Las Situaciones que Componen la AE
D ESCRIPCIÓN DE LA T AREA C )
Esta última tarea se centra en la cuestión generatriz de la AEI, Q0: ¿Cómo se
pueden determinar las características de las Funciones Exponenciales? Pues a partir de ella se pretende la explicitación del conocimiento que fue utilizado para resolver la situación. El sistema de representación requerido es el verbal escrito [SRVE].
DESCRIPCIÓN DE LASITUACIÓN 2
Esta segunda situación, se diseñó con el propósito de construir a partir de ella el modelo del interés compuesto.
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación
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Situación 2
Un grupo de chicos tiene $12000 para su viaje de egresados y lo quieren poner en un plazo fijo a interés compuesto por 30 meses, que es el momento del viaje. Se averiguaron las tasas de algunos bancos y se sabe que:
La tasa mensual del Banco 1 es de 1,1% y les permite tener $12132 cumplido el primer mes. La tasa mensual del Banco 2 es de 1,2 % y les permite tener $12144 cumplido el primer mes. La tasa mensual del Banco 3 es de 1,3% y les permite tener $12156 cumplido el primer mes. También se ha conseguido el siguiente resumen del Banco 1, donde se muestra como varía el dinero para algunos meses.
Mes (t)
Monto final del periodo C (t)
Monto al inicio del periodo C (t - 1)
Interés en cada periodo I ((t- 1); t) Tasa i = R/100 0 C(0) = 12000 -- -- -- 1 C(1) = 12132 C(0) = 12000 I (0; 1) = 132 0,011 2 C(2) = 12265,452 C(1) = 12132 I (1; 2) = 133,452 0,011 3 C(3) = 12400,37197 C(2) = 12265,452 I (2; 3) = 134,919972 0,011 4 C(4) = 12536,77606 C(3) = 12400,37197 I (3; 4) = 136,4040917 0,011 5 C(5) = 12674,6806 C(4) = 12536,77606 I (4; 5) = 137,9045367 0,011 6 C(6) = 12814,10209 C(5) = 12674,6806 I (5; 6) = 139,4214866 0,011 7 C(7) = 12955,05721 C(6) = 12814,10209 I (6; 7) = 140,955123 0,011 8 C(8) = 13097,56284 C(7) = 12955,05721 I (7; 8) = 142,5056293 0,011 9 C(9) = 13241,63603 C(8) = 13097,56284 I (8; 9) = 144,0731912 0,011 10 C(10) = 13387,29403 C(9) = 13241,63603 I (9; 10) = 145,6579963 0,011 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C(20) = 14934,97011 C(19) = 14772,47291 I (19; 20) = 162,497202 0,011 21 C(21) = 15099,25478 C(20) = 14934,97011 I (20; 21) = 164,2846712 0,011 22 C(22) = 15265,34659 C(21) = 15099,25478 I (21; 22) = 166,0918026 0,011 23 C(23) = 15433,2654 C(22) = 15265,34659 I (22; 23) = 167,9188125 0,011 24 C(24) = 15603,03132 C(23) = 15433,2654 I (23; 24) = 169,7659194 0,011 25 C(25) = 15774,66466 C(24) = 15603,03132 I (24; 25) = 171,6333445 0,011 26 C(26) = 15948,18597 C(25) = 15774,66466 I (25; 26) = 173,5213113 0,011 27 C(27) = 16123,61602 C(26) = 15948,18597 I (26; 27) = 175,4300457 0,011 28 29 30
a) Calcula los valores que faltan; y escribe la expresión que utilizó el Banco 1 para calcular los montos C(t). ¿Y los otros dos bancos?
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77 b) Construye una tabla similar para cada uno de los bancos.
c) ¿Cuál es el Dominio de validez y la imagen, de cada expresión, para que sea función? ¿Cuál es el banco que paga mayor interés?
d) Representa gráficamente cómo varía el dinero en cada banco.
e) ¿Cuál es la diferencia entre este modelo y el que vos habías planteado en la situación anterior?
Esta situación, y toda la Actividad de Estudio e Investigación cuentan con un buen análisis numérico, mediante la construcción de tablas y de preguntas específicas acerca de la variación. El propósito era analizar situación a situación las características particulares de cada variación en contraposición con la lineal. En la AEI que fue parte del estudio piloto se había evitado la construcción de tablas, por ser una técnica que los alumnos utilizan para construir las representaciones gráficas, y a la que luego se aferran contraponiéndola al análisis de funciones. Con respecto a éste último punto, y también para agilizar el análisis variacional, se decidió darle prioridad al uso de recursos informáticos en el aula. Así, en esta AEI se buscó explotar al máximo el uso de las planillas de cálculo y de distintos graficadores en las clases.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA a)
Esta tarea se centra en el sistema de representación numérico [SRN] y a partir de él se pretende ingresar al sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1]. La sub-cuestión generatriz es Q1,1: ¿Cómo calcular el
aumento del dinero puesto a interés compuesto?
La situación anterior se caracteriza por no ofrecer resistencia a las estrategias de los alumnos. Pero en esta situación, al presentar una tabla con valores y casillas vacías para completar, los alumno tienen ahora contra quien comparar sus cálculos. Lo cual los obliga a revisarlos dirigiendo sus estrategias en una dirección no lineal.
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La tabla contiene en la primera columna el mes. En la segunda, la cantidad de dinero que se tendrá al terminar cada periodo de capitalización mensual. En la tercera columna se detalla la cantidad de dinero que tenía en la capitalización anterior, y en la siguiente, la cantidad de dinero que aumenta por mes. La última corresponde a la tasa de interés que ofrece el banco. El posterior análisis de la tabla permite evidenciar el crecimiento no lineal del
dinero; y contar con una formulación implícita de la expresión algebraica del modelo. A partir del cálculo recursivo de los valores de tabla es posible advertir que la relación que hay entre los valores sucesivos de la segunda columna se obtienen multiplicando el valor anterior por 1,011; que es la base multiplicativa del modelo. Es decir, es posible construir el modelo si se advierte que éste resulta de multiplicar 12000 por 1,011 la cantidad (meses) de veces que se requiera. Esta última estrategia, si no emerge del trabajo de los alumnos puede ser sugerida por el profesor.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA b)
Esta tarea aunque se centra también en el sistema de representación numérico [SRN], ahora lo hace apoyándose sobre el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1]; ya que los alumnos cuentan ahora con la expresión algebraica del interés compuesto para calcular los valores. La sub-cuestión generatriz que dirige esta tarea es la misma que en la tarea a).
La construcción de tablas similares a mano, perseguía el propósito de rutinizar las técnicas del el cálculo y colaborar en la comprensión del modelo de interés compuesto. Pero debido a las restricciones del tiempo didáctico, se les solicitó que realicen las dos tablas restantes con algunos valores a su elección, y que utilicen las planillas Excel para construir ambas tablas completas.
El uso de planillas Excel permite estudiar la variación de la función punto a punto con mayor rapidez y precisión que si se hubiera calculado a mano.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA c)
Debido a que la formalización del dominio y la imagen requiere de una notación particular, se dice que el sistema de representación involucrado en esta tarea, es el algebraico de primer orden [SRA1]. Sin embargo, se sabe que esta formalización requerirá de los conocimientos utilizados en el sistema de representación numérico [SRN]. La cuestión generatriz de esta tarea es Q0: ¿Cómo se pueden determinar las características de las Funciones
Exponenciales?
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA d)
Esta tarea se centra en el sistema de representación grafico [SRG], y se apoya en el sistema de representación numérico [SRN] para el cálculo de los puntos. La sub-cuestión [Q1,2] que la genera refiere a cómo graficar en ejes
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En este punto, se pretendía indagar qué representación gráfica proponían los alumnos una vez que se había determinado que el modelo no era lineal. Se espera que luego de la puesta en común, y de acordar que el interés compuesto no varía de la misma forma que el interés simple, estas segundas gráficas se modifiquen en una dirección no lineal. Inmediatamente después que los alumnos terminan de graficar se utiliza la notebook y el cañón para constatar sus producciones con las del graficador. La manipulación de las escalas permitirá diferenciar entre la representación gráfica del interés simple y la del interés compuesto.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA e)
Para terminar, y una vez que el grupo de clase ha hecho la puesta en común
sobre cada tarea anterior, se le pide a los alumnos que reflexionen y escriban cuál es a su criterio la diferencia entre un modelo y otro. El propósito es obtener la producción predicativa de los alumnos, sobre el conocimiento estudiado. Esta tarea se centra en la sub-cuestión generatriz de la AEI, Q1,3:
¿Cómo diferenciar el interés simple del interés compuesto? y el sistema de representación requerido es el verbal escrito [SRVE].
DESCRIPCIÓN DE LASITUACIÓN 3
Esta situación se diseñó con una doble función: la de presentar el modelo de interés compuesto y la justificarlo. Esta doble función se encuentra condicionada al desarrollo de la situación anterior. Ya que si los alumnos plantean la expresión algebraica del modelo, la situación 3 actúa como justificadora. Pero, si a pesar de todos los recaudos tomados en la situación 2, los alumnos no pudieran formular la expresión algebraica del modelo, se instalaría el modelo mediante esta situación; donde no solo está la expresión sino también la deducción.
En esta situación se analizan también las diferencias entre este modelo y el que ellos hayan formulado.
Situación 3
En la siguiente tabla se ha deducido la expresión matemática del monto a interés compuesto:
Conociendo el capital inicial ; y la tasa .
a) Completa los espacios en blanco, y deduce la expresión general, vinculando esta tabla con la tabla de la situación anterior.
Deducción de -- --
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación 80 ………. ……….. ……….. ………. ……….. ……… ………. ……….. ………. ……….. ………. … … … … ………. ………. ……… ……….
b) ¿Qué diferencia hay entre el modelo matemático para el monto a Interés Compuesto, y el modelo matemático para el monto a Interés Simple?
A continuación se describe la elección y justificación de ambas tareas.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA a)
Esta tarea se centra en el sistema de representación algebraico de segundo
orden [SRA2] donde a partir de la manipulación algebraica de las expresiones, se espera construir la representación algebraica que permite calcular el dinero puesto a interés compuesto. La sub-cuestión generatriz de esta tarea es Q1,1: ¿Cómo calcular el aumento del dinero puesto a interés
compuesto?
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA b)
Una vez que el grupo de clase ha hecho la puesta en común, se les pide a los alumnos que escriban cuál es la diferencia entre un modelo y otro. El propósito es obtener la producción predicativa de los alumnos sobre el conocimiento estudiado. Esta tarea se centra en la sub-cuestión generatriz Q1,3: ¿Cómo se diferencia entre el interés simple y el interés compuesto? El
sistema de representación requerido es el verbal escrito [SRVE].
Esta tercera situación funcionó de forma distinta en cada curso de la implementación’09. En el curso de economía los alumnos no lograron formular la expresión algebraica del interés compuesto durante el desarrollo de la segunda situación, y fue necesario introducirla mediante esta tercera situación. En cambio, como en el curso de naturales la expresión algebraica del interés compuesto fue construida por un grupo de alumnos, esta situación funcionó únicamente como
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justificadora del modelo. Mientras que en la implementación´11 ni esta situación, ni la situación dos existieron.