7AL CCNN 2012

Texto completo

(1)Álgebra lineal Selectividad CCNN 2012. MasMates.com Colecciones de actividades. 0 0 1 1. [ANDA] [JUN-A] Sea la matriz A = 2 1 2 . 1 k 1 a) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la matriz inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X+I)·A = At, donde I denota la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A.. 2. [ANDA] [JUN-B] Considera el sistema de ecuaciones. x+. y + z = +1 3y + 2z = 2+3 3x + (-1)y + z = . a) Resuelve el sistema para  = 1. b) Halla los valores de  para los que el sistema tiene una única solución. 1 1 c) ¿Existe algún valor de  para el que el sistema admita la solución - ,0, ? 2 2. 3. [ANDA] [SEP-A] Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas:. kx+2y = 2 2x+ky = k x-y = -1. a) Prueba que el sistema es compatible para cualquieer valor del parámetro k. b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado. c) Halla las soluciones en cada caso.. 4. [ANDA] [SEP-B] Considera el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas:. x-. y = 2y + z =  -x - y + z = 0. a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro . b) Resuélvelo para  = 0 y  = 1.. 5. [ARAG] [JUN-A] Sean a un número real y el sistema lineal. ax + y + z = 1 x + ay + z = a. x + y + z = a2 a) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado. b) Resuelva el sistema anterior en el caso a = 0.. 6. [ARAG] [JUN-B] a) Compruebe que la matriz M es inversible y calcule su inversa, donde M =. 1 0 1 2 1 1 . -1 2 2. b) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones: 3 2 0 1 -4 0 8A-5B = -2 1 3 , 2A-B = 2 -1 3 . 0 3 -3 0 1 -1 1 0 1 1 2 1 . 0 -1 1 Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que 1 0 2 utilice): B = 1 2 4 . 0 -1 1 sen(x) -cos(x) 0 b) Sea C la siguiente matriz: C = cos(x) sen(x) 0 . 1 sen(x) x Determie los valores de x para lo que la matriz C tiene inversa y calcúlela cuando sea posible.. 7. [ARAG] [SEP-A] a) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2: A =. 8 de noviembre de 2012. Página 1 de 6.

(2) Álgebra lineal Selectividad CCNN 2012. MasMates.com Colecciones de actividades. 8. [ARAG] [SEP-B] a) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de ecuaciones:. mx+2y+6z = 0 es compatible 2x+my+4z = 2 2x+my+6z = m-1. determinado, compatible indeterminado o incompatible. b) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3x3 tiene como determinante -3. Determine el determinante de la matriz B+Bt, donde Bt denota la traspuesta de B. 1 0 0 3 -1 0 9. [ASTU] [JUN-A] Se consideran las matrices A = -1 3 0 e I3 = 0 1 0 . 0 0 1 0 0 2 a) Resuelva la ecuación det A-x·I3 = O. b) Discuta el sistema homogéneo de matriz A-x·I3 según los valores del número real x. c) Resuélvalo en aquellos casos en que el sistema sea compatible determinado. x+y = 1 ay+z = 0 z+(1+a)y+az = a+1 a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo en el caso en que sea compatible indeterminado.. 10. [ASTU] [JUN-B] Dado el sistema. x+y+z = 2 ax+y = 1 x+y+2z = 3 a) Estudie su compatibilidad según los distintos valores de a. b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado.. 11. [ASTU] [SEP-A] Dado el sistema. x b c-4 12. [ASTU] [SEP-B] Dados los números reales a, b, c, x, consideremos la matriz A = a x 3 . b c x a) Halle los valores de a, b, c, x, para los cuales A es antisimétrica. (Recuerde que la matriz A es antisimétrica si At = -A). b) Si a = b = c = 1, halle el rango de A según los valores de x. c) Si a = b = c = 0, resuelva la ecuación |A+At| = 0. Nota: At denota la matriz traspuesta de A. ax+y+z = (a-1)(a+2) 13. [C-LE] [JUN-A] Se considera el sistema de ecuaciones. x+ay+z = (a-1)2(a+2) x+y+az = (a-1)3(a+2). a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema para a = 1. c) Resolver el sistema para a = -2. 14. [C-LE] [JUN-B] Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M2 - 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad. a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M-1 en términos de M e I. a b b) Hallar todas las matrices M de la forma que cumplen la ecuación M2 - 2M = 3I. b a x+ay-z = 2 2x+y+az = 0 , donde a es un parámetro real. Se pide: x+y-z = a+1 a) Discutir el sistema en función del valor de a. b) Hallar la solución del sistema para a = 1, si procede.. 15. [C-LE] [SEP-A] Se considera el sistema. 8 de noviembre de 2012. Página 2 de 6.

(3) Álgebra lineal Selectividad CCNN 2012. MasMates.com Colecciones de actividades. 1 a -1 1 0 -1 . 3 a a b) Sea C una matriz 2x2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2x2 de determinante 2. Si D es la matriz de. 16. [C-LE] [SEP-B] a) Determinar, en función del valor del parámetro real a, el rango de la matriz A =. columnas 4C2 y C1-C2, calcular el determinante de la matriz BD-1. x+y+z = 0 x+2y+3z = 0 en función del parámetro m. 17. [C-MA] [JUN-A] a) Discute el sistema de ecuaciones lineales: mx+(m+1)y+(m-1)z = m-2 3x+(m+3)y+4z = m-2 b) Calcula la solución cuando el sistema sea compatible determinado. 18. [C-MA] [JUN-B] a) Sean A y B matrices cuadradas de orden nN, n  2, tales que B es la inversa de A. 1) Si |A| = 3, razona cuando vale |B|. 2) ¿Cuál es el rango de B? 1 -2 3 1 0 0 b) Siendo 0 10 -3 ·X = 0 3 0 , calcula el determinante de la matriz cuadrada X de orden 3. 0 7 0 0 0 7 b b+a 2c a+d+g b+e+h c+f+i a b c 19. [C-MA] [SEP-A] Sabiendo que d e f = 5, calcula el valor de los determinantes: e e+d 2f ; d+g e+h f+i , indicando las h h+g 2i g h i g h i propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.. 20. [C-MA] [SEP-B] a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a  :. x + y + 2z = 0 ax - 3z = a . 2x + ay - z = a. b) Resuélvelo para el valor a = 1.. 21. [CANA] [JUN-A] Calcular la matriz X tal que X·A + 3B = 2C, siendo A =. -1 -3 2 3 -1 4 ,B= ,C= . 2 4 4 -1 3 -2. (detallar todos los cálculos realizados).. 22. [CANA] [JUN-B] Discutir la compatibilidad del siguiente sistema según los distintos valores del parámetro m:. 23. [CANA] [SEP-A] Resolver la ecuación matricial A·X + 2C = 3B, siendo A =. 3x+mz = 1 -x+my+2z = m . 2x+2z = 1. -3 1 1 4 3 1 ,B= ,C= . 2 -2 -3 3 -2 -4. (detallar todos los calculos realizados) 24. [CANA] [SEP-B] Discutir la compatibilidad del sistema siguiente en función de los distintos valores del parámetro m: 2x+y-z = -1 x-2y+2z = m . 3x-y+mz = 4. 25. [CATA] [JUN] Dadas las matrices A =. 1 -2 3 2 yB= , 1 3 -1 1. a) Compruebe que se cumple la igualdad (A+B)(A–B) = A2 – B2. b) ¿Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas A y B del mismo orden? Responda razonadamente utilizando las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin utilizar matrices A y B concretas.. 8 de noviembre de 2012. Página 3 de 6.

(4) Álgebra lineal Selectividad CCNN 2012. MasMates.com Colecciones de actividades. 1 1 k 26. [CATA] [SEP] Determine el rango de la matriz A = 1 k 1 en función del parámetro k. k 1 1 x+y-3z = 2 2x+ay-5z = 2a+3 2x-3y+(a-2)z = 9 a) Calcule el valor o los valores del parámetro a para el cual o para los cuales el sistema es compatible indeterminado. b) ¿Cuántas soluciones tiene este sistema cuando a = -3?. 27. [CATA] [SEP] Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:. x - y+ 2z = a 28. [EXTR] [JUN-A] Discuta, en función del parámetro a, el sistema de ecuaciones -x + y az = 1 x + ay + (1+a)z = -1 (no hay que resolverlo en ningún caso) 1 0 1 29. [EXTR] [JUN-B] Calcula la matriz inversa de la matriz A = B2-2c, siendo B = 0 -1 0 1 0 1. y C=. 1 0 0 1 1 -1 . 0 -1 1. 30. [EXTR] [SEP-A] Calcule los valores de a para los que el determinante de la matriz B es igual a 32, |B| = 32, siendo B = 2·A2 y a 1 -a A= 1 1 0 . 1 0 2. 31. [EXTR] [SEP-B] ¿Existe alguna matriz X =. 1 2 1 1 ·X = X· y sea NO nula? Razone la respuesta. 1 1 1 -1. x y que cumpla z x. 12 4 x k k k2 32. [MADR] [JUN-A] Dadas las matrices A = 1 -1 k , B = 6 , C = 3 , X = y , se pide: 8 3 z 2k -2 2 a) Hallar el rango de A en funcion de los valores de k. b) Para k = 2, hallar, si existe, la solucion del sistema AX = B. c) Para k = 1, hallar, si existe, la solucion del sistema AX = C. 0 1 2 4 -1 1 -2 33. [MADR] [JUN-B] Dadas las matrices A = -2 -1 0 , B = -2 -3 -7 -8 , se pide: 1 a 1 3 2-a 3+a 3 a) Estudiar el rango de la matriz B en función de a. b) Para a = 0, calcular la matriz X que verifica AX = B. x 1 34. [MADR] [JUN-B] Calcular el valor del determinante 1 1. 1 y 1 1. 35. [MADR] [SEP-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales. 1 1 z 1. 1 1 . 1 1. 3x + ay + 4z = 6 x + (a+1)y + z = 3 , se pide: (a-1)x ay - 3z = -3. a) Discutir el sistema segun los valores de a. b) Resolverlo para a = -1.. 8 de noviembre de 2012. Página 4 de 6.

(5) Álgebra lineal Selectividad CCNN 2012. MasMates.com Colecciones de actividades. 36. [MADR] [SEP-B] Dado el sistema de ecuaciones lineales. x - 2z = 2 ax - y + z = -8 , se pide: 2z + az = 4. a) Discutir el sistema según los valores de a. b) Resolverlo para a = -5. x+y+z = 2 37. [MURC] [JUN-A] a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:. x+ay+a2z = -1 . ax+a2y+a3z = 2. b) Resuelva el sistema cuando sea compatible. 38. [MURC] [JUN-B] Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si cumple que At·A = I, donde es la traspuesta de A. a -a Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es ortogonal: A = a a 0 b. 39. [MURC] [SEP-B] a) Dada la matriz A =. I denota la matriz identidad y At b 0 . -1. 0 3 4 2 3 4 1 -4 -5 , calcule las potencias A , A y A . -1 3 4. b) Calcule A2012.. 40. [RIOJ] [JUN] Si A =. 2 1 3 2. y B =. 1 -1 , determina la matriz X despejándola previamente de la ecuación matricial: 0 2. 2A - AX = BX. (Observa las dimensiones que ha de tener la matriz X para que la ecuación matricial tenga sentido). 41. [RIOJ] [JUN] Discute el sistema dependiendo de los valores del parámetro a y resuelve completamente en los casos en que sea x-2y+z = -2 posible: -x+y+az = 1 . 2x+ay+4z = -2. 42. [RIOJ] [SEP] Discute y resuleve, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones:. 43. [VALE] [JUN-A] Se da el sistema de ecuaciones. S:. x+(1+a)y-az = 2a x+2y-z = 2 x+ay+(1+a)z = 1. 2x + 2z = 5 x + (1-)y + z = 1 , donde a es un parámetro real. Obtener x+. 2y + 2z = 1. razonadamente: a) La solución del sistema S cuando  = 0. b) Todas las soluciones del sistema S cuando  = -1. c) El valor de  para el que el sistema S es incompatible. 44. [VALE] [JUN-B] Obtener razonadamente: x a) Todas las soluciones y de la ecuación z. 1 0 2 1 1 3 1 -1 1. x 1 y = 3 . z -1. b) El determinante de una matriz cuadrada B de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación B2 = B.. 8 de noviembre de 2012. Página 5 de 6.

(6) Álgebra lineal Selectividad CCNN 2012. MasMates.com Colecciones de actividades. 1 0 c) El determinante de una matriz cuadrada A que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación: A -9 0 0 sabiendo además que el determinante de A es positivo. 2. 45. [VALE] [SEP-A] Sea el sistema de ecuaciones S:. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 0 0 0 1. =. 0 0 0 0. 0 0 0 0. 0 0 0 0. 0 0 , 0 0. x - 2y - 3z = 0 3x + 10y - z = 0 , donde  es un parámetro real. x + 14y + z = 0. Obtener razonadamente: a) La solución del sistema S cuando a = 0. b) El valor de a para el que el sistema S tiene infinitas soluciones. c) Todas las soluciones del sistema S cuando se da a a el valor obtenido en el apartado b).. 46. [VALE] [SEP-B] Se dan las matrices A =. 1 -1 1 0 ,U= y B, donde B es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene 1 1 0 1. ningún elemento nulo y que verifica la relación B2 = -7B +U. Obtener razonadamente: a) Los números reales a y b tales que A2 = aA+bU. b) Los números reales p y q tales que B-1 = pB+qU, justificando que la matriz B tiene inversa. c) Obtener los valores x e y para los que se verifica que B3 = xB+yU.. Soluciones 1. a). 1 b) 2. (k-1,k,1-2k) xsenx -xcosx. 0 2 -4 0 0 -2 0 2 -4. 2. a). 1-k 5-2k , .k 3 3. b) 1 c) -1. 5. a) a = -2: inc; a = 1: c.i. xcosx xsenx. 0 0. 3. b) k=-2: c.i.; k-2: c.d. c) k=-2: (k,k+1); k-2: (0,1). a{-2,1}: c.d.. b). -1 1 1 , , 2 2 2. 8. a) m{-2,2}: inc; m{-2,2}: c.d. b) -24.. 6. a). 0 2 -1 1 -5 3 1 5 5 -2 1. 4. a) {-1,0}: c.i; {-1,0}: c.d. b) =0: (0,0,k); =-1:. 1 -11 0 1 -18 0 b) A= 6 -3 6 , B= 10 -5 9 0 1 -1 0 1 -1. 9. a) 2, 4 b) x{2,4}: c.i.; x{2,4}: c.d. c) (0,0,0). 7. a) 4. b) x0;. 10. a) a=1: inc; a=0: c.i; a{0,1}: c. d. b). senx(cosx-1) -sen2x-cosx 1 -5 5 , 13. a) a{-2,1}: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (k,m,-k-m) c) (k,k,k) 14. 2 2 -1 1 -1 0 3 0 1 2 1 -2 , , , 15. a) a=-2: inc; a = 1: c.i; a{-2,1}: c.d. b) (-2-2k,4+3k,k) 16. a) a{-3,0}: 2; a{-3,0}: 3 b) 17. a) m=2: c.d; m2: a) (M-2I) b) 0 -1 0 3 2 1 -2 1 10 3 1 -30 -23 1 b) n c) 1 19. -10, 5 20. a) a = -3: inc; a = 1: c.i.; a{-3,1}: c.d. b) (1+3k,-1-5k,k) 21. 22. m = 3: inc; m = 0: c.i.; m{0,3}:c.d. 23. inc. b) (0,0,0) 18. a) 2 -22 -17 3 2 -2 -1 1 4 1 -16 -16 24. m=1: inc; m1: c.d. 26. k=1: 1; k=-2: 2; k{-2,1}: 3 27. a) 1 b) inc. 28. a=2: inc; a=-1: c.i; a{-1,2}: c.d. 29. 30. 0, 31. no 32. a) -2 2 2 2 3 5 -7 23 1 0 0 2 1 2 3 4 -5 -5 1 34. (x-1)(y-1)(z-1) 35. a) a= : inc; a= -1: c.i; a ,-1 : c.d. b) (3-k,3+k,k) 36. a) a k{-1,0,1}: 2; k{-1,0,}: 3 b) 0 c) no 33. a) a=1: 2; a1: 3 b) 0 -1 1 0 3 3 3 8 2 0 0 -1 -1 0 1 1 8 4 2 , 0 39. a) 1 4 4 ; -I; -A b) A2 40. 41. a=-3: inc; a=-2: c.i. = -4: c.i; a  -4: c.d. b) (2,-2,0) 37. a) a-2: inc; a=-2: c.i. b) (1-2k,1+k,k) 38.  2 6 3 3 -1 -3 -3 1-2k -2a-3 2a+3 3-2a 5 -3 -3 -2a-1 2 -1 , , 42. a=0: inc; a=1: c.i. (-5k,1+3k,k); a{0,1}: c.d. , , 43. a) , , b) (4+2k,k-3-4k) c) 2 44. a) 2-k (-3k,1-k,k); a{-3,-2}: c.d. 2a 2a 2a 2 4 4 a+3 a+3 a+3 k b) 1 c) 81 45. a) (0,0,0) b) 5 c) (-4k,k,-2k) 46. a) 2, -2 b) 1, 7 c) 50, -7 (1-k,k,0) 11. a) a=1: c.i.; a1: c.d. b) (k,1-k,1) 12. a) -7, 7, -3, 0 b) x{-1,0,1}: 2; x{-1,0,1}: 3 c) 0,. 8 de noviembre de 2012. Página 6 de 6.

(7)