Es posible empezar a estudiar la función exponencial a partir de diferentes conceptos matemáticos, o a partir de alguna de sus propiedades. Por ejemplo:
(i). Estudiar la función exponencial a partir del estudio de una sucesión geométrica.
(ii). Estudiar la función exponencial como una función continua que trasforma las sumas en producto, es decir la ecuación funcional: .
(iii). Estudiar la función exponencial como la inversa de la función logarítmica.
(iv). Estudiar la función exponencial como una función a partir de la cual se definirá la función logaritmo.
(v). Estudiar la función exponencial a partir de la búsqueda de una función continua cuyo factor de incremento entre y es independiente de . Es decir
.
(vi). Estudiar la función exponencial a partir de la búsqueda de una función derivable que traduce la evolución de una magnitud cuyo índice de incremento le es proporcional, es decir por la ecuación diferencial .
(vii). Estudiar la función exponencial como una serie de potencias en el campo real o complejo.
Todas estas formas de comenzar a estudiar las funciones exponenciales forman parte del campo conceptual de las funciones exponenciales. Pero según como se comience a estudiar la función exponencial, cambiaran tanto los conceptos involucrados, como las situaciones vinculadas al concepto. Luego, como la
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conceptualización de los conceptos que forman un campo conceptual se realiza a partir de las situaciones en que los sujetos participan, y progresivamente dominan (Vergnaud, 1990); resulta relevante para el diseño de las situaciones de enseñanza, preguntarse cuál de éstas resulta más funcional para su conceptualización, en el nivel secundario.
Las primeras tres formas de proponer la función exponencial (i) (ii) y (iii), están muy vinculadas entre sí, y suponen un abordaje histórico de la función. Pues para poder enseñar a la función exponencial como la inversa de la función logarítmica, se deberá primero enseñar sucesiones aritméticas y geométricas; y luego a partir de la vinculación entre ellas definir la función logarítmica. Sin embargo, es posible definir con diferentes énfasis, a la función exponencial en cada uno de los ítems.
Así, si se ha definido una sucesión de razón ; entonces es posible afirmar que fórmula de la sucesión geométrica definida antes por extensión: es también la expresión algebraica de una función exponencial. Luego, y dado que las sucesiones son funciones definidas de los a los , el análisis del dominio y la imagen es inmediato.
Posteriormente, es posible mostrar que si se tiene la sucesión aritmética
, y se la vincula con la sucesión geométrica de la siguiente manera:
1 2 3 4 5 6 7 8
2 4 8 16 32 64 128 256
Entonces es posible calcular los productos como suma, las divisiones como sustracciones, etc. Por ejemplo, si se tuviera que multiplicar 2 por 16, sólo se tendría que sumar los números de la sucesión aritmética que se hallan encima de éstos, es decir, 1 y 4, obteniéndose 5. Debajo de éste se encuentra el número 32 de la sucesión geométrica, que es el resultado de la multiplicación. Para efectuar una división se realiza una sustracción. Así, 256 dividido 32, se hace 8 – 5 = 3, debajo del cual se ve el número 8, que es el resultado de la división. La potenciación (llamada por Stifel (1544) "multiplicación por sí mismo"), se efectúa por la suma "consigo mismo" del correspondiente número aritmético. Es decir, para hacer 64 se suma tres veces el número 2, que es el correspondiente en la sucesión aritmética al número 4. O sea, 2+2+2 = 6, debajo del cual se encuentra el 64, lo que significa que este número es el cubo de 4. La radicación se obtiene mediante la división. Así, la raíz cúbica de 64, se obtiene dividiendo al número 6, que es el correspondiente número aritmético de 64, por 3. Es decir, 6/3 = 2, debajo del cual se encuentra el 4. Una vez que se aprenden las técnicas para cada método es posible llamar logaritmos a los números de la primera sucesión, que es aritmética; y potencias a los de la segunda sucesión (la de abajo), que es geométrica. Luego como las sucesiones son funciones, es posible definir las funciones exponenciales y logarítmicas como inversas entre sí; y como las funciones que transforman o bien las sumas en productos (funciones exponenciales), o los productos en sumas (funciones logarítmicas).
La cuarta propuesta (iv) consiste en definir a la función exponencial como la función a partir de la cual se definirá la función logaritmo. Esta forma de introducir la
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función, se tornó muy frecuente a partir de que Euler definiera el logaritmo como la expresión: ; donde es un número real positivo distinto de uno, y un número real mayor que . Pues cómo la función logarítmica resultaba fundamental para el cálculo, y la definición de ésta requería de la función exponencial; la enseñanza de esta última no iba más allá de su definición y de la construcción de una gráfica, a partir de la cual era posible mostrar a la función logarítmica como su inversa.
La búsqueda de una función continua cuyo factor de incremento entre y sea independiente de x, es decir ; es la quinta (v) forma posible de enseñar la función exponencial. Esta forma de empezar a estudiar la función resalta la propiedad que tienen los crecimientos (o decrecimientos) exponenciales de aumentar (o disminuir) en un intervalo de tiempo, en forma proporcional a lo que había al comienzo del mismo.
En general si se considera la función de fórmula con , cuando
aumenta unidades, la función aumenta (o disminuye) respecto del estado anterior
en forma proporcional.
Esto se puede demostrar para todos los valores de , de la siguiente forma:
Es decir, el porcentaje de aumento (o disminución) de una función exponencial se calcula mediante la expresión: ; que no depende de la variable independiente .
Por ejemplo, si se presenta un modelo epidemiológico simplificado del virus de influenza humana “AH1N1” o gripe porcina, en el que los contagiados iniciales son 3 y los contagiados nuevos cada hora son 5. Entonces es posible construir la tabla que sigue; e identificar en ella el porcentaje de aumento:
0
1
2
3
Calculando el porcentaje de aumento mediante la expresión algebraica arriba formulada , se tiene que; si la unidad de aumento es una hora entonces ; y el porcentaje de aumento esta dado por que es
; entonces, el porcentaje de aumento de la cantidad de infectados, no depende del valor inicial de ; pues la cantidad de infectados aumenta en todos los casos el 400% de la cantidad anterior. Luego, a partir de los cálculos de la situación, y de la construcción de la tabla, es posible construir la expresión algebraica de la función exponencial .
400 %
400 %
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La siguiente forma de comenzar a estudiar las funciones exponenciales (vi), está vinculado a la búsqueda de una función derivable que traduzca la evolución de una magnitud cuyo índice de incremento le es proporcional. Es decir, por la ecuación diferencial .
Esta manera de comenzar a enseñar la función exponencial, aparece generalmente vinculada a problemas físicos. En particular a problemas vinculados al concepto de "derivada temporal", es decir a la tasa de cambio en el tiempo como son los problemas de la radiactividad, del enfriamiento de un cuerpo y del flujo del agua en un tanque. Esta aproximación permite dar sentido a la introducción de la función exponencial mediante un problema que conduce a buscar las funciones proporcionales a su derivada; a la vez que colabora en una mejor comprensión, desde el lado de la matemática, de la noción de derivada como aproximación local afín.
Para terminar, el estudio de la función exponencial como una serie de potencias en el campo real o complejo (vii); está vinculado a las series de Taylor. Mediante estas series es posible definir las funciones elementales, y obtener a partir de esa definición todas sus propiedades. Por ejemplo, para la función exponencial se tiene que la serie de potencias tiene radio de convergencia +∞; por lo que es
posible definir en todo R una función como suma de tal serie.
Así, se llama función exponencial a la función exp: definida por:
Luego, mediante la regla de derivación de una función definida mediante una serie de potencias, es posible demostrar que la función exponencial es derivable indefinidamente, y que su derivada es ella misma [ ] para cada . Si a
continuación se prueba que ; es posible demostrar las propiedades de
multiplicación y división de funciones exponenciales.
El dominio de la función se establece demostrando que:
Así se tiene que la función exponencial puede ser definida como una sucesión infinita de términos de un polinomio de grado n cuyos coeficientes guardan una relación predecible matemáticamente. En definitiva, la evaluación de la función exponencial en cualquier punto de su dominio real, expresada como serie de potencias, sería equivalente a evaluar a un polinomio de grado n en el mismo dominio. Luego, mientras mayor sea el grado del polinomio, mayor será la precisión de la evaluación.