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es el máximo absoluto de ϕ en [0, ). b) Sea la sucesión de funciones f p (x) = p xe p2 x 2. Utilizar el apartado anterior para deducir que f p (x) 1

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(1)

Ejercicios. Análisis Matemático II. Curso 2015/16. 1. a) Sea, para cada pN la función fp(x) =

L(1+x)

x

p

. Demostrar 0 < fp(x)< 1

para todox∈(0,∞) y que, por lo tanto, la sucesión de funciones no negativas

{fp}es decreciente y converge puntualmente a 0 en (0,∞).

b) Observar que l´ımx→0fp(x) = 1 y por tanto todas las funciones son integrables

en [0,1]. c) Demostrar que l´ım x→∞ (L(1 +x))3 x = 0

y deducir que existe una constantec >0 tal que f3(x)≤cx12. d) Deducir que l´ımp→∞

´∞

0 fp = 0. 2. a) Sea ϕ(t) = tet2

. Probar que el valor que toma esta función en t = 1 2 es el máximo absoluto deϕ en [0,∞).

b) Sea la sucesión de funciones fp(x) = p

xep2x2. Utilizar el apartado anterior para deducir que |fp(x)| ≤ √1x para todo x >0.

c) Utilizar el teorema de la convergencia dominada para demostrar que l´ım

p→∞

ˆ 1 0

fp = 0.

3. Considerar la sucesión de funcionesfp(x) =p2xp(1−x) con x∈[0,1].

a) Teniendo en cuenta que si 0 < a < 1 entonces la sucesión de números reales

{pap}tiende a 0 cuandop→ ∞, probar que esta sucesión de funciones converge

puntualmente a 0 en el intervalo [0,1]. b) Obtener una primitiva de fp para calcular

´1

0 fp(x)dx. c) Teniendo en cuenta los apartados anteriores, comprobar que

l´ım p→∞ ˆ 1 0 fp 6= ˆ 1 0 ( l´ım p→∞fp).

d) Deducir que la sucesión no satisface las condiciones del teorema de la conver-gencia dominada, por lo que, en particular no existe una cota superiorM válida para todas las fp.

4. Considerar la sucesión de funciones fp(x) =

1 +px (1 +x)p.

a) Probar que esta sucesión converge a 0 en cada punto x∈(0,∞) b) Probar que se verifican las dos desigualdades siguientes:

|fp(x)| ≤1 |fp(x)| ≤ p (1 +x)p−1 ≤ 2p (p−1)(p−2) 1 x2 ≤ 1 x2, si p≥5.

(2)

c) Aplicar el teorema de la convergencia dominada a la sucesión {fp} en los in-tervalos [0,1] y [1,∞] para demostrar que

l´ım

p→∞

ˆ ∞

0

fp = 0.

5. Considera las sucesiones de funciones siguientes: (i) fp(x) = x 1 +p2x2, p= 1,2, . . .; x∈[0,1] (ii) fp(x) = px 1 +p2x2, p= 1,2, . . .; x∈[0,1] (iii) fp(x) = p2x 1 +p3x2, p= 1,2, . . .; x∈[0,1] (iv)fp(x) =    1 px2 si x≥ 1 p; p2x si x 1 p p= 1,2, . . .; x∈[0,1] (v)fp(x) = p2x 1 +p2x2, p= 1,2, . . .; x∈[0,1].

a) Probar que las sucesiones (i)-(iv) convergen puntualmente a 0.

b) Probar que las funcionesfp de (i), (ii) y (iii), tienen un único punto crítico (i.e.

un punto en el que se anula su derivada) en [0,1]. Probar que alcanzan en él su máximo valor (en [0,1]). Calcular este valor y utilizar esto para demostrar que la sucesión (i) converge también uniformemente a 0, pero en cambio las sucesiones de (ii)-(iv) no.

c) Probar que para las sucesiones de (i) a (iv) se tiene que l´ım

p→∞

ˆ 1 0

fp = 0.

Observar que |fp(x)| ≤ x,1,1 en las sucesiones de (i), (ii) y (iv) y que en (iii)

el máximo de las funciones√3 xf

p(x) en [0,1] es el mismo para todas. Si el valor

de este máximo es k entonces es obvio que |fp(x)| ≤k√31x.

d) Probar que la sucesión (v) es monótona creciente y converge puntualmente en (0,1] a la función f(x) = 1x. Por tanto

l´ım

p→∞

ˆ 1 0

fp =∞.

e) Obtener en cada uno de los apartados (i)-(v) una primitiva de las funciones fp

y comprobar directamente que l´ımp→∞

´1

0 fp es justamente el obtenido en los dos apartados anteriores.

6. a) Sea f una función integrables sobre un conjunto medible BR y tal que 0 ≤ f(x) < 1 en cada xB. Probar que la serie de funciones P

(−1)pf(x)p

converge en cada punto de B y que

ˆ B (X(−1)pf(x)p)dx=X(−1)p ˆ B f(x)pdx.

(3)

(Tener en cuenta el criterio de Leibtniz sobre la convergencia de una serie alternada y que 2n−1 X 1 (−1)pf(x)p ≤ 2n+1 X 1 (−1)pf(x)p.)

b) Para cada pN, sea fp(x) =

−1 1+x2

p .

Teniendo en cuenta que si a es un número real con |a| < 1 entonces la suma de la serie P∞

p=0ap = 1−1a, probar que para cada x >0

∞ X p=1 |fp(x)|= 1 x2; ∞ X p=1 fp(x) = −1 2 +x2. Demostrar que ∞ X p=1 ˆ ∞ 0 |fp(x)|dx=∞; ∞ X p=1 ˆ ∞ 0 fp(x)dx= ˆ ∞ 0 −1 2 +x2dx= −π 2√2. c) Teniendo en cuenta que si 0x <1 entonces 1+1x =P∞

p=0(−1)pxp y por tanto 1 1+x 0 = (1+x1)2 = P∞ p=0(−1)p+1(p+ 1)xp, probar que L2 = ˆ 1 0 1 1 +xdx= ∞ X p=0 ˆ 1 0 (−1)pxpdx= ∞ X p=0 (−1)p 1 p+ 1. Sin embargo 1 2 = ˆ 1 0 −1 (1 +x)2 6= ∞ X p=0 ˆ 1 0 ((−1)p+1(p+ 1)xp)dx= ∞ X p=0 (−1)p+1

7. Se define la función Gamma de Euler: Γ(t) =

ˆ ∞

0

xt−1exdx.

a) Teniendo en cuenta que, dado t >0 xt−1exxt−1

y que six >1 entonces existe un pN tal que xt−1exx p ex = x p 1 +x+· · · 1 p!xp+· · · ≤(p+ 2)! 1 x2, probar que Γ(t) es finita para todo t∈(0,∞).

b) Demostrar que Γ es derivable bajo el signo integral es decir Γ0(t) = ˆ ∞ 0 ∂t xt−1exdx= ˆ ∞ 0 xt−1exLxdx.

Para ello sea t0 > 0 y tomar un δ > 0 tal que (t0 −δ, t0 +δ) ⊂ (0,∞). Sea también α un número real tal que 0< α < t0−δ =t1, entonces se tiene que para cada t∈(t0−δ, t0+δ)

(4)

Six≤1 se verifica quext−1 ≤xt1−1 y por tanto que

xt−1|Lx|exxt1−1|Lx|exkxα−1ex, para alguna constante k. La segunda desigualdad debido a que la función xt1−αLx es continua en [0,1].

Six >1 entoncesLxx y por tanto

xt−1|Lx|exxt1ex. Se deduce pues que para cada x∈(0,∞) se tiene que

∂t xt−1exG(x) =kx α−1ex +xt1ex.

Es claro que G es integrable sobre (0,∞), de hecho ´0G(x)dx = kΓ(α) + Γ(t1+ 1).

c) Utilizar la integración por partes para demostrar que Γ(t+ 1) = tΓ(t) para todo t > 0. Probar que Γ(1) = 1 y deducir de la igualdad anterior que para cada pNse tiene que Γ(p+ 1) =p!.

8. Seaf(t, x) = cost2x2, t[1,); g(t) =´1

0 f(t, x)dx. Probar queg es derivable bajo el signo integral en cada t >1, es decir que existe g0(t) yg0(t) =´01 ∂f∂t(t, x)dx. 9. Sea

f(t, x) = tsen 2x x2 +t , y considerar las funciones

g1(t) = ˆ 1 0 f(t, x)dx; g2(t) = ˆ ∞ 0 f(t, x)dx, t∈[0,∞] a) Probar que ambas funciones son finitas y continuas en cada t≥0. b) Probar que son derivables bajo el signo integral en cada t >0.

c) Probar que l´ımt→∞f(t, x) = sen2x y que f(t, x) ≤sen2x. Deducir que existe

l´ımt→∞g1(t) y calcular su valor. d) Demostrar que l´ımt→∞g2(t) = ∞ =

´∞

0 (l´ımt→∞f(t, x))dx. (Observar que en este caso no se puede aplicar la condición suficiente habitual, pues si así fuera la función sen2x debería ser integrable en (0,). Para probar entonces la igualdad se puede utilizar el teorema de la convergencia monótona, ya que f(1, x)f(2, x)≤ · · · ≤f(p, x)≤ · · ·). 10. Sea g(t) = ˆ ∞ 0 x2 (t+x2)(1 +tx2)dx. a) Demostrar que g(t) es finita para todo t >0.

(5)

c) Demostrar que g es derivable bajo el signo integral en t = 1 y calcular g0(1). (Intentar con el cambiox= tguy teniendo en cuenta que cos(2u) = 2 cos2u 1 = 1−2 sen2u).

11. Cálculo de ´Bxzdxdydz, siendo

B ={(x, y, z) : 0 ≤zy≤1−x2; xyz+ 1 ≥0}:

a) Distribuimos las coordenadas deR3en los dos grupos ((x, z), y). Entonces fijado (x, z), se tiene B(x, z) ={yR: ((x, z), y)∈B}.Luego siz <0 ó z >1−x2 entonces B(x, z) =∅. En otro caso, es decir si 0≤z ≤1−x2 se tiene que B(x, z) ={yR:zy≤1−x2; xz+ 1≥y}= [z,1−x2]∩(−∞, xz+ 1] Es decir B(x, z) =                    ∅ si z >1−x2 ∅ si z <0 ∅ si xz+ 1 < z≤1−x2 [z, x−z+ 1] si 0≤zxz+ 1≤1−x2 [z,1−x2] si 0z 1x2 xz+ 1, luego B(x, z)6=∅ sii (x, z) ∈ A1 = {(x, z) : 0 ≤ zxz + 1 ≤ 1−x2} , en cuyo caso B(x, z) = [z, xz+ 1] o bien (x, z) ∈ A2 = {(x, z) : 0 ≤ z ≤ 1− x2 ≤ xz + 1}, en cuyo caso B(x, z) = [z,1−x2].

b) Se deduce pues que

ˆ B xzdxdydz= ˆ A1 ˆ xz+1 z xzdy dxdz+ ˆ A2 ˆ 1−x2 z xzdy dxdz

c) Dibujar los conjuntos A1 y A2 y terminar el cálculo. 12. (Hecho en clase) Calcular pasando a polares

ˆ B 1 √ x2+y2, donde B ={(x, y) :yx; (x−1)2 + (y−2)2 ≤5}. 13. Calcular pasando a polares ˆ

B

1

x2+y2,

donde B ={(x, y) :xy≤3; (x−1)2+ (y2)2 5}, teniendo en cuenta que La ecuación en polares de la circunferencia (x −1)2 + (y 2)2 = 5 es r = 2 cosθ+ 4 senθ y la ecuación en polares de la recta y = 3 es r = 3/senθ. Es decir un punto de coordenadas polares (r, θ) está en la circunferencia si y sólo sir = 2 cosθ+ 3 senθ (igual con la recta.)

(6)

Sea P = g−1(B), es decirP es el recinto B expresado en coordenadas polares y sean θ1, θ2 los ángulos menores que π tal que tgθ1 = −3 y tgθ2 la pen-diente de la recta tangente a la circunferencia en (0,0), por tanto tgθ2 =−12. Entonces,fijado θ se tiene: P(θ) ={r : (r, θ)∈P}=        (0,sen3θ] si π4θθ1 (0,2 cosθ+ 3 senθ] si θ1 ≤θθ2 ∅ en otro caso. Por lo tanto A = {θ ∈ (0,2π) : P(θ) 6= ∅} = A1 ∪A2; A1 = (π4, θ1); A2 = (θ1, θ2). Deducir que ˆ B 1 √ x2+y2dxdy= ˆ θ1 π 4 3 senθdθ+ ˆ θ2 θ1 (2 cosθ+ 3 senθ)dθ

y terminar los cálculos.

14. a) Cálculo del area de la superficie cónica z2 =x2 +y2 contenida en el cilindro x2 + (z−1)2 < 1:

Sean (r, θ, z) coordenadas cilíndricas de los puntos de R3. Comprobar que las ecuacionesx=rcosθ; y=rsenθ; z =r definen una parametrización inyectiva de la superficie cónicaz2 =x2+y2.

Sea S el trozo de la superficie cónica anterior contenida en el cilindro x2+ (z 1)2 <1. Probar que los puntos de este cilindro, en coordenadas cilíndricas, son los que satisfacen la condición r < 1+cos2 2θ y por lo tanto que la parametrización del apartado anterior

Φ : (r, θ)→(rcosθ, rsenθ, r) restringida al conjunto

A ={(r, θ)∈(0,∞)×[0,2π) :r < 2 1 + cos2θ} es una parametrización inyectiva de S.

Calcular el área de S.

b) Cálculo de la longitud de la curva intersección de la superficie cónica z2 = x2+y2 y la superficie cilíndrica x2 + (z −1)2 = 1:

Utilizar las coordenadas cilíndricas (r, θ, z) para deducir que la curva intersec-ción de las superficiesz2 =x2+y2; x2+ (z1)2 = 1 admite la parametrización simple siguiente: x= 2 1 + cos2θ cosθ;y= 2 1 + cos2θ senθ; z = 2 1 + cos2θ, θ∈[0,2π]. Calcular la longitud de dicha curva (seguramente sea difícil obtener las primi-tivas correspondientes).

(7)

c) Cálculo del volumen de la intersección del cono z2 x2 +y2 y el cilindro x2 + (z1)2 1:

Comprobar que el cilindro anterior expresado en las coordenadas cilíndricas (r, θ), y) (en este apartado (r, θ) son las polares en el plano XZ ) es el conjunto C de puntos que satisfacen las desigualdades r ≤ 2 senθ;|y| ≤

r√sen2θcos2θ.

Fijados (r, θ) sea C(r, θ) = {y : (r, θ), y) ∈ C}. Se tiene entonces que si r > 2 senθ entonces C(r, θ) = ∅ y si r ≤ 2 senθ (lo que implica que θ∈[0, π]) entonces

C(r, θ) ={y:|y| ≤r√sen2θcos2θ}. Por tanto

A={(r, θ) :C(r, θ)6=∅}={(r, θ) :r≤2 senθ; sen2θ≥cos2θ}

={(r, θ) :r≤2 senθ; θ ∈[π 4, 3π 4 ]} Probar que Vol (B) = ˆ (3π)/4 π/4 ˆ 2 senθ 0 ˆ r √ sen2θcos2θr√sen2θcos2θ rdy dr

y tratar de calcularlo; quizá puedan ser útiles los cambios cosθ = t y despuést = √1

2cosu.

d) Cálculo del area de la superficie cilíndrica x2 + (z1)2 = 1 conte-nida en el cono z2 > x2 +y2 :

SeaT el trozo de la superficie del cilindro contenido en el conoz2 ≥x2+y2. Utilizar las coordenadas cilíndricas (r, θ), y) para probar que los puntos de T son los que satisfacen r = 2 senθ;|y|< r√sen2θcos2θ y por lo tanto que la aplicación

Φ : (θ, y)→(2 senθcosθ, y,2 sen2θ) restringida al conjunto A={(θ, y) :θ ∈[π 4, 3π 4 ];|y|< r √ sen2θcos2θ} es una parametrización inyectiva de T.

Calcular el área de T.

15. a) Cáculo del volumen de la parte de la esfera x2+y2+z2 4 conte-nida en el cilindro x2 + (y1)2 < 1;z 0.

Denotemos por B dicha parte de la esfera y sea g : (ρ, ϕ, θ) →(x, y, z) el cambio a coordenadas esféricas dado por las ecuacionesx=ρsenϕcosθ; y = ρsenϕsenθ; z =ρcosϕ. Probar que

(8)

Considerar ((ϕ, θ), ρ) y ver que fijado (ϕ, θ), entonces E((ϕ, θ)) 6= ∅ sii ϕ∈(0, π/2], θ∈(0, π) en cuyo caso se tiene que

E((ϕ, θ)) =  

(0,2] si senϕ <senθϕ < θ < πϕ (0,2 sensenϕθ) si senϕ≥senθϕθ ó πϕθ. Deducir que Vol (B) = ˆ A1 ˆ 2 0 ρ2senϕdρ dϕdθ+ ˆ A2 ˆ 2 senθ senϕ 0 ρ2senϕdρ dϕdθ, donde A1 ={(ϕ, θ) : 0 < ϕ < θ < πϕ}, A2 ={(ϕ, θ) :ϕθ óπϕθ} y calcularlo.

b) Cálculo del área del trozo de la superficie esférica x2 +y2+z2 = 4 contenida en el cilindrox2+ (y−1)2 <1;z > 0 (bóveda de Viviani). Sea S tal superficie. Utilizar las ecuaciones que expresan las coordenadas cartesianas en términos de las coordenadas esféricas para probar que un punto (x, y, z)∈S si y sólo si ρ= 2, ϕ∈(0, π/2], senϕ <senθ.

SeaA={(ϕ, θ) :ϕ∈(0, π/2]; senϕ <senθ}={(ϕ, θ) :ϕ∈(0, π/2]; ϕ < θ < πϕ}. Probar que la restricción aA de la aplicación

Φ : (ϕ, θ)→(2 senϕcosθ,2 senϕsenθ,2 cosϕ) es una parametrización inyectiva de S.

Demostrar que Area (S) = 4 ˆ π/2 0 ˆ πϕ ϕ senϕdθ = 4(π−2).

c) Cálculo del área del trozo de la superficie cilíndricax2 + (y1)2 = 1; z > 0 contenido en la esfera x2+y2 +z2 < 4.

SeaS2 esa superficie y proceder como en el apartado anterior para demos-trar que una parametrización de la misma es:

x= 2 senθcosθ; y = 2 sen2θ; z = 2 senθ senϕ cosϕ sobre el conjunto A={(ϕ, θ) ∈(0, π/2)×(0, π) : 0< θϕ < π/2 ó πϕθ < π}. Deducir que Area (S2) = 4 ˆ A senθ senϕdϕdθ = 8.

d) Longitud de la la curva intersección de la superficie esférica x2+y2+z2 = 4 y la superficie cilíndrica x2 + (y−1)2 = 1;z > 0.

(9)

SeaC la curva intersección de ambas superficies . Utilizar las coordenadas esféricas para obtener la siguiente parametrización deC:

γ :θ →(2 senθcosθ,2 sen2θ,2|cosθ|), θ∈[0, π].

Probar que esta parametrización es simple y de claseC1 a trozos (de hecho la curvaγ sólo no es derivable en θ=π/2 ).

Demostrar que Long (C) = 2 ˆ π 0 √ 1 + sen2xdx

(esta integral es del tipo elíptica y la función √1 + sen2x no admite una primitiva elemental).

16. a) Seaγ : [a, b]→R2 una parametrización simple de una curva planaCyf :U

R2 →R una aplicación de claseC1 sobre un abierto U que contiene a C y tal

quef(x, y)>0 para todo (x, y)∈C. Sea Φ : (a, b)×(0,1)→R3 la aplicación definida por Φ(t, u) = (x(t), y(t), uf(x(t), y(t))) y sea S su imagen (S puede verse como una valla de altura igual a f(x, y) en cada punto, levantada sobre C). Probar que Φ es una parametrización inyectiva de la superficieS y que

Area(S) =

ˆ b a

f(γ(t))kγ0(t)kdt.

b) SeaC la circunferenciax2+ (y1)2 = 1. Calcular el área de la valla levantada sobre C de altura igual a 1 +y en cada punto.

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