Mediante estas tres situaciones se procuraba construir el concepto de función exponencial de expresión algebraica .
En la cuarta situación los alumnos intentaron dar respuesta al problema formulando, en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], básicamente tres tipos de estrategias. Las estrategias Lineales refieren al veinticinco porciento de los alumnos que formularon expresiones algebraicas lineales, pues aun cuando intentaban formular una expresión exponencial, ubicaban la variable independiente en la base. Las estrategias Exponenciales constituyen el cincuenta porciento de las resoluciones, y refiere a aquellas expresiones algebraicas que son exponenciales. En muchas de las formulaciones se advierten rasgos del interés compuesto. Finalmente las estrategias Pictóricas refieren a aquellas en que para poder construir la expresión algebraica, los alumnos utilizaron el sistema de representación pictórico [SRP].
La sucesión de bosquejos y reformulaciones que los alumnos realizan mientras intentan construir la representación algebraica, permite advertir la ausencia de un único esquema que dirija la acción. Así, es posible observar en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], el esbozo sucesivo de esquemas que entran en competición y que son acomodados, separados y recombinados, con el propósito de dar una respuesta adecuada. La diferencia entre las estrategias lineales y las exponenciales, es que mientras unas parecen estar guiadas por invariantes operatorios lineales, en las otras se podría decir que los alumnos han logrado extender sus esquemas lineales en una dirección no lineal primero, y ahora
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exponencial. En los tres tipos de estrategias se advierten invariantes operatorios vinculados al interés compuesto.
Las estrategias pictóricas resultaron ser un bosquejo de la situación que terminó conduciendo a los alumnos a formular expresiones exponenciales en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1]. Esta forma de estudiar un problema no es nueva, ya Poincaré (1913, p.27) afirmaba que “la geometría es el arte de razonar bien sobre figuras mal hechas”.
Por otra parte, el que la expresión algebraica exponencial permitiera calcular las personas contagiadas por hora, y no la cantidad total como era el caso de la expresión algebraica del interés compuesto, fue una dificultad extra al momento de construir la fórmula. Esto parece indicar que esta situación no debería abordarse aquí, sino en una instancia posterior como podría ser en las tareas de ejercitación. En la situación cinco, la totalidad de los alumnos formularon adecuadamente la expresión algebraica en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1]. Esta forma casi automática de construir la expresión algebraica, sin las reformulaciones características de la situación anterior, y también sin hacer cuentas; muestra que la respuestas de los alumnos en este sistema de representación, fueron guiadas por un único esquema exponencial. Es decir, los alumnos han logrado construir un esquema en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], que ante un tipo de problemas les permite formular la expresión algebraica exponencial.
En esta situación, las diferencias en los tipos de resolución se presentaron en el sistema de representación numérico [SRN], y como consecuencia de las dificultades generadas con la situación cuatro. Así, el setenta y cinco porciento de los alumnos, calculó la cantidad de amebas como si la expresión algebraica solo permitiera calcular las amebas nuevas por día, y no la totalidad. Esto muestra que las estrategias de los alumnos además de responder al enunciado, parecen estar influenciadas por las situaciones que han logrado dominar con anterioridad. Sólo una cuarta parte de los alumnos calculó la cantidad de amebas adecuadamente. La confusión que se generó con la situación anterior y que derivó en la estrategia de calculó que adoptó casi la totalidad de los alumnos; impidió el estudio de la función exponencial como el crecimiento / decrecimiento constante de una proporción. De todas maneras los invariantes que parecen guiar la acción de los estudiantes en los tres sistemas de representación; [SRA1, SRN y SRG] son exponenciales. Estas resoluciones evidencian una conceptualización exponencial compleja y completa que se expresa en todos los sistemas de representación que utilizan para resolver la situación.
Con respecto al dominio y la imagen se advierte que los alumnos todavía no logran formularlos convenientemente en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], ellos todavía no logran establecer qué valores pertenecen o no al intervalo. Mientras que en el sistema de representación gráfico [SRG], la casi totalidad de los estudiantes los gráfico adecuadamente.
La situación seis se caracteriza por estar dirigida a formalizar la expresión algebraica de la función exponencial en el sistema de representación algebraico de segundo
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orden [SRA2], y definir los valores para que sea función. Aunque en todos los casos los alumnos se basaron en las expresiones algebraicas que habían propuesto como modelos para resolver las situaciones cuatro y cinco, se advierten básicamente cuatro tipos de estrategias. En la respuesta Concreta básica los alumnosformularon únicamente la expresión algebraica de la función exponencial, en el sistema de representación algebraico de segundo orden [SRA2]. Este primer tipo de respuesta se observa en casi el veinte porciento del total. En la respuesta Concreta Media Lineal los alumnos formularon la expresión algebraica en el sistema de representación algebraico de segundo orden [SRA2], pero definieron sus elementos como pendiente y ordenada al origen en el sistema de representación verbal escrito [SRVE]. Así, aunque la expresión parece estar guiada por invariantes operatorios exponenciales, la definición de sus elementos es lineal. Mientras que el cincuenta porciento de los alumnos formula una respuesta que se caracterizó como la
Concreta Media Exponencial debido a que tanto la expresión algebraica, como sus elementos, parece estar guiadas por invariantes operatorios exponenciales. Estas últimas dos respuestas se caracterizan por definir los elementos de la expresión algebraica e intentar formular el dominio y la imagen de la función. Pero en ninguno de los tres casos los alumnos intentan definir los valores para los parámetros. En cambio, en el último tipo de respuesta al que se ha caracterizado como Concreto Avanzado Exponencial, los alumnos además de formular la expresión algebraica para la función exponencial en el sistema de representación algebraico de segundo orden [SRA2]; e intentar definir el dominio, y la imagen de la función en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], procura definir los valores que pueden tomar los parámetros para que la expresión sea función. Pero como con algunos de los valores que definen, la expresión algebraica no cumple con las condiciones de existencia, ésta no es una función, sino una relación. Los alumnos que formularon este tipo de respuesta componen el veinte porciento del total. La limitación de los alumnos para formular adecuadamente los valores de la expresión, para que ésta sea función, muestra que la conceptualización que estos alumnos tienen sobre el concepto de función es precaria. Por otra parte la propensión de los alumnos de acotar el dominio y la imagen, a los valores que toman en las situaciones, o a sobre generalizarlos, muestra tanto la fuerza que tiene la construcción pragmática de los conceptos, como la complejidad que representa para los alumnos el tener que extenderlos desde lo real, a lo posible para poder definir la función convenientemente.
En síntesis, la resolución de este tipo de tareas en el que los alumnos deben formalizar el conocimiento utilizado en la acción, conlleva una complejidad que parece requerir más mediación del profesor, que las otras. Sin embargo, este tipo de tareas parece colaborar en la conceptualización de la noción de función.
Resultados vinculados a los Sistemas de Representación
Los protocolos arriba presentados, muestran que ante situaciones que los alumnos reconocen como nuevas, el mismo alumno, en la misma situación utiliza invariantes operatorios diferentes según cada sistema de representación. A veces lineales, a veces no-lineales y a veces exponenciales.
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Los invariantes operatorios que parecen dirigir las estrategias de los alumnos para construir la representación algebraica en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], cuando la situación es nueva, parecen estar vinculados a los sistemas de representación numérico [SRN], y pictórico [SRP].
Los invariantes operatorios que parecen dirigir la acción de los estudiantes en los diferentes sistemas de representación, son exponenciales.
Que la expresión algebraica exponencial de la situación cuatro, permitiera calcular las personas contagiadas por hora, y no la cantidad total, complicó la institucionalización de una de las características principales de la función exponencial, que es el crecimiento proporcional constante.
En el sistema de representación analítico grafico [SRG], se advierten estrategias exponenciales sin dificultades en la escala y la elección de los ejes. La escasa cantidad de alumnos que tuvieron dificultades en este sistema de representación permite inferir que no fue desacertado haber incluido los ejes de sistemas coordenados en las situaciones 1 y 2, cuando los alumnos estaban recién comenzando a trabajar en este sistema de representación. Inhibir los invariantes ligados a la escala en las primeras situaciones ayudó a que la atención del alumno se centre en el interés compuesto, y no en los problemas de escala.
La totalidad de los alumnos formularon adecuadamente la expresión
algebraica exponencial en el sistema de representación algebraico de segundo orden [SRA2]. Los alumnos construyen la expresión algebraica en SRA2, a partir de las expresiones que formularon en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1]. Esto parece indicar que el sistema de representación algebraico SRA2 se construye sobre el sistema de representación SRA1.
Que los alumnos no lograran generalizar los valores del dominio, la imagen y los parámetros, evidencia la complejidad que representa extender las ideas construidas en situaciones reales, a situaciones posibles. Se advierte así, un salto cualitativo entre la dificultad que representa para los alumnos realizar una tarea en el sistema de representación SRA1, con la del sistema de representación SRA2.
Discusión de los resultados
La situación cuatro generó dificultades en la construcción de una expresión algebraica que permitiera calcular la cantidad de contagiados nuevos cada hora. Pues tanto en las situaciones anteriores, como en la situación cinco, la expresión algebraica que se buscaba construir permitía calcular la cantidad total. Esto muestra la relevancia que tiene en la resolución de una tarea que es advertida por el alumno como nueva, las situaciones que él ya ha resuelto y logrado dominar. En este caso, obstaculizaron la construcción del concepto función exponencial. A partir de este análisis se diseñó una nueva Actividad de Estudio e investigación en la que se quitó la situación de la gripe A1H1. Se esperaba que los alumnos no tuvieran ahora dificultades para calcular la cantidad de amebas, ni para construir la expresión algebraica.
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Por otra parte, y dado que la implementación’11 se realizaría con alumnos con mayor conocimiento del campo conceptual de las funciones, se consideró innecesario destinar tres situaciones al concepto de interés compuesto. Pues la experiencia de los alumnos en el campo conceptual, y en los sistemas de representación colaborarían en una construcción más inmediata de la función. Por otra parte, el hecho de que este grupo de alumnos tenía más experiencia en los sistemas de representación gráfico [SRG] y algebraico de primer y segundo orden [SRA1 y SRA2], pareció más conveniente despegar las situaciones del sistema de representación numérico [SRN]. Así, en la nueva Actividad de Estudio e Investigación [AEI] se quitó las situaciones dos, tres y cuatro de la AEI implementada y se diseño una nueva AEI. En esta nueva Actividad de Estudio e Investigación, la situación de las amebas se transformo en la nueva situación dos. Finalmente, en la situación seis se pretendía que los alumnos formalicen la función exponencial. Las dificultades de los alumnos para formular los valores de la expresión algebraica, para que ésta sea función, mostró que la conceptualización que estos alumnos tenían sobre el concepto de función era precaria. Esto podría ser porque los alumnos estaban recién comenzando a estudiar el campo conceptual de las funciones. Pero ¿qué pasaría si se les diera este tipo de situaciones a alumnos que fueran más grandes, y tuvieran una mayor experiencia en el campo conceptual de las funciones? ¿Podrían ellos formular adecuadamente el dominio, la imagen y los valores de la expresión? Dado que para responder estas últimas preguntas se requiere de los resultados obtenidos con la nueva situación de formalización, estos resultados no son discutidos hasta la nueva situación cuatro, en la cual se agruparon las situaciones tres, seis y nueve de esta AEI.
Nueva Situación 2
Esta situación se les dio a alumnos de quinto año secundario, al terminar de resolver la situación uno, relativa a la capitalización del dinero en los tres bancos. Los alumnos acababan de acordar con el grupo de clase la expresión algebraica para el interés compuesto y su representación gráfica. La experiencia de estos alumnos en los sistemas de representación algebraico y gráfico es superior al de los alumnos de la implementación’09 anterior, arriba presentados.
A continuación se presentan las resoluciones de los alumnos A17 y A30, que aunque ambas responden a un mismo tipo de estrategia, se resaltan en ellas diferentes sistemas de resolución.
Alumno A17 – Numérico
En la siguiente resolución, se advierte una fuerte presencia del sistema de representación numérico [SRN]. En ella, se advierte la insistencia del alumno por encontrar una regularidad, que le permita formular la expresión algebraica. Este tipo de estrategias, muy frecuente en la Re-implementación, muestra el afán de los alumnos por encontrar patrones numéricos que les ayuden a construir la expresión algebraica. Y aunque este alumno, en particular, no sale del sistema de representación numérico [SRN], se advierte una clara formulación de la expresión algebraica que le permite resolver la situación. En general, los alumnos de quinto año, son más propensos a “buscar” expresiones algebraicas que los alumnos más
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jóvenes. Quizás, porque están más entrenados, o quizás porque descubrieron la potencia del algebra.
Luego, construye la representación en el sistema de representación gráfico [SRG], sin dificultades.
Los invariantes operatorios que guían la resolución de A17 en los tres sistemas de representación [SRN, SRA1 y SRG] parecen estar vinculados a la función exponencial. Las estrategias utilizadas en cada sistema de representación en esta
SRN: Exponencial
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segunda situación, parecen ser más sofisticadas que las utilizadas en la quinta situación, por los alumnos de la Implementación’09 anterior.
Algunos invariantes que parecen dirigir la acción de A17 en los diferentes sistemas de representación, son los siguientes:
SRN
Función exponencial
T.A.N: La cantidad de amebas aumenta al doble cada día. T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad de amebas del día anterior.
T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad de amebas del día anterior.
Potencia T.A.N: Es posible escribir la multiplicación recursiva por 2, como potencia de 2.
SRG
Dominio T.A.G: El dominio de una se gráfica sobre el eje horizontal
del sistema de coordenadas cartesianas.
Imagen T.A.G: La imagen de una se gráfica sobre el eje vertical del
sistema de coordenadas cartesianas.
Escala T.A.G: La E debe permitir representar los datos, lo mejor posible.
Función exponencial
T.A.G: La representación gráfica del crecimiento de amebas es una curva creciente.
Alumno A30 - Algebraico
Sin ser el análisis detallado del alumno anterior; en la resolución del alumno A17 también es posible advertir un desarrollo numérico previo a la formulación de la expresión algebraica. El hecho de que en esta situación no se le pide al alumno que calcule la cantidad de amebas día a día, resalta la relevancia del sistema de representación numérico [SRN] al momento de formular la expresión algebraica. Por otra parte, en el sistema de representación grafico [SRG], elige una escala que le permite mostrar el crecimiento de las amebas para valores bastantes grandes. Mostrando así un dominio de la escala y del sistema de representación grafico [SRG], que no mostraban los alumnos más jóvenes. Así, se advierte que en la segunda situación, la resolución de A30 ya es exponencial en los tres sistemas de representación [SRN, SRA1 y SRG].
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Algunos invariantes que parecen dirigir la acción de A30 en los diferentes sistemas de representación, son los siguientes:
SRN Función
exponencial
T.A.N: La cantidad de amebas aumenta al doble cada día. T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad de amebas del día anterior.
SRA1 Función T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad de amebas del
SRN: Exponencial
SRA1: Exponencial
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exponencial día anterior.
T.A.A1: La expresión algebraica es: f(t)=k . at.Donde t es día para la cual se quiere saber la cantidad de amebas; a es la tasa de crecimiento y k la cantidad inicial de amebas.
SRG
Dominio T.A.G: El dominio de una se gráfica sobre el eje horizontal
del sistema de coordenadas cartesianas.
Imagen T.A.G: La imagen de una se gráfica sobre el eje vertical del
sistema de coordenadas cartesianas.
Escala T.A.G: La E debe permitir representar los datos, lo mejor posible.
Función exponencial
T.A.G: La representación gráfica del crecimiento de amebas es una curva creciente.
Resultados de la Nueva Situación 2
En esta segunda situación, la totalidad de los alumnos formularon adecuadamente la expresión algebraica en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1]. En todos los casos, y aunque no se les solicitaba, ellos calcularon previamente los valores para algunos días, en el sistema de representación numérico [SRN]. Sin embargo, mientras en algunas resoluciones como las
denominadas numéricas, se advierte todavía la búsqueda de patrones en el sistema
de representación numérico, en otras, como en las algebraicas, esta búsqueda de patrones no es evidente.
En todos los casos los alumnos logran construir las representaciones graficas adecuadas.
Resultados vinculados a los Sistemas de Representación
Que los alumnos construyan la expresión algebraica en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], a partir del trabajo que hacen en el sistema de representación numérico [SRN], parece confirmar la idea de que el sistema de representación algebraico [SRA1] se construye sobre dicho sistema de representación [SRN].
En el sistema de representación analítico grafico [SRG], se advierten estrategias exponenciales adecuadas para la construcción de la representación grafica, la elección de la escala y de los ejes.
Los protocolos arriba presentados, muestran que los invariantes operatorios
que parecen dirigir la acción de los estudiantes en los diferentes sistemas de representación, son exponenciales.
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