f(x + h) f(x) 2) f(x) = 1 p x (a) = lim 2 ; a = 2, a = 2 2) f(x) = : 2x 4 si x > 2 8 < x 2 si x 0 3) f(x) = : x 2 si x > 0 ; a = 0 4) f(x) =

Texto completo

(1)

Universidad del Norte División de Ciencias Básicas

Departamento de Matemáticas y Estadística Taller de Calculo I

Preparación para el Tercer Parcial 2018-10

I) De…nición de derivada a) Use la de…nición de derivada

f0(x) = lim

h!0

f(x+h) f(x) h

para encontrar la derivada de la función dada.

1)f(x) = x+12 2)f(x) = p1x 3)f(x) = xx1

4)f(x) =p2x+ 1 5)f(x) = 2x2 3x+ 1 6)f(x) =p3x b) Use la de…nición alterna de la derivada de una funciónf en adada por

f0(a) = lim

x!a

f(x) f(a) x a

para calcularf0(a) siempre y cuando exista.

1)f(x) =x3+ 1;a= 3 2)f(x) =jx 1j;a= 2 3)f(x) = 3x2+ 2x+ 1;a= 2 4)f(x) = 3x1=3;a= 0 5)f(x) = cosx;a= 2 6)f(x) = 10x2 3;a= 1 c) Use las derivadas laterales

f0 (a) = lim x!a f(x) f(a) x a y f 0 +(a) = lim x!a+ f(x) f(a) x a ( )

para determinar si la función dada es o no derivable en el o los puntos indicados.

1)f(x) = 4 x2 ;a= 2,a= 2 2)f(x) = 8 < : x+ 2 si x 2 2x 4 si x >2 ;a= 2 3)f(x) = 8 < : x2 si x 0 x2 si x >0 ;a= 0 4)f(x) = 8 < : p 1 x si x <1 (1 x)2 si x 1 ;a= 1

5)Usando las derivadas laterales determine los valores de aybpara que la función f

sea derivable en x= 1 f(x) = 8 < : x2 si x <1 ax+b si x 1 :

d) Usando el signi…cado de la derivada como la pendiente de la recta tangente

mtan= lim

h!0

f(x+h) f(x)

h :

Determinar una ecuación de la recta tangente en el punto indicado.

1)f(x) = 4 8x;x= 1 2)f(x) = sinx;x= 2 3)f(x) = 2x3+x;x= 2 4)f(x) =px;x= 4

(2)

II) Derivación grá…ca

i) En los ejercicios del1 al6 relacione la grá…ca def con una grá…ca def0 de a) - f).

a) b) c)

d) e) f)

1) 2) 3)

4) 5) 6)

ii) Bosqueje la grá…ca def0 a partir de la grá…ca de f.

1) 2) 3)

(3)

7) 8) 9)

III) Calcular la derivada usando las reglas de derivación. Encontrarf0(x) (o dydx) y simpli…que

1)y= (x2 7)(x3+ 4x+ 2) 2)y = (4px+ 1 x)(2x 6 3 px) 3)y = (x2 1 x2)(x3+ x13) 4)y= x210+1 5)y = 3x+1 2x 5 6)y = x2 2x2+x+1

7)y=x2 cosx 8)y =xsinx 9)y = cscx cotx

10)y=x3cosx x3sinx 11) y= cos2x sin2x 12) f(x) = (cscx) 1 13)f(x) = 1+cossinxx 14) f(x) = sinn 1x 15) f(x) = cosn 1x 16)y= (x3 21x2+7)4 17) y= (3x 1)4( 2x+ 9)5 18) y= sin( p 2x) 19)y= sec(x2) 20) y= q x2 1 x2+1 21) y= tan 1x

22)f(x) = sin2(2x) cos3(3x) 23) f(x) = (sec(4x) + tan(2x))5 24) f(x) = sin3(4x2+ 1)

25)f(x) = 4 cos2(px) 26) f(x) =hx2 1 +1 x 4i2 27) y=p1 +e 5x 28)y= 10 3x2 29) y= xxe+exx 30) y= e x+e x ex e x 31)y=eex 2 32) y=e2xe3xe4x 33) y= ex=2+2e x=2 34)y= e1x 100 35) f(x) = ln(x4+ 3x2+ 1) 36) f(x) = lnx1=2 37)f(x) = lnxx 38) f(x) = ln x+1x 39) f(x) =x(lnx)2 40)f(x) = ln(4ln(2xx)) 41) f(x) = ln(p5x+ 1 x3+ 6 6) 42) f(x) = ln (x+1)(x+3x+2) 43)f(x) = ln q (3x+2)5 x4+7 44) f(x) = p ln (px) 45) f(x) = ln (xlnx)

Del46 al54 use derivación logarítmica

46)y= p (2x+1)(3x+2) 4x+3 47) y= (2x+1)(x 5) 3x+2 48)y= (x+ 1)(2x+ 1)(3x+ 1) 49)y= x10 p x2+5 3 p 8x2+2 50) y=x p x+ 1p3x2+ 2 51)y=xsinx 52)y=x(x 1)x 53) y= (lnjxj)x 54)y= (sinx)cosx

(4)

Del55 al60 calcula la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas

55)f(x) = arcsin(5x 1) 56)f(x) = arccos x+13 57)f(x) = arcsin 11+xx22

58)f(x) = arctan x+p1 +x2 59)f(x) = arctan 1+x

1 x 60)f(x) = ln arccos

1 p

x

Del61 al75 use derivación implicita para hallar dydx

61) xy2 x2+ 4 = 0 62) 3y+ cosy=x2 63) (x2+y2)6=x3 y3 64) xy= sin(x+y) 65) x+y= cos(xy) 66) arctany=x2+y2

67) arcsiny arcsinx= 1 68) ln px2+y2 = arctan y

x 69) y=e x+y 70) y= cos (exy) 71) ex+ey =y 72) y2 = ln(xy) 73) x+y2= ln xy 74) x yx+y =x 75) yx2 + y2 x = 5 Del76 al81 hallar dxd2y2 76) 4y3= 6x2+ 1 77) x2 y2= 25 78)x+y= siny 79)x4+ 4y2 = 16 80) x3+y3= 27 81)xy4 = 5 IV) Aplicaciones geométricas de la derivada

A) Encuentre una ecuación de la recta tangente en el valor indicado

1)f(x) = x+1x 2;x= 12 2)f(x) = ( 1 + cos(4x))3;x= 8

3)x4+y3 = 24; ( 2;2) 4) x1 +1y = 1;x= 3

5)f(x) =xarctanx;x= 1 6)f(x) = arcsin(x 1);x= 12 7)f(x) = (ex+ 1)2;x= 0 8)f(x) =xx+2;x= 1

9)f(x) = ln xe x3 ;x= 1 10) f(x) =x(lnx)x;x=e B) Encuentre el o los puntos de la grá…ca donde la recta tangente es horizontal

1)y= x4x+12 2)y=x+ 2 cosx 3)x2 xy+y2 = 3

4)f(x) = lnxx 5)f(x) =x2lnx 6)f(x) = 14x4 53x3+ 3x2

C) Encuentre el o los puntos sobre la grá…ca de la función dada, donde la recta tangente tenga la pendiente indicada o la propiedad indicada.

1)y= (x+ 1)(2x+ 5); m= 3 2)y= xx+4+5; perpendicular ay = x

3)y=ex; paralela a 3x y= 7 4)f(x) = 5 2 sinx;0 x 2 ; paralela ay=p3 x+ 1 5)y3=x2; perpendicular a y+ 3x 5 = 0 6)y= x+3

x+1; m= 1 8

D) Ejercicios variados de aplicación de la derivada.

1)Encuentre la función cuadrática f(x) =ax2+bx+ctal quef( 1) = 11,f0( 1) = 7yf00( 1) = 4.

(5)

3)Determine los intervalos dondef0(x)>0 y los intervalos dondef0(x)<0

a) f(x) =x2+ 8x 4 b) f(x) =x3 3x2+ 9x 4)Determine los intervalos dondef00(x)>0 e intervalos donde f00(x)<0

a) f(x) = (x 1)3 b) f(x) =x3+x2

5)Encuentre el punto o los puntos sobre la grá…ca def dondef00(x) = 0

a) f(x) =x3+ 12x2+ 20x b)f(x) =x4 2x2

6)Encuentre una ecuación de la(s) recta(s) que pasa(n) por 32;1 y es (son) tangente(s) a la grá…ca def(x) =x2+2x+2: 7)Encuentre el valor dek tal que la recta tangente a la grá…ca def(x) = kx+2x tiene pendiente5 en x= 2.

V) La derivada como razón de cambio

1) La función de posición de un objeto, que se deja caer desde una altura de 122:5m, respecto al suelo es

s(t) = 4;9t2+ 122:5

dondesse mide en metros y ten segundos.

a) ¿Cuál es la velocidad instantánea ent= 12?

b) ¿En qué instante la pelota golpea al suelo?

c) ¿Cuál es la velocidad de impacto?

2) Al ignorar la resistencia del aire, si un objeto se deja caer desde una altura inicialh, entonces su altura por arriba del nivel del suelo en el instantet >0está dada por s(t) = 12gt2+h, dondeg es la aceleración de la gravedad.

a) ¿En qué instante el objeto choca contra el suelo?

b)Sih= 100pies, compare los instantes de impacto para la Tierra (g= 32pies=s2), Marte (g= 12pies=s2) y la Luna (g= 5:5 pies=s2).

c) Hallar la velocidad instantáneav en el instante general t.

d) Use los instantes encontrados en el incisob) y la fórmula encontrada en el incisoc) para calcular las velocidades de impacto correspondientes para la Tierra, Marte y la Luna.

3) El volumenV de una esfera de radior es V = 43 r3. Encuentre el área super…cial S de la esfera, siS es la razón de cambio instantaneo del volumen respecto al radio.

4) Según el físico francés Jean Louis Poiseuille (1799 1869), la velocidadv del ‡ujo sanguíneo en una arteria cuya sección transversal circular es constante de radioR es: v(r) = 4Pl(R2 r2), dondeP, yl son constantes. ¿Cuál es la velocidad de ‡ujo sanguíneo en el valorr para el cualv0(r) = 0?

5) La ley de gravitación universal establece que la fuerza F entre dos masas m1 ym2 separada por una distancia r es

F = Km1m2

r2 dondeK es una constante. ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo de F respecto a r cuandor= 12 km? 6) Cuando el ángulo de elevación del sol es , un poste telefónico de40 pies de altura proyecta una sombra de longitud

xcomo se muestra en la …gura. Encontrar la razón de cambio de x respecto a cuando = 3 radianes. Explique el signi…cado del signo menos en la respuesta.

7) El volumen de un globo esférico de radior esV = 43 r3. El radio es una función del tiempot y aumenta a razón de

5cm=min. ¿Cuál es la razón de cambio instantáneo de V con respecto a t cuandor= 10cm?

8) Suponga que un globo esférico se in‡a a razón constante dVdt = 10cm3=min. A qué ritmo aumenta el radio cuando

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