INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA

DESPACHO ECONOMICO DE UN SISTEMA

TERMOELÉCTRICO A CORTO PLAZO.

T E

S I S

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE

INGENIERO ELECTRICISTA.

P R E S E N T A N:

C. FLORES SILVA ANGEL

C. MENDOZA MONROY MANUEL ALEJANDRO

C. ROSALES ARROYO FERNANDO

ASESORES:

M. en C. FABIÁN VÁZQUEZ RAMÍREZ

M. en C. OBED ZARATE MEJÍA

ING. ERIKA VIRGINIA DE LUCIO RODRÍGUEZ

Resumen

El presente trabajo está constituido por cinco capítulos los cuales se describen a continuación.

En el capítulo I plantea el problema de la plantación económica de sistemas eléctricos de potencia donde el problema principal es estudio de generación termoeléctrica.

En el capítulo II se presenta el enfoque general para representar en forma detallada todos los componentes de los sistemas termoeléctricos como centrales termoeléctricas, representación de las aportaciones termológicas, así como la representación de la demanda.

En el capítulo III se presenta la formulación matemática del modelo termoeléctrico por costo y por precio.

En el capítulo IV se presenta las características del despacho económico, sin perdidas, con las limitaciones de los generadores así como la solución del despacho económico resolviéndolo por los multiplicadores de Lagrange, realizando un programa en lenguaje fortran para la solución de “n” unidades generadoras, haciendo una comparación con programación lineal usando el GINO.

Índice.

CAPÍTULO I

Introducción al Despacho Económico

1.1 Planteamiento del problema……….………. 2

1.2 Objetivo……….………..3

1.3 Justificación……….………4

1.4 Revisión Bibliografica de las Metodologías Empleadas del Despacho Económico……….…….………… 5

CAPITULO II Representación de un Sistema Termoeléctrico 2.1 Generación de Electricidad………..……….…….8

2.2 Centrales Termoeléctricas Convencionales………14

2.3 Unidades Turbo-gas………...…….………..15

2.4 Centrales de Ciclo Combinado………..…..17

2.5 Unidades Diesel……….…..…………...19

2.6 Centrales Carboeléctricas……….….20

2.7 Centrales Nucleoeléctricas……….……...21

CAPITULO III

Modelo de las Unidades Termoeléctricas

3.1 Planeación de Operación de Sistemas Eléctricos de Potencia………...24

3.2 Horizontes de Estudio de la Planeación………...25

3.3 Horizontes de Estudio de la Planeación en Sistemas Termoeléctricos…………28

3.4 Modelo Entrada- Salida……….……….29

3.5 Régimen Térmico……….………30

3.6 Costos Incrementales……….………..32

3.7 Los Modelos Matemáticos en Coordinación Térmica Semanal Asignación de Unidades……….……….33

3.8 Método de Mínimos Cuadrados Ponderados (MMCP) para Determinar los Coeficientes a, b y c del Modelo………..33

3.9 Consumo Específico a Máxima Eficiencia………...34

3.10 Restricciones de las Unidades Termoeléctricas……….38

3.11 Modelos de los Paquetes del Ciclo Combinado de CFE………..40

CAPITULO IV Despacho Económico 4.1 Principales Características del Despacho Económico………...42

4.2 Despacho Económico sin Perdidas………42

4.3 Aplicación por el método de multiplicadores de Lagrange……...………...44

4.4 Restricciones……….………...48

4.5 Ejemplos Ilustrativos del Despacho Económico Utilizando Operadores de Lagrange………..51

Índice de Figuras

Figura 2.1 Capacidad efectiva instalada de generación ………....8

Figura 2.2 Desarrollo de la capacidad instalada y de la generación……….…………...…9

Figura 2.3 Secuencia de transformaciones de energía ….………12

Figura 2.4 Esquema de una central termoeléctrica tipo vapor...13

Figura 2.5 Central termoeléctrica………14

Figura 2.6 Central turbo-gas………...15

Figura 2.7 Central de ciclo combinado………...17

Figura 2.8 Central diesel………...19

Figura 2.9 Central carboeléctrica………...20

Figura 2.10 Central nucleoeléctrica……….21

Figura 2.11 Central geotermoeléctrica………...22

Figura 3.1 Horizontes de Estudio………25

Figura 3.2 Curva de entrada-salida……….………...29

Figura 3.3 Grafica de consumo específico o Heat Rate………31

Figura 3.4 Grafica de costos incrementales..………..32

Figura 3.5 Contorno de potencia calorífica……...……….35

Figura 3.6 Variación de combustibles……….36

Figura 4.1 Despacho sin pérdidas………...43

Figura 4.2 Rampas de carga……….49

Figura 4.3 curvas de costo incremental de generadores con respecto al costo incremental………...53

Figura 4.4 Efecto de límite de generación máximo en el costo incremental……….57

Índice de Tablas

Tabla 2.1 Aumento de la generación de la energía eléctrica …………..……….9

Tabla 2.2 Capacidad efectiva instalada y generación……..………….………11

Tabla 4.1 Resultados finales del ejemplo 1……….52

Tabla 4.2 Condiciones de Kuhn-Tucker………...56

Tabla 4.3 Limites y costos de las unidades generadoras………..59

Tabla 4.4 Ecuaciones características de las unidades generadoras………59

Tabla 1 Ejemplo A1 ………II Tabla 2 Resultados ejemplo A1………..…...V Tabla 1 Especificaciones generales………...…….VII Tabla 2 Mediciones de Régimen Térmico……….VII Tabla 3 Curva de arranque en frío………...VIII Tabla 4. Curva de arranque en caliente………...VIII

CAPÍTULO I

Introducción

El capitulo comprende la problemática actual del suministro eléctrico, así como las diferentes técnicas de solución para el problema del despacho de generación, se plantea el

1.1 Planteamiento Del Problema.

El constante crecimiento de la demanda de la energía eléctrica ha exigido la expansión compleja de los SEP, a través de instalación de nuevas fuentes generadoras e interconexión de los sistemas.

Estas interconexiones permiten lograr altos niveles de confiabilidad, garantizando a la vez calidad y continuidad del servicio.

Sin embargo, la creciente complejidad de los sistemas ha tornado el problema de la operación en una tarea difícil de ejecutar, estimulando el desarrollo de nuevos algoritmos matemáticos y herramientas computacionales que apoyen la toma de decisiones.

Un sistema de generación de energía eléctrica térmico, está compuesto por la forma de producción de generación térmica (vapor de carbón, gas, diesel, nuclear, etc.) enlazadas a los centros de consumo a través de líneas de transmisión.

En apariencia la economía en un sistema de potencia pudiera contraponerse a los márgenes de seguridad y calidad debido a que para economizar recursos energéticos se tendrían niveles de seguridad y continuidad bajos; sin embargo la economía no debe oponerse a la seguridad y la continuidad del servicio sino complementarla.

1.2 Objetivo.

Utilizar los recursos termoeléctricos disponibles para la generación de energía eléctrica en una forma óptima cumpliendo con la satisfacción de la demanda, confiabilidad, calidad y seguridad del sistema.

Emplear una metodología que nos ayuda a resolver el problema de despacho de generación para unidades termoeléctricas con el fin de minimizar costos de operación de estas centrales.

1.3 Justificación.

La necesidad de energía eléctrica eficiente, confiable y de bajo costo a hecho que en el mundo se este incrementando la capacidad de las unidades generadoras, la interconexión de sistemas eléctricos de potencia, la búsqueda de nuevas tecnologías para generar, la incorporación de nuevos dispositivos y tecnologías que permiten una mejor operación, así como el desarrollo de nuevos modelos y herramientas computacionales que garanticen el suministro energético al mejor costo económico de producción preservando la seguridad y calidad de la energía.

Las crisis económicas, petroleras y las de sus derivados, alrededor del mundo obligan a países y comunidades a cuidar y ahorrar sus recursos tanto monetarios como energéticos. Lo anterior hace que se establezcan como estrategias para las compañías de suministro eléctrico el evaluar y el optimizar la operación de sus sistemas eléctricos. Para analizar la operación económica de un sistema de potencia se plantea la optimización de los costos de producción y de operación cumpliendo con las normas operativas del sistema de potencia.

Por lo que en este trabajo se pretende analizar el problema de despacho principal del

país ya que el despacho económico consiste básicamente en designar la cantidad

de potencia que debe suministrar cada generador para satisfacer una condición de demanda minimizando los costos de generación del sistema eléctrico ya que el costo de producción de cada unidad de generación en donde se incluye el costo de cualquier insumo variable que dependa de la potencia de salida del generador, como principales el combustible, agua y los lubricantes.

Las restricciones del Despacho Económico a considerar son las condiciones necesarias que se deben cumplir para encontrar una solución óptima y factible como la demanda de potencia, los límites físicos de los generadores, la reserva rodante, velocidad de cambio en el generador.

En este trabajo se analiza el despacho de generación por la técnica de multiplicadores de Lagrange y con programación lineal comparando resultados.

1.4 Revisión Bibliografica las Metodologías Empleadas del

Despacho Económico.

Las técnicas a continuación mencionadas presentan las distintas metodologías de solución.

LAS TÉCNICAS HEURÍSTICAS Y/O DE SIMULACIÓN.

Proveen la respuesta del sistema a determinadas entradas, tal que es posible examinar las futuras consecuencias de diferentes escenarios, se basan en la utilización de reglas de operación, siendo en la mayoría de los casos implementadas con simuladores para la aproximación de las características de un sistema, lo cual lleva por razones muy obvias a una pérdida de exactitud y que nos den soluciones suboptimas y en algunos casos a que el calculo sea muy laborioso. Estos resultados siempre dependen del criterio de la persona que suministra los datos.

TÉCNICAS BASADAS EN MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA.

Métodos más usados son de programación lineal (Dantzig, 1963), y la Programación Dinámica (Richard Bellman en los 50’s). Así el problema de la planeación de la operación es resuelto con una discretización en el tiempo, una función objetivo a minimizar y un conjunto de restricciones. Las técnicas más utilizadas pueden ser deterministicas o estocásticas dependiendo de la forma en que se consideran las aportaciones térmicas, además que no necesita conocer el costo de déficit energético.

Con lo anterior el problema de programación térmica, se han desarrollado múltiples alternativas de solución a lo largo del mundo, las cuales pueden ser agrupadas en cuatro categorías.

PROGRAMACIÓN LINEAL.

La programación matemática es una potente técnica de modelado usada en el proceso de toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo, la primera etapa consiste en identificar las posibles decisiones que pueden tomarse; esto lleva a identificar las variables del problema concreto. Normalmente, las variables son de carácter cuantitativo y se buscan los valores que optimizan el objetivo.

La segunda etapa supone determinar que decisiones resultan admisibles; esto conduce a un conjunto de restricciones que se determinan teniendo presente la naturaleza del problema en cuestión.

En la tercera etapa, se calcula el coste/beneficio asociado a cada decisión admisible; esto supone determinar una función objetivo que asigna, a cada conjunto posible de valores para las variables que determinan una decisión, un valor de coste/beneficio. El conjunto de todos estos elementos define el problema de optimización.

La programación lineal (PL), que trata exclusivamente con funciones objetivos y restricciones lineales, es una parte de la programación matemática, y una de las áreas más importantes de la matemática aplicada. Se utiliza en campos como la ingeniería, la economía, la gestión, y muchas otras áreas de la ciencia, la técnica y la industria.

DESCOMPOSICIÓN DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

En vista de las limitaciones que presentan los métodos descritos en las primeras tres categorías, en la actualidad se han venido desarrollando nuevos desarrollos con extensiones de métodos de descomposición lineales tales como: Dantzig - Wolfe y Benders, los cuales han reportado buenos resultados.

CAPITULO II

Representación de un Sistema Termoeléctrico

En este capitulo se presentan las características principales; principios de operación, coordinación, modelado de unidades y costos de los distintos sistemas termoeléctricos

2.1 Generación de Electricidad. [5]

La generación de energía eléctrica en la Comisión Federal de Electricidad se realiza en centrales hidroeléctricas, termoeléctricas, eólicas y nucleares.

Al cierre del mes de marzo de 2008, la CFE contó con una capacidad efectiva instalada para generar energía eléctrica de 49,893.34* Megawatts (MW), de los cuales: 11,456.90 MW son de productores independientes (termoeléctricas); 11,054.90 MW son de hidroeléctricas; 22,371.69 MW corresponden a las termoeléctricas de CFE; 2,600.00 MW a carboeléctricas; 959.50 MW a geotermoeléctricas; 1,364.88 MW a la nucleoeléctrica, y 85.48 MW a la eoloeléctrica.

Generación por fuente *

Figura 2.2 Desarrollo de la capacidad instalada y de la generación.

Para cumplir el objetivo de CFE de cubrir las necesidades de energía eléctrica de la población, de la industria, la agricultura, el comercio y los servicios en México, la generación de electricidad ha ido en aumento, como se aprecia en la siguiente tabla:

Tabla 2.1 Aumento de la generación de la energía eléctrica.[5]

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008* CFE 34,384 34,389 34,901 36,236 36,855 36,971 38,422 37,325 37,470 38,397 38,436 PIE´S - - 484 1,455 3,495 6,756 7,265 8,251 10,387 11,457 11,457 Capacidad (MW) Total 34,384 34,389 35,385 37,691 40,350 43,727 45,687 45,576 47,857 49,854 49,893 CFE 168.98 179.07 188.79 190.88 177.05 169.32 159.53 170.07 162.47 157.51 35.90 PIE´S - - 1.20 4.04 21.83 31.62 45.85 45.56 59.43 70.98 18.77 Generación (TWh) Total 168.98 179.07 190.00 194.92 198.88 200.94 205.39 215.63 221.90 228.49 54.67

* Incluye 21 centrales de productores independientes de energía, (PIE) las cuales aparecen en el apartado de Centrales Generadoras.

GENERACIÓN TERMOELÉCTRICA.

En el proceso termoeléctrico existe una clasificación de tipos de generación, según la tecnología utilizada para hacer girar los generadores eléctricos, denominándoseles como sigue:

• Vapor: Con vapor de agua se produce el movimiento de una turbina acoplada al generador eléctrico.

• Turbogás: Con los gases de combustión se produce el movimiento de una turbina acoplada al generador eléctrico.

• Combustión Interna: Con un motor de combustión interna se produce el movimiento del generador eléctrico.

• Ciclo Combinado: Combinación de las tecnologías de turbogás y vapor, constan de una o más turbogás y una de vapor, cada turbina acoplada a su respectivo generador eléctrico.

Otra clasificación de las centrales termoeléctricas corresponde al combustible primario para la producción de vapor, según:

• Vapor (combustóleo, gas natural y diesel) • Carboeléctrica (carbón)

• Dual (combustóleo y carbón)

• Geotermoeléctrica ( vapor extraído del subsuelo) • Nucleoeléctrica (uranio enriquecido)

Para el cierre de marzo de 2008, la capacidad efectiva instalada y la generación de cada una de estos tipos de generación termoeléctrica, es la siguiente:

Tabla 2.2 Capacidad efectiva instalada y generación[5] Tipo Capacidad en MW Generación GWh Vapor 12,641.10 11,715 Dual 2,100.00 1,252 Carboeléctrica 2,600.00 4,129

Ciclo Combinado (CFE) 5,456.26 7,856 Ciclo Combinado (*productores

independientes de energía) 11,456.90 18,713 Geotermoeléctrica 959.50 1,804 Turbogás 1,958.21 555 Combustión interna 216.69 275 Nucleoeléctrica 1,364.88 1,006 Total 38,713.74 47,305

* Centrales de ciclo combinado: Mérida III, Río Bravo II (Anáhuac), Hermosillo, Saltillo, Bajío (El Sauz), Tuxpan II, Monterrey III, Altamira, Tuxpan III y IV, Campeche, Mexicali, Chihuahua III, Naco-Nogales, Altamira III y IV, Río Bravo III, La Laguna II, Río Bravo IV, Valladolid III, Tuxpan V, Altamira V y Tamazunchale.

DESCRIPCIÓN DEL PROCESO DE LAS CENTRALES TERMOELÉCTRICAS TIPO VAPOR.

Una central termoeléctrica de tipo vapor es una instalación industrial en la que la energía química del combustible se transforma en energía calorífica para producir vapor, este se conduce a la turbina donde su energía cinética se convierte en energía mecánica, la que se transmite al generador, para producir energía eléctrica.

Figura 2.3 Secuencia de transformaciones de energía.[5]

CENTRALES TERMOELÉCTRICAS TIPO VAPOR.

Estas centrales utilizan el poder calorífico de combustibles derivados del petróleo (combustóleo, diesel y gas natural), para calentar agua y producir vapor con temperaturas del orden de los 520°C y presiones entre 120 y 170 kg/cm², para impulsar las turbinas que giran a 3600 r.p.m.

Figura 2.4 Esquema de una central termoeléctrica tipo vapor.[5]

CONTROL Y DESPACHO DE ENERGÍA.

La CFE, a través del Centro Nacional de Control de Energía ( CENACE ), garantiza la seguridad, calidad y economía del suministro de energía eléctrica

en el Sistema Eléctrico Nacional.

En esta sección se publican los Costos Totales de Corto Plazo (CTCP) del sistema y las Capacidades y Costos Unitarios Previstos e Incurridos del despacho de carga, de las Centrales Generadoras públicas y privadas que entregan energía al sistema para el suministro de la demanda nacional.

2.2 Centrales Termoeléctricas Convencionales. [3]

Este tipo de centrales puede utilizar como fuente de energía primaria, combustoleo o gas natural.

En la actualidad CFE utiliza combustoleo.

La figura 2.5, muestra en forma esquemática el funcionamiento de una central termoeléctrica, en este puede observarse que el generador de vapor transforma el poder calorífico del combustible en energía térmica, la cual es aprovechada para llevar el agua de la forma liquida a la fase de vapor.

Este vapor, ya sobre calentado, es conducido a la turbina donde su energía cinética es convertida en mecánica, misma que es transmitida al generador para producir energía eléctrica.

2.3 Unidades Turbo-gas. [3]

La generación de energía eléctrica en las unidades turbo-gas, se logra cuando el sistema toma aire de la atmósfera a través de un filtro y una entrada después al conversor.

El aire es comprimido aquí antes de llegar a la cámara de combustión, donde el combustible, inyectado en las toberas, se mezcla con el aire altamente comprimido, quemándose posteriormente.

De ello resultan gases de combustión calientes los cuales al expandirse hacen girar la turbina de gas.

El generador, acoplado a la turbina de gas, transforma esta energía mecánica en energía eléctrica.

La figura 2.6 muestra esquemáticamente el funcionamiento de este ciclo; como se observa los gases de la combustión, después de mover la turbina, son descargados directamente a la atmósfera.

Estas unidades se emplean como combustible, gas natural o diesel en forma alternativa y en los modelos avanzados también pueden quemar combustoleo o petróleo crudo.

En una maquina preparada para ello, donde el cambio de combustible puede realizarse en forma automática en cualquier momento; este cambio tiene efectos sobre la potencia y la eficiencia.

Desde el punto de vista de la operación, el breve tiempo de arranque y la versatilidad para seguir a la demanda hacen a las turbinas de gas ventajosas para satisfacer cargas en horas pico, aunque existen modelos de tecnología avanzada que han sido diseñados para servicio de carga base y cogeneración industrial.

Las condiciones climatologicas del sitio, particularmente la presión barométrica (altitud sobre el nivel del mar) y la temperatura del aire, influyen en forma sensible en los parámetros de operación de las turbinas de gas, principalmente en la potencia y eficiencia.

2.4 Centrales de Ciclo Combinado. [3]

Las centrales de ciclo combinado están integradas por dos tipos de diferentes unidades generadoras: turbogas y vapor.

Una vez terminado el ciclo térmico de la unidad turbogas, los gases desechados poseen un importante contenido energético, el cual manifiesta en su alta temperatura (hasta 623 ºC en las turbinas de mayor capacidad).

Esta energía utilizada en un recuperador de calor para aumentar la temperatura del agua y llevarla a la fase de vapor, donde es aprovechada para generar energía eléctrica, siguiendo un proceso semejante al descrito para las plantas termoeléctricas convencionales.

El arreglo de este ciclo de generación es mostrado en la figura 2.7.

Como este tipo de central también utiliza turbinas de gas, la potencia en sitio esta influida por la altitud y temperatura.

La eficiencia térmica de las plantas de ciclo combinado se incrementa continuamente.

Las mejoras de la eficiencia en el ciclo combinado se logran por avances en el funcionamiento de las turbinas de gas, debido en primer lugar a las altas temperaturas de quemado de combustible que puede ser del orden de 1,350 ºC y 1,500 ºC (2,462 ºF a 2,732 ºF) para turbinas de la serie “F” y “G”, y con capacidad aproximada de 185 MW y 253 MW en la turbina de gas respectivamente.

Los ciclos combinados con alta temperatura de quemado en las turbinas de gas con recuperador de calor, son los más eficientes en los sistemas de generación de energía disponibles actualmente.

En la actualidad este tipo de plantas están operando con eficiencias mayores al 50%, medidas a partir del poder calorífico superior del combustible.

2.5 Unidades Diesel. [3]

La tecnología de la central diesel, sigue el principio de los motores de combustión interna, es decir, aprovecha la expansión de los gases de combustión para obtener energía mecánica, la cual a su vez es transformada en energía eléctrica en el generador.

El esquema del ciclo de generación es presentado en ella figura 2.8.

Actualmente este tipo de motor puede utilizar únicamente combustoleo o diesel.

De acuerdo con la información de los fabricantes de los equipos, y dependiendo de la calidad del combustoleo, las unidades pueden consumir este combustible como base y diesel como respaldo.

Como referencia, en CFE operan dos unidades diesel de la central san Agustín Olachea que utilizan una mezcla en proporción de 94 partes de combustoleo por 6 de diesel.

2.6 Centrales Carboeléctricas. [3]

Las centrales carboeléctricas, esquematizadas en la figura 2.9, no difieren en cuanto a su concepción básica de las termoeléctricas convencionales; el único cambio importante es el uso del carbón como energético primario.

En la práctica, el carbón y los residuos de la combustión requieren de un manejo más complejo que los combustibles líquidos o gaseosos utilizados en termoeléctricas convencionales.

La figura 2.9 muestra una central carboeléctrica que no incluye equipos anticontaminantes para el control de la emisión de SO2.

Este esquema es aplicable a centrales que utilizan carbón con bajo contenido de azufre, como las localizadas en la región de Rió Escondido, Coahuila.

Se definen tres centrales básicas:

• Carboeléctrica sin desulfurador y sin quemadores duales, utilizando un carbón como el de río escondido.

• Carboeléctrica sin desulfurador y con quemadores duales para carbón y combustoleo. El combustible primario es carbón con un contenido de azufre de 0.7%.

• Carboeléctrica con desulfurador y quemadores duales para carbón y combustoleo. El combustible primario es carbón con un contenido de azufre del 2%.

2.7 Centrales Nucleoeléctricas. [3]

Las centrales núcleoeléctricas tienen semejanza con las termoeléctricas convencionales, ya que también utilizan vapor a presión para mover los turbogeneradores.

En este caso se aprovecha el calor obtenido al fisionar los átomos del isótopo de uranio (U235) en el interior del reactor, para producir el vapor necesario.

Existen diversos tipos de reactores como resultado de las distintas combinaciones de los elementos ordinarios: combustibles, moderador y refrigerante; de entre las variantes posibles las mas comunes son:

a) PWR-Reactor de agua ligera a presión. b) BWR-Reactor de agua ligera hirviente. c) PHWR-Reactor de agua pesada a presión.

La figura (2.10) presenta el ciclo de generación de energía eléctrica de una central núcleoeléctrica con reactor avanzado de agua ligera hirviente, genéricamente denominado ABWR, a la cual corresponde los costos de generación presentados en los apartados respectivos.

2.8 Centrales Geotermoeléctricas. [3]

Este tipo de central opera con principios analógicos a los de una termoeléctrica convencional, excepto en la producción de vapor, el cual en este caso es extraído del subsuelo.

Como se muestra en la figura 2.11, la mezcla agua-vapor obtenida del pozo es enviada a un separador de humedad; el vapor ya seco es conducido a la turbina, la cual transforma su energía cinética en mecánica y esta, a su vez, en electricidad al transmitirse al generador.

Existen unidades de 5MW en las cuales el vapor, una vez que ha trabajado en la turbina, es liberado directamente a la atmósfera.

En las unidades que actualmente se encuentran operando de 22.5 MW, 226.95 MW, 37.5 MW, 50 MW y 110 MW, el vapor es enviado a un condensador de contacto directo, en el cual el vapor de escape de la turbina es mezclado con el agua de circulación, parte de este volumen es enviado a la torre de enfriamiento y el resto, junto con el proveniente del separador, es reinyectado al subsuelo o bien es enviado a una laguna de evaporación.

CAPITULO III

MODELO DE LAS UNIDADES TERMOELÉCTRICAS

En este capitulo abordaremos los diferentes horizontes de la planeación donde se aplican los modelos matemáticos para obtener costos en función de las generadoras termoeléctricas que existen, observaremos la curvas de entrada-salida de las generadoras, curva de consumo especifico y costo incremental.

3.1 Planeación de Operación de Sistemas Eléctricos de Potencia.

En la planeación de operación del Sistema Interconectado Nacional, tanto a corto como a mediano plazo, el CENACE cuenta con un paquete de software

denominado Coordinación Térmica (CT) que fue desarrollado en la Unidad de Análisis de Redes del Instituto de Investigaciones Eléctricas y que se actualiza periódicamente.

El uso de este paquete ha facilitado y mejorado considerablemente las tareas de planeación, además de disminuir los costos de producción.

De un modo u otro, la mayoría de los habitantes del país dependemos del Centro Nacional de Control de Energía (CENACE) de la Comisión Federal de

Electricidad (CFE) para realizar muchas de nuestras actividades. Allí se decide, hora con hora, cómo debe operar el Sistema Interconectado Nacional para satisfacer la demanda de energía en todo México.

El CENACE tiene la responsabilidad de mantener un suministro de electricidad

sin interrupciones, conservando la calidad del servicio requerido por los usuarios al menor costo posible y dentro de estrictos márgenes de seguridad. La tarea es sumamente compleja, dada la magnitud del Sistema, el cual se compone de 600 unidades generadoras distribuidas en 275 centrales, 500 mil Km. de cables y numerosos centros de distribución.

Lograr el correcto funcionamiento de todos estos elementos depende, en primer lugar, de una cuidadosa planeación de la operación, que además debe ser lo suficientemente flexible como para hacer frente a variaciones repentinas en la demanda, y a fallas o contingencias en las unidades de generación y en la red de transmisión.

3.2 Horizontes de Estudio de la Planeación.

Figura 3.1 Horizontes de Estudio.

La Planeación a Corto Plazo.

El trabajo de los especialistas del IIE en lo que se refiere a la planeación de operación de sistemas eléctricos de potencia conjunta diversas disciplinas, como la optimación matemática, la ingeniería eléctrica de potencia y la informática. En el Instituto, la planeación de operación constituye una línea de investigación en la que continuamente se buscan mejores métodos de optimación matemática, así como modelos cada vez más precisos del funcionamiento de los componentes del sistema eléctrico; estos modelos permiten considerar en la planeación todas las restricciones físicas y operativas del sistema.

La primera versión del paquete CT se empezó a desarrollar en 1981 y fue entregada a la CFE en 1985. Flujos Optimos Control de Frecuencia Puntos Base Despacho Económico Configurador de Redes Procesador de Información en Tiempo Real Asignación de Unidades Coordinación Hidrotérmica Anual Pronóstico de Escurrimientos y Lluvias Datos en Tiempo Real Pronóstico de Carga a Mediano Plazo

Pronóstico del Clima

Pronóstico de Carga a Mediano Plazo

Pronóstico del Clima Coordinación Hidrotérmica a Corto Plazo Programación de Mantenimientos Programación de Consumos de Combustibles Inventarios de Combustibles Unidades Disponibles Contratos de Combustibles Datos de Salidas Forzadas Datos de Lluvias Escurrimientos y Embalses Agua Disponible Restricciones Operativas Generación Hidraúlica Disponible Unidades Térmicas

Con este paquete se determina el plan de operación a corto plazo de las unidades generadoras.

El plan, conocido como pre- despacho, establece para cada hora de un horizonte de planeación de hasta siete días, cuáles unidades entrarán en operación y cuáles serán sus potencias de generación para satisfacer la demanda pronosticada; en el pre-despacho se considera un mínimo de reserva de energía en el caso de que se presente un aumento inesperado de la demanda.

El operador ajusta el pre-despacho cada hora, en respuesta a los cambios que se tengan en las condiciones de operación.

La asignación de unidades se hace de manera tal que se minimiza el costo de operación que resulta del consumo de combustible en las unidades termoeléctricas, aprovechando de la mejor manera la producción de las unidades hidroeléctricas, y respetando las restricciones de las cuencas, los embalses, las centrales, las propias unidades generadoras y la red de transmisión.

La metodología analiza matemáticamente un gran número de opciones en lo que se refiere a la asignación de unidades de generación y selecciona soluciones muy cercanas, en costo, a la óptima. Constituye, además, un sistema de información que almacena los datos relevantes de cada unidad, con el que se pueden producir informes y gráficos tanto ejecutivos como operacionales que apoyen la toma de decisiones. Por otra parte, la posibilidad de ejecutar reiteradamente los programas de cómputo del paquete permite al usuario estudiar el impacto económico tanto de las prácticas operativas como de las restricciones físicas que los elementos del sistema eléctrico imponen a la propia operación.

La Planeación de Mediano Plazo

En 1987, el paquete CT se actualizó. En esta segunda versión se mejoraron los programas existentes, se añadieron otros para ampliar el horizonte de planeación hasta un mes y el paquete se trasladó de la mini computadora en la que funcionaba a una computadora personal.

Con estos cambios se facilitó la articulación de la planeación a corto plazo con la de mediano plazo; esta última se contempla en uno o dos años, divididos en intervalos mensuales y determina cuánta agua de cada central hidroeléctrica debe utilizarse cada mes.

La importancia de la planeación de mediano plazo obedece a la considerable variación que presentan los escurrimientos de agua en los grandes embalses entre un año y otro; si se extrae demasiada agua y después se presenta una

que a su vez implica una mayor producción termoeléctrica con la consiguiente elevación en los costos.

En la planeación de mediano plazo se contemplan las posibles variaciones en los escurrimientos; así, permite programar la extracción de agua de modo que no se excedan los límites necesarios para garantizar la producción en caso de que no llueva lo suficiente.

Los últimos cambios en el paquete tuvieron lugar en 1992, motivados en parte por los considerables avances registrados en las plataformas de cómputo, los cuales han resultado en máquinas mucho más veloces y con gran capacidad de memoria, y también en los paquetes comerciales de software para integrar nuevas interfaces hombre-máquina, cuyo manejo es muy sencillo para el usuario.

Los programas de CT actualmente se ejecutan en lo que se ha llamado “red de planeación”, esto es, estaciones de trabajo conectadas entre sí y con otros sistemas de producción del CENACE. El uso de estas máquinas y las mejoras

introducidas en los algoritmos han permitido que en la tercera versión del paquete de Coordinación Térmica se contemple por primera vez el efecto de la red de transmisión.

Anteriormente el sistema eléctrico se consideraba como si hubiera un solo nodo en el que se concentraran toda la demanda y toda la generación, sin tomar en cuenta directamente el flujo en las líneas; las herramientas de cómputo que existían entonces no permitían mayor detalle. Ahora, el paquete considera la red eléctrica en cuanto a la red troncal; se abarcan las principales regiones de generación del país y los enlaces de transmisión que existen entre ellas.

Así, la planeación se hace tomando en cuenta de manera directa cuál sería el flujo de potencia en los enlaces interregionales y respetando los límites de transmisión de cada uno.

El paquete analiza matemáticamente un gran número de opciones en lo que se refiere a la asignación de unidades de generación y selecciona soluciones muy cercanas, en costo, a la óptima. Constituye, además, un sistema de información que almacena los datos relevantes de cada unidad, con el que se pueden producir informes y gráficos tanto ejecutivos como operacionales que apoyen la toma de decisiones.

3.3 Horizontes de Estudio de la Planeación en Sistemas

Termoeléctricos.

En el análisis de la operación de sistemas de potencia es básico el conocimiento de las variables que intervienen en el proceso.

Los generadores como parte importante del sistema eléctrico poseen ciertas características de comportamiento, tales como: tipo de primo-motor, turbina de vapor o hidráulica, tipo de combustible, límites operativos, etc. que hacen que cada unidad tenga diferente comportamiento que otras, la influencia de cada una de estos elementos influye en el costo de operación de la unidad.

La intervención de restricciones operativas, costos asociados a insumos secundarios en operación de las plantas eléctricas y restricciones ambientales algunos energéticos hacen necesario que se comprenda el comportamiento de las unidades de generación y los costos totales en que se incurre.

Una vez que se establece el modelo de costo de la unidad se determina posteriormente el proceso de solución.

Debido a las nuevas estructuras en las empresas eléctricas y la inclusión de nuevos productores de energía en los sistemas eléctricos implica que los costos de generación sean representados por un precio de energía el cual incluye el costo de combustibles, costos variables, insumos secundarios, recuperación de la inversión, etc.

3.4 Modelo Entrada- Salida.

En los estudios de despacho económico es común caracterizar a las unidades termoeléctricas con las curvas denominadas “entrada-salida”, que definen el calor (Gcal/Hr) necesario para generar en nivel de potencia (Mw).

Generalmente estas curvas son caracterizadas con polinomios de segundo grado. Una curva típica se muestra en la figura 3.1, siendo su modelo matemático la función de consumo:

q (g) = a + bg + cg2 _{……… ….….. (3.12)} Donde:

q (g) Función de consumo (Gcal/Hr).

a Coeficiente del término independiente del modelo entrada-salida (Gcal/Hr).

b Coeficiente del término lineal del modelo entrada-salida (Gcal/Mwhr). c Coeficiente del término cuadrático del modelo entra-salida (Gcal/Mw2_hr). g Nivel de generación (Mw).

Figura 3.2 Curva de entrada-salida.

max G

P

G

P

min G

P

Entrada

_(Gcal/Hrs.)

Salida (MW)

La unidad típica de generación eléctrica comprende el sistema caldera-turbina-generador, esto consiste en una caldera que genera vapor mediante algún tipo de combustible y este vapor acciona una turbina acoplada mecánicamente a un generador eléctrico, la salida es potencia eléctrica en Mw`s que se entrega al sistema.

Para nuestros fines se hablara de la entrada a este sistema de generación contra salida al sistema eléctrico.

La curva que describe el comportamiento de la caldera-turbina-generador es la característica de entrada-salida.

Esta curva representa la cantidad de combustible o el costo de combustible que la unidad consume por hora para la potencia a la que la unidad esta generando, esta relación que generalmente se representa por un polinomio de segundo orden.

3.5 Régimen Térmico.

Este se define como: el consumo (teórico) de la unidad observando cuando las condiciones de funcionamiento más favorable se realizan simultáneamente, siendo sus unidades (Kcal/Kwhr).

RTi (gi) = qi (gi)/gi ………(3.13) Donde:

RTi i-ésima medición de régimen térmico (Kcal / Kwhrs)

Para los diversos puntos de prueba de una unidad, la relación de calor expresada en Kcal/Kwhr o Gcal/Mwhr contra salida expresada en Mw, es llamada curva de consumo específico figura 3.2, siendo su modelo matemático: q (g)/g = a/g + b + cg ………..(3.14)

Curvas de Consumo Específico 0.00 500.00 1000.00 1500.00 2000.00 2500.00 25% 50% 75% 100% Carga k C a l/ k W h

Figura 3.3 Grafica de consumo específico o Heat Rate.

La curva de consumo específico ó heat rate, representa el costo por Mwhr que tiene la unidad, para una determinada potencia de salida; esto significa que las unidades serán las siguientes: en las ordenas $/Mwhrs o bien KCal/Mwhr y en las abscisas Mw.

El método de prueba para la obtención de esta curva consiste básicamente en tener una carga fija en la unidad y obtener el gasto de combustible consumido en este lapso de tiempo, después se varía la carga de la unidad y se van tomando los diferentes valores de consumo de combustible.

Periódicamente se realizan pruebas de consumo específico a las unidades, generalmente cuando entran y salen de un mantenimiento, se comparan los valores obtenidos con las curvas de los fabricantes de las unidades y se evalúan los desplazamientos entre las curvas.

La curva de consumo específico comienza con un valor alto para generación cercana a cero y va decreciendo hasta llegar a un mínimo, aproximadamente al 85% de la potencia máxima y después comienza a ascender, a este punto mínimo se le conoce como punto de máxima eficiencia.

Esta característica también se puede encontrar si se conoce el polinomio de la curva de entrada-salida y esta se divide entre la potencia de salida.

La característica de consumo específico representa la eficiencia en la conversión de la energía suministrada por el combustible al sistema caldera-turbina-generador y transformado en potencia eléctrica.

3.6 Costos Incrementales.

La curva de costos incrementales representa la pendiente o derivada de la característica Entrada-Salida, indica el incremento en costo o en consumo de combustible que se requiere para un incremento en la potencia de salida. Conociendo la curva de Entrada-Salida se puede encontrar la característica de costo incremental derivando la relación de Entrada-Salida.

CI = b + 2cg ($ / Mw-Hr)

Una curva típica de costo incremental se muestra en la Figura 3.4.

La característica de esta curva es ascendente, ya que para cada aumento de producción corresponde un aumento de consumo de combustible.

En pruebas reales que se realizan a las unidades se ha encontrado que existen algunos picos en esta curva los cuales son suavizados mediante técnicas de segmentación. Las discontinuidades se presentan por el cierre y apertura de válvulas en la turbina, presentando una restricción en la operación del generador.

La curva de costos incrementales es usada en estudios de despacho económico de generación y en la planeación de sistemas de potencia. Esta curva también es utilizada para fijar precios de venta de energía en algunas centrales.

3.7 Los Modelos Matemáticos en Coordinación Termica Semanal

Asignación de Unidades.

En esta sección se determinan los modelos matemáticos de las unidades termoeléctricas y centrales de ciclos combinados, de CFE y de los PEE`s, que maneja el sistema Coordinación Térmica Semanal y Asignación de Unidades Termoeléctricas en la red de planeación (CTS_AU).

3.8 Método De Mínimos Cuadrados Ponderados (MMCP) para

Determinar los Coeficientes a, b y c del Modelo.

[12]

Para determinar los coeficientes a b, y c de la ecuación (3.1), se requiere por lo menos de tres mediciones de régimen térmico. Los coeficientes se ajustan para minimizar el error entre el modelo y las mediciones de Régimen Térmico (consumo específico).

El error cuadrático medio

ε

con n mediciones, se define como:

ε

=  + + −      =

∑

1 1 2 n a g b cg q g i i i i i n ……….. (3.1)

Minimizando el error se tienen las siguientes tres condiciones: Primera condición ∂ε ∂a =0 ………. (3.2)

∂ε

∂

a n a g b cg q g g i i i i i n i =  + + −           = =

∑

2 1 0 1 ……… (3.3) a g b g c q g i i n i i n i n i i i n 1 1 1 2 1 1 1 2 1 = = = =

∑

+

∑

+

∑

=

∑

……… (3.4)

Segunda condición ∂ε ∂b =0 ………. (3.5)

∂ε

∂

b n a g b cg q g i i i i i n =  + + −      = =

∑

2 0 1 ……… (3.6) a g b c g q g i i n i n i i n i i i n 1 1 1 1 1 1 = = = =

∑

+

∑

+

∑

=

∑

……… (3.7) Tercera condición ∂ε ∂c =0 ………. (3.8)

( )

∂ε

∂

c n a g b cg q g g i i i i i n i =  + + −      ₌ =

∑

2 0 1 ………. (3.9)

∑

∑

∑

∑

= = = = = + + n i i n i i n i i n i q g c g b a 1 1 2 1 1 1 ………. (3.10)

Las ecuaciones 7, 10 y 13 definen un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuya solución se expresa como:

a b c g g n g n g n g g q g q g q i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i i i n i i n           =                                     = = = = = = − = = =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ………. (3.11)

3.9 Consumo Específico a Máxima Eficiencia.

El consumo específico a máxima eficiencia se determina con la generación a máxima eficiencia, esta se calcula maximizando la ecuación.

q g g a g c ( ) /       = − ₂ + =0 ………. (3.15)

Despejando g se obtiene g a c * = ……….………. (3.16) y evaluando en la ecuación 3 q g g a g b cg ( *) * * * = + + ……… (3.17) MEZCLA DE COMBUSTIBLES.

Cuando las unidades generadoras tienen la capacidad de abastecerse con dos tipos diferentes de combustible, es necesario modelar las curvas de entrada salida de tal manera que permitan al despachador su funcionamiento económico, considerando la potencia calorífica de los combustibles que intervienen en la mezcla. La figura 3.4 muestra el contorno de la potencia calorífica de los combustibles.

Potencia calorífica combustible 2 (Gcal/Hr) Contorno de potencia calorífica total q1 +q2 q₂ q1 Potencia calorífica combustible 1 (Gcal/Hr)

CÁLCULO DEL CALOR SUMINISTRADO POR CADA COMBUSTIBLE.

Para generar g Mw, el modelo de entrada-salida de la unidad indica que se requieren q g( )Gcal/Hr. q g( ) = +a bg + cg2 ……….. (18) q g Gcal( ) / Hr q g( )=T1 +T2 q g( _base)=q₁ +q₂ ∆q .. ∆g Mw g_base g

Figura 3.6 Variación de combustibles.

La variación respecto a la base es:

) ( ) (g q gbase q q= − ∆ ……….. (3.19) ∆q=q g( ) (− q₁ +q₂) ……….. (3.19’)

Usando el % de la variación respecto a la base se obtiene el consumo para el combustible uno T1.

q p q

T1 = 1+ 1∆ [Gcal/Hr.] ………. (3.20)

y el consumo para el combustible dos T2.

q p q

T2 = 2 + 2∆ [Gcal/Hr.] ……… (3.21)

Si T1 ó T2 llegará a ser negativo, no se debe mantener la regla para las

Sí T1 ≤0 0. ; entonces: T1 =0 0. y T2 =q g( ) ………. (3.22)

Sí T2 ≤0 0. ; entonces: T2 =0 0. y T1 =q g( ) ……… (3.23)

T₁ y T2 no pueden ser simultáneamente negativos porque eso implicaría que q g( ) fuese negativo; esto es, que para una potencia de salida de g Mw no negativa, se requiera un consumo de calor negativo.

CÁLCULO DEL CONSUMO DE COMBUSTIBLE.

Si se requiere calcular el consumo de combustible para mantener una potencia de salida de g Mw durante un tiempo dado (t); deberán calcularse los consumos de calor de cada combustible T1 y T2 multiplicarlos por el tiempo y

por el poder calorífico correspondiente.

CÁLCULO DEL COSTO C(g) $/Hr POR OPERAR AL NIVEL g .

Deben de calcularse T1 (Ec. 3.20) y T2 (Ec. 3.21) como se indicó antes, y

multiplicarse por el costo asociado de cada combustible.

C g( )=(c T1 1 +c T2 2) [ $/Hr ] ….……… (3.24)

Sustituyendo (20) y (21) en (24) y simplificado, la función de costo queda como:

(

)

[

q p q q

]

c

[

q p

(

q q

)

]

(

c p c p

) ( )

q g c

g

C( )= 1 1 − 1 1 + 2 + 2 2 − 2 1 + 2 + 1 1+ 2 2 [ $/Hr ]... (3.25)

CÁLCULO DEL COSTO INCREMENTAL dC

dg ($/Mw-Hr) AL OPERAR AL

NIVEL g .

Calcular T1y T2 como se indico anteriormente.

Si T1 ≤0 0. y T2 >0 0. ;Entonces dC dg c dq dg = 2 ……… (3.26) Si T1 >0 0. y T2 ≤0 0. ;Entonces dC dg c dq dg = 1 ……….. (3.27) Si T1 ≥0 0. y T2 ≥0 0. ;Entonces

(

)

dg dq p c p c dg dC 2 2 1 1 + = ………….. (3.28)

Donde dq

dg se obtiene del modelo de consumo incremental (Gcal/Mw-Hr. Vs.

Mw).

Nota: En el apéndice A estos conceptos son determinados a través de un ejemplo.

3.10 Restricciones de las Unidades Termoeléctricas.

El modelo de las unidades termo, esta compuesto por dos partes: las características generales del modelo y los coeficientes del mismo.

Como características generales se tiene:

• Tiempo mínimo de paro. Indica el número mínimo de horas consecutivas que la unidad deberá permanecer en paro, una sola vez que la unidad sale de operación.

• Tiempo mínimo de operación. Indica el numero mínimo de horas consecutivas que la unidad deberá permanecer en operación, una vez que la unidad esta puesta en operación.

Como modelos tenemos:

• Modelo de paro caliente. Se compone de dos parámetros: ordenada al origen y pendiente. Con la ordenada al origen y la pendiente se define una linea recta, de donde se puede calcular la cantidad de calor necesario para mantener en paro caliente a la unidad durante un número establecido de horas.

• Modelo de arranque en frió. Sirve para determinar la cantidad de calor requerido al arrancar la unidad después de haber estado en paro frio durante un numero especifico de horas.

• Modelo entrada-salida (potencia calorífica de entrada contra potencia eléctrica de salida). Relaciona la rapidez con la que debe inyectarse calor (GCA/Hr) para obtener un valor especifico de potencia (MW) de salida.

• Modelo de consumo incremental (potencia contra consumo). Representa la derivada respecto a la potencia de salida de la rapidez con que se inyecta calor.

MODELOS DE LAS UNIDADES TERMOELÉCTRICAS PARTICIPACIÓN POR COSTO (PEE`S) EN COORDINACION TERMOELECTRICA SEMANAL _ ASIGNACIÓN UNIDADES.

A este tipo de modelo pertenecen los Productores de Energía Externos (PEE`s) y son los permisionarios, según sección I del articulo 135 [2] _{(los adjudicatarios de} las convocatorias), que ponen su capacidad de generación a disposición de (CFE).

En realidad este tipo de unidades son centrales de ciclo combinado con tecnología moderna que en CTS_AU se esta modelando como una unidad convencional equivalente, considerando las características y modelos de las unidades de CFE que participan por costos.

MODELOS DE LAS UNIDADES TERMOELÉCTRICAS PARTICIPACIÓN POR PRECIO (PEE`S).

El modelo para las unidades que participan por precio consiste para los premisionarios, según sección II del articulo 135 [2]_{, que tienen excedentes} menores de 20 MW con los que se pactan compromisos de capacidad y compra de energía, y la sección III, los demás permisionarios con los que se convengan compras de energía. Estos modelos consideran:

• Un precio ($/Mw-hr) para cada uno de los intervalos del horizonte de planeación.

•

Una potencia máxima (Mw) para cada uno de los intervalos del horizonte de planeación.

3.11 Modelos de los Paquetes del Ciclo Combinado de CFE.

[4]

El paquete de ciclo combinado consta de una o varias (hasta cuatro) unidades turbogas y una unidad de vapor convencional.

Cada unidad turbogas tiene asociado un recuperador de calor.

Las unidades turbogas se caracterizan con todos los modelos y atributos de una unidad termoeléctrica, como se expone en las secciones anteriores.

Se considera la disponibilidad del recuperador de calor asociado a la unidad turbogas.

Si el recuperador no esta disponible, la unidad turbogas asociada no contribuye a la generación de la unidad de vapor.

También se considera la disponibilidad de unidad de vapor.

Si no esta disponible, el paquete se convierte en un conjunto de unidades turbogas.

CAPITULO IV

Despacho Económico

En este capitulo se explica la metodología de solución del despacho económico de generación para un sistema termoeléctrico, por medio del método de Lagrange así como

las características de este en un sistema uní-nodal, contemplando restricciones físicas, técnicas y operativas del sistema.

4.1 Principales Características del Despacho Económico.

El despacho económico consiste básicamente en usar los recursos energéticos (térmicos, hidráulicos, solares, eólicos, etc.) disponibles para la generación de energía eléctrica en una forma optima de tal manera que cubra la demanda de electricidad a un mínimo costo y con un determinado grado de confiabilidad, calidad y seguridad.

Este consiste también en conocer la cantidad de potencia que debe suministrar cada generador para satisfacer una condición de demanda de los consumidores minimizando los costos de generación del sistema eléctrico sujeto a diferentes tipos de restricciones operativas de las plantas de generación tales como: rapidez para tomar la carga en el sistema caldera-turbina-generador, limites de generación, reserva rodante, tipos de combustible, etc.

Sin dejar a un lado las restricciones de transmisión y seguridad de la red eléctrica.

Esto es como una sintonización de todos los generadores operando a un mismo costo incremental.

4.2 Despacho Económico Sin Perdidas.

El problema del despacho económico sin perdidas se fundamenta en una optimización estática en el tiempo, es decir, se minimiza el costo de producción en un instante para un valor de demanda del sistema, los generadores se ajustan para cumplir con los requerimientos de energía de los consumidores, satisfaciendo además otro tipo de restricciones propuestas.

Se utilizan para modelar los costos del problema de despacho económico las características de entrada-salida.

La figura 4.1 muestra como los generadores conectados a una sola barra que alimentan a una carga concentrada.

Figura 4.1 Despacho sin pérdidas.

El problema se formula como la minimización de los costos N generadores formando la función objetivo.

Se incluye además la restricción de que todos los generadores cumplen con la demanda. 1 2 ... T N F = + +F F +F ... (4.1) 1 2 0 P_D PG PG ... PG_N

ϕ

= = − − − − ……….(4.2)

Donde: PD = Potencia de Demanda.

Cuando existe una restricción de igualdad, se propone una función extendida de Lagrange.

∼

PG2

∼

PGN

∼

.

.

.

P

D

4.3 Aplicación por el Método de Multiplicadores de Lagrange.

El método más frecuentemente usado para restricciones es empleando los multiplicadores de Lagrange. La técnica será presentada usando dos variables independientes y una ecuación de restricción para ilustrar los conceptos. Luego el procedimiento será extendido al caso general de n variables independientes y

m ecuaciones de restricción. Para el caso de dos variables independientes, tenemos:

Optimizar: y(x1, x2)

Sujeta a : f(x1, x2) = 0

Mostraremos como surgen los multiplicadores de Lagrange y como un problema con restricciones puede ser convertido a un problema sin restricciones. La función beneficio y la ecuación de restricción son expandidas en una serie de Taylor. Luego, usando los términos de primer orden se tiene:

1 2 1 2 1 2 1 2 0 dy dy dy dx dx dx dx df df dx dx dx dx = + = +

Esta forma de la ecuación de restricción será usada para eliminar dx2 en la función beneficio. Resolviendo para dx2 se tiene:

1 2 1 2 f x dx dx f x ∂ ∂ = − ∂ ∂

Este ecuación se reemplaza en la ecuación para dy y se obtiene:

1 1 1 1 2 2 f x y y dy dx dx f x x x ∂   _∂  ∂ ∂ _{ } = − _∂ ∂ ∂   _∂   

y re-arreglando se tiene: 2 1 1 1 1 2 ( ) 0 y x y f y f dy dx f x x x x λ −∂    _∂  ∂ + _{= → =}∂ ∂ _ + ∂ ∂ ∂ ∂   _∂   

Ahora podemos definir λ como el valor de [–∂y/∂x2 / ∂f/∂x2] en el punto estacionario de la función restringida. Esta razón de derivadas parciales λ es una constante en el punto estacionario, y la ecuación anterior puede escribirse como: 1 1 1 1 1 ( ) y f dy dx x x o y f dy x x

λ

λ

∂ ∂  =_ + _ ∂ ∂   ∂ +  =_{ }∂ ∂  

En el punto estacionario dy = 0, y esto da:

1 ( ) 0 y f x

λ

∂ + ₌ ∂

Ahora si L es definido como L = y + λf, se tiene:

1 0 L x ∂ = ∂

Esta es una de las condiciones necesarias para localizar los puntos estacionarios de una función sin restricción L la cual es construida a partir de la función beneficio y(x1,x2) y la ecuación de restricción f(x1,x2) = 0. Ahora las mismas manipulaciones pueden ser repetidas para obtener las demás condiciones necesarias: 2 0 L x ∂ = ∂

Por lo tanto, el problema con restricciones puede ser convertido a un problema sin restricciones mediante la formación de la función Lagrangiana, o aumentado, y resolviendo este problema por los métodos previamente desarrollados de establecer las primeras derivadas parciales iguales a cero. Esto dará dos ecuaciones para resolver para las tres incógnitas x1, x2 y λ en el punto estacionario. La tercera ecuación a ser usada es la ecuación de restricción.

El hecho de que el multiplicador de Lagrange es tratado algunas veces como otra variable ya que ∂L / ∂λ da la ecuación de restricción.

Ejemplificando el metodo de lagrange al despacho economico:

La condición necesaria para encontrar el mínimo de la función es derivando el Lagrangiano e igualando a cero dicha derivada (Gradiente del Lagrangiano).

( ) T F PG

λϕ

Λ = + ………(4.3) 1 2 0 N PG PG V PG

λ

→ ∂Λ   _∂    ∂Λ   _∂    Λ = =  ∂Λ  _∂    _∂Λ  _∂    ………..(4.4)

Para cada generador se tiene:

1 0 i i dF PG dPG λ ∂Λ = − = ∂ ……….(4.5)

Y para la restricción de igualdad

_D N_{1 i} 0 i P PG λ = ∂Λ = − = ∂

∑

……….(4.6)

De (3.5) se tiene para la existencia de un mínimo, la función de Lagrange requiere que todas las unidades, operen a un mismo costo incremental.

El sistema de ecuaciones para la solución del despacho tendrá las siguientes condiciones: i i dF dPG =λ N Ecuaciones iMin i iMax PG ≤PG ≤PG 2N Desigualdades ……….(4.7) 1 N i D i= PG =P

∑

1 Restricción

Para resolver las ecuaciones anteriores se han usado diferentes procedimientos de solución, tales como: métodos iterativos donde se empieza con un valor de λ inicial y se termina hasta que las potencias se ajustan a la demanda, soluciones directas y otras se basan en generadores con funciones de costos equivalentes. Existen N + 1 ecuaciones y N + 1 incógnitas (NPGi y una λ) y si el sistema de ecuaciones es lineal existe una solución única al despacho económico.

Al considerar una función cuadrática para el costo del generador i se puede escribir. 1 1 1 1 2 2 2 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 2 1 1 1 1 0 N C C N N C D b PG b PG b PG P

λ

−  _{  − }  _{   } − −  _{   }  ₋ _{ = }  _{   } − −  _{   }  _{  − }     − − −   ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ………..(4.8)

El sistema anterior tiene la particularidad que puede ser fácilmente triangulizado, ayudando esto al algoritmo computacional.

Para λ se tiene: 2 1 2 i D i i b P c c

λ

+ =

∑

∑

……….(4.9)

Como todos los generadores operan aun mismo costo incremental la potencia de salida de (4.5) se obtiene para cada unidad como:

2 i i i b PG c λ− = ……….(4.10)

4.4 Restricciones.

Para que la solución sea factible los valores de potencia de generación encontrados con (4.8) deben estar dentro de ciertos límites.

PGMin ≤PGi≤PGMax ………..(4.11)

Si después de encontrar una solución con (3.8), algún generador viola uno de sus límites, existen procedimientos alternos para obtener una solución factible.

METODO I

• Eliminar la ecuación del sistema a solucionar y restar a la potencia de demanda el valor del límite violado.

• Volver a solucionar el sistema y verificar si no existen otras violaciones a límites de otros generadores, si se presentan, volver al paso anterior.

METODO II

• En el sistema de ecuaciones se sustituye el valor de la potencia violada y se resuelve para las otras incógnitas.

• Si existen otras violaciones, se sustituyen los valores limites en cada ecuación y se vuelve al paso anterior.

Para ilustrar mejor lo anterior se presentan los sistemas de ecuaciones para ambos métodos, cuando la potencia de salida en el generador 2 ha alcanzado alguno de sus límites.