Matrices. Introducción: - Definiciones básicas - Operaciones de matrices. Ejemplo 1: - Algoritmo de Eliminación Gausiana

Matrices

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Introducción:

- Definiciones básicas

- Operaciones de matrices

●

Ejemplo 1:

- Algoritmo de Eliminación Gausiana

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Ejemplo 2:

Definición

Una matriz m

x

n es un arreglo de números en algun

campo

(e.j.

enteros, racionales, complejos, etc.) sobre la cual podemos

hacer distintas

operaciones

n = 4

Definición

A

_ij

se refiere a la entrada en la

fila i

,

columna j

A_1,1 A_1,2 A_1,3 A1,4

A_2,1 A_2,2 A_{2,3 A}

2,4

Definición

Operaciones: Suma

Operaciones: Multiplicación

Operaciones: Multiplicación

Operaciones: Multiplicación

Operaciones: Multiplicación

8

1+2

Operaciones: Multiplicación

Operaciones: Multiplicación

8

3

Operaciones: Multiplicación

8

3

Operaciones: Multiplicación

Operaciones: Multiplicación

Propiedades de la Multiplicación

1. Asociativa:

2. Distributiva:

3. Identidad:

Propiedades de la Multiplicación

Vectores

Un n-vector es una matriz de 1

x

n

Una matriz m

x

n actua sobre n-vectores para producir

El

núcleo

de una matriz es el conjunto de vectores tal

que 0.

La

nulidad

de una matriz es la dimensión de su núcleo.

El

rango

de una matriz es la dimensión de su espacio imágen.

Teorema del rango y nulidad

: para una matriz n

x

n,

rango(A) + nulidad(A) = n

Para una matriz cuadrada,

Si det(A) = 0 entonces A es

singular

y existen vectores no triviales en su

nucleo. En este caso A no tiene inverso.

De lo contrario, A es

invertible

: tiene nulidad cero y existe un inverso A

tal que AA

= I

Problema

: dada una matriz n

x

n con determinante

cero, encontrar un vector no trivial en su

núcleo.

Matrices

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Introducción:

- Definiciones básicas

- Operaciones de matrices

●

Ejemplo 1:

- Algoritmo de Eliminación Gausiana

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Ejemplo 2:

Método por Eliminación Gausiana

1. Dibujamos una doble matriz 2. Hacemos operaciones de columna: -Intercambiar columnas

-Sumar/restar una columna con otra -Multiplicar una columna por un escalar

3. El objetivo es llegar a la forma:

* * * * * * * * * * * * v₁ v₂ v₃ 4. El resultado es el vector (v₁,v₂,v₃) * *

Método por Eliminación Gausiana

Restamos columna 1 a columna 3

Método por Eliminación Gausiana

resultado

¿Por qué funciona?

¿Por qué funciona?

Estrategia

En el paso 1 nos aseguramos de que todas las columnas excepto la primera tengan 0 en su entrada inferior * * * * * * * * * * * * 1 0 0 0 1 0 0 0 1 * * * * 0 0 0 0 0 0 1 * * * 0 0 * * * 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Estrategia

En el paso 1 nos aseguramos de que todas las columnas excepto la primera tengan 0 en su entrada inferior * * * * * * * * * * * * 1 0 0 0 1 0 0 0 1 * * * * 0 0 0 0 0 0 1 * * * 0 0 * * * 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Estrategia

En el paso 2 nos aseguramos de que todas las columnas excepto las primeras 2 tengan 0 en sus 2 entradas inferiores * * * 0 0 * * * 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 * * 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Estrategia

En el paso k nos aseguramos de que todas las columnas excepto las primeras k tengan 0 en sus k entradas inferiores

Estrategia

En el paso n-1, nos aseguramos de que la última columnas tengan 0 en sus n-1 entradas inferiores.

* * * 0 0 0 * * 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 0 0 0 * * 0 0 0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

¿Cuánto tarda?

“En el paso k nos aseguramos de que todas las columnas excepto las primeras k tengan 0 en sus k entradas inferiores”

Para asegurarnos de que una columna tenga cero necesitamos 2 operaciones de columna

(multiplicar una columna por un número apropiado y después restársela)

¿Cuánto tarda?

¿Cuánto tarda?

Tiempo total: operaciones de columna

Matrices

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Introducción:

- Definiciones básicas

- Operaciones de matrices

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Ejemplo 1:

- Algoritmo de Eliminación Gausiana

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Ejemplo 2:

Multiplicación de Matrices

n2 _{entradas n términos}

Divide y Vencerás

Teorema Maestro

: si un problema de tamaño

n

se reduce a

a

problemas de tamaño

n/b

, entonces el problema se resuelve

en

La idea es reducir un problema a varias versiones mas

pequeñas del mismo problema.

Divide y Vencerás

Debemos calcular:

- AE - BG

- AF - BH

- CE - DG

- CF - DH

Divide y Vencerás

Debemos calcular:

- AE - BG

- AF - BH

- CE - DG

- CF - DH

Teorema Maestro

: si un problema de tamaño

n

se reduce a

a

problemas de tamaño

n/b

, entonces el problema se resuelve

en

a = ?

8

b = ?

₂

=

Algoritmo de Strassen

Los 8 productos

no

son linealmente independientes:

a = 8

b = 2

a = 7

b = 2

Algoritmo de Strassen

Algoritmo de Strassen

≈

¿Qué impacto tiene?

Para atacar un algoritmo de encripción de RSA se requieren

multiplicaciones de matrices con n ≈ 2

En este caso n

es

más de 84 veces mayor

que n

Usualmente los protocolos criptográficos presumen no

poderse atacar con menos de n ≈ 2

_operaciones

Moralejas

●

Los métodos más intuitivos no siempre son los más

eficientes

●

Los algoritmos de dividir y vencer suelen ser

contraintuitivos para nuestras mentes pero

usualmente logran mayor eficiencia