mismo centro que 0 61 2 2 2 2 2
2
z y x z y
x y es tangente al plano x+y-z+6=0.
20. Se considera la recta 0 3 2 0 : z y x y x
r y el punto P(1, 1, 1). Dado el punto Q(0, 0, 0)
de r, hallar todos los puntos A contenidos en r tales el triángulo de vértices A, P y Q tenga área 1. (S)
21. Se consideran el punto P(1, 0, 1), la recta
1 1 2 1 1 :
y z
x
r y el plano
0 :xyz
. Se pide:
a) Obtener el punto P’, simétrico de P respecto del plano .
b) Determinar la ecuación de la recta que contiene al punto P, corta a la recta r y es paralela el plano .
22. Dados los puntos A(1, -3, 1), B(2, 3, 1) y C(1, 3, -1) se pide: a) Obtener la ecuación del plano que los contiene.
b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano del apartado anterior. c) Determina el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y el origen de coor-denadas.
23. a) Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuacio-nes 3x-4y+5=0 y 2x-2y+z+9=0.
b) ¿Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?
24. a) Determinar el centro y el radio de la esfera x2 y2 z2 2x4y8z40
b) Determinar el centro y el radio de la circunferencia intersección de la esfera del apartado anterior con el plano z=0.
25. Sean los puntos P(8, 13, 8) y Q(-4, -11, -8). Se considera el plano , perpendicular al segmento PQ por su punto medio.
a) Obtener la ecuación del plano .
b) Calcular la proyección ortogonal del punto (0, 0, 0) sobre .
c) Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano corta a los ejes coordenados y el origen de coordenadas. (S)
26. Dadas las rectas
1 2
1 3
2
: x y z
r 2 1 1 2 2 1 :
y z
x s
a) Hallar la distancia entre las dos rectas.
b) Determinar las ecuaciones de la perpendicular común a r y s.
27. Se consideran la recta y los planos siguientes: t z t y t x r 4 2 1 3 2
: 1:23x2yz 0
0 2 2 2 3 :
2 x y z
. Se pide:
a) Determinar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los planos. b) Determinar la posición relativa de los dos planos.
28. a) Hallar u punto A que esté sobre la recta
x z
x y
r
2 1
1
: que diste del punto B(1, 0, 1),
doble que del punto C(0, 0, 0) y que esté por debajo del plano XY.
b) Hallar la proyección ortogonal de C sobre la recta BP, donde P es el punto en el que la recta dada en el apartado anterior corta al plano YZ. (S)
29. Sean la recta
2 1
:
z y x
r y el plano :2x3yz10
a) Calcular el seno del ángulo que forman la recta y el plano.
b) Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre . (S)
30. Se considera el tetraedro cuyos vértices son A(1, 0, 0), B(1, 1, 1), C(-2, 1, 0) y D(0,1, 3).
SOLUCIONES GEOMETRÍA
1. 33,21º
2. x – z = 0 y y – z = 0
3. a) 80,44º b) 90º
4. A)
3 1 4
1
5
y z
x
B) 74,21º
5. a) 4x – 2y – 2z = 0 b) 6
6. a) (2,0,0) , (0,–4,0) , (0,0,4)
a) 4 6u2 la mitad del módulo del producto vectorial AB y AC
b) 3 16
u3 la sexta parte del producto mixto OA, OB, OC
7. a)
3 1 , 3 8 , 3 2
b) 3
3
8. a) 43,09º
b) 2x+y-3z+4=0
9. a) x – y – 2z + 5 = 0
b) 4
6 25
u2
10. a) (2, 3, 1) b) 6
11. a)
1 2
2
y z x
b) 70,53º
12. a) 21 10
b)
0 3 2
0 2 5 4 8
z y x
z y x
14. x – y + z + 20 3 – 1 = 0 y x – y + z – 20 3 – 1 = 0
15. –3x + 3y + z + 9 = 0
16. a) (0, 2, 3)
b) 2
5 3
c)
2 1 2 1
2
y z
x
17. 5x – 2y – z + 4 = 0 y x + 4y + z + 6 = 0
18. Sí, C = (–4, 2, 2) y r = 6
19. a) (x+1)2 + (y+1)2 + (z–1)2 – 3 = 0 b) (–2, –2, 2)
20.
2 2 , 2
2 , 2
2
y
2 2 , 2
2 , 2
2
21. a)
3 1 , 3
4 , 3
1
b)
2 1 3
4 3 2
1
y z
x
22. a) 6x – y – 3z – 6 = 0
b) 46 6
c) –2 u3
23. a) 19x – 22y + 5z + 60 = 0 y x + 2y + 5z + 30 = 0 b) (0, 30/11, 0) y (0, –15, 0)
24. a) C = (1, –2, –4) y r = 5 b) C = (1, –2, 0) y r = 3
25.
a) 3x + 6y + 4z – 12 = 0
b)
61 48 , 61 72 , 61 36
c) 4 u3
b)
0 2 11 8 7
0 2 18 6 2
z y x
z y x
27. a) r y π1 se cortan en (5/7, 13/7, 25/7) y r y π2 son paralelos
b) Se cortan formando la recta
0 2 2 2 3
0 2
3 2
z y x
z y x
c) 12 1
28. a) (–3/5, 2/5, –1/5) y (–1, 0, –1) b) (1/2, 1/2, 1)
29. a) 0’33
b)
0 1
0 1 3
2
z y x
z y x
30.
a) 2 19
u2 y 6 7
u3
b) 19 7
