enius Integración I 3 (Corrector) 2020

Ap

un

tes

Ap

un

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Ap

un

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Ap

un

tes

º

º

º

º

Integración Inmediata(III)

º

º

º

º

Integración Por Partes (I)

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º

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º

Anexo

Genius, a good idea in Maths

Genius, a good idea in Maths

Genius, a good idea in Maths

Genius, a good idea in Maths

XB

Apuntes

Genius Integración

TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

A lo largo de los dos temas anteriores I_1 e I_2, hemos estudiado FÓRMULAS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA que, poco a poco, deben haber contribuido a quitar el

"espeluznante" aspecto de una integral o primitiva. A propósito, hemos dejado aparte dos de las fórmulas de integración inmediata más utilizadas y, a la vez, más confundidas en su uso. Pon mucha atención :

En la cual,

como siempre, " u " representa una función y " u' " su derivada.

¡Ah!, por cierto ! "a " es un número real cualquiera distinto de cero.

OBSERVA: En el numerador debe aparecer la derivada de la función "u" solamente, sin elevar al cuadrado.

La fórmula con la cual SE SUELE CONFUNDIR ES : , en la cual, el

numerador es la derivada de TODA la expresión del radicando. En los problemas, alguna vez, trataré de tenderte esta trampa. ¡ Cuidadito !.

Ejemplo :

XB

Apuntes

Genius Integración

Recuerda :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

XB

Apuntes

Genius Integración

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

XB

Apuntes

Genius Integración

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

XB

Apuntes

Genius Integración

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

XB

Apuntes

Genius Integración

Y la otra fórmula importante que vamos a emplear es la del arco tangente :

OBSERVA bien su estructura y no la confundas con la expresión del logaritmo, en la cual, el numerador debe ser la derivada de toda la función que hay en el denominador, mientras que en ésta el numerador es la derivada sólo de "u".

Vamos con los ejemplos :

Una de las situaciones más usuales para utilizar esta fórmula es el caso en el cual, el

denominador sea un POLINOMIO de segundo grado, sin raíces reales y el numerador una constante, en cuyo caso el polinomio siempre se puede expresar como SUMA de cuadrados.

¿ Qué ? No es tan difícil, ¿ Verdad ?. Vamos con los problemas...

XB

Apuntes

Genius Integración

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

XB

Apuntes

Genius Integración

61.

62.

63.

[ ¡ Interesante ! ]

64.

65.

66.

67.

68.

69.

XB

Apuntes

Genius Integración

71.

72.

[ Observa que en las integrales 69, 70, 71 y 72, los polinomios del denominador no tienen raíces reales ]

TURNO LIBRE :Construye y resuelve tres integrales que se resuelvan con las fórmulas anteriores.

Para continuar, vamos a hacer el mismo ejercicio que hemos planteado en el tema anterior. Sin clasificación previa, aunque puedes consultar la tabla, voy a proponerte doce primitivas :

Míralas

_Y

Ajústalas ( si es preciso )

_Y

Resuélvelas bien. ¡Ánimo y suerte!

73.

74.

75.

76.

XB

Apuntes

Genius Integración

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

Es muy importante pensar que ESTÁS CAPACITADO para resolverlas todas y bien. Procura fijarte bien en la tabla de INTEGRALES INMEDIATAS.

¡Bueno!, ¡Un descansito!, 10 minutillos y continuamos.

85. Elige 5 problemas al azar, del 1 al 84. Deriva la solución obtenida y comprueba que

XB

Apuntes

Genius Integración

Algunos comentarios :

Y

Supongo que ya te has dado cuenta que la expresión dx, dt, etc, que ponemos en el

integrando, nos indica cual es la variable de integración que hemos de considerar, las demás letras las consideraremos como constantes.

Y

Procura MEMORIZAR las tablas de DERIVADAS e INTEGRALES, y no olvides que

INTEGRAR es el proceso contario a DERIVAR. Prosigamos ...

Otras técnicas de INTEGRACIÓN.

No siempre la primitiva de una función la podemos obtener de una forma tan rápida como hasta ahora, la mayoría de las veces deberemos recurrir a otras técnicas que me voy a ocupar de presentarte ahora.

TÉCNICA DE INTEGRACIÓN POR PARTES Fórmula de aplicación:

Comentario: Para resolver una integral por este método de integración:

1. Separa el integrando en "dos partes" 2. A una de ellas le llamas 'u'

A la que lleve 'dx' le llamas 'dv' 3. Hallas "du" derivando "u"

Hallas "v" integrando "dv" (sin la constante de integración)

4. Aplicas la fórmula de integración por PARTES

5. Cuando tengas , la resuelves ( Por el momento siempre será

INMEDIATA )

XB

Apuntes

Genius Integración

Recuerda :

"pensar" se aprende. Ejemplo:

=

Solución : x ex _{dx = x}

_A

_ex _{- e}x _{+ C}

Otro ejemplo:

Solución : x ln x dx =

û

Observa que la elección de las "PARTES" hay que hacerla con cuidado para de no te

resulte más complicada que la integral que tenías.

¡ Venga ! ¡A ver que tal te defiendes tú solo !

86.

m

x ex dx =

87.

m

x ln x dx =

XB

Apuntes

Genius Integración

89.

m

x3 _{ln x dx =}

[ Hazla “de cabeza”, sin escribir qué es u y qué dv. Opera mentalmente ]

90.

91.

m

x e-x _{dx =}

92.

m

x e2x _{dx =}

93.

94.

m

x sen x dx =

[ Hazla 'de cabeza'. Sin escribir qué es 'u' y 'dv', y operando mentalmente siempre ]

95.

m

x sen 2x dx =

96.

m

2x sen 3x dx =

97.

m

x 2x _{dx =}

98.

m

x 3x _{dx [ resolver como la 94 ] =}

99.

100.

m

arc tg 2x dx =

101.

m

arc sen x dx =

102.

m

arc sen (2x) dx =

XB

Apuntes

Genius Integración

m

x2

A

ex _{dx = = x}2

A

ex _-

m

_{2x e}x _{dx =[de nuevo Por Partes]}

(Copiamos ”x2

_A

_ex” _{del resultado anterior)}

= x2 _ex _-

(

_{2x e}x _-

m

_2ex _dx

)

_{= x}2

_A

_ex _{- 2x e}x _{+ 2}

m

_ex _{dx = x}2

_A

_ex _{- 2x e}x _{+ 2e}x _{+ C}

Solución :

m

x2 _ex _{dx = ( x}2 _{- 2x + 2 ) e}x _{+ C}

¡ Bueno !, ¡ Bueno ! tampoco es tan complicado ! A ver como se te da a tí sólo.

NOTA: Todos los resultados hay que simplificarlos al máximo.

103.

m

x2 _ex _{dx =}

104.

m

t2

_A

₂t _{dt =}

105.

m

x2

A

cos x dx =

106.

m

x2

_A

_e-x _{dx =}

[ Ojo con -x ]

107.

m

x2

A

e3x _{dx =}

[ Ojo con 3x ]

108.

m

x2

_A

_ex/2 _{dx =}

[ Ojo con x/2 ]

109.

m

( x2_{+ x + 1 )}

_A

_ex _{dx =}

110.

m

x3

A

ex _{dx =}

[ Pues sí, tres veces por partes ]

XB

Apuntes

Genius Integración

Es muy frecuente utilizar esta técnica de integración para integrar productos de funciones ]

Resolver las integrales siguientes, procurando distinguir entre INMEDIATAS,

SEMI-MEDIATAS y POR PARTES.

112.

m

x4

_A

_{ln x dx =}

113.

m

( sen ax + cos bx ) dx =

a,b

_…

0

114.

[ Un tanto complicada de ver ]

115. .

Y, por ahora, una parada. Tan sólo ordenar un poco las ideas sobre integración que hemos ido acumulando :

Y

Si F(x) es una función primitiva de la función f(x) => F'(x) = f(x)

Y

Notamos F(x) =

m

f(x) dx

Y

dx, dt, dp, ... se emplea para indicar la variable de integración.

Y

Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante ( Teorema Fundamental

del Cálculo Integral )

Y

Conocemos tres técnicas para obtener la primitiva de una función:

O

INMEDIATAS

_Y

Según tabla

OO

SEMI.MEDIATAS

_Y

Las que hemos de ajustar y preparar

OOO

POR PARTES

m

u dv = u

_A

v -

m

v du

XB

Apuntes

Genius Integración

¡Ah! La regla nmemotécnica de la fórmula de integración por partes

mmmm

u dv = u

_AAAA

v -

mmmm

v du

Un día vi, una vaca que salía vestida de uniforme (¡Jaja!).

FINAL DE LA UNIDAD ( Opcional. Para adquirir nivel y agilidad, mental, ¡ Claro !.)

O

O

O

O

EXPRESIÓN DE UNA SUMA DE CUADRADOS:

Veamos cómo podemos expresar como una SUMA de cuadrados, un polinomio de segundo

grado de la forma : x2 _{+ bx + c ó c + bx + x}2 _{cuando éste no tiene raíces reales.}

Y

x2 _{+ bx + c = (x}2 _{+ bx ) + c = .}

Como en el desarrollo anterior, procura no memorizar el resultado, sino comprender la lógica del proceso y, al final, efectuar todos los ajustes mentalmente.

Veamos unos ejemplos :

XB

Apuntes

Genius Integración

podemos proponer la igualdad x2 _{+ bx + c = ( x -}

_"

₎2 ₊

_$

2 _{, a continuación desarrollar la expresión de}

la derecha y mediante igualación de coeficientes, hallar

"

y

$

.

Ejemplo:

x2 _{+ 4x + 6 = (x -}

_"

₎2 ₊

_$

2

x2 _{+ 4x + 6 = x - 2}

_"

_{x +}

_"

2 ₊

_$

2

1 = 1, 4 = -2

"

, 6 =

"

2 ₊

_$

2_{. Resolviendo este sencillo sistema, tenemos:}

"

= -2, ß =

Por tanto: x2 _{+ 4x + 6 = (x + 2)}2 _{+ ( )}2

Personalmente, prefiero el ajuste intuitivo de cuadrados, no obstante la mayoría de mis alumnos me sugieren éste.

Para los algebraicos,

"

es la parte real de la raíz compleja del polinomio y

$

su parte

imaginaria.

Vamos cogiendo técnica, eh?

Expresar ( cuando sea posible, ¡ Cuidado !) como SUMA de CUADRADOS:

116. 2 + 2x + x2 ₌

117. 6 + 4x + x2 ₌

118. 2 + x + x2 ₌

119. x2 _{+ x + 5 =}

120. x2 _{+ 4x + 5=}

XB

Apuntes

Genius Integración

122. x2 _{+ 3/2x + 3=}

Como aplicación, resolver :

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

XB

Apuntes

Genius Integración

O

EXPRESIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS :

Veamos como podemos expresar como una diferencia de cuadrados, un polinomio de segundo grado de la forma :

-x2 _{+ bx + c ó c + bx - x}2_{, cuyo discriminante sea POSITIVO.}

Recordemos que: ( a - b ) 2 _{= a}2 _{- 2ab + b}2 _{= ( a - b )}2

Y

c + bx - x2 _{= c - (x}2 _{- bx ) = .}

Procura no memorizar el resultado, sino comprender la lógica del proceso, buscando el ajuste con el cuadrado de una SUMA / DIFERENCIA.

Veamos unos ejemplos :

Hemos sacado factor común 4 para conseguir que el coeficiente de x2 _{sea -1}

NOTA : Esta técnica NO es válida si el discriminante del POLINOMIO de 2º grado es

NEGATIVO

Problemas : Expresar como diferencia de cuadrados :

132. 4x - x2 ₌

133. 6x - x2 ₌

XB

Apuntes

Genius Integración

135. 5x - x2 ₌

136. 5x - 3x2 ₌

137. 2 - x - x2 ₌

138. 1 - x - x2 ₌

139. 2 - 3x - 2x2 ₌

Como aplicación, resolver :

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

XB

Apuntes