" Enseñanza de las Funciones Exponenciales en la escuela secundaria. Aspectos didácticos y cognitivos"

(1)

UNIVERSIDAD

NACIONAL

DEL

CENTRO

DE

LA

PROVINCIA

DE

BUENOS

AIRES

DOCTORADO EN

ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS

MENCION MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE FORMACION DOCENTE

UNICEN

TESIS DOCTORAL

“Enseñanza de las Funciones Exponenciales en la escuela secundaria. Aspectos didácticos y cognitivos”

Diana Patricia Sureda Figueroa

(2)

(3)

DOCTORADO

EN

ENSEÑANZA

DE

LAS

CIENCIAS

MENCIÓN

MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO

DE

FORMACIÓN

DOCENTE

UNICEN

TESIS

DOCTORAL

“Enseñanza de las Funciones Exponenciales en la escuela

secundaria. Aspectos didácticos y cognitivos”

Tesis Doctoral realizada por

Diana Patricia Sureda Figueroa para optar por el título de Doctor por la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, bajo la dirección de la Dra. María Rita Otero.

(4)

ÍNDICE

Capítulo 1

El Problema y sus Antecedentes

18

F

ORMULACIÓN DEL PROBLEMA ₁₈

O

BJETIVOS ₁₉

P

REGUNTAS ₁₉

A

NTECEDENTES DE LA

I

NVESTIGACIÓN ₂₀

I

NVESTIGACIONES VINCULADAS A LOS SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

21

I

NVESTIGACIONES VINCULADAS AL USO DE PROGRAMAS INFORMÁTICOS EN EL AULA

23

O

RGANIZACIÓN DE LA PRESENTACIÓN ₂₅

Capítulo 2

Referenciales teóricos

27

F

UNDAMENTOS COGNITIVOS

:

L

A

T

EORÍA DE LOS

C

AMPOS

C

ONCEPTUALES

27

I

NTRODUCCIÓN ₂₈

C

AMPO

C

ONCEPTUAL ₂₈

C

ONCEPTUALIZACIÓN Y

A

CTIVIDAD ₂₉

C

ONCEPTO ₂₉

S

ITUACIÓN ₃₁

(5)

F

ORMA

P

REDICATIVA Y

O

PERATORIA DEL

C

ONOCIMIENTO ₃₉

D

E LOS

C

ONOCIMIENTOS

I

MPLÍCITOS A LOS

S

ABERES

F

ORMALIZADOS

40

F

UNDAMENTOS

D

IDÁCTICOS

:

L

A

CTIVIDAD DE

E

STUDIO E

I

NVESTIGACIÓN ₄₁

I

NTRODUCCIÓN ₄₁

A

CTIVIDADES DE

E

STUDIO E

I

NVESTIGACIÓN

(AEI)

₄₁

T

OPOGENESIS ₄₂

T

OPOGENESIS Y

A

FECTIVIDAD ₄₃

C

RONOGENESIS ₄₄

M

ESOGENESIS ₄₄

V

INCULACIÓN ENTRE LOS

F

UNDAMENTOS

D

IDÁCTICOS Y

C

OGNITIVOS ₄₅

Capítulo 3

Metodología de la Investigación

47

E

STUDIO

P

ILOTO ₄₈

I

MPLEMENTACIÓN

’09

DE LA

AEI

₄₉

I

MPLEMENTACIÓN

’11

DE LA

AEI

₅₁

Capítulo 4

La Función Exponencial y su Enseñanza: Consideraciones

Previas

55

G

ÉNESIS DE LA

F

UNCIÓN

E

XPONENCIAL ₅₅

(6)

S

IETE

F

ORMAS DE EMPEZAR A

E

STUDIAR LA

F

UNCIÓN

E

XPONENCIAL ₅₉

L

A

E

LECCIÓN DEL

P

ROBLEMA ₆₂

A

NÁLISIS DE LA

F

UNCIÓN

M

ONTO Y DE LA TASA DE

C

RECIMIENTO DE LA

M

ISMA

64

Capítulo 5

Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación

69

L

A

O

RGANIZACIÓN

M

ATEMÁTICA A

E

STUDIAR

:

L

A FUNCIÓN

E

XPONENCIAL ₆₉

L

AS

S

ITUACIONES QUE COMPONEN LA

AEI

₇₀

S

ITUACIONES

1

A

3:

L

A CONSTRUCCIÓN DEL

I

NTERÉS

C

OMPUESTO ₇₃

S

ITUACIONES

4

A

6:

L

A

C

ONSTRUCCIÓN DE LA

F

UNCIÓN

E

XPONENCIAL DE LA FORMA

:

81

T

AREAS DE

E

JERCITACIÓN

1

₈₇

S

ITUACIONES

7

A

9:

L

A

MPLIACIÓN DEL

M

ODELO

E

XPONENCIAL ₈₉

T

AREAS DE

E

JERCITACIÓN

2

₉₅

S

ITUACIÓN

10:

E

CUACIONES

E

XPONENCIALES ₉₈

T

AREAS DE

E

JERCITACIÓN

3

₁₀₀

S

ITUACIONES

11

Y

12;

Y

E

VALUACIÓN

E

SCRITA

I

NDIVIDUAL

:

S

ÍNTESIS DE LA

A

CTIVIDAD DE

E

STUDIO E

I

NVESTIGACIÓN

103

N

UEVA

A

CTIVIDAD DE

E

STUDIO E

I

NVESTIGACIÓN ₁₀₉

(7)

T

OPOGENESIS ₁₁₃

M

ESOGENESIS ₁₁₅

C

RONOGENESIS ₁₁₉

C

ONSIDERACIONES

F

INALES ₁₂₀

Capítulo 6

Análisis de la Conceptualización

123

S

ITUACIONES

1

A

3:

L

A CONSTRUCCIÓN DEL

I

NTERÉS

C

OMPUESTO ₁₂₃

R

ESULTADOS

P

ARCIALES DE LAS

S

ITUACIONES

1

A

3

₁₅₁

D

ISCUSIÓN DE LOS

R

ESULTADOS ₁₅₃

N

UEVA

S

ITUACIÓN

1

₁₅₄

R

ESULTADOS DE LAS

S

ITUACIONES

1

A

3

₁₆₂

S

ITUACIONES

4

A

6:

L

A CONSTRUCCIÓN DE LA

F

UNCIÓN

E

XPONENCIAL

:

164

R

ESULTADOS

P

ARCIALES DE LAS

S

ITUACIONES

4

A

6

₁₈₇

D

ISCUSIÓN DE LOS

R

ESULTADOS ₁₉₀

N

UEVA

S

ITUACIÓN

2

₁₉₁

(8)

S

ITUACIONES

7

A

9:

L

A

MPLIACIÓN DEL

M

ODELO

E

XPONENCIAL ₁₉₈

R

ESULTADOS

P

ARCIALES DE LAS

S

ITUACIONES

7

A

9

₂₂₂

D

ISCUSIÓN DE LOS

R

ESULTADOS ₂₂₅

N

UEVA

S

ITUACIÓN

3

₂₂₆

N

UEVA

S

ITUACIÓN

4

₂₃₀

R

ESULTADOS DE LAS

S

ITUACIONES

7

A

9

₂₃₂

S

ITUACIÓN

10:

E

CUACIONES

E

XPONENCIALES ₂₃₃

R

ESULTADOS DE LA

S

ITUACIÓN

10

₂₄₁

S

ITUACIONES

11,

12

Y

E

VALUACIÓN

:

S

ÍNTESIS ₂₄₃

R

ESULTADOS DE LAS

S

ITUACIONES

11

Y

12:

S

ÍNTESIS ₂₆₄

E

VALUACIÓN

E

SCRITA

I

NDIVIDUAL ₂₆₅

R

ESULTADOS DE LA

E

VALUACIÓN

E

SCRITA

I

NDIVIDUAL ₂₈₂

Capítulo 7

Reflexiones Finales

284

R

ESULTADOS DE LAS

S

ITUACIONES

1

A

3

₂₈₅

(9)

R

ESULTADOS DE LAS

S

ITUACIONES

7

A

9

₂₈₈

R

ESULTADOS DE LA

S

ITUACIÓN

10

₂₈₉

R

ESULTADOS DE LAS

S

ITUACIONES

11

Y

12

₂₉₀

R

ESULTADOS DE LA

AEI

RELATIVA A LA

F

UNCIÓN

E

XPONENCIAL ₂₉₃

L

AS

E

TAPAS DE LA

C

ONCEPTUALIZACIÓN DE LA

F

UNCIÓN

E

XPONENCIAL ₂₉₇

Capítulo 8

(10)

(11)

(12)

AGRADEZCO A LA DRA. MARÍA RITA OTERO, POR SU DIRECCIÓN Y AYUDA EN LA

ELABORACIÓN DE ESTA INVESTIGACIÓN, Y SU CONSTANTE APOYO EN TODA MI FORMACIÓN.

AGRADEZCO LA UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES, Y A LA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS DE LA U.N.C.P.B.A, POR LA FORMACIÓN QUE ALLÍ

RECIBÍ.

AGRADEZCO A TODAS MIS COLEGAS DEL NIECYT POR ESTOS AÑOS DE AMISTAD Y

COMPAÑERISMO.

AGRADEZCO AL COLEGIO SAGRADA FAMILIA DE TANDIL, A LOS DIRECTIVOS, QUIENES AUTORIZARON LA IMPLEMENTACIÓN DE LA PROPUESTA, Y A LOS ESTUDIANTES QUE LA ACEPTARON Y COLABORARON GENEROSAMENTE CON LOS REGISTROS.

AGRADEZCO A CAROLINA, QUIEN LLEVÓ A CABO LA DOS PRIMERAS IMPLEMENTACIONES DE LA

AEI Y LA MINUCIOSA RECOLECCIÓN DE LOS PROTOCOLOS; Y A RITA QUE TAN GENEROSAMENTE ME PRESTÓ SUS CURSOS PARA LLEVAR A CABO LAS ÚLTIMAS DOS

IMPLEMENTACIONES.

AGRADEZCO A VERÓNICA Y A LUJAN QUE DESINTERESADAMENTE REVISARON LAS

TRADUCCIONES Y ME ACONSEJARON LOS CAMBIOS.

AGRADEZCO A MIS COMPAÑERAS DE OFICINA Y AMIGAS CARO Y VERO POR SU INVALORABLE

AMISTAD Y GENEROSA AYUDA.

AGRADEZCO A MI ESPOSO, POR ACOMPAÑARME Y SOSTENERME DURANTE TODO EL

TRAYECTO.

(13)

(14)

Titulo y Resumen

1 4

T

ITULO

“Enseñanza de las Funciones Exponenciales en la Escuela Secundaria. Aspectos didácticos y cognitivos”

R

ESUMEN

Esta tesis se centra en el análisis de la conceptualización de cuatro grupos de alumnos del colegio secundario [15-16 años] que mediante una Actividad de Estudio e Investigación [AEI], estudian el campo conceptual de las funciones exponenciales. Dado que el dispositivo AEI fue propuesto por Chevallard (2004) para enfrentar el proceso de monumentalización del saber, y para devolverle al alumno su “lugar” en la clase de matemática, la AEI retoma la preocupación de la reconstrucción funcional de los conocimientos matemáticos como respuesta a ciertos tipos de situaciones problemáticas y prioriza la participación del alumno en la construcción del conocimiento. Para la delimitación del campo conceptual de las funciones exponenciales y el estudio de la conceptualización, se utilizan los constructos teóricos propuestos por la Teoría de los Campos Conceptuales (Vergnaud; 1990, 1996, 2005, 2007, 2010). Mientras que para el diseño, la implementación y el ajuste del dispositivo AEI arriba mencionado se utiliza la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard; 1999, 2001, 2004, 2007, 2009).

El análisis de las situaciones de enseñanza y la evaluación que componen la AEI, permiten reconocer que la forma de estudio ligada a las situaciones de enseñanza diseñadas, propiciaron la conceptualización de la función exponencial, en los cinco sistemas de representación. A grandes rasgos, es posible reconocer seis etapas que conforman el proceso de conceptualización de la función exponencial. Las seis etapas son: Totalmente Lineal – Parcialmente Lineal – Parcialmente No Lineal – No Lineal – Parcialmente Exponencial – Exponencial. El análisis de los protocolos muestra también la estrecha relación entre los sistemas de representación de los estudiantes y sus invariantes operatorios.

Aunque esta conceptualización no va más allá del nivel que Vergnaud denomina explicitable, es necesario advertir que la función exponencial es un concepto complejo, y que como toda conceptualización es una tarea de largo aliento que va más allá de los dos meses que demandó la implementación de una AEI.

(15)

Title and Abstract

15

T

ITLE

"Education of the Exponential Functions in the Secondary School. Didactic and cognitive aspects"

A

BSTRACT

This thesis is focused on the analysis of the conceptualization of four groups of high school students [15-16 years] that, throughout a Study and Research Activity [AEI], study the conceptual field of exponential functions. As the AEI device is proposed by Chevallard (2004) to face the monumentalization

process of learning and, therefore to return the student to their "place" in math class, the AEI picks up the threads about the concern of the functional reconstruction of mathematical knowledge as a response to certain types of problematic situations, and emphasizes the students participation in the construction of knowledge.

The theory of conceptual fields (Vergnaud, 1990, 1996, 2005, 2007, 2010) is used to precise the conceptual field of the exponential functions and the study of the conceptualization; for the design, implementation and adjustment of AEI device, is used the Anthropological Theory of Didactics (Chevallard, 1999, 2001, 2004, 2007, 2009).

The analysis of teaching and testing situations that take part of the AEI shows us the way of study that occurs when the teaching situations are designed and how it collaborates with the conceptualization of the exponential function in the five systems of representation. Broadly speaking, it is possible to recognize six stages that shape the process of conceptualization of the exponential function. The six stages are: Totally linear - Partially linear - Partially not linear - Not linear - Partially exponential - Exponential. The protocols analysis shows also the close relation between the student representation systems and its operative invariants.

Though this concept does not go beyond the level that Vergnaud denominates ‘explicit’, it is necessary to clear that the exponential function is a complex concept, which as any conceptualization is a hard and long task that goes beyond two months that the implementation of an AEI sued.

(16)

Titre et le Résumé

16

T

ITRE

"Enseignement des Fonctions Exponentielles dans l'École Secondaire. Des aspects didactiques et cognitifs"

R

ESUME

Cette thèse se concentre sur l'analyse de la conceptualisation de quatre groupes d'élèves du collège secondaire [15 – 16 ans] qui étudient le champ conceptuel des fonctions exponentielles au moyen d'une Activité d'Étude et de Recherche [AEI]. Étant donné que le dispositif AEI a été proposé par Chevallard (2004) pour faire face au processus de monumentalisatión des savoirs, et le remettre à l'élève son "lieu" dans la classe des mathématiques; l'AEI reprend la préoccupation de la reconstruction fonctionnelle des connaissances mathématiques comme réponse à certains types de situations problématiques, et est reconstruite dans une dynamique d'étude qui priorise la participation de l'élève dans la construction de la connaissance.

Pour la délimitation du champ conceptuel des fonctions exponentielles et l'étude de la conceptualisation, on utilise les construits théoriques proposés par la Théorie des Champs Conceptuels (Vergnaud; 1990, 1996, 2005, 2007, 2010). Alors que pour le dessin, l'implémentation et l'ajustement du dispositif AEI antérieurement mentionné on utilise la Théorie Anthropologique du Didactique (Chevallard; 1999, 2001, 2004, 2007, 2009).

L'analyse des situations d'enseignement et l'évaluation qu'elles composent l'AEI, elles permettent de reconnaître que la forme d'étude liée aux situations d'enseignement dessinées, elles ont favorisé la conceptualisation de la fonction exponentielle, dans les cinq systèmes de représentation. À grands traits, il est possible de reconnaître six étapes qui conforment le processus de conceptualisation de la fonction exponentielle. Les six étapes sont: Totalement linéaire - Partiellement Linéaire - Partiellement Non linéaire - Non linéaire - Partiellement Exponentiel - Exponentiel. L'analyse des protocoles montre aussi la relation étroite entre les systèmes de représentation des étudiants et ses invariantes opératoires.

Bien que cette conceptualisation n'aille pas au-delà du niveau que Vergnaud dénomme explicitable, il est nécessaire de prévenir que la fonction exponentielle est un concept complexe et qui comme toute conceptualisation est une tâche de longue respiration qui va au-delà des deux mois que l'implémentation d'une AEI a demandés.

(17)

C

a

_a

p

_p

í

_í

t

_t

u

_u

l

_l

o

_o

I

_I

(18)

Capítulo 1

El Problema y sus Antecedentes

En este primer capítulo se realiza una revisión de investigaciones sobre el tema, se delimita y justifica el problema de la Investigación, y se plantean tanto los objetivos de la investigación, como las preguntas que la orientan.

Formulación del problema

La importancia de la enseñanza de la función exponencial en la escuela secundaria, aparece fuertemente ligada a la relevancia que ha ido adquiriendo en la modelización de situaciones cada vez más cercanas a cualquier ciudadano actual. Por ejemplo: el crecimiento del dinero puesto a interés compuesto, el crecimiento de la deuda que genera el interés de una tarjeta de crédito; el avance de la epidemias en una población, como fue el caso de la pandemia del virus de la gripe A (H1N1) y del brote de cólera en Haití; o la durabilidad de los efectos de la radiación en el medio ambiente, producida en Japón por las roturas en los generadores nucleares con el reciente sismo; etc., requieren de funciones exponenciales más o menos complejas. Pero la compresión de estos acontecimientos se obstaculiza si solo se dispone de esquemas mentales lineales, pues se asimilan los modelos no lineales a los lineales (Confrey, 1994; Karrer y Magina, 2000; Villareal et al., 2005; Ramirez et al. 2010). Los esquemas mentales lineales de las personas son el producto de un largo proceso de construcción que se inicia con su propia participación en situaciones cotidianas que requieren, en su gran mayoría, ser modeladas mediante variaciones lineales. Mientras que los esquemas no lineales, y en particular los exponenciales, son más complejos pues se apoyan parcialmente en las estructuras aditivas y multiplicativas. Pero dado que la escasa participación de las personas en este tipo de situaciones no colabora con su construcción, resulta necesario estudiar qué situaciones ayudan o no, a la conceptualización de las funciones exponenciales.

(19)

Capitulo 1: El problema y sus antecedentes

19

constructos teóricos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico para diseñar e implementar el conjunto de situaciones que componen una Actividad de Estudio e Investigación (AEI). Las AEI son dispositivos propuestos para enfrentar el proceso de monumentalización del saber y para hacer vivir lo que Chevallard (2007) denomina la pedagogía de la Investigación en la clase de Matemática. Este dispositivo retoma en cierta medida la preocupación de la reconstrucción funcional de los conocimientos matemáticos como respuesta a ciertos tipos de situaciones problemáticas. Las AEI introducen la razón de ser de la Organización Matemática que se quiere construir a partir del estudio de una “situación del mundo” a la que se tiene que dar respuesta. Superando no sólo, la estructura binaria clásica: “teoría más problemas” basada en una epistemología euclidiana (“aplicacionismo”)

estrechamente vinculada al “monumentalismo” sino que, además, promueve una

epistemología “funcionalista” que concibe a la matemática como un instrumento para aportar respuestas a cuestiones problemáticas que se plantean “en el mundo”, y no únicamente en la escuela. Esta concepción de la enseñanza matemática, también está presente en la Teoría de los Campos Conceptuales de Gerard Vergnaud (1990), cuando afirma que un concepto no es reducible a su definición, ya que es a través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver como un concepto adquiere sentido para el niño.

Así, el trabajo se apoya en dos referenciales desde los cuales se desarrolla el estudio: uno didáctico y otro cognitivo. Pues, mientras el marco teórico didáctico brinda sustento a las decisiones relativas a la AEI en los procesos de topogénesis, cronogénesis y mesogénesis; el marco cognitivo permite el análisis de la conceptualización en el aprendizaje.

Objetivos

1. Diseñar, implementar y evaluar en la escuela secundaria, una Actividad de Estudio e Investigación relativa al campo conceptual de las funciones exponenciales.

2. Describir la relación entre los sistemas de representación y la

conceptualización de las funciones exponenciales, durante la

implementación de una Actividad de Estudio e Investigación.

3. Describir y analizar los procesos de conceptualización de estudiantes de la escuela secundaria, durante el estudio de una Actividad de Estudio e Investigación relativa a las funciones exponenciales.

Preguntas

1. ¿Qué etapas se reconocen en el proceso de conceptualización de estudiantes

de la escuela secundaria, durante el estudio de una Actividad de Estudio e Investigación relativa a de las funciones exponenciales?

2. ¿Qué aspectos de la Actividad de Estudio e Investigación y su gestión,

obstaculizan o colaboran a la conceptualización de las funciones

(20)

20

Antecedentes de la investigación

Las dificultades que presenta la conceptualización de las funciones exponenciales, han sido advertidas por los profesores durante el proceso de enseñanza y documentadas por algunas investigaciones. Por ejemplo, en una investigación

realizada por Greivin Ramirez et al., (2010) donde se clasifican las

conceptualizaciones que tienen los estudiantes del primer ingreso universitario de Costa Rica en ecuaciones exponenciales y logarítmicas, mediante el modelo SOLO Taxonómico (propuesto por Biggs & Collis, 1982); se advierte la resolución de problemas exponenciales mediante esquemas lineales, y poco conocimiento de las propiedades de las potencias, a las cuales también se les aplica erróneamente el esquema de linealidad.

Otro trabajo publicado por Villarroel, Esteley y Alagia en el año 2005, sobre un estudio realizado con 400 alumnos de la Universidad de Cordoba; afirma que el 50% de los alumnos utilizaron esquemas lineales para resolver dos problemas exponenciales. En dicho trabajo los autores conjeturaron que la existencia de diferentes interpretaciones podría estar asociada con la falta de claridad en la redacción de los enunciados, y realizaron al año siguiente una reformulación del enunciando, que pusieron a prueba con 85 estudiantes. A un grupo formado por 42 de los estudiantes se les dio el problema con el enunciado original y a otro grupo, formado por 43 estudiantes, se les dio el enunciado modificado. Los resultados mostraron que del primer grupo, el 61,9 % resolvió el problema manifestando el uso de un modelo lineal, mientras que este porcentaje bajó al 46,5 % en el segundo grupo. En síntesis, el porcentaje de alumnos que utilizó esquemas lineales para resolver el problema con el enunciado reformulado, no fue significativamente menor al que lo había resuelto con el enunciado original.

La propensión a sobregeneralizar el empleo de modelos lineales más allá de su rango de aplicación está presente también en el nivel medio. Por ejemplo, los estudios de De Bock, Von Doorem, Verschaffel & Janssens (2001) y De Bock, Verschaffel & Janssens (1998a, 1998b), realizados con estudiantes secundarios (12 a 16 años), revelan una tendencia fuerte y resistente al cambio, al aplicar modelos lineales para resolver situaciones problemáticas que involucran longitud y área de figuras planas semejantes.

Esta presencia y persistencia de la sobregeneralización de modelos lineales en diversos tipos de problema y contextos de la enseñanza secundaria y universitaria, ha sido denominado sobregeneralización de modelos lineales o; extensión de modelos lineales a contextos no lineales; y se encuentra presente en trabajos en los cuales sin que la "ilusión de la linealidad" sea el foco del estudio se señala su presencia. Por ejemplo un artículo de Karrer & Magina (2000) que presenta una secuencia de enseñanza para la introducción de logaritmos en la enseñanza media, señala que "houve uma tendência à utilização do pensamento linear" (pp. 18) y muestra varios episodios donde puede apreciarse esa tendencia.

(21)

21

los alumnos por abordar las cuestiones que ellos les plantean, con procedimientos que son válidos sólo en el modelo lineal.

En síntesis, aunque la problemática sobre la conceptualización de lo no-lineal, y en particular de las funciones exponenciales ha sido documentada por diversos trabajos; no se advierte una propuesta dirigida a colaborar con la conceptualización de la función exponencial en la escuela secundaria, ni a tratar en particular, con la sobregeneralización de modelos lineales. En este trabajo se aborda esta problemática mediante la implementación de una Actividad de Estudio e Investigación en el colegio secundario, y se analizan cómo las tareas en los diferentes sistemas de representación, ayudan o no a dicha conceptualización.

Investigaciones Vinculadas a los Sistemas de Representación

El análisis de los diferentes modos de representar un concepto, y de los procesos cognitivos vinculados a él, comienza en la década de los 80 cuando se detecta un empleo sistemático de la noción de representación en Educación Matemática. Rico (2009) afirma que:

“en estos trabajos, el concepto de representación se tomó como equivalente a una señal externa que muestra y hace presente un concepto matemático, también como signo o marca con el que los sujetos piensan las matemáticas e, incluso, como aquellos esquemas o imágenes mentales con los que la mente trabaja sobre ideas matemáticas. Entre varias alternativas conceptuales similares pero no equivalentes: símbolos (Skemp, 1980), sistema matemático de signos (Kieran y Filloy, 1989), sistemas de notación (Kaput, 1992), sistema de registros semióticos (Duval, 1993), la comunidad se decantó por dar prioridad al uso del término representaciones. Las representaciones matemáticas se han entendido desde entonces, en sentido amplio, como todas aquellas herramientas —signos o gráficos— que hacen presentes los conceptos y procedimientos matemáticos y con las cuales los sujetos particulares abordan e interactúan con el conocimiento matemático, es decir, registran y comunican su conocimiento sobre las matemáticas” (Rico, 2009: 3).

(22)

22

visualización y se relaciona con la geometría y la topología; mientras que la expresión analítica se conecta con la capacidad simbólica y se relaciona principalmente con el álgebra. Estas ideas de Janvier (1987), orientadas hacia las diversas formas de representación de una función, han servido de base para investigaciones posteriores que han cambiado la manera de enfocar las funciones.

Por ejemplo, las investigaciones de García y Llinares (1994) ponen un especial énfasis en la relevancia que tiene la elección de la tarea y su vinculación con los sistemas de representación. Ellos, basándose en un análisis de las tareas propuestas por libros de matemática para escuela secundaria, afirman que las características del proceso de generación del conocimiento matemático, el aprendizaje y la forma en que este se produce, viene en parte definido por el tipo de tareas que los estudiantes deben realizar. Es decir, a las características textuales de las tareas y a la naturaleza de la actividad que genera dicha tarea. Así por ejemplo, tener en cuenta el modo de representación utilizado (situación, gráfica, expresión algebraica, tablas) y lo que se pide que se haga (por ejemplo traslación entre los modos de representación) conlleva perspectivas diferentes del concepto de función.

En un artículo más reciente, realizado por Font (2001) con alumnos de escuela secundaria (16 – 18 años), el autor se pregunta ¿por qué conviene diseñar actividades en las que los alumnos tienen que realizar traducciones entre diferentes representaciones?

En ese trabajo, y luego de presentar la siguiente tabla, que es una adaptación de la utilizada por Janvier; el autor afirma que el paso de una representación a otra puede ampliar y reorganizar la información que está implícita en una de las formas de representación. Según Font, la tabla pone de manifiesto la multiplicidad de relaciones que se pueden establecer entre las diferentes formas de representar una función. Pues en ella se pueden contemplar las posibles traducciones de una forma de representación a otra, así como las traducciones dentro de la misma forma de representación, que son las de la diagonal.

Hacia Desde

Situación, Descripción

verbal

Tabla Gráfica Expresión analítica Situación, Descripción verbal Distintas descripciones Estimación/ cálculo de la

Tabla

Boceto Modelo

Tabla

Lectura de las Relaciones

numéricas

Modificación de la tabla

Trazado de la

gráfica Ajuste numérico

Gráfica Interpretación

de la gráfica

Lectura de la gráfica Variaciones de escalas, unidades, origen, etc. Ajuste gráfico Expresión analítica Interpretación de la fórmula (interpretación de parámetros)

Cálculo de la tabla dando

valores

Representación gráfica

Transformaciones de la fórmula

(23)

23

Desde una perspectiva cognitiva esta tabla implica que cada concepto o estructura matemática necesita para su total comprensión del empleo y juego combinado de más de un sistema de representación, lo cual implica poder diferenciar varias representaciones en cada concepto. Yendo todavía un poco más lejos, García y Llinares (1994), afirman que comprender un dominio de contenido matemático complejo como puede ser el definido por la noción de función, significa ser flexible en el proceso de resolución de tareas; es decir, poder trasladarse entre diferentes sistemas de representación; y diferentes perspectivas del concepto.

Teniendo en cuenta estas investigaciones, y los constructos teóricos propuestos por Vergnaud (1990, 1996, 2005, 2007, 2010) relativos a la conceptualización, y descritos en el capítulo 2; se entiende que pretender identificar un concepto con cualquiera de sus representaciones, es una simplificación escolar inadecuada para la investigación en Educación Matemática. Así, las situaciones que componen la AEI están diseñadas de acuerdo a cinco sistemas de representación. Los cuatro arriba mencionados, y un quinto que surge de desglosar la expresión analítica en dos. Por una parte las tareas en que la expresión analítica tiene parámetros definidos numéricamente, y por otra parte las expresiones analíticas que corresponden a las familias de funciones. El diseño de las situaciones y su vinculación con los sistemas de representación se describen en el capítulo tres.

Luego de presentar la tabla, Font (2001) se centra en la traducción “grafica a expresión simbólica”. Haciendo hincapié en que aunque es deseable que los alumnos trabajen la traducción entre todos los diferentes tipos de representaciones de las funciones, la introducción de las calculadoras graficadoras y de los programas informáticos en la enseñanza permite automatizar y, por tanto, facilitar y simplificar algunas de las posibles traducciones entre las representaciones.

En esta dirección, y teniendo en cuenta que la influencia de la tecnología en situaciones de enseñanza y aprendizaje está siendo estudiada desde diversas perspectivas; se analizaron algunas investigaciones a fin de estudiar la posibilidad de utilizar los graficadores y las planillas Excel durante la implementación de la Actividad de Estudio e Investigación.

Investigaciones vinculadas al Uso de Programas Informáticos en el Aula

El análisis de algunas investigaciones, permitieron advertir que mientras en algunos trabajos se procura determinar si la introducción de la computadora en las clases de matemáticas, produce diferencias significativas en resultados de exámenes y niveles de aprobación; otros estudios buscan en cambio, caracterizar ventajas y dificultades provenientes de la propia tecnología, analizar las transformaciones que ella introduce en la dinámica de las clases de matemática, o estudiar los procesos de construcción de los estudiantes en ambientes computacionales.

(24)

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por descubrimiento; y la abstracción y generalización de las funciones a partir de sus gráficas.

Algunas evidencias sugieren que el uso de calculadoras graficadoras ayuda a desarrollar una comprensión más global del concepto de función pues permite visualizar sus gráficas y establecer relaciones entre éstas y las funciones correspondientes. A su vez, los registros gráfico y numérico adquieren un nuevo status, pues los alumnos comprenden que los problemas algebraicos se pueden resolver gráfica o numéricamente tan bien como con la manipulación algebraica (Mirón, 2000).

Mesa y Gómez (1997) realizaron un trabajo exploratorio sobre la influencia de la calculadora gráfica en el estudio de diversos tipos de funciones utilizando los conceptos de dualidad operacional-estructural y el manejo de representaciones como perspectivas de aproximación a la complejidad de la comprensión. Dos grupos de estudiantes, uno con calculadora gráfica y otro sin ella, tomaron en semestres distintos un curso de precálculo en la Universidad, bajo la dirección del mismo profesor. En ambos grupos se tomó una prueba escrita con ejercicios de respuesta abierta al comienzo y al final del curso. Se trabajó únicamente con los sistemas de representación gráfica y simbólica. Los autores identificaron y clasificaron las estrategias que los estudiantes usaron al resolver los ejercicios de la prueba. En el grupo que utilizó calculadoras, se observó un manejo más estructural de las funciones lineales y más operacional de las funciones polinómicas. También se observó en este grupo mayor evidencia de reconocimiento de atributos de los objetos, que en el grupo que no usó calculadoras. En ambos grupos se observó una tendencia a utilizar más representaciones simbólicas que gráficas.

Otros estudios como los de Schoenfeld (1995), Smith (1995), Heid y Baylor (1993), Hillel et al. (1992) y Heid (1988) describen características, ventajas e influencias de los ambientes computacionales en la enseñanza y aprendizaje de cálculo. Según estos trabajos, el ambiente computacional favorece la posibilidad de alcanzar una mayor comprensión conceptual, ya que la computadora dispensaría o disminuiría el tiempo dedicado al aprendizaje de técnicas y algoritmos que cuentan con un énfasis predominante y ocupan gran parte de los cursos de cálculo.

Así, y teniendo también en cuenta otros trabajos, como los de Borba, (1995a) y Capuzzo Dolcetta et al. (1998); en los que se destaca que los ambientes computacionales favorecen un abordaje más experimental en el aprendizaje matemático, que alienta a los estudiantes a formular, verificar o rechazar y reformular hipótesis, generar patrones, anticipar resultados y combinar abordajes gráficos con rutinas analíticas; se pretende utilizar algunos graficadores en el aula; que permitan al grupo de clase verificar o rechazar sus resultados, y combinar abordajes gráficos con resoluciones analíticas.

Así, y teniendo en cuenta:

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 Que la compresión de los acontecimientos exponenciales se obstaculiza si solo se dispone de esquemas mentales lineales, pues se asimilan los modelos no lineales a los lineales;

 Que la construcción de esquemas mentales exponenciales requiere de la participación en situaciones que colaboren en la conceptualización de las funciones exponenciales;

 Que la comprensión de cada concepto necesita del empleo y juego

combinado de más de un sistema de representación;

 Y que los sistemas informáticos favorecen un abordaje más experimental en

el aprendizaje matemático, que alienta a los estudiantes a formular, verificar o rechazar y reformular hipótesis, generar patrones, anticipar resultados y combinar abordajes gráficos con rutinas analíticas;

Este trabajo se centra en:

 El diseño, implementación y evaluación de una Actividad de Estudio e Investigación, relativa al campo conceptual de las funciones exponenciales;  En la que cada situación que compone la AEI está planteada en diferentes

sistemas de representación;

 Y en la que se utilizan graficadores para verificar o rechazar resultados y combinar abordajes gráficos con resoluciones analíticas;

 Con el propósito de describir y analizar la conceptualización de cuatro grupos de estudiantes cuando se implementa una AEI relativa a las funciones exponenciales en la escuela secundaria.

Organización de la presentación

A continuación, en el Capítulo 2, se propone el referencial teórico empleado en esta investigación, integrado por las perspectivas cognitiva y didáctica.

Luego, en el Capítulo 3 se describe la metodología de esta investigación.

En el Capítulo 4 se presenta la génesis de la función exponencial y su vinculación con la enseñanza en la escuela secundaria. También se hacen algunas consideraciones previas al diseño de la Actividad de Estudio e Investigación.

En el Capítulo 5 se describe el diseño de la Actividad de Estudio e Investigación utilizada para enseñar el campo conceptual de las funciones exponenciales; y su gestión en la clase de matemática, abordando así la primera pregunta planteada.

En el Capítulo 6 se describen las cuatro implementaciones en el aula, y se presenta el análisis conceptual de los datos.

En el Capítulo 7 se presentan las Conclusiones del trabajo y algunas Reflexiones Finales.

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Capítulo 2

Referenciales Teóricos

Un supuesto básico que sustenta este trabajo es que si se está interesado en la enseñanza de un concepto matemático, no se puede dejar de lado la pregunta por el aprendizaje. En particular, si se está interesado en la enseñanza no debe olvidarse al sujeto que aprende. Tenerlo en cuenta, implica considerar tanto las teorías didácticas como las teorías cognitivas que han surgido como respuesta a las preguntas por el conocer, y por el desarrollo cognitivo. Una teoría contemporánea que da respuesta a estas preguntas y resulta superadora de otras teorías constructivistas, es la teoría de los campos conceptuales de Vergnaud (1990, 1996, 2005, 2007a, 2007b, 2008, 2010). Esta teoría resulta fecunda para la investigación de la enseñanza de conceptos matemáticos, debido a que aunque no es específica de las matemáticas; ha sido elaborada primeramente para dar cuenta de procesos de conceptualización progresiva de las estructuras aditivas, multiplicativas, relaciones número-espacio, y del álgebra.

Así, el trabajo se apoya en dos referenciales desde los cuales se desarrolla el estudio: uno didáctico y otro cognitivo. Pues, mientras el marco teórico didáctico brinda sustento a las decisiones relativas a la Actividad de Estudio e Investigación (a partir de ahora AEI) en los procesos de topogénesis, cronogénesis y mesogénesis; el marco cognitivo permite el análisis de la conceptualización en el aprendizaje.

A continuación, se presentan en breve resumen, los constructos teóricos que han sido considerados relevantes para este trabajo.

Fundamentos Cognitivos: La Teoría de los Campos Conceptuales

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Capitulo 2: Referenciales Teóricos

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Introducción

Esta cita de Vergnaud pretende ilustrar una de las ideas centrales de la teoría de los campos conceptuales, y de este trabajo. Vergnaud, retoma de Piaget la idea de que el conocimiento es adaptación: asimilación y acomodación. Asimilación del nuevo conocimiento al antiguo, y acomodación a lo que no ha sido previsto antes, es decir, a la contingencia. Así, el conocimiento racional es la construcción que le permite al sujeto adaptarse al medio, y como tal es operatorio, pues si el conocimiento no genera acciones de adaptación que le permitan al sujeto actuar en situación, no es conocimiento. Porque el conocimiento es adaptación.

Las consecuencias que se desprenden de esta afirmación, resultan relevantes para quienes están interesados en la enseñanza de conceptos. Si se asume que toda acción destinada a la enseñanza pretende de manera más o menos explícita, que los alumnos aprendan aquel saber considerado como relevante, resulta interesante reflexionar sobre este proceso mediante la utilización de constructos teóricos cognitivos. La teoría de los campos conceptuales (Vergnaud; 1990, 1994, 1996, 2005, 2007a, 2007b, 2008, 2010) proporciona un marco coherente para comprender el proceso de conceptualización de conceptos, cuando los alumnos del colegio secundario estudian las funciones exponenciales; debido a que sienta algunos principios de base para el estudio del desarrollo y del aprendizaje de competencias complejas, especialmente las que se refieren a las ciencias y las técnicas.

El análisis de la conceptualización, que es a partir de los esquemas pasa inevitablemente por el análisis de la actividad, de la cual las conductas observables son una parte muy pequeña. Pero el análisis de la conceptualización de las funciones exponenciales no puede llevarse a cabo, si no es a partir del análisis de las conductas observables, y en particular de las resoluciones escritas de los alumnos cuando enfrentan un problema. Pues no es posible tener acceso a la parte no observable de la actividad. Sin embargo, el esquema aunque no es una conducta, tiene la función de generar la actividad y la conducta en situación. Y es por esto que es posible estudiar los componentes que permiten el funcionamiento del esquema, esto es, los invariantes operatorios, mediante el análisis de las conductas.

A continuación se describen los constructos teóricos de: concepto, campo conceptual, actividad, conceptualización, situación, esquema, invariantes operatorios, conocimiento operatorio y conocimiento declarativo; que resultan claves para el estudio de la conceptualización de los alumnos en situación.

Campo Conceptual

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En este contexto, el campo conceptual de las funciones exponenciales está formado por las situaciones de interés compuesto, propagación de virus, depreciación, control de variables, reconocimiento de funciones, resolución de ecuaciones, etc.; y por los conceptos de multiplicación, potenciación, logaritmación, función, ecuación, dominio, imagen, ordenada, abscisa, variación, interés simple, interés compuesto, número natural, número real, conjunto discreto, conjunto continuo, etc., puestos en juego.

Así, a la hora de estudiar el campo conceptual de las funciones exponenciales, resultará fundamental analizar qué situaciones favorecen su conceptualización, ya que la resolución de las situaciones es la que permite analizar las tareas cognitivas y los procedimientos que pueden ser puestos en juego en cada una de ellas. Las situaciones se encuentran así, en la base de la conceptualización de un campo conceptual.

Conceptualización y Actividad

Dado que la teoría de los campos conceptuales sienta algunos principios de base para comprender el proceso de conceptualización de conceptos, cuando los alumnos del nivel medio estudian las funciones exponenciales; resulta relevante distinguirlo de la actividad del sujeto en situación.

La conceptualización es un proceso que forma parte de la actividad y está dirigido a reducir la incertidumbre que genera el enfrentarse a situaciones, sean estas nuevas o conocidas. Así, mientras la actividad refiere a los gestos, los conocimientos y competencias científicas y técnicas, la interacción con los otros, las competencias lingüísticas, las competencias afectivas, etc.; la conceptualizaciónpuede ser definida como la construcción, o la identificación directa o cuasi-directa de los objetos del mundo, de sus propiedades, relaciones y transformaciones (Vergnaud, 2007b: 299). Así, el análisis de la conceptualización, que es a partir de los esquemas pasa inevitablemente por el análisis de la actividad, de la cual las conductas observables son una parte muy pequeña. Pero el análisis de la conceptualización de las funciones exponenciales no puede llevarse a cabo, si no es a partir del análisis de las conductas observables, y en particular de las resoluciones escritas de los alumnos cuando enfrentan un problema. Pues no es posible tener acceso a la parte no observable de la actividad. Sin embargo, el esquema aunque no es una conducta, tiene la función de generar la actividad y la conducta en situación. Y por esto es que resulta posible estudiar mediante el análisis de las conductas, los componentes que permiten el funcionamiento del esquema, esto es, los invariantes operatorios.

Los invariantes operatorios que son, como se explicará más adelante, los que hacen operatorio el esquema; resultan ser también un componente esencial de los conceptos.

Concepto

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través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver como un concepto adquiere sentido para el sujeto.

Por otra parte, los conceptos no toman su significación de una sola clase de situaciones, ni una situación se analiza con la ayuda de un solo concepto. Por ejemplo, el concepto de función exponencial se comprende a través de una diversidad de problemas prácticos y teóricos (interés compuesto, decaimiento radiactivo, propagación de virus, análisis variacional, control de variables, etc.), que comportan relaciones y propiedades, cuya pertinencia es variable según las situaciones a tratar. Algunas de estas relaciones podrán comprenderse muy pronto, y otras mucho más tarde en el transcurso del aprendizaje. Pero de todas maneras, la elaboración pragmática de un concepto, como puede ser el de función exponencial se construirá en solidaridad con otros conceptos, como por ejemplo el de variación exponencial, variación lineal, ecuación exponencial, logaritmo, potencia, dominio, imagen, etc. Es decir, se construirá siempre formando parte de un sistema, y como tal, no es posible estudiar su desarrollo de manera aislada.

La relevancia de la construcción pragmática del concepto está en que ésta pone en juego tanto el conjunto de situaciones que constituyen la referencia de sus diferentes propiedades, como el conjunto de los esquemas puestos en juego por los sujetos en estas situaciones. Pero, este proceso de elaboración pragmática no prejuzga de ninguna manera el análisis del papel del lenguaje y del simbolismo en la conceptualización. La acción operatoria, no lo es todo en la conceptualización de lo real. No se debate la verdad o la falsedad de un enunciado totalmente implícito, y no se identifican los aspectos de lo real a los cuales es necesario prestar atención, sin la ayuda de palabras, enunciados, símbolos y signos. El uso de significantes explícitos es indispensable para la conceptualización. Pues debido a que los conceptos se construyen apoyándose unos en otros, y que el lenguaje permite mejor que cualquier otro ese proceso de explicitación, se puede decir juntamente con Vigotsky, que la mediación a través del lenguaje, es un proceso ineludible en la enseñanza de las ciencias. La contracara de esta aserción es que si se quiere considerar correctamente la medida de la función adaptativa del conocimiento, se debe conceder un lugar central a las formas que toma en la acción del sujeto. La enseñanza es irremplazable, pero debido a que el conocimiento racional es operatorio o no es tal conocimiento; el rol de la enseñanza no se puede limitar a poner en palabras el contenido conceptual de los conocimientos.

Así, en este contexto, Vergnaud define al concepto como un triplete de tres conjuntos: C (S, I.O, S.R). Un conjunto de situaciones, un conjunto de invariantes operatorios, y un conjunto de formas lingüísticas y simbólicas.

 La referencia [S]: Es el conjunto de situaciones que le dan sentido al concepto.

 El significado [I.O]: Es el conjunto de invariantes operatorios (conceptos en acto y teoremas en acto) sobre los cuales reposa la operacionalidad de los esquemas.

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Respecto a esta definición, resulta relevante puntualizar que no se deben confundir los sistemas de representación con los significados. Y esto es así, porque las palabras utilizadas recobran muchos significados según la situación dentro de la cual se esté. Por otro lado, el sentido acordado por el sujeto se corresponde parcialmente, y a veces no del todo, al significado convencional de palabras y enunciados, o a la que le da el profesor. Esto se debe a que no hay un homomorfismo directo, sino parcial, entre lo real y el lenguaje, incluido el científico.

Vigotsky quien en un principio definió al concepto como el “significado de las palabras” lo reformuló para introducir la idea de “sentido”. Por su parte, Piaget tenía el hábito de decir que “los sentidos, son los esquemas”. Pero debido a que es necesario distinguir entre los significados de la lengua y los conceptos, la teoría de los campos conceptuales aporta a estas ideas un complemento teórico cuando afirma que la conceptualización comienza con la acción en situación, y con la formación de invariantes operatorios. Pues serán ellos los responsables de diferenciar el sentido del sistema de representación de acuerdo a la situación.

Es decir, tanto los sistemas de representación como la situación, no evocan en el individuo todos los esquemas disponibles. Por ejemplo, el sentido de una situación relativa al interés compuesto, en la que se debe diferenciar la representación gráfica de una función exponencial entre la representación gráfica de otras funciones, no es ni el sentido de la función exponencial, ni el sentido de uno de sus símbolos en particular; sino el conjunto de esquemas que permiten diferenciar la gráfica del interés compuesto, de las otras. Y esto no es más que un subconjunto, de todos los esquemas disponibles en el sujeto, relativos a la función exponencial.

En síntesis, no existe una biyección entre los sistemas de representación [S.R] y los significados [I.O], ni entre los significados [I.O] y las situaciones [S]; y por lo tanto no es posible reducir el significado ni a los significantes ni a las situaciones, pues el significado viene dado por ambos.

Así, si se quiere estudiar el desarrollo de un concepto, como es en este caso el de las funciones exponenciales, se deberán considerar estos tres planos a la vez: Las situaciones, los sistemas de representación y los invariantes operatorios.

Situación

El concepto de situación es muy importante dentro de la teoría de los campos conceptuales debido a que los procesos cognitivos y las respuestas del sujeto, son en función de las situaciones a las cuales son confrontados. Sin situación no hay esquema, pues el esquema es una respuesta adaptativa del sujeto a la situación.

De esta significación psicológica, la teoría de los campos conceptuales remarca la importancia de dos ideas, la de variedad y la de historia.

VARIEDAD: al interior de cada campo conceptual existe un gran número de

situaciones y de clases de situaciones, donde las variables de la situación son un medio de generar sistemáticamente el conjunto de las clases de situaciones.

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comportan, tanto los problemas prácticos (como por ejemplo los problemas de interés compuesto, propagación de virus, contaminación sonora, etc.), como los problemas teóricos (de análisis variacional, control de variables, etc.). Para así seleccionar las situaciones relativas al conjunto de conceptos que sean considerados constitutivos de este campo conceptual. Otro punto importante para el tratamiento de las situaciones es la identificación de las cuestiones y de las operaciones que hay que hacer para responder a ella. Debido a que Vergnaud le da a la situación el carácter de tarea, ésta puede ser reducida a una combinación de subtareas, en las cuales es posible identificar relaciones básicas con datos conocidos y desconocidos, que conducen a algunas cuestiones posibles. La clasificación de las relaciones básicas y de las clases de problemas que pueden estar generadas a partir de éstas, es un trabajo científico indispensable.

Esta clasificación y selección resulta fundamental para la enseñanza de un campo conceptual determinado, debido a que son las situaciones las que le dan sentido a los conceptos, es decir los que constituyen su referencia [S].

HISTORIA: los conocimientos de los alumnos se construyen a partir de las situaciones

que han enfrentado y dominado progresivamente, especialmente por las primeras situaciones susceptibles de dar sentido a los conceptos y a los procedimientos que se le quiere enseñar.Así, esta segunda idea, resalta y clarifica la importancia de la idea anterior.

Otro aspecto que resulta relevante destacar, es que Vergnaud no se refiere aquí a la historia de las matemáticas, sino a la historia del aprendizaje de las matemáticas. Esta historia aunque individual permite identificar regularidades de un alumno a otro. Por ejemplo, se evidencian regularidades en la manera que abordan y tratan una misma situación, en las concepciones primitivas que se forman de los objetos, de sus propiedades y de sus relaciones, y en las etapas por las cuales pasan. Estas etapas no son totalmente ordenadas, ni obedecen a un calendario. Las regularidades se refieren a las distribuciones de procedimientos y no están unívocamente determinadas. Pero el conjunto forma sin embargo, un todo coherente para un campo conceptual dado y es posible identificar en él, las principales filiaciones y rupturas.

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Esquema

El concepto de esquema es juntamente con el de situación uno de los más importantes de la teoría de los campos conceptuales debido a que son los esquemas quienes se adaptan a las situaciones, y no el sujeto al objeto, como había formulado Piaget.

Aunque este concepto había sido ya propuesto por Kant, cuando lo empleó para las cuestiones de espacio y tiempo, y más tarde reformulado por algunos filósofos neo-kantianos; fue Piaget quien dio el paso decisivo en dirección de la actividad al proponer al esquema como instrumento de asimilación y acomodación. Vergnaud retoma esta noción de esquema que proponía Piaget y lo amplia a la vez que se aparta de la idea lógica de este constructo, para centrarse más en su aspecto pragmático. Así, para Vergnaud los esquemas son pragmáticos en el sentido de que funcionan para la adaptación y la acción operatoria del sujeto. Los esquemas se acomodan a las situaciones pues se relacionan con las características de las situaciones a las cuales se aplican y son funcionales a estas.

Las definiciones que Vergnaud propone de esquema son las siguientes cuatro:

1. Un esquema es una totalidad dinámica funcional.

2. Un esquema es una organización invariante de la actividad para una clase definida de situaciones.

3. Un esquema comprende necesariamente cuatro categorías de

componentes:

 -una meta (o varias), sub-metas y anticipaciones.  -reglas de acción, de toma de información y de control.

 -invariantes operatorios (conceptos en acto y teoremas en acto)  -posibilidades de inferencia.

4. Un esquema es una función que toma sus valores de entrada en un espacio

temporalizado de n dimensiones, y sus valores de salida en un espacio igualmente temporalizado a n´ dimensiones (n y n´ muy grandes).

La primera definición se podría decir que es la que fue heredada de Piaget, ya que se corresponde con las reflexiones que él hacía del esquema como una forma dinámica, próxima de lo que los gestaltistas habían reconocido para la percepción (Vergnaud, 2007b:292).

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parte como el esquema se dirige a una clase de situaciones, es un universal; incluso si esta clase de situaciones es pequeña, como es el caso en los primeros momentos de comprensión de un campo conceptual nuevo.

La tercera definición, superadora de las ideas de Piaget, Vygotsky, y Bruner; es analítica, y resulta ser fundamental para el análisis de la actividad en general, y de la conceptualización en particular. A continuación se describen cada uno de sus componentes.

METAS,SUB-METAS, Y ANTICIPACIONES

Aunque la meta no sea plenamente consciente, o si hay varias en la misma actividad (por ejemplo la elección de tres valores para evaluar en una función dentro de una actividad de representación gráfica en ejes cartesianos) siempre es posible identificar una intencionalidad en la organización de la actividad, con su cortejo de sub-metas y anticipaciones. Este primer componente representa en el esquema lo que se llama a veces la intención, el deseo, la necesidad, la motivación, la espera. Pero ninguno de estos conceptos es por sí sólo un esquema, por lo cual resulta esencial integrar la meta, la intención y el deseo en el mismo concepto de esquema. Por otra parte, y debido a que la actividad responde a una organización que es simultánea y secuencial a la vez, la meta se divide en sub-metas y anticipaciones. Un ejemplo que ilustra la organización simultánea y secuencial de la actividad, es la construcción gráfica en ejes cartesianos de la variación del dinero, a partir del cálculo de dos o tres valores:

- Organización Secuencial: elección de los valores, evaluación de la expresión analítica en los valores seleccionados, cálculos, trazado de la gráfica;

- Organización Simultánea: gestos y movimientos coordinados de las diferentes partes del cuerpo, en el momento del cálculo, la escritura y el trazado del gráfico, por ejemplo;

Las metas, las sub-metas y las anticipaciones preceden y acompañan el movimiento, y son objeto por parte del estudiante de un control casi permanente mientras se lleva a cabo la acción. La resolución de una ecuación puede también ser analizada de la misma manera, como una organización secuencial y simultánea de la acción, de la toma de información y del control.

REGLAS DE ACCIÓN, DE TOMA DE INFORMACIÓN Y DE CONTROL

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invariante operatorio el que permite ir más lejos en el análisis, justamente porque introduce la cuestión de la conceptualización.

Las reglas son el componente del esquema por la cual ingresan las condiciones y las variaciones. SI tal variable de situación tiene tal valor, y SI tal otra variable de situación tiene tal valor… ENTONCES la acción X, la toma de información Y, o el control Z deben ser efectuados. Es decir, a las reglas siempre se les puede dar la forma de reglas condicionales de tipo “si… entonces”. Desde luego esta formalización corresponde a la teoría, no al sujeto mismo, ya que salvo alguna excepción, para él las inferencias y las reglas quedan casi siempre implícitas, y hasta a menudo inconscientes (Vergnaud, 2008). Un ejemplo de esto es cuando se les pide a los trabajadores talentosos, a los expertos, a los enseñantes o a los alumnos; que expliquen por qué y cómo han hecho esto o aquello. Su respuesta acerca de los razonamientos condicionales que realizan en el camino es generalmente evasiva. Ellos tienen tendencia a devolver un conjunto lineal de acciones. Se hace esto, después aquello, mas adelante esto, pero se olvidan que a cada momento una o muchas condiciones han precedido la elección realizada. Es decir, la actividad no se ha generado en forma lineal, sino secuencialmente, y con la participación secuencial y simultanea de la selección de información y el control. Así, el concepto de regla de acción es insuficiente para analizar la actividad.

Si ahora se trata de comprender qué tipo de relación existe entre las condiciones de la actividad y las formas que ella toma, se encuentra inevitablemente la pregunta por la conceptualización. Aún si existieran regularidades entre las condiciones introducidas por el SI….y la conducta introducida por el ENTONCES (acciones, selección de información y controles), no es el concepto de sucesión regular el que puede permitir por sí mismo, conocer las razones que relacionan las diferentes condiciones posibles, con las diferentes actividades que les están asociadas. Si esto fuera así se estaría todavía dentro asociacionismo behaviorista, cuyos efectos devastadores sobre la psicología y la didáctica no pueden terminar de medirse. La existencia de relaciones conceptuales entre condiciones y actividades es el argumento esencial para introducir dentro del concepto de esquema esta componente epistémica que son los conceptos y teoremas en acto. El esquema es conceptualización o no es.

INVARIANTES OPERATORIOS:CONCEPTO EN ACTO Y TEOREMA EN ACTO

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Por definición, un concepto en acto es una categoría pertinente, y como tal no es susceptible de verdad o falsedad, sino solamente de la pertinencia o de la no pertinencia. En cambio, un teorema en acto es una proposición tenida por verdadera en la actividad. La relación entre teoremas y conceptos es dialéctica, en el sentido que no hay teorema sin conceptos y no hay concepto sin teorema. Metafóricamente se puede decir que los conceptos en acto son los ladrillos con los cuales los teoremas en acto son fabricados, y que la sola razón de existencia de los conceptos en acto es justamente permitir la formación de teoremas en acto, a partir de los cuales se hace posible la organización de la actividad y las inferencias. Recíprocamente, los teoremas en acto son constitutivos de los conceptos ya que, sin proposiciones tenidas por verdaderas, los conceptos estarían vacíos de contenido. Pero es importante reconocer que un concepto en acto siempre está constituido por varios teoremas en acto, cuya formación puede espaciarse en un largo período del tiempo, en el curso de la experiencia y del desarrollo. El estudio del desarrollo de las competencias durante el aprendizaje muestra que el mismo concepto puede, según el estado de su elaboración, ser asociado con teoremas más o menos numerosos, más o menos ricos, y hasta eventualmente falsos. La comitiva de teoremas en acto susceptible de ser asociada con un mismo concepto, es en general muy grande, y también lo es en particular, en las disciplinas científicas y técnicas. De este modo declarar que un alumno comprendió tal concepto no tiene mucho sentido. Pues para saber si un alumno comprendió tal concepto, es necesario precisar cuál teorema en acto fue capaz de utilizar en la acción (Vergnaud, 2008).

Por otra parte, resulta relevante explicar que un concepto en acto no es un concepto, ni un teorema en acto un teorema. En la ciencia, los conceptos y los teoremas son explícitos y se puede discutir su pertinencia y su verdad. Este no es necesariamente el caso para los invariantes operatorios. Los conceptos y los teoremas explícitos no forman sino la parte visible del iceberg de la conceptualización; pero sin la parte escondida formada por los invariantes operatorios, esta parte visible no sería nada. Estos invariantes operatorios (conceptos en acto y teoremas en acto), son en particular, la base conceptual implícita (o explícita) de los esquemas debido a que permiten seleccionar la información pertinente y, a partir de ella y de la meta a atender, inferir las reglas de acción más adecuadas para abordar una situación (Vergnaud, 1990). En consecuencia, las decisiones que tome un alumno ante una determinada situación van a depender del esquema activado, pero más específicamente de los conceptos en acto y teoremas en acto de los que disponga el sujeto para enfrentar la situación.