Ejercicios. Análisis Matemático II. Curso 2015/16. 1. a) Sea, para cada p ∈N la función fp(x) =
L(1+x)
x
p
. Demostrar 0 < fp(x)< 1
para todox∈(0,∞) y que, por lo tanto, la sucesión de funciones no negativas
{fp}es decreciente y converge puntualmente a 0 en (0,∞).
b) Observar que l´ımx→0fp(x) = 1 y por tanto todas las funciones son integrables
en [0,1]. c) Demostrar que l´ım x→∞ (L(1 +x))3 x = 0
y deducir que existe una constantec >0 tal que f3(x)≤cx12. d) Deducir que l´ımp→∞
´∞
0 fp = 0. 2. a) Sea ϕ(t) = te−t2
. Probar que el valor que toma esta función en t = √1 2 es el máximo absoluto deϕ en [0,∞).
b) Sea la sucesión de funciones fp(x) = p √
xe−p2x2. Utilizar el apartado anterior para deducir que |fp(x)| ≤ √1x para todo x >0.
c) Utilizar el teorema de la convergencia dominada para demostrar que l´ım
p→∞
ˆ 1 0
fp = 0.
3. Considerar la sucesión de funcionesfp(x) =p2xp(1−x) con x∈[0,1].
a) Teniendo en cuenta que si 0 < a < 1 entonces la sucesión de números reales
{pap}tiende a 0 cuandop→ ∞, probar que esta sucesión de funciones converge
puntualmente a 0 en el intervalo [0,1]. b) Obtener una primitiva de fp para calcular
´1
0 fp(x)dx. c) Teniendo en cuenta los apartados anteriores, comprobar que
l´ım p→∞ ˆ 1 0 fp 6= ˆ 1 0 ( l´ım p→∞fp).
d) Deducir que la sucesión no satisface las condiciones del teorema de la conver-gencia dominada, por lo que, en particular no existe una cota superiorM válida para todas las fp.
4. Considerar la sucesión de funciones fp(x) =
1 +px (1 +x)p.
a) Probar que esta sucesión converge a 0 en cada punto x∈(0,∞) b) Probar que se verifican las dos desigualdades siguientes:
|fp(x)| ≤1 |fp(x)| ≤ p (1 +x)p−1 ≤ 2p (p−1)(p−2) 1 x2 ≤ 1 x2, si p≥5.
c) Aplicar el teorema de la convergencia dominada a la sucesión {fp} en los in-tervalos [0,1] y [1,∞] para demostrar que
l´ım
p→∞
ˆ ∞
0
fp = 0.
5. Considera las sucesiones de funciones siguientes: (i) fp(x) = x 1 +p2x2, p= 1,2, . . .; x∈[0,1] (ii) fp(x) = px 1 +p2x2, p= 1,2, . . .; x∈[0,1] (iii) fp(x) = p2x 1 +p3x2, p= 1,2, . . .; x∈[0,1] (iv)fp(x) = 1 px2 si x≥ 1 p; p2x si x≤ 1 p p= 1,2, . . .; x∈[0,1] (v)fp(x) = p2x 1 +p2x2, p= 1,2, . . .; x∈[0,1].
a) Probar que las sucesiones (i)-(iv) convergen puntualmente a 0.
b) Probar que las funcionesfp de (i), (ii) y (iii), tienen un único punto crítico (i.e.
un punto en el que se anula su derivada) en [0,1]. Probar que alcanzan en él su máximo valor (en [0,1]). Calcular este valor y utilizar esto para demostrar que la sucesión (i) converge también uniformemente a 0, pero en cambio las sucesiones de (ii)-(iv) no.
c) Probar que para las sucesiones de (i) a (iv) se tiene que l´ım
p→∞
ˆ 1 0
fp = 0.
Observar que |fp(x)| ≤ x,1,1 en las sucesiones de (i), (ii) y (iv) y que en (iii)
el máximo de las funciones√3 xf
p(x) en [0,1] es el mismo para todas. Si el valor
de este máximo es k entonces es obvio que |fp(x)| ≤k√31x.
d) Probar que la sucesión (v) es monótona creciente y converge puntualmente en (0,1] a la función f(x) = 1x. Por tanto
l´ım
p→∞
ˆ 1 0
fp =∞.
e) Obtener en cada uno de los apartados (i)-(v) una primitiva de las funciones fp
y comprobar directamente que l´ımp→∞
´1
0 fp es justamente el obtenido en los dos apartados anteriores.
6. a) Sea f una función integrables sobre un conjunto medible B ⊂ R y tal que 0 ≤ f(x) < 1 en cada x ∈ B. Probar que la serie de funciones P
(−1)pf(x)p
converge en cada punto de B y que
ˆ B (X(−1)pf(x)p)dx=X(−1)p ˆ B f(x)pdx.
(Tener en cuenta el criterio de Leibtniz sobre la convergencia de una serie alternada y que 2n−1 X 1 (−1)pf(x)p ≤ 2n+1 X 1 (−1)pf(x)p.)
b) Para cada p∈N, sea fp(x) =
−1 1+x2
p .
Teniendo en cuenta que si a es un número real con |a| < 1 entonces la suma de la serie P∞
p=0ap = 1−1a, probar que para cada x >0
∞ X p=1 |fp(x)|= 1 x2; ∞ X p=1 fp(x) = −1 2 +x2. Demostrar que ∞ X p=1 ˆ ∞ 0 |fp(x)|dx=∞; ∞ X p=1 ˆ ∞ 0 fp(x)dx= ˆ ∞ 0 −1 2 +x2dx= −π 2√2. c) Teniendo en cuenta que si 0 ≤x <1 entonces 1+1x =P∞
p=0(−1)pxp y por tanto 1 1+x 0 = (1+−x1)2 = P∞ p=0(−1)p+1(p+ 1)xp, probar que L2 = ˆ 1 0 1 1 +xdx= ∞ X p=0 ˆ 1 0 (−1)pxpdx= ∞ X p=0 (−1)p 1 p+ 1. Sin embargo 1 2 = ˆ 1 0 −1 (1 +x)2 6= ∞ X p=0 ˆ 1 0 ((−1)p+1(p+ 1)xp)dx= ∞ X p=0 (−1)p+1
7. Se define la función Gamma de Euler: Γ(t) =
ˆ ∞
0
xt−1e−xdx.
a) Teniendo en cuenta que, dado t >0 xt−1e−x ≤xt−1
y que six >1 entonces existe un p∈N tal que xt−1e−x ≤ x p ex = x p 1 +x+· · · 1 p!xp+· · · ≤(p+ 2)! 1 x2, probar que Γ(t) es finita para todo t∈(0,∞).
b) Demostrar que Γ es derivable bajo el signo integral es decir Γ0(t) = ˆ ∞ 0 ∂ ∂t xt−1e−xdx= ˆ ∞ 0 xt−1e−xLxdx.
Para ello sea t0 > 0 y tomar un δ > 0 tal que (t0 −δ, t0 +δ) ⊂ (0,∞). Sea también α un número real tal que 0< α < t0−δ =t1, entonces se tiene que para cada t∈(t0−δ, t0+δ)
Six≤1 se verifica quext−1 ≤xt1−1 y por tanto que
xt−1|Lx|e−x ≤xt1−1|Lx|e−x≤kxα−1e−x, para alguna constante k. La segunda desigualdad debido a que la función xt1−αLx es continua en [0,1].
Six >1 entoncesLx≤x y por tanto
xt−1|Lx|e−x ≤xt1e−x. Se deduce pues que para cada x∈(0,∞) se tiene que
∂ ∂t xt−1e−x ≤G(x) =kx α−1e−x +xt1e−x.
Es claro que G es integrable sobre (0,∞), de hecho ´0∞G(x)dx = kΓ(α) + Γ(t1+ 1).
c) Utilizar la integración por partes para demostrar que Γ(t+ 1) = tΓ(t) para todo t > 0. Probar que Γ(1) = 1 y deducir de la igualdad anterior que para cada p∈Nse tiene que Γ(p+ 1) =p!.
8. Seaf(t, x) = cos√t2−x2, t∈[1,∞); g(t) =´1
0 f(t, x)dx. Probar queg es derivable bajo el signo integral en cada t >1, es decir que existe g0(t) yg0(t) =´01 ∂f∂t(t, x)dx. 9. Sea
f(t, x) = tsen 2x x2 +t , y considerar las funciones
g1(t) = ˆ 1 0 f(t, x)dx; g2(t) = ˆ ∞ 0 f(t, x)dx, t∈[0,∞] a) Probar que ambas funciones son finitas y continuas en cada t≥0. b) Probar que son derivables bajo el signo integral en cada t >0.
c) Probar que l´ımt→∞f(t, x) = sen2x y que f(t, x) ≤sen2x. Deducir que existe
l´ımt→∞g1(t) y calcular su valor. d) Demostrar que l´ımt→∞g2(t) = ∞ =
´∞
0 (l´ımt→∞f(t, x))dx. (Observar que en este caso no se puede aplicar la condición suficiente habitual, pues si así fuera la función sen2x debería ser integrable en (0,∞). Para probar entonces la igualdad se puede utilizar el teorema de la convergencia monótona, ya que f(1, x)≤f(2, x)≤ · · · ≤f(p, x)≤ · · ·). 10. Sea g(t) = ˆ ∞ 0 x2 (t+x2)(1 +tx2)dx. a) Demostrar que g(t) es finita para todo t >0.
c) Demostrar que g es derivable bajo el signo integral en t = 1 y calcular g0(1). (Intentar con el cambiox= tguy teniendo en cuenta que cos(2u) = 2 cos2u− 1 = 1−2 sen2u).
11. Cálculo de ´Bxzdxdydz, siendo
B ={(x, y, z) : 0 ≤z ≤y≤1−x2; x−y−z+ 1 ≥0}:
a) Distribuimos las coordenadas deR3en los dos grupos ((x, z), y). Entonces fijado (x, z), se tiene B(x, z) ={y ∈R: ((x, z), y)∈B}.Luego siz <0 ó z >1−x2 entonces B(x, z) =∅. En otro caso, es decir si 0≤z ≤1−x2 se tiene que B(x, z) ={y∈R:z ≤y≤1−x2; x−z+ 1≥y}= [z,1−x2]∩(−∞, x−z+ 1] Es decir B(x, z) = ∅ si z >1−x2 ∅ si z <0 ∅ si x−z+ 1 < z≤1−x2 [z, x−z+ 1] si 0≤z ≤x−z+ 1≤1−x2 [z,1−x2] si 0≤z ≤1−x2 ≤x−z+ 1, luego B(x, z)6=∅ sii (x, z) ∈ A1 = {(x, z) : 0 ≤ z ≤ x− z + 1 ≤ 1−x2} , en cuyo caso B(x, z) = [z, x−z+ 1] o bien (x, z) ∈ A2 = {(x, z) : 0 ≤ z ≤ 1− x2 ≤ x− z + 1}, en cuyo caso B(x, z) = [z,1−x2].
b) Se deduce pues que
ˆ B xzdxdydz= ˆ A1 ˆ x−z+1 z xzdy dxdz+ ˆ A2 ˆ 1−x2 z xzdy dxdz
c) Dibujar los conjuntos A1 y A2 y terminar el cálculo. 12. (Hecho en clase) Calcular pasando a polares
ˆ B 1 √ x2+y2, donde B ={(x, y) :y≤x; (x−1)2 + (y−2)2 ≤5}. 13. Calcular pasando a polares ˆ
B
1
√
x2+y2,
donde B ={(x, y) :x≤y≤3; (x−1)2+ (y−2)2 ≤5}, teniendo en cuenta que La ecuación en polares de la circunferencia (x −1)2 + (y −2)2 = 5 es r = 2 cosθ+ 4 senθ y la ecuación en polares de la recta y = 3 es r = 3/senθ. Es decir un punto de coordenadas polares (r, θ) está en la circunferencia si y sólo sir = 2 cosθ+ 3 senθ (igual con la recta.)
Sea P = g−1(B), es decirP es el recinto B expresado en coordenadas polares y sean θ1, θ2 los ángulos menores que π tal que tgθ1 = −3 y tgθ2 la pen-diente de la recta tangente a la circunferencia en (0,0), por tanto tgθ2 =−12. Entonces,fijado θ se tiene: P(θ) ={r : (r, θ)∈P}= (0,sen3θ] si π4 ≤θ ≤θ1 (0,2 cosθ+ 3 senθ] si θ1 ≤θ ≤θ2 ∅ en otro caso. Por lo tanto A = {θ ∈ (0,2π) : P(θ) 6= ∅} = A1 ∪A2; A1 = (π4, θ1); A2 = (θ1, θ2). Deducir que ˆ B 1 √ x2+y2dxdy= ˆ θ1 π 4 3 senθdθ+ ˆ θ2 θ1 (2 cosθ+ 3 senθ)dθ
y terminar los cálculos.
14. a) Cálculo del area de la superficie cónica z2 =x2 +y2 contenida en el cilindro x2 + (z−1)2 < 1:
Sean (r, θ, z) coordenadas cilíndricas de los puntos de R3. Comprobar que las ecuacionesx=rcosθ; y=rsenθ; z =r definen una parametrización inyectiva de la superficie cónicaz2 =x2+y2.
Sea S el trozo de la superficie cónica anterior contenida en el cilindro x2+ (z −1)2 <1. Probar que los puntos de este cilindro, en coordenadas cilíndricas, son los que satisfacen la condición r < 1+cos2 2θ y por lo tanto que la parametrización del apartado anterior
Φ : (r, θ)→(rcosθ, rsenθ, r) restringida al conjunto
A ={(r, θ)∈(0,∞)×[0,2π) :r < 2 1 + cos2θ} es una parametrización inyectiva de S.
Calcular el área de S.
b) Cálculo de la longitud de la curva intersección de la superficie cónica z2 = x2+y2 y la superficie cilíndrica x2 + (z −1)2 = 1:
Utilizar las coordenadas cilíndricas (r, θ, z) para deducir que la curva intersec-ción de las superficiesz2 =x2+y2; x2+ (z−1)2 = 1 admite la parametrización simple siguiente: x= 2 1 + cos2θ cosθ;y= 2 1 + cos2θ senθ; z = 2 1 + cos2θ, θ∈[0,2π]. Calcular la longitud de dicha curva (seguramente sea difícil obtener las primi-tivas correspondientes).
c) Cálculo del volumen de la intersección del cono z2 ≥ x2 +y2 y el cilindro x2 + (z−1)2 ≤ 1:
Comprobar que el cilindro anterior expresado en las coordenadas cilíndricas (r, θ), y) (en este apartado (r, θ) son las polares en el plano XZ ) es el conjunto C de puntos que satisfacen las desigualdades r ≤ 2 senθ;|y| ≤
r√sen2θ−cos2θ.
Fijados (r, θ) sea C(r, θ) = {y : (r, θ), y) ∈ C}. Se tiene entonces que si r > 2 senθ entonces C(r, θ) = ∅ y si r ≤ 2 senθ (lo que implica que θ∈[0, π]) entonces
C(r, θ) ={y:|y| ≤r√sen2θ−cos2θ}. Por tanto
A={(r, θ) :C(r, θ)6=∅}={(r, θ) :r≤2 senθ; sen2θ≥cos2θ}
={(r, θ) :r≤2 senθ; θ ∈[π 4, 3π 4 ]} Probar que Vol (B) = ˆ (3π)/4 π/4 ˆ 2 senθ 0 ˆ r √ sen2θ−cos2θ −r√sen2θ−cos2θ rdy dr dθ
y tratar de calcularlo; quizá puedan ser útiles los cambios cosθ = t y despuést = √1
2cosu.
d) Cálculo del area de la superficie cilíndrica x2 + (z−1)2 = 1 conte-nida en el cono z2 > x2 +y2 :
SeaT el trozo de la superficie del cilindro contenido en el conoz2 ≥x2+y2. Utilizar las coordenadas cilíndricas (r, θ), y) para probar que los puntos de T son los que satisfacen r = 2 senθ;|y|< r√sen2θ−cos2θ y por lo tanto que la aplicación
Φ : (θ, y)→(2 senθcosθ, y,2 sen2θ) restringida al conjunto A={(θ, y) :θ ∈[π 4, 3π 4 ];|y|< r √ sen2θ−cos2θ} es una parametrización inyectiva de T.
Calcular el área de T.
15. a) Cáculo del volumen de la parte de la esfera x2+y2+z2 ≥ 4 conte-nida en el cilindro x2 + (y−1)2 < 1;z ≥ 0.
Denotemos por B dicha parte de la esfera y sea g : (ρ, ϕ, θ) →(x, y, z) el cambio a coordenadas esféricas dado por las ecuacionesx=ρsenϕcosθ; y = ρsenϕsenθ; z =ρcosϕ. Probar que
Considerar ((ϕ, θ), ρ) y ver que fijado (ϕ, θ), entonces E((ϕ, θ)) 6= ∅ sii ϕ∈(0, π/2], θ∈(0, π) en cuyo caso se tiene que
E((ϕ, θ)) =
(0,2] si senϕ <senθ ⇔ϕ < θ < π−ϕ (0,2 sensenϕθ) si senϕ≥senθ⇔ϕ≥θ ó π−ϕ≤θ. Deducir que Vol (B) = ˆ A1 ˆ 2 0 ρ2senϕdρ dϕdθ+ ˆ A2 ˆ 2 senθ senϕ 0 ρ2senϕdρ dϕdθ, donde A1 ={(ϕ, θ) : 0 < ϕ < θ < π−ϕ}, A2 ={(ϕ, θ) :ϕ≥θ óπ−ϕ≤θ} y calcularlo.
b) Cálculo del área del trozo de la superficie esférica x2 +y2+z2 = 4 contenida en el cilindrox2+ (y−1)2 <1;z > 0 (bóveda de Viviani). Sea S tal superficie. Utilizar las ecuaciones que expresan las coordenadas cartesianas en términos de las coordenadas esféricas para probar que un punto (x, y, z)∈S si y sólo si ρ= 2, ϕ∈(0, π/2], senϕ <senθ.
SeaA={(ϕ, θ) :ϕ∈(0, π/2]; senϕ <senθ}={(ϕ, θ) :ϕ∈(0, π/2]; ϕ < θ < π−ϕ}. Probar que la restricción aA de la aplicación
Φ : (ϕ, θ)→(2 senϕcosθ,2 senϕsenθ,2 cosϕ) es una parametrización inyectiva de S.
Demostrar que Area (S) = 4 ˆ π/2 0 ˆ π−ϕ ϕ senϕdθ dϕ= 4(π−2).
c) Cálculo del área del trozo de la superficie cilíndricax2 + (y−1)2 = 1; z > 0 contenido en la esfera x2+y2 +z2 < 4.
SeaS2 esa superficie y proceder como en el apartado anterior para demos-trar que una parametrización de la misma es:
x= 2 senθcosθ; y = 2 sen2θ; z = 2 senθ senϕ cosϕ sobre el conjunto A={(ϕ, θ) ∈(0, π/2)×(0, π) : 0< θ ≤ϕ < π/2 ó π− ϕ≤θ < π}. Deducir que Area (S2) = 4 ˆ A senθ senϕdϕdθ = 8.
d) Longitud de la la curva intersección de la superficie esférica x2+y2+z2 = 4 y la superficie cilíndrica x2 + (y−1)2 = 1;z > 0.
SeaC la curva intersección de ambas superficies . Utilizar las coordenadas esféricas para obtener la siguiente parametrización deC:
γ :θ →(2 senθcosθ,2 sen2θ,2|cosθ|), θ∈[0, π].
Probar que esta parametrización es simple y de claseC1 a trozos (de hecho la curvaγ sólo no es derivable en θ=π/2 ).
Demostrar que Long (C) = 2 ˆ π 0 √ 1 + sen2xdx
(esta integral es del tipo elíptica y la función √1 + sen2x no admite una primitiva elemental).
16. a) Seaγ : [a, b]→R2 una parametrización simple de una curva planaCyf :U ⊂
R2 →R una aplicación de claseC1 sobre un abierto U que contiene a C y tal
quef(x, y)>0 para todo (x, y)∈C. Sea Φ : (a, b)×(0,1)→R3 la aplicación definida por Φ(t, u) = (x(t), y(t), uf(x(t), y(t))) y sea S su imagen (S puede verse como una valla de altura igual a f(x, y) en cada punto, levantada sobre C). Probar que Φ es una parametrización inyectiva de la superficieS y que
Area(S) =
ˆ b a
f(γ(t))kγ0(t)kdt.
b) SeaC la circunferenciax2+ (y−1)2 = 1. Calcular el área de la valla levantada sobre C de altura igual a 1 +y en cada punto.