Un punto importante, que resulta adecuado analizar en este momento es el de diferenciar explícitamente la variación exponencial de la lineal, ya que como se había advertido (en la experiencia piloto) los alumnos tenían dificultades para diferenciar lo lineal de lo no-lineal.
También es importante poder diferenciar entre el modelo exponencial que les permitía calcular los infectados por hora, del modelo que les permitía calcular los infectados totales cada hora. Esta diferenciación nos pareció adecuada debido a las dificultades que los alumnos tuvieron para plantear la expresión algebraica.
Para terminar se analizan también las diferencias que hay entre las funciones y las ecuaciones. Esto se debe a que aún en la universidad los alumnos no logran establecer esta diferenciación. Por lo general saben que no es lo mismo, pero no logran plantear las diferencias.
Tareas 3
1. Dadas las siguientes funciones exponenciales de la forma con dominio e imagen definido por .
Función 1| Función 2| Función 3|
a) Determina para cada una, la imagen y el corte con el eje vertical.
b) ¿Para qué valores de dichas funciones cumplen con la ecuación ?
c) Realiza una representación gráfica de cada una y escribe los Conjuntos de positividad y negatividad; y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
i) ii) iii) iv) v) vi) vii)
a) ¿Cuáles de las ecuaciones anteriores no se pueden resolver analíticamente?
b) Utiliza el graficador Graphmatica para hallar una solución gráfica de cada ecuación. ¿Cuáles no se pueden resolver gráficamente?
c) Compara las resoluciones analíticas y gráficas de las ecuaciones ii) y vii) y escribe una conclusión.
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación
102 d) A diferencia del Graphmatica, el graficador Winfun tiene una herramienta que indica en el gráfico los puntos de corte entre dos funciones. Utiliza dicha herramienta para resolver las ecuaciones anteriores.
3. La variación de la masa de cierta cantidad de carbono-14 a través del tiempo puede calcularse, aproximadamente, mediante la expresión:
Donde es la masa inicial, es el tiempo transcurrido (en miles de años, es decir para 1000 años ), y la masa de carbono que queda como consecuencia de la desintegración radiactiva.
a) ¿Cuál es la expresión que permite calcular la masa del carbono-14 a través del tiempo de un organismo que, en vida, contenía 250 gramos? ¿Cuál es el dominio y la imagen para que la expresión sea función?
b) ¿En qué momento la masa del carbono-14 será de 62 gramos?
c) Determina cuál de las curvas representa la variación de la masa de carbono-14 a medida que pasan los años y justifica tu elección.
d) ¿Para qué valores de la variable independiente, la curva elegida representa la variación de la masa de carbono-14 a medida que pasan los años?
4. Confecciona una tabla que te permita mostrar cuánto aumenta la variable dependiente de la función , de e imagen
; a medida que aumenta la variable independiente.
a) ¿Es posible determinar un valor constante de aumento para la variable dependiente?
b) ¿Es la variación exponencial, una variación proporcional? ¿Por qué? Mostralo mediante una representación gráfica.
c) ¿Por qué se dice que las variables independiente y dependiente están relacionadas exponencialmente?
5. Realiza un enunciado que se resuelva utilizando una función exponencial. Es decir, tienes que describir una situación que pueda ser representada por dicho tipo de funciones.
6. El virus de influenza humana “AH1N1” o gripe porcina se contagia por contacto. Al darse la mano o besarse en la mejilla; y por la nariz, boca y ojos. Si la expresión que permite la cantidad total de personas contagiadas por hora para la situación 4 es:
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación
103 b) ¿A qué hora el número de infectados superó los 10000?
7. Una persona colocó $3640 a interés compuesto por 16 meses. La expresión que le permite conocer como varía su dinero mes a mes es:
a) ¿A qué tasa de interés ha puesto el dinero?
b) Hallar de la forma más exacta posible el momento en qué la persona tendrá $4346,350359.
8. Un modelo matemático para describir el crecimiento de una población está dado por la expresión:
Donde es el número de personas en el instante cero (escrito en millones, es decir para 1 millón de personas ), es el número de personas en el instante , y es la tasa de crecimiento.
a) Sabiendo que en 1980 la población en México era de unos 67,38 (en millones); y crece por año el 2,6%. ¿Cuál fue la población en 1986?
b) ¿En qué momento se estima que la población superará los 125 millones de personas?
9. ¿Cuál es la diferencia entre las funciones y las ecuaciones?
Situaciones 11 y 12; y Evaluación Escrita Individual: Síntesis de la
Actividad de Estudio e Investigación
Una vez estudiados los diferentes aspectos de la función exponencial, resulta relevante tomar distancia, y hacer una mirada general. Por esta razón las tres últimas situaciones propuestas a los alumnos, son actividades de síntesis. En la situación 11 se realiza un estudio paramétrico de la función exponencial en el que se vinculan los sistemas de representación grafico [SRG], algebraico de primer orden [SRA1] y algebraico de segundo orden [SRA2]. En la situación 12 se lleva a cabo una síntesis en la que se pretende diferenciar lo que es relevante de lo que no. Finalmente, en la evaluación escrita se abordan algunos aspectos centrales a la función exponencial.
En la siguiente tabla se muestran los conceptos que se pretendían abordar en cada uno de los sistemas de representación, con las últimas dos situaciones de la Actividad de Estudio e Investigación. Este último conjunto de situaciones está dirigido a la síntesis de la función exponencial.
Conceptos Sistemas de representación Numérico [SRN] Analítico Gráfico [SRG] Algebraico 1 [SRA1] Algebraico 2 [SRA2] Verbal Escrito [SRVE] Función exponencial S11 S11 S11 S12 Dominio S11 S11 S11 S12 Imagen S11 S11 S11 S12
En la primera columna se describen los Conceptos que se esperaba que la situación pusiera en juego; y en la primera fila se describen los cinco Sistemas de
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación
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Representación involucrados. El resto de los conceptos a los que los alumnos hagan referencia, no es posible determinarlos de antemano.
Descripción de la Situación 11
Dada la complejidad de esta situación se consideró conveniente dejarla para el final de Implementación’09.
Situación 11
a) Dada la siguiente expresión , que representa una familia de funciones, definida: , analiza por qué a las letras y se las denomina variables; y a las letras y se las denomina parámetros. Los parámetros de las funciones, permiten analizar las características que tendrá su representación gráfica. Por lo tanto, para estudiar dichas características; se debe analizar cómo varia la gráfica según los valores que toma cada parámetro. Pero de la misma manera, que una persona no puede saber qué remedio le está haciendo efecto si toma diez juntos, no se puede saber cómo influye cada parámetro en la gráfica si se los cambia todos a la vez. Por esta razón se debe variar el parámetro que se quiere analizar y fijar los restantes.
b) Analiza las características de la gráfica, cuando se varía el parámetro .
Función Gráfico
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Las tareas de esta situación permiten vincular los sistemas de representación gráfico [SRG] y algebraico de primer orden [SRA1], con el sistema de representación verbal escrito [SRVE]. También requerirá, según las funciones que crea más conveniente graficar, del uso del esquema de control de variables, y de poder pasar del sistema de representación algebraico de segundo orden [SRA2] al de primer orden [SRA1].
Descripción de la Situación 12
En la última situación se les pedía a los alumnos que, en forma individual, destacaran los conceptos relevantes estudiados, y que realizaran una síntesis que les sirviera para estudiar. Esta síntesis, que era revisada por el grupo, y luego por la clase, cumple un papel evaluativo previo a la acreditación, ya que permite muestrear si lo que había sido planteado como relevante en el campo conceptual estudiado fue advertido como relevante por los alumnos.
Situación 12
Realizá una síntesis escrita y personal de las funciones exponenciales, que te sirva para estudiar. ¿Qué estudiamos en todo este tiempo?