Descripción de las Tareas
Situaciones 7 a 9: La Ampliación del Modelo Exponencial
Mediante este tercer grupo de situaciones se pretende estudiar una forma más general de la representación algebraica de la función exponencial. Entre las posibles formas se tiene:
a) b) c)
Dado que a la expresión es posible reescribirla como
y que es lo mismo que ; se escoge la expresión algebraica b). Este tipo de expresión provoca en el sistema de representación gráfico un desplazamiento de la función en el eje vertical, que hace a la vez necesario estudiar el concepto de asíntota.
Así, una vez que se ha institucionalizado la función exponencial, se retoma el problema del interés compuesto para construir una expresión algebraica más completa de la función, a la vez que se estudia su desplazamiento en el sistema de representación gráfico. Sin embargo, aun cuando se utiliza un problema de interés compuesto, las cuestiones y sub-cuestiones que dirigen este conjunto de situaciones son las siguientes:
En la siguiente tabla se muestran los conceptos que se pretendían abordar en cada uno de los sistemas de representación, para las tres situaciones que siguen.
Conceptos Sistemas de representación Numérico [SRN] Analítico Gráfico [SRG] Algebraico 1 [SRA1] Algebraico 2 [SRA2] Verbal Escrito [SRVE] Función exponencial S7 S7 S7 S9 S9 Variación exponencial S7 S7 S9 Ordenada al origen S7 S7 Asíntota S8 S8 S8
Q2: ¿Cómo varía cualquier crecimiento o decrecimiento Exponencial?
Q2,1: ¿Cómo calcular el crecimiento o
decrecimiento de una variación exponencial?
Q2,2: ¿Cómo graficar en ejes coordenados
el crecimiento o decrecimiento de una variación exponencial?
Q2,3: ¿Cómo diferenciar la función exponencial de
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación 90 Asíntota Horizontal S8 S8 S8 S9 S8 Dominio S7 S7 S7 S9 Imagen S7 S7 S7 S9
En la primera columna se describen los Conceptos que se esperaba que las situaciones pusieran en juego; y en la primera fila se describen los cinco Sistemas de Representación involucrados. Así, es posible observar que el concepto de “asíntota horizontal” se estudia en las situaciones [S8 y S9], y el de “función exponencial” en las situaciones [S7 y S9]. En ambos casos los conceptos se estudian en los cinco sistemas de representación.
Descripción de la Situación 7
La finalidad de esta situación es extender el modelo exponencial a la expresión más general .
Situación 7
Un grupo que ha puesto $5000 en un plazo fijo a interés compuesto con una tasa del 1,3% mensual, recibe al día siguiente de dicha transacción, $2000 que ha donado un padre bajo la condición de que el dinero donado no sea colocado a plazo a fijo.
a) Escribe una expresión que te permita calcular la cantidad de dinero para cualquier mes, considerando también la donación.
b) Construye una tabla que te permita describir la variación del dinero mensualmente. c) ¿Cómo sería la expresión si el dinero donado hubiera sido de $3200?
d) Realiza una representación gráfica aproximada de la variación del dinero total del grupo, para cada uno de estos casos, y para el caso en que no hubiera recibido ninguna donación.
e) ¿Cuál es el dominio de validez y la imagen de cada una de las funciones, que pueden establecerse como modelos de cada situación?
Se describe a continuación la elección de cada tarea.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA a)
Esta tarea se diseñó para ser resuelta en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], pero teniendo en cuenta los conocimientos construidos en los sistemas de representación numérico [SRN] y algebraico de segundo orden [SRA2]. Las sub-cuestiones que generan esta tarea son Q2,1 [¿Cómo calcular el crecimiento o decrecimiento de
una variación exponencial?] y Q1,1 [¿Cómo calcular el aumento del dinero
puesto a interés compuesto?].
En esta primera tarea se pretende extender el modelo exponencial a la expresión más general mediante un problema en el que una cantidad de dinero es puesto a interés compuesto, y una parte no. En este caso se tiene en cuenta que los alumnos ya conocen la expresión algebraica exponencial para el caso específico del interés compuesto; y de la función exponencial de la forma .
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación
91
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA b)
En esta tarea se les propone la construcción de tablas a mano, con el propósito de rutinizar las técnicas del el cálculo. Pero debido a las restricciones del tiempo didáctico, se les solicita que realicen las dos tablas restantes con algunos valores a su elección, y que utilicen las planillas Excel para construir ambas tablas completas.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA c)
Esta tercera tarea es semejante a la primera, pues se les pide que formulen
una expresión algebraica para calcular el dinero que tendrán cada mes, si la donación hubiera sido de $3200, en vez de $2000. Como tal, el sistema de representación involucrado es el algebraico de primer orden [SRA1].
Como no se esperaba que los alumnos construyeran tan fácilmente la expresión algebraica de la primera tarea, esta tercera tarea tenía en principio la finalidad de familiarizar a los alumnos con este nuevo tipo de expresiones. También se pretendía que los alumnos reconstruyan la expresión
, con el doble propósito de recontextualizar el saber, y el de estudiar luego, a partir de estas expresiones, las asíntotas.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA d)
En esta tarea se les solicita a los alumnos que realicen una representación gráfica aproximada de la variación del dinero total del grupo, para cada uno de estos casos; y también para el caso en que no hubieran recibido ninguna donación. Dado que los alumnos no conocían todavía las gráficas de este tipo de expresiones algebraicas se quería analizar qué conceptos y teoremas en acto guiaban las resoluciones.
A diferencia de la primera y segunda situación, esta tarea cuenta con el agregado de que los alumnos deberán escoger una escala adecuada para construir la gráfica con lápiz y papel. Los sistemas de representación involucrados son el grafico [SRG] y el numérico [SRN].
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA e)
En esta última tarea se solicita la definición del dominio y la imagen, de cada una de las funciones que pueden establecerse como modelos de cada situación. Como los alumnos ya han estudiado las funciones exponenciales de la forma , y conocen las definiciones de dominio e imagen de dicha función, se les propone que determinen el dominio y la imagen de estas nuevas funciones, dentro del contexto del problema. Así el sistema de representación involucrado es el algebraico de primer orden [SRA1].
Descripción de la Situación 8
En esta situación se pretende construir el concepto de asíntota a partir de dos sistemas de representación, el numérico mediante la tabla [SRN], y el gráfico [SRG]. Las tablas que se les brinda a los alumnos, por estar construidas con computadoras permiten tomar valores tan lejanos como se quieran, y resulta de mayor precisión
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación
92
que los gráficos. Las construcciones gráficas de estas funciones están en poder de los alumnos, debido a que debieran haber sido construidas en la situación anterior.
Situación 8
Para las funciones:
Definidas de y analizadas en la situación anterior, se construyó la siguiente tabla, donde se describen valores de la variable dependiente, para algunos valores de la variable independiente positivos y negativos.
a) Analiza el comportamiento de la variable dependiente, a medida que la variable independiente toma valores más, y más, y más… grandes.
b) Analiza el comportamiento de la variable dependiente, a medida que la variable independiente toma valores más, y más, y más… chicos.
10 5689,37366 7689,37366 8889,37366 -500 7,83875921 2007,83876 3207,83876 11 5763,33552 7763,33552 8963,33552 -501 7,73816309 2007,73816 3207,73816 12 5838,25888 7838,25888 9038,25888 -502 7,63885794 2007,63886 3207,63886 13 5914,15625 7914,15625 9114,15625 -503 7,54082719 2007,54083 3207,54083 14 5991,04028 7991,04028 9191,04028 -504 7,44405448 2007,44405 3207,44405 15 6068,9238 8068,9238 9268,9238 -505 7,34852367 2007,34852 3207,34852 16 6147,81981 8147,81981 9347,81981 -506 7,25421883 2007,25422 3207,25422 17 6227,74147 8227,74147 9427,74147 -507 7,16112421 2007,16112 3207,16112 18 6308,70211 8308,70211 9508,70211 -508 7,06922429 2007,06922 3207,06922 19 6390,71524 8390,71524 9590,71524 -509 6,97850375 2006,9785 3206,9785 20 6473,79453 8473,79453 9673,79453 -510 6,88894743 2006,88895 3206,88895 200 66200,1657 68200,1657 69400,1657 -1000 0,01228923 2000,01229 3200,01229 201 67060,7678 69060,7678 70260,7678 -1001 0,01213152 2000,01213 3200,01213 202 67932,5578 69932,5578 71132,5578 -1002 0,01197583 2000,01198 3200,01198 203 68815,6811 70815,6811 72015,6811 -1003 0,01182215 2000,01182 3200,01182 204 69710,2849 71710,2849 72910,2849 -1004 0,01167043 2000,01167 3200,01167 205 70616,5186 72616,5186 73816,5186 -1005 0,01152066 2000,01152 3200,01152 206 71534,5334 73534,5334 74734,5334 -1006 0,01137281 2000,01137 3200,01137 207 72464,4823 74464,4823 75664,4823 -1007 0,01122687 2000,01123 3200,01123 208 73406,5206 75406,5206 76606,5206 -1008 0,01108279 2000,01108 3200,01108 209 74360,8053 76360,8053 77560,8053 -1009 0,01094056 2000,01094 3200,01094 210 75327,4958 77327,4958 78527,4958 -1010 0,01080016 2000,0108 3200,0108 501 3230740,9 3232740,9 3192480,26 -1512 1,65E-05 2000,00002 3200,00002 502 3272740,53 3274740,53 3233940,9 -1513 1,6288E-05 2000,00002 3200,00002 503 3315286,16 3317286,16 3275940,53 -1514 1,6079E-05 2000,00002 3200,00002 504 3358384,88 3360384,88 3318486,16 -1515 1,5873E-05 2000,00002 3200,00002 505 3402043,88 3404043,88 3361584,88 -1516 1,5669E-05 2000,00002 3200,00002 506 3446270,45 3448270,45 3405243,88 -1517 1,5468E-05 2000,00002 3200,00002
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación 93 507 3491071,97 3493071,97 3449470,45 -1518 1,527E-05 2000,00002 3200,00002 508 3536455,9 3538455,9 3494271,97 -1519 1,5074E-05 2000,00002 3200,00002 509 3582429,83 3584429,83 3539655,9 -1520 1,488E-05 2000,00001 3200,00002 510 3629001,42 3631001,42 3585629,83 -1521 1,4689E-05 2000,00001 3200,00001 511 3676178,44 3678178,44 3632201,42 -1522 1,4501E-05 2000,00001 3200,00001
c) ¿Cuál es, para cada una de estas tres funciones, la ecuación de la última recta horizontal que no corta la función, que se puede trazar?
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA a Y b)
Una vez que los alumnos han formulado tres expresiones exponenciales de
la forma , han formulado el dominio y la imagen para cada
una de ellas; y las han graficado; se les solicita que analicen numéricamente qué pasa con la variable dependiente de cada una de estas funciones, a medida que el valor de la variable independiente aumenta o disminuye. La tabla fue construida de manera que para cada función la variable independiente tomara por grupos de diez, valores cada vez más grandes en la tabla izquierda, y valores cada vez más chicos en la tabla derecha. El análisis minucioso de la tabla izquierda permite inferir que a medida que la variable independiente toma valores más pequeños, la variable independiente se acerca a la donación. Este análisis, cuando es acompañado de la notebook en clase, permite analizar, extendiendo la tabla Excel a todos los valores que se quiera, que la variable dependiente se acerca a la donación pero no la supera. Así, en estos dos primeros ítems se pretende construir una noción de asíntota ligada al marco numérico.
El sistema de representación en el que tienen que formular la respuesta es en el verbal escrito [SRVE]; sin embargo el análisis debe ser hecho en el sistema de representación numérico [SRN], lo cual implicara trasformar el conocimiento de un sistema de representación a otro.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA c)
En esta última tarea se pretende construir la noción de asíntota ligada tanto a los sistemas de representación numérico [SRN] y el algebraico de primer orden [SRA1], como al gráfico [SRG]. Así, se les pregunta a los alumnos, para cada una de estas tres funciones, por la ecuación de la última recta horizontal que no corta la función, que se puede trazar.
Los sistemas de representación en los que tienen que formular la respuesta
son en el verbal escrito [SRVE] y en el algebraico de primer orden [SRA1]; sin embargo el análisis debe ser hecho en el sistema de representación gráfico [SRG], lo cual implicara trasformar el conocimiento de un sistema de representación a otro.
Descripción de la Situación 9
Al igual que en la situación seis, en esta situación se les solicita que teniendo en cuenta los modelos que han generado en las situaciones anteriores, escriban una
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación
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expresión general y que expresen las diferencias que advierten entre este modelo y el utilizado en la situación dos. En particular, en este caso se pretende que los alumnos formalicen la expresión de la función exponencial de la forma
.
Esta situación, se diseñó para ser resuelta en el sistema de representación algebraico de segundo orden [SRA2], con el propósito que los alumnos formalicen los saberes utilizados al resolver las tareas.
Situación 9
Cada una de las expresiones matemáticas de las situaciones 7 y 8, responden a un mismo modelo matemático.
a) Escribe una expresión matemática general del modelo.
b) Define la función exponencial de manera general utilizando tu expresión, analizando el dominio, la imagen y las condiciones que consideres convenientes. c) ¿Cuál es la diferencia entre las funciones de la situación dos y éstas?
A continuación se describe la elección de cada tarea.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA a)
Una vez que los alumnos han utilizado el conocimiento en la acción, y se han venido desarrollando conjuntamente tareas de explicitación, se les requiere que realicen un proceso de formalización del saber. Así, en esta tarea se les solicita que a partir de las situaciones que han venido resolviendo, formalicen una expresión algebraica general del modelo.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA b)
Una vez que los alumnos formularon la expresión algebraica general de la función exponencial, se les pide que analicen el dominio, la imagen y las condiciones que consideraran convenientes para definir la nueva función. En esta tarea se recuperan las nociones que tienen los alumnos sobre el concepto de función, previamente definido y reutilizado, en la situación seis. Los alumnos deberán, a partir de los conocimientos de función que recuerden, determinar las características que debería cumplir esta expresión algebraica para que sea función.
DESCRIPCIÓN DE LA TAREA c)
En este último ítem se les pregunta a los alumnos por la diferencia entre este modelo y el del interés simple que ellos habían estudiado anteriormente. El propósito de este ítem era que el conocimiento utilizado en la acción (forma operatoria del conocimiento) sea parte del conocimiento explicito (forma declarativa). La cuestión que genera esta tarea es Q0: ¿Cómo se puedendeterminar las características de las Funciones Exponenciales?
Teniendo en cuenta que el grupo de alumnos de 5° año, tenían un trabajo algebraico y gráfico que el grupo de alumnos de 4° año, no tenía; en la implementación’11 la
Capítulo 5: Diseño y Gestión de la Actividad de Estudio e Investigación
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situación 7 se transformó en la nueva situación 3, y se transformó las situaciones 6 y 9, en una sola que fue la nueva situación 4.
Tareas de Ejercitación 2
Luego de la formalización de la función exponencial de la forma ; y antes de proponer las situaciones que están dirigidas al estudio de las ecuaciones exponenciales, es necesario que se les dé a los alumnos una serie de tareas de ejercitación, donde ellos puedan utilizar los conocimientos recientemente aprendidos.
En la siguiente tabla se muestran los conceptos que se pretendían abordar en cada uno de los sistemas de representación, para las tres tareas de ejercitación.
Conceptos Sistemas de representación Numérico [SRN] Analítico Gráfico [SRG] Algebraico 1 [SRA1] Algebraico 2 [SRA2] Verbal Escrito [SRVE] Función exponencial decreciente T1 – T2 – T3 T1 – T2 – T3 T1 – T2 – T3 Variación exponencial T1 – T2 – T3 T1 – T2 – T3 T1 – T2 – T3 Ordenada al origen T2 – T3 T2 – T3 Asíntota Horizontal T1 T1 T1 – T2 – T3 T2 Dominio T1 – T2 – T3 T1 – T2 – T3 T1 – T2 – T3 Imagen T1 – T2 – T3 T1 – T2 – T3 T1 – T2 – T3
En la primera columna se describen los Conceptos que se esperaba que las tareas pusieran en juego; y en la primera fila se describen los cinco Sistemas de Representación involucrados. Así es posible observar que se pretendía abordar el concepto de “función exponencial decreciente” con las 3 tareas [T1 – T2 – T3], y a partir de tres de los cinco sistemas de representación. Mientras que el sistema de representación SRA2 no es ejercitado en ninguna de las dos tareas propuestas.