Completa en tu cuaderno para que los siguientes sistemas tengan como solución

Soluciones a “Ejercicios y problemas”

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PÁGINA 120

■

Practica

Sistemas lineales

1 Comprueba si el par (3, –1) es solución de alguno de los siguientes sistemas: a) °_¢

£

2x + y = 5

3x – 2y = 11 b)

° ¢ £

x – 2y = 5 4x + y = 8

El par (3, –1) es solución de un sistema si al sustituir x por 3 e y por –1, se verifican ambas igualdades:

a) 2x + y = 5 3x – 2y = 11

° ¢ £

2 · 3 – 1 = 6 – 1 = 5

3 · 3 – 2 · (–1) = 9 + 2 = 11

° ¢ £

8 (3, –1) es solución del sistema.

b) x – 2y = 5 4x + y = 8

° ¢ £

3 – 2(–1) = 3 + 2 = 5 4 · 3 – 1 = 12 – 1 = 11 ? 8

° ¢ £

8 La segunda ecuación no se cumple. (3, –1) no es solución del sistema.

2 Completa en tu cuaderno para que los siguientes sistemas tengan como solución x = –1, y = 2:

a) °_¢ £

x – 3y = …

2x + y = … b) ° ¢ £

y – x = …

2y + x = … c) ° ¢ £

3x + y = …

… + y/2 = 0 d) ° ¢ £

… – 2x = 4 3y + … = 1

a) x – 3y = … 2x + y = …

° ¢ £

Si x = –1, y = 2 8 °¢ £

–1 – 3 · 2 = –1 – 6 = –7 2 · (–1) + 2 = –2 + 2 = 0

Así, °¢ £

x – 3y = –7

2x + y = 0 es el sistema buscado.

b) y – x = … 2y + x = …

° ¢ £

Si x = –1, y = 2 8 °¢ £

2 – (–1) = 2 + 1 = 3 2 · 2 – 1 = 4 – 1 = 3

El sistema que tiene como solución x = –1, y = 2 es: °¢ £

y – x = 3 2y + x = 3

c) 3x + y = … … + y₂ = 0

° § ¢ § £

Si x = –1, y = 2 8 °§_¢ § £

3 · (–1) + 2 = –3 + 2 = –1

… + 2₂ = 0 8 … = –1 luego … es x

El sistema buscado es: °§¢ § £

3x + y = –1

x + y₂ = 0

d) … – 2x = 4 3y + … = 1

° ¢ £

Si x = –1, y = 2 8 °_¢ £

… –2(–1) = 4 8 … + 2 = 4 8 … = 2 = y 3 · 2 + … = 1 8 … = –5 luego … es 5x

El sistema buscado es: °¢ £

y – 2x = 4 3y + 5x = 1

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3 Busca dos soluciones para cada una de estas ecuaciones y representa las rectas correspondientes:

a) 3x + y = 5 b) 2x – y = 4

a) Soluciones de esta ecuación son, b) Soluciones de esta ecuación son, por ejemplo: (1, 2) y (3, –4) por ejemplo: (0, –4) y (2, 0)

2 (1, 2)

–2

–4 (3, –4) 2

2

(2, 0) –2

(0, –4)

4 Resuelve gráficamente cada uno de los siguientes sistemas:

a) °_¢ £

3x + y = 5

x + y = 1 b) ° ¢ £

4x – y = 7

y – 1 = 0 c) ° ¢ £

x + y = 5

2x – y = 4 d) ° ¢ £

x + 2y = 1 x + 3 = 0 a) Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:

3x + y = 5 x + y = 1

a) Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:

x y

0 5

2 –1

a) Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:

x y

0 1

1 0

Las rectas se cortan en el punto (2, –1) 8 La solución del sistema es x = 2, y = –1.

2

–2 x + y = 1

3x + y = 5

(0, 1)

–2 (1, 0)

(2, –1) 2

b) La segunda ecuación representa a una recta paralela al eje X, y = 1.

La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (1, –3) y (2, 1).

La solución del sistema es x = 2, y = 1, punto de intersec-ción de ambas rectas.

2

–2

y – 1 = 0 4x – y = 7

–2

(1, –3) (2, 1)

2

c) Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones: x + y = 5 2x – y = 4

c) Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:

= 5 _{x y} 2

0 5

5 0

c) Buscamos dos soluciones para cada una de las ecuaciones:

x y

2 0

3 2

Las dos rectas se cortan en el punto (3, 2), luego x = 3, y = 2 es la solución del sistema.

2

2x – y = 4

x + y = 5 4

(2, 0)

(5, 0) (3, 2)

4

d) La primera ecuación tiene como soluciones, por ejemplo, los puntos (1, 0) y (3, –1). La segunda ecuación es la de una recta paralela al eje Y, x = –3.

Las dos rectas se cortan en el punto (–3, 2) 8 La solu-ción del sistema es x = –3, y = 2.

2

x + 2y = 1 x + 3 = 0

(1, 0)

(3, –1) –2

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5 Dos de los siguientes sistemas tienen solución única; uno de ellos es incompa-tible (no tiene solución) y otro es indeterminado (tiene infinitas soluciones). Inten-ta averiguar de qué tipo es cada uno, simplemente observando las ecuaciones. Des-pués, resuélvelos gráficamente para comprobarlo:

a) °_¢ £

x + 2y = 5

y – x = 4 b) ° ¢ £

2x + y = 3

4x + 2y = 2 c) ° ¢ £

x + y = 2

3x + 3y = 6 d) ° ¢ £

3x + y = 2 x – y = –2 • El sistema c) tiene infinitas soluciones, pues la segunda ecuación es la primera

multi-plicada por 2. Por tanto, las dos ecuaciones dicen lo mismo.

• El sistema b) es incompatible, sin solución, ya que las ecuaciones son contradictorias: 2x + y = 3

4x + 2y = 2

° ¢ £

8 2x + y = 3 2x + y = 1

° ¢ £

Imposible que se cumplan ambas a la vez.

• Los sistemas a) y d) tienen solución.

Resolvemos gráficamente todos los sistemas para comprobarlo: a) x + 2y = 5 y – x = 4

a) y

x y

1 2

–1 3

y

x y

–2 2

0 4

Las dos rectas se cortan en (–1, 3). La solución del sistema es x = –1, y = 3.

2

–2

(1, 2) (0, 4) (–2, –2)(–1, 3)

–2 2

b) 2x + y = 3 4x + 2y = 2 b) 2 y

x y

0 3

2 –1

y

x y

0 1

1 –1

Las rectas son paralelas 8 El sistema no tiene solución.

–2

(2, –1) (1, –1) (0, 3)

(0, 1) –2 2

2

c) x + y = 2 3x + 3y = 6 c) y

x y

0 2

2 0

y

x y

1 1

3 –1

Se trata de la misma recta 8 El sistema tiene infinitas

soluciones. –2

(0, 2) (1, 1)

(2, 0)

(3, –1) –2 2

2

d) 3x + y = 2 x – y = –2 d) 3 y

x y

0 2

–1 5

y

x y

–2 0

1 3

El sistema tiene solución única x = 0, y = 2, punto de corte

de ambas rectas. –2

(0, 2)(1, 3)

x – y = –2

3x + y = 2 (–2, 0)

(–1, 5)

2

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6 Dada la ecuación x + 3y = 1, busca otra ecuación que forme con ella un sistema cuya única solución sea x = –2, y = 1. Busca también otra ecuación que forme con ella un sistema incompatible y otra que forme con ella un sistema indeterminado.

x + 3y = 1 2x + y = –3

° ¢ £

Es un sistema que tiene como solución x = –2, y = 1.

x + 3y = 1 2x + 6y = –1

° ¢ £

Es un sistema que no tiene solución, es incompatible.

–2x – 6y = –2 2x + 6y = –1 0 = –3

x + 3y = 1 x

3 + y = 13

° § ¢ § £

Es un sistema que tiene infinitas soluciones, es indeterminado (la 2.ª ecuación es la tercera parte de la primera).

7 Resuelve estos sistemas por el método de sustitución:

a) °_¢ £

3x – 5y = 5

4x + y = –1 b) ° ¢ £

8x – 7y = 15

x + 6y = –5 c) ° ¢ £

2x + 5y = –1

3x – y = 7 d) ° ¢ £

3x – 2y = 2 5x + 4y = 7

a) 3x – 5y = 5 4x + y = –1

° ¢ £

Despejamos y de la 2.a ecuación y sustituimos en la 1.a: y = –1 – 4x

3x – 5(–1 – 4x) = 5 8 3x + 5 + 20x = 5 8 23x = 0 8 x = 0 y = –1 – 4 · 0 = –1

° ¢ £

Solución: x = 0, y = –1

b) 8x – 7y = 15 x + 6y = –5

° ¢

£ Despejamos x de la 2.

a _{ecuación y sustituimos en la 1.}a_{: x = –5 – 6y}

8(–5 – 6y) – 7y = 15 8 –55y = 55 8 y = –1 x = –5 – 6 · (–1) = –5 + 6 = 1

° ¢

£ Solución: x = 1, y = –1

c) 2x + 5y = –1 3x – y = 7

° ¢

£ Despejamos y de la 2.

a _{ecuación y sustituimos en la 1.}a_{: y = 3x – 7}

2x + 5(3x – 7) = –1 8 2x + 15x – 35 = –1 8 17x = 34 8 x = 2 y = 3 · 2 – 7 = 6 – 7 = –1

° ¢ £

Solución: x = 2, y = –1

d) 3x – 2y = 2 5x + 4y = 7

° ¢

£ Despejamos y de la 1.

a _{ecuación y sustituimos en la 2.}a_{: y = 3x – 2}

2

5x + 4 ·

(

3x – 2₂

)

= 7 8 5x + 6x – 4 = 7 8 x = 1 y = 3 · 1 – 2₂ = 1₂

° § ¢ § £

Solución: x = 1, y = 1₂

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8 Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:

a) ° § ¢ § £

y = 2x – 3 y = x – 3

2

b) °_¢ £

5x + y = 8

2x – y = –1 c) ° ¢ £

x + 6y = –2

x – 3y = 1 d) ° ¢ £

4x – 5y = –2 3x + 2y = 10

a) y = 2x – 3_{y = x – 3} 2

° § ¢ § £

2x – 3 = x – 32 8 4x – 6 = x – 3 8 3x = 3 8 x = 1 y = 2 · 1 – 3 = –1

Solución: x = 1, y = –1

b) Despejamos y de cada una de las ecuaciones e igualamos: y = 8 – 5x

y = 2x + 1

° ¢ £

8 8 – 5x = 2x + 1 8 7 = 7x 8 x = 1 y = 2 · 1 + 1 = 3

Solución: x = 1, y = 3

c) Despejamos x de cada ecuación e igualamos: x = –2 – 6y

x = 1 + 3y

° ¢

£ 8 –2 – 6y = 1 + 3y

8 –3 = 9y 8 y = –1/3 x = –2 – 6 · (–1/3) = –2 + 2 = 0

Solución: x = 0, y = – 1₃

d) Despejamos x de cada ecuación e igualamos:

x = 5y – 2 4 x = 10 – 2y₃

° § ¢ § £

5y – 2

4 = 10 – 2y3 8 3(5y – 2) = 4(10 – 2y) 8 23y = 46 8 y = 2 x = 5 · 2 – 2₄ = 8₄ = 2

Solución: x = 2, y = 2

9 Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

a) °¢ £

3x + 2y = 4

5x – 2y = 4 b) ° ¢ £

2x + 5y = 11

4x – 3y = –4 c) ° ¢ £

x + 6y = –4

3x – 5y = 11 d) ° ¢ £

5x – 2y = 3 10x + 3y = –1

a) 3x + 2y = 4 5x – 2y = 4

° ¢ £

Sumando ambas ecuaciones obtenemos 8x = 8 8 x = 1 3 · 1 + 2y = 4 8 2y = 1 8 y = 1/2

° ¢ £

Solución: x = 1, y = 1₂

b) 2x + 5y = 11 4x – 3y = –4

° ¢ £

Ò(–2)

ÄÄ8

–4x – 10y = –22 4x – 3y = – 4

–13y = –26 8 y = 2

2x + 5 · 2 = 11 8 2x = 1 8 x = 1₂

° § ¢ § £

Solución: x = 1 2, y = 2

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c) x + 6y = –4 3x – 5y = 11

° ¢ £

Ò(–3)

ÄÄ8 –3x – 18y = 12 3x – 5y = 11

–23y = 23 8 y = –1

x + 6 · (–1) = –4 8 x = 2

° ¢

£ Solución: x = 2, y = –1

d) 5x – 2y = 3 10x + 3y = –1

° ¢

£ Multiplicamos la primera ecuación por –2 y sumamos:

–10x + 4y = –6 10x + 3y = –1

7y = –7 8 y = –1

5x – 2 · (–1) = 3 8 5x + 2 = 3 8 x = 1/5

° ¢ £

Solución: x = 1₅, y = –1

10 Resuelve por el método que consideres más adecuado:

a) °_¢ £

7x + 6y = 2

y + 5 = 3 b)

° ¢ £

5x – 3y = 1

4x + 2y = 14 c)

° ¢ £

3(x + 2) = y + 7 x + 2(y + 1) = 0

d) ° § ¢ § £ x

3 + y2 = 3

2(x + y) = 16

e) ° § ¢ § £

4x – 3 = 2y – 21

3y = 15 – x 2

f ) ° § ¢ § £

–x + 7

2 = y + 4 2x = 3y – 10

5

a) 7x + 6y = 2 y + 5 = 3

° ¢ £

Despejamos y de la 2.a ecuación y la sustituimos en la 1.a: y = –2

7x + 6 · (–2) = 2 8 7x – 12 = 2 8 7x = 14 8 x = 2 Solución: x = 2, y = –2

b) 5x – 3y = 1 4x + 2y = 14

° ¢ £

Ò 2

ÄÄ8

Ò 3

ÄÄ8

10x – 6y = 2 12x + 6y = 42

22x = 44 8 x = 2 5 · 2 – 3y = 1 8 9 = 3y 8 y = 3

° ¢ £

Solución: x = 2, y = 3

c) 3(x + 2) = y + 7 x + 2(y + 1) = 0

° ¢ £

8 3x + 6 = y + 7 x + 2y + 2 = 0

° ¢ £

8 3x – y = 1 x + 2y = –2

° ¢ £

Despejamos y de la primera ecuación y sustituimos en la segunda: y = 3x – 1

x + 2(3x – 1) = –2 8 x + 6x – 2 = –2 8 7x = 0 8 x = 0 y = 3 · 0 – 1 = –1

° ¢ £

Solución: x = 0, y = –1

d) 3x + y2 = 3 2(x + y) = 16

° § ¢ § £

8 2x + 3y = 18 x + y = 8

° ¢ £

Despejamos x de la segunda ecuación y sustituimos en la primera: x = 8 – y

2 · (8 – y) + 3y = 18 8 16 – 2y + 3y = 18 8 y = 2 x = 8 – 2 = 6

° ¢ £

Solución: x = 6, y = 2

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7

e) 4x – 3 = 2y – 21_{3y = 15 – x} 2

° § ¢ § £

8 4x – 2y = –18 x + 6y = 15

° ¢ £

Despejamos x de la segunda ecuación y _{sustituimos en la primera: x = 15 – 6y}

4(15 – 6y) – 2y = –18 8 60 – 24y – 2y = –18 8 78 = 26y 8 y = 3 x = 15 – 6 · 3 = 15 – 18 = –3

° ¢ £

Solución: x = –3, y = 3

f ) –x + 7

2 = y + 4 2x = 3y – 10₅

° § ¢ § £

8 –x + 7 = 2(y + 4) 10x = 3y – 10

° ¢

£ 8

–x – 2y = 1 10x – 3y = –10

° ¢ £

Aplicamos el método de reducción: multiplicamos la primera ecuación por 10 y su-mamos ambas ecuaciones:

–10x – 20y = 10 10x – 3y = –10

– 23y = 0 8 y = 0

–x – 2 · 0 = 1 8 –x = 1 8 x = –1

° ¢ £

Solución: x = –1, y = 0

11 Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes por el método que consideres oportuno y comprueba la solución que obtengas:

a) °_¢ £

2x – y = 4

4x + 3y = –7 b) ° ¢ £

x + 2y = –1

3x – y = –1,25 c) ° ¢ £

3x – 2y = 2

x + 4y = –5/3 d) ° § ¢ § £

x + 1

3 + y = 1 x – 3

4 + 2y = 1 a) Por reducción. Multiplicamos la 1.a _{ecuación por –2 y sumamos:}

–4x + 2y = –8 4x + 3y = –7

5y = –15 8 y = –3

x = 4 + y₂ 8 x = 1₂

° § ¢ § £

Solución: x = 1₂, y = –3

Comprobación: ° § ¢ § £

2 · 1₂ – (–3) = 1 + 3 = 4

4 · 1

2 + 3 · (–3) = 2 – 9 = –7

b) Por reducción. Multiplicamos la 2.ª ecuación por 2 y sumamos: x + 2y = –1

6x – 2y = –2,5

7x = –3,5 8 x = – 0,5

y = –1 – x

2 8 y = – 0,25

° § ¢ § £

Solución: x = – 0,5, y = – 0,25

Comprobación: °¢– 0,5 + 2(– 0,25) = –1_{3(– 0,5) – (– 0,25) = –1,25}

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c) Por reducción. Multiplicamos la 2.ª ecuación por –3 y sumamos: 3x – 2y = 2

–3x – 12y = 5

–14y = 7 8 y = –1 2 x = –5₃ – 4y 8 x = 1₃

° § ¢ § £

Solución: x = 1₃, y = – 1₂

Comprobación: ° § ¢ § £

3 · 1₃ – 2 ·

(

– 1₂

)

= 2 1

3 + 4 ·

(

–12

)

= –53 d) x + 1 + 3y = 3

x – 3 + 8y = 4

° ¢ £

8 x + 3y = 2 x + 8y = 7

° ¢ £

8 x = 2 – 3y x = 7 – 8y

° ¢ £

8 2 – 3y = 7 – 8y 8 y = 1 x = 7 – 8 · 1 8 x = –1 Solución: x = –1, y = 1

Comprobación: ° § ¢ § £

–1 + 1

3 + 1 = 0 + 1 = 1 –1 – 3

4 + 2 · 1 = –1 + 2 = 1