INSTITUTO DE PROFESORES “ARTIGAS”

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ESPECIALIDAD MATEMÁTICA GEOMETRÍA

UNIDAD 1

Actividades para pensar la Geometría Euclidiana Plana

2009

1 1 – – Á Á N N GU G U L L O O S S EN E N TR T R E E P P AR A R AL A LE EL LA A S S

Si consideramos dos rectas a y b cortadas por una tercera recta t se determinan ocho ángulos.

Los nombraremos:

internos: 3, 4, 5, 6 externos: 1, 2, 7, 8

alternos internos: 3 y 5, 4 y 6 alternos externos: 1 y 7, 2 y 8

correspondientes: 1 y 5, 4 y 8, 2 y 6, 3 y 7 conjugados internos: 4 y 5, 3 y 6

conjugados externos: 1 y 8, 2 y 7

™ ¿Cómo deben ser las rectas a y b para que los ángulos alternos internos (por ej. 3 y 5) sean de igual medida?

Aceptaremos que:

Axioma: Si las rectas a y b son paralelas, entonces los ángulos alternos internos son iguales.

Si a // b

y además α y β son alternos internos ⇒ α = β

y su recíproco...

Axioma: Si los ángulos alternos internos son iguales, entonces las rectas son paralelas.

α y β son alternos internos

y además α = β ⇒ a // b

Cuando las rectas a y b son paralelas ¿qué puedes afirmar acerca de los ángulos alternos externos? ¿Y de los ángulos correspondientes?

Y si los ángulos alternos externos son iguales, ¿qué puedes decir de las rectas a y b? ¿Y si los que son iguales son los ángulos correspondientes?

A partir de lo anterior formula una expresión más general para cada uno de los axiomas anteriores.

™ Cuando las rectas a y b son paralelas, ¿qué puedes decir acerca de los ángulos conjugados internos?

™ ¿Cómo formularías la proposición recíproca a la anterior? ¿Es válida? ¿En qué te basas?

™ Son ciertas las afirmaciones análogas a las anteriores sustituyendo ángulos conjugados internos por ángulos conjugados externos?

¿Es constante la suma de dos ángulos interiores de un triángulo? ¿Cómo fundamentarías tu respuesta?

™ ¿Qué se puede afirmar acerca de la suma de ángulos de un triángulo? ¿Cómo lo justificarías?

™ ¿Ocurre lo mismo con un “triángulo” trazado sobre una esfera? Sug.: ver el ejemplo del ecuador con dos meridianos.

Propiedad: Suma de ángulos interiores de un triángulo

Hipótesis) (ABC) cualquiera Tesis)

Demostración:

™ ¿Es constante la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero?

™ Piense un número de tres cifras: _ _ _.

¿Es constante la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de _ _ _ lados? En caso afirmativo

¿Cuánto vale la suma de dichos ángulos?

¿Y si el polígono no es convexo?

Angulo externo: ángulo cuyos lados son un lado del triángulo y la prolongación de otro.

™ ¿Hay alguna relación entre un ángulo externo a un triángulo y sus ángulos interiores?

i) ¿Es constante la suma de los ángulos externos de un triángulo?

ii) ¿Hay alguna relación entre el número de lados de un polígono convexo y la suma de sus ángulos externos?

iii) ¿Y si el polígono no es convexo?

Si usamos un solo tipo de polígono regular (con lados iguales y ángulos iguales) por vez y los vértices de los polígonos deben coincidir, ¿Qué polígonos regulares pueden ser usados para embaldosar una superficie plana ilimitada?

¿No es redundante la definición de polígono regular?:

Si un polígono tiene sus lados iguales, ¿no implica esto que tenga sus ángulos iguales?

O también, si un polígono tiene sus ángulos iguales, ¿no implica esto que tenga sus lados iguales?

PROBLEMAS – REPARTIDO 1

1.- ¿Cómo explicaría que los ángulos opuestos por el vértice son iguales?

2.- Siendo a // b, hallar x:

i) ii)

3.- Sabiendo que a // b, hallar x en función de α:

4.- Siendo a // b:

i) hallar α y β si α = 3β ii) hallar α y β si β = 2α iii) hallar α + β - γ

5.- Hallar x en cada caso sabiendo que a // b:

i) ii)

6.- Trace las bisectrices de aOc y bOc.

¿Qué puede decir de dichas bisectrices?

¿Cómo explicaría lo que observa?

7.- i) Hallar AED si ED // BC ii) CD // AB, CDB = 150º, ABC = 25º Hallar CBD

8.- i)Hallar x ii) Hallar x e y

9.- Hallar x en función de α

10.- Demostrar que dos ángulos de lados respectivamente paralelos son iguales o suplementarios (suman 180º).

11.- ¿Es constante la suma x + y?

¿Es constante la suma y + z?

¿Es constante la suma x + y + z?

12.- En un cuadrilátero (ABCD) se conocen DAB = 100º , ABC = 60º , BCD = 70º.

Hallar el ángulo CDA y los ángulos formados por las rectas AB y CD, AD y BC.

13.- Los ángulos de vértices A y D, así como los de vértices P y R, tienen lados respectivamente perpendiculares.

¿Qué se puede decir de los ángulos A y D? ¿Y de los ángulos P y R?

14.- (ABCD) es un cuadrilátero convexo. Las bisectrices interiores de los ángulos DAB y ABC se cortan en E.

¿Puede establecer una relación entre los ángulos AED, BCD y CDA?

Desafíos

1.- Hallar la medida de A + B + C + D + E + F.

2.- ¿Es constante la suma de los ángulos marcados para cualquier estrella de cinco puntas? En caso afirmativo:

¿cuánto vale dicha suma? ¿por qué?

¿Cómo se podría generalizar este resultado?

3.- Demostrar que A + B + C + D = E + F + G + H

Si las rectas BA, CH, DG, EF son paralelas dicen algunos que es fácil de encontrarle una explicación. No dicen nada en caso de que las rectas no sean paralelas.

2 2 - - T T RI R IÁ Á NG N GU UL LO OS S

¿Cómo se podría clasificar los triángulos?

Según lados Según ángulos

Escaleno tiene sus tres lados distintos Acutángulo tiene sus tres ángulos agudos Isósceles tiene dos lados iguales Rectángulo tiene un ángulo recto Equilátero tiene sus tres lados iguales Obtusángulo tiene un ángulo obtuso Actividad I: el Monstruo del Lago Ness

¿Cómo se puede conocer la distancia entre los dos puntos si el lago es muy grande y vive un monstruo muy peligroso?

Actividad II: Distancia al barco… Tales?

Desde la orilla de un océano, Tales quiere conocer la distancia a un barco.

¿Cómo puede hacer?

Definición: Dos triángulos (ABC) y (A’B’C’) son iguales (congruentes) si tienen respectivamente iguales (congruentes) sus tres ángulos y sus tres lados:

' ' AB = A B

' ' BC=B C ,

' ' AC= A C , (ABC) = (A’B’C’) ⇔ CABˆ =C A B' ' 'ˆ ,

ˆ ' 'ˆ ' ABC =A B C ,

ˆ ' ˆ' ' ACB=A C B . Actividad III

1) Construir un triángulo ABC que tenga:

a)

AB

b)

AB

c) En a) y b) , ¿obtuviste los mismos resultados que tus compañeros? ¿Podrías explicar lo sucedido?

2) Construir un triángulo AEB que tenga:

a)

AB

b)

AB

Bˆ

c) En a) y b) , ¿obtuviste los mismos resultados que tus compañeros? ¿Podrías explicar lo sucedido?

3) Construir un triángulo MPQ que tenga:

a)

MP

PQ

b)

MP

PQ

MQ

c) En a) y b) , ¿obtuviste los mismos resultados que tus compañeros? ¿Podrías explicar lo sucedido?

4) Construir un triángulo TUV que tenga:

a) UV= 6cm, Û = 45°, TV = 3cm b) lo mismo pero ahora TV = 4,5 c) lo mismo pero ahora TV = 7

d) En a) , b) , y c) ¿obtuviste los mismos resultados que tus compañeros? ¿Podrías explicar lo sucedido?

Criterios de igualdad de triángulos

Axioma (1^er Criterio): Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido.

(ABC) y (A'B'C') con AB = A'B'

AC = A'C' ⇒ (ABC) = (A'B'C')

CAB = C'A'B'

Axioma (2^do Criterio): Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes.

(ABC) y (A'B'C') con AB = A'B'

CAB = C'A'B' ⇒ (ABC) = (A'B'C') ABC = A'B'C'

Axioma (3^er Criterio): Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus tres lados.

(ABC) y (A'B'C') con AB = A'B'

AC = A'C' ⇒ (ABC) = (A'B'C')

BC = B'C'

Axioma (4º Criterio): Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

(ABC) y (A'B'C') con AB = A'B'

AC = A'C' ⇒ (ABC) = (A'B'C')

Si AB > AC → ACB = A'C'B'

Triángulos isósceles

¿Cómo definirías triángulo isósceles?

Estarás de acuerdo que en los triángulos isósceles hay al menos dos lados que son iguales y también al menos dos ángulos que son iguales.

Acordaremos como definiciones para este curso:

Triángulo isósceles: triángulo con al menos dos lados iguales.

Triángulo isoángulo: triángulo con al menos dos ángulos iguales.

¿Si un triángulo es isósceles, es isoángulo?

¿Cuál sería la hipótesis y cual la tesis de la propiedad?

¿Cómo podríamos demostrar dicha propiedad? (Elabora cuatro demostraciones distintas para esta propiedad).

¿Cómo podríamos enunciar dicha propiedad?

¿Si un triángulo es isoángulo, es isósceles?

¿Cuál sería la hipótesis y cual la tesis de la propiedad?

¿Cómo podríamos demostrar dicha propiedad? (Elabora dos demostraciones distintas para esta propiedad).

¿Cómo podríamos enunciar dicha propiedad?

¿Cómo definirías triángulo?

R

Q C

A

B

P

S

R

Q C D

A P B

E A

B

C D

N K

P

Q M

E

B C

A D

PROBLEMAS – REPARTIDO 2

1.-

a) El Δ ABC es equilátero, los segmentos AP, BQ y CR son iguales.

¿Qué se puede decir del Δ PQR? Justificar la respuesta.

b) ABCD es un cuadrado, los segmentos AP, BQ, CR y DS son iguales.

¿Qué se puede decir de PQRS? Justificar la respuesta.

c) ¿Cómo podrías generalizar lo visto en las partes a) y b)?

2.- Sabiendo que AB = AC, AD = AE y ∠BAC = ∠DAE, investiga si los segmentos CE y BD son iguales. Justifica.

3.- AE ∩ BD = {C}, AC = DC y BC = EC.

¿Son iguales los ángulos A y D?

4.- Sabiendo que MP = NQ y que ∠KPQ = ∠KQP,

¿se puede demostrar que el Δ MNK es isósceles?

5.-

i) a // b, r transversal. r ∩ a = {A}, r ∩ b = {B}. C un punto del segmento AB.

A' ∈ a / AC = AA', B' ∈ b / BC = BB' y A', B' en semiplanos opuestos respecto de r.

¿Qué puede decir de los puntos A’, C, B’ ?

ii) ¿Hay algo relevante acerca de los puntos A’, C, B’ cuando C pertenece a la recta AB pero no al segmento AB?

6.- (ABC) isósceles ( AC = BC ). Se considera D perteneciente a la semirrecta opuesta de BA de forma que BC = BD.

¿Cómo están relacionados los ángulos CAB y CDB?

7.- MN es una cuerda, que no es diámetro, de una circunferencia.

Por M y N se trazan las tangentes a la circunferencia que se cortan en P.

¿Qué puede se decir de los segmentos PM y PN?

8.- (ABC) es isósceles con AC = BC y los segmentos marcados son iguales.

Hallar x (su valor numérico).

9.- (A1A2....An) polígono regular (n ≥ 3). P perteneciente a la semirrecta opuesta a AnA2 de modo que PAn = AnA1. ¿Hay alguna relación entre el ángulo A1PAn y el número de lados del polígono regular?

En el problema 1 primero se consideró un triángulo equilátero, después un cuadrado y a continuación se buscó generalizar lo observado en dichos casos a una situación más general. En este problema se pide averiguar si es posible establecer una relación general entre determinado ángulo y el número de lados del polígono regular, tal vez le sea de provecho (como en el problema 1) empezar considerando las situaciones en que n = 3, n = 4, …

Desafíos

1.- Hallar el ángulo ACB (su valor numérico) sabiendo que (ABC) isósceles con AC = BC y que

los segmentos AB, AD, DE, EF, FC son iguales.

2.- (ABC) / P ∈ BC, PC = 2.PB.

ABC = 45º y APC = 60º.

Hallar ACB.

(Sugerencia: considerar J ∈ AP / PJ = PB )

3.- Descomponer un triángulo obtusángulo en triángulos acutángulos.

4.- En la figura: CF = EF, EBD = α, DAC =β, ADE = γ, β<γ.

El valor de α en función de β y γ es:

(i) (β+γ)/2 (ii) (γ - β)/2 (iii) (β - γ)/2 (iv) 90 – (β - γ)/2

5.- (i) Prolongando los lados AB y CD de un polígono regular (ABCD...) se obtiene el ángulo BPC = 132º.

¿Cuántos lados tiene el polígono?

(ii) ¿Y si CPQ = 132º ?

(iii) ¿Cuáles son los valores de α para los cuales el problema admite solución tanto para BPC = α como para CPQ = α ?

6.- AB = BC, M un punto cualquiera del segmento AC.

Si AM = a y MC = b, hallar en función de a y b la distancia entre los puntos P y Q de tangencia de las circunferencias con BM.