Teorema de las fuerzas vivas: “El trabajo de una fuerza que actúa sobre un

1º BACHILLERATO FyQ. TEMA 6. TRABAJO Y ENERGÍA

PRODUCTO ESCALAR DE 2 VECTORES:

Dados dos vectores a=a_x, a_y, a_z y b=bx, by, bz , se define el producto escalar de estos

dos vectores como un escalar dado por la expresión:

(1) Definición algebraica: a ·b=∣a∣·∣b∣cos , siendo α el ángulo formado por los dos vectores.

(2) Definición analítica: a ·_{b=ax· bxay· byaz· bz}

Ejemplo: dados los vectores a=3,2y_{b=1,2 , determina su producto escalar y el ángulo formado}

por los dos vectores.

Para resolver este problema, combinamos las expresiones (1) y (2):



a ·b=∣a∣·∣b∣cos → cos= a ·b ∣a∣·∣b∣ =

3·12·2





TRABAJO CON UNA FUERZA CONSTANTE.

Supongamos una fuerza _F _{que actúa sobre un cuerpo que se desplaza }_{r (vector}

desplazamiento). Se define el trabajo de dicha fuerza para este desplazamiento como:

W



a



b

= 

F ·





r

=∣

F

∣

·

∣

r

∣

·

cos



Si el desplazamiento (a→b) ocurre sobre el eje x: WFab=∣F∣·∣x∣·cos

Si el desplazamiento (a→b) ocurre sobre el eje y: WFab=∣F∣·∣y∣·cos

Estudiemos los distintos casos que pueden presentarse en función del valor del ángulo α:

a) _{F e} __{r son paralelos y tienen la misma dirección y sentido} En este caso, α=0º

W_Fab=∣F∣·∣r∣·cos0=∣F∣·∣r∣=F ·e0

Observamos que WFab0 . En este caso podemos concluir que la fuerza contribuye al desplazamiento del cuerpo.

b) _{F e} __{r son paralelos y tienen la misma dirección y sentidos contrarios}

(Es el caso de la fuerza del rozamiento)

En este caso, α=180º

W_Fab=∣F∣·∣r∣·cos180=−∣F∣·∣r∣=−F ·e0

Observamos que W_Fab0 . En este caso podemos concluir que la fuerza se opone al desplazamiento del cuerpo.



F

 r

∣r∣=espacio

∣r∣=espacio

 r



c) _{F e} __{r son perpendiculares.}

(Es el caso de la fuerza de la fuerza centrípeta, de la fuerza peso...)

En este caso, α≠90º

W_Fab=∣F∣·∣r∣·cos90=0

Observamos que WFab=0 . En este caso podemos

concluir que la fuerza no contribuye en ninguna medida al desplazamiento del cuerpo.

d) _{F e} __{r forman un ángulo comprendidoentre0º y90º.}

En este caso, α≠90º

W_Fab=∣F∣·∣r∣·cos

W_Fab=∣F∣·∣r∣·cos90=F_x·r

A la componente Fx de la fuerza se le denomina componente útil de la fuerza, ya que WFx>0, mientras

que WFy=0, al ser esta fuerza perpendicular al vector desplazamiento.

INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL TRABAJO.

Sea una fuerza de valor constante Fap, aplicada sobre un cuerpo

que se traslada desde el punto xA al xB sobre el eje x.

Por otra parte, calculemos el área del rectángulo señalado en la figura:

Como podemos ver,

UNIDADES DE TRABAJO.

En el Sistema Internacional de unidades es el julio (j). 1 j = 1N·1m Algunas veces se puede utilizar el kilográmetro kgm. 1Kgm = 1kg·1m

∣r∣=espacio



P

∣r∣=espacio



F



F_x



F_y

 r

 r

∣

_∣

∣

∣

∣

_∣

∣

∣

x_A x_B

F_ap

Δr Posición (m)

W_Fap=F_ap·x

Área del rectángulo=Fap·r

TRABAJO DE UN CONJUNTO DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE EL MISMO CUERPO.

Este cálculo podemos acometerlo de dos formas distintas:

a) Calculando la sumatoria de fuerzas sobre el sistema (Fuerza neta) y posteriormente, hallando el WFneta.

b) Calculando el W de cada fuerza y sumándolos posteriormente.

Problema 1: Un cuerpo de masa 10 kg se desplaza a velocidad constante entre distintas posiciones a → b → c → d. sabiendo que la distancia da-b=5m y que la

distancia db-c=10m, calcula:

a) El trabajo que realiza la fuerza peso (Wpeso) en cada

tramo. Interpreta el resultado.

b) El trabajo que realiza la fuerza aplicada (WFapl) en

cada tramo. Interpreta el resultado.

POTENCIA.

Concepto: Trabajo (que es capaz de realizar un sistema) por unidad de tiempo.

Además del watio, suele utilizarse para máquinas la unidad caballo de vapor (C.V. - H.P.). 1 C.V.=735 w.

Relación entre Potencia y velocidad:

Problema 2.- Una grúa sube un contenedor de 2 800 kg a 15 m de altura en 20 s. Calcula la potencia de la grúa en este trabajo. Sol: 20,6 kW

Problema 3.- Por una cascada de 60 m de altura caen 50 m3 _{de agua por segundo.}

¿Cuántas bombillas de 100 W se podrían encender si se pudiese aprovechar el 75% de la energía producida por la caída del agua? Sol: 221 000 bombillas

Problema 4.- a) Calcula la potencia de un motor que eleva 100 000 L de agua por hora, de un pozo de 80 m de profundidad. b) Considerando que el rendimiento del motor es η = 45 %, ¿qué cantidad de energía hay que suministrarle para que realice este trabajo? Sol: 21 800 W; 174 400 000 J

ENERGÍA CINÉTICA.

Es la energía que posee un cuerpo debido a su estado de movimiento.

Ec

=

1

2

m· v

2

Teorema de las fuerzas vivas:“El trabajo de una fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la variación de energía cinética que experimenta”.

Si sobre un cuerpo actuara más de una fuerza, la ΔEc sería la suma del trabajo de las distintas fuerzas que actúan sobre el o, lo que es lo mismo, el trabajo de la fuerza neta que actúa sobre él.

μ = 0,2

Δr

Δr

Δr

Δr

P

=

W

t

U_W Ut

= julio

segundo=Vatiow

P

=

W

t

=



F ·





r



t

= 

F ·



v

Este teorema es válido para cualquier tipo de fuerzas.

Si la fuerza y desplazamiento son paralelos y tienen la misma dirección y sentido, la fuerza contribuye al desplazamiento, produciendo su trabajo un aumento en la energía cinética del cuerpo.

Si la fuerza y desplazamiento son paralelos y tienen la misma dirección y sentidos contrarios, la fuerza se opone al desplazamiento, produciendo su trabajo una disminución en la energía cinética del cuerpo.

Si la fuerza y desplazamiento son perpendiculares, la fuerza no contribuye a producir ninguna variación en la energía cinética del cuerpo, es el caso de la fuerza centrípeta: sabemos que ésta produce sólo una variación en la dirección del vector velocidad v , no en el módulo.

W

=

Ec

=

0



Ec

=

cte



v

=

cte

Problema 5.- El cuerpo del dibujo parte del reposo. Calcula su velocidad cuando haya recorrido 80 m.

Problema 6.- Aplicando el Teorema de las fuerzas vivas, determina la velocidad con la que llega el cuerpo de la figura al final del plano inclinado por el que se desliza.

ENERGÍA POTENCIAL.

La energía potencial es la energía que posee un cuerpo o sistema debido a su posición. Podemos hablar de diversos tipos de energía potencial:

– Energía potencial gravitatoria: Es la debida a la posición dentro de un campo gravitatorio.

– Energía potencial eléctrica: Es la debida a la posición dentro de un campo eléctrico.

– Energía potencial elástica: Si el cuerpo está unido a un resorte elástico, su energía potencial elástica se debe a la posición del cuerpo respecto de la posición de equilibrio del resorte.

1. Energía potencial gravitatoria en las cercanías de la superficie del planeta.

¿De dónde procede la energía potencial gravitatoria de un sistema? Del trabajo que hemos de realizar para llevar al sistema hasta la posición en la que se encuentra.

Ejemplo: Calculemos el trabajo necesario para llevar un cuerpo desde el suelo hasta una altura h a velocidad constante.

WFa = Fa · Δr · cos 0 = mgh

F_a=100 N

μ = 0,1 m=20 kg

L=10 m m=2 kg μ=0,1

α=30º

h

Fa

P

Δr

Fa = P = mg Δr = h cos 0 = 1

• Para calcular esta Energía potencial, hemos de establecer previamente un origen de Ep. Este origen es arbitrario y se suele tomar aquel origen que nos simplifique el problema al que nos enfrentamos. Así pues, el valor de la energía potencial de un cuerpo depende de este origen, pero no su variación, que sólo dependerá de los puntos inicial y final.

2. Energía potencial elástica.

¿De dónde procede la energía potencial elástica de un sistema? Del trabajo que hemos de realizar para comprimir o estirar un muelle y llevar al sistema hasta la posición en la que se encuentra.

FUERZAS CONSERVATIVAS.

Definición 1.- Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza esta fuerza al desplazarse el objeto del punto (1) al (2), se puede expresar como la diferencia de energía potencial de ambos puntos.

Definición 2.- Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza esta fuerza al desplazarse el objeto en una trayectoria cerrada es nulo.

Problema 7.- Demuestra que las definiciones 1 y 2 son equivalentes.

Problema 8.- Demuestra que la fuerza peso es conservativa.

Son fuerzas conservativas: La fuerzas gravitatorias, las fuerzas eléctricas y las fuerza elásticas. Por ello, podemos hablar de la existencia de una energía potencial asociada a ellas: Energía potencial gravitatoria, Energía potencial eléctrica y Energía potencial elástica.

FUERZAS DISIPATIVAS O FUERZAS NO CONSERVATIVAS.

Una fuerza es disipativa si el trabajo que realiza esta fuerza al desplazarse el objeto en una trayectoria cerrada NO es nulo

Son fuerzas disipativas: La fuerzas de rozamiento.

Problema 9.- Demuestra que la fuerza de rozamiento es disipativa.

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA. Energía mecánica: Suma de las energías potencial y gravitatoria.

“Si sobre un cuerpo actúan sólo fuerzas conservativas, su energía mecánica permanece

constante”.

Ep = ½ K Δx

posición de equilibrio.

W

= Ep

– Ep

= -ΔEp

W

= 0

Demostración:

Teorema de las fuerzas vivas: W=ΔE

. Si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas

conservativas:

WFconservativas=

ΔE

Acabamos de ver que:

WFconservativas= -ΔEp

Este fórmula sólo se puede utilizar si todas las fuerzas que intervienen son conservativas. Si sobre el sistema actuaran fuerzas conservativas y disipativas, NO se puede aplicar, debiendo aplicarse otra fórmula:

W_TOTAL= W_{Fconservativas}+ W_{Fdisipativas = ΔEC}

W_TOTAL= W_{Fconservativas}+ W_Fdisipativas = -ΔE_{P + Wfdisipativas}

“Cuando sobre un cuerpo actúen fuerzas no conservativas, en este se producirá una

disminución de la energía mecánica igual al trabajo de dichas fuerzas”.

Problema 10.- Calcula la distancia que recorrerán los cuerpos de las figuras A y B antes de pararse:

Problema 11.- a) Calcula la velocidad con la que llega el objeto a la base del plano inclinado. b) Calcula la altura máxima alcanzada.

Δ Em = 0

W_TOTAL= ΔE_C

WFconservativas= -ΔEP

ΔEC = -ΔEP + WFdisip

WFdisip= ΔEC + ΔEP

WFdisip= ΔE

FUERZAS NO CONSERVATIVAS

v =25 m/s

μ = 0,1

h=25 m μ=0,1

α=60º A

B

μ=0,1

α=60º K=500 N/m

Resorte comprimido 50 cm

m=200g

CHOQUES O COLISIONES.

En los choques no interviene ningún tipo de fuerza externa. Por tanto, en un choque siempre puede aplicarse el principio de conservación del momento lineal (o cantidad de movimiento):

“Si sobre un sistema no actúa ninguna fuerza externa, el momento lineal del mismo permanece constante.”

Hay dos tipos de de choques o colisiones: los choques elásticos y los choques inelásticos.

Choques elásticos: Un choque elástico es una colisión entre dos o más cuerpos en la que éstos no sufren deformaciones permanentes durante el impacto.

En una colisión elástica se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética del sistema, y no hay intercambio de masa entre los cuerpos, que se separan después del choque.

Ejemplo: Choque entre bolas de billar.

Los problemas de choques elásticos más simples, como el plantado en la figura, se resuelven fácilmente planteando un sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas

m₁· v₀₁+m₂· v₀₂=m₁· v_F1+m₂· v_F2

Si dividimos la ecuación de abajo entre la de arriba:

Como (a2−b2)=(a+b)·(a−b) podremos escribir

Quedando este sencillo sistema de ecuaciones para resolver este tipo de problemas:

PANTES = PDESPUÉS EC-ANTES=EC-DESPUÉS

m₁(v₀₁−v_F1)=m₂(v_F2−v₀₂)

1

2m1· v01 2

+1

2m2· v02 2

=1

2m1· vF1

2

+1

2m2· vF2

2

m1·(v01 2

−vF1

2

)=m2(vF2

2

−v02 2

)

m1·(v012 −v2F1)

m₁(v₀₁−v_F1) =

m2(v2F2−v022 )

m₂(v_F2−v₀₂)

(v₀₁−v_F1)·(v₀₁+v_F1) (v01−vF1)

= (v02−vF2)·(v02+vF2) (v02−vF2)

m₁· v₀₁+m₂· v₀₂=m₁· v_F1+m₂· v_F2

Choques no elásticos: Un choque no elástico es un tipo de choque en el que la energía cinética no se conserva. Como

consecuencia, los cuerpos que colisionan pueden sufrir deformaciones y aumento de su temperatura.

Un caso particular de estos choques es el choque inelástico en el que los objetos que colisionan permanecen unidos entre sí tras la colisión.

La principal característica de este tipo de choque es que

existe una disipación de energía, ya que tanto el trabajo realizado durante la deformación de los cuerpos como el aumento de su energía interna se obtiene a costa de la energía cinética de los mismos antes del choque. En cualquier caso, aunque no se conserve la energía cinética, sí se conserva el momento lineal total del sistema.

Problema 12.- Dos cuerpos de 5 y 8 Kg experimentan un choque central elástico. El primer cuerpo se mueve hacia la derecha con una velocidad de 6 m/s, mientras que el 2º objeto se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 10 m/s. Calcula sus velocidades tras el choque.

Problema 13.- Dos cuerpos de 5 y 8 Kg experimentan un choque perfectamente inelástico. El primer cuerpo se mueve hacia la derecha con una velocidad de 6 m/s, mientras que el 2º objeto se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 10 m/s. Calcula sus velocidades tras el choque.

PROBLEMAS.

1.- ¿Desde qué altura mínima, comparada con el radio R,

debemos dejar resbalar un cuerpo en la pista de la figura para que complete el rizo, suponiendo que no hay rozamiento?

2.- Demuestra que si un skater logra pasar por el punto más alto de un rizo de radio R con la mínima velocidad para no desplomarse, entonces su velocidad en el punto más bajo es v=



3.- El sistema de la figura es liberado desde el reposo. Halla una expresión para la velocidad de A y B cuando B haya descendido una altura h.

Resuelve el problema por:

a) Procedimientos energéticos. b) Procedimientos dinámicos.

4.- Sea un péndulo de longitud 70 cm y cuya lenteja tiene una masa de 200g. Si separamos la lenteja de la vertical, de manera que el hilo quede totalmente horizontal y estirado, calcula la velocidad de la lenteja:

a) Cuando el hilo se encuentre sobre la vertical.

b) Cuando el hilo esté formando un ángulo de 60º con la vertical. h

R

m₁

m₂

PROBLEMAS DE CHOQUES.

5.- Dos cuerpos de 0,2 kg y 0,3 kg se mueven con velocidades opuestas de valor v, experimentando un choque elástico central. Calcula las velocidades de ambos cuerpos después del choque. (Utiliza v como un dato conocido y da los valores de v'1 y v'2 en función el mismo)

6.- Una bala de 15 g incide sobre un taco de madera de 800 g, quedando empotrada en el mismo. Si, como consecuencia del choque, el taco adquiere una velocidad de 6 m/s, calcula: a) La velocidad inicial de la bala.

b) La energía cinética perdida en el sistema.

7.- Disparamos una bala de masa 5 g contra un péndulo balístico de M=5 Kg, alcanzando el sistema una altura de 10 mm. Calcula la velocidad de salida de la bala.

CUESTIONES Y PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD.

C1.- Conteste razonadamente a las siguientes preguntas:

a) ¿Puede asociarse una energía potencial a una fuerza de rozamiento?

b) ¿Qué tiene más sentido físico, la energía potencial en un punto o la variación de energía potencial entre dos puntos?

C2.- Un trineo de 100 kg parte del reposo y desliza hacia abajo por una ladera de 30 º de inclinación respecto a la horizontal.

a) Explique las transformaciones energéticas durante el desplazamiento del trineo, suponiendo que no existe rozamiento y determine, para un desplazamiento de 20 m, la variación de sus energías cinética y potencial.

b) Explique, sin necesidad de cálculos, cuáles de los resultados del apartado a) se modificarían y cuáles no, si existiera rozamiento.

C3.- Un cuerpo de 0,5 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado 30º con la horizontal, con una velocidad inicial de 5 m·s-1_{. El coeficiente de rozamiento es 0,2.}

a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo cuando sube y cuando baja por el plano y calcule la altura máxima alcanzada por el cuerpo.

b) Determine la velocidad con la que el cuerpo vuelve al punto de partida.

C4.- a) ¿Puede ser negativa la energía cinética de una partícula? ¿Y la energía potencial? En caso afirmativo, explique el significado físico del signo.

b) ¿Se cumple siempre que el aumento de energía cinética es igual a la disminución de energía potencial? Justifique la respuesta.

C5.- Un bloque de 2 kg se encuentra sobre un plano horizontal, sujeto el extremo de un resorte de constante elástica K = 150 N/m, comprimido 20 cm. Se libera el resorte de forma que el cuerpo desliza por el plano, adosado al extremo del resorte hasta que éste alcanza la longitud de equilibrio y luego continúa moviéndose por el plano. El coeficiente de rozamiento es 0,2

a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar a lo largo del movimiento del bloque y calcule su velocidad cuando pasa por la posición de equilibrio del resorte.

C6.- a) Explique qué son fuerzas conservativas. Ponga un ejemplo de una fuerza conservativa y otro que una fuerza que no lo sea. b) ¿Se puede afirmar que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es siempre igual al la variación de su energía cinética? Razone la respuesta y apóyese con algún ejemplo.

C7.- Un bloque de 3 kg se encuentra sobre un plano horizontal, sujeto el extremo de un resorte de constante elástica K = 1000 N/m, comprimido 30 cm. Al liberar el resorte, el bloque sale disparado y, tras recorrer cierta distancia sobre el plano horizontal, asciende por un plano inclinado 30º. Suponiendo despreciable el rozamiento:

a) Determine la altura a la que llegará el cuerpo.

b) Razone cuando será máxima la Energía cinética y calcule su valor.

C8.- Un bloque de 2 kg se encuentra sobre un plano horizontal, sujeto el extremo de un resorte de constante elástica K = 500 N/m, comprimido 20 cm. Al liberar el resorte, el bloque sale disparado y, tras recorrer 1m, asciende por un plano inclinado 30º. Calcule la distancia recorrida por el bloque en el plano inclinado:

a) Supuesto nulo el rozamiento.

b) Con un coeficiente de rozamiento de 0,1.

PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN.

PROBLEMAS DE TRABAJO

1.- Un satélite de comunicaciones gira con velocidad constante atraído por la fuerza gravitatoria. Explica cómo hallarías el trabajo realizado por esta fuerza. Sol: 0 J.

2.- Calcula el trabajo realizado en los siguientes casos:

a) La fuerza necesaria para sostener un saco de yeso de 50 kg en reposo. b) La fuerza gravitatoria que ejerce el Sol sobre la Tierra.

c) La fuerza total sobre un patinador que, sosteniendo a su pareja de 60 kg, se desliza 2 m a velocidad constante. Sol: 0J, 0J; 0J.

3.- Una caja se desplaza según una trayectoria descrita por los siguientes puntos: A) Origen; B) 5 m por encima de A; C) 2 m a la derecha de B; D) 5 m por debajo de C.

a) Calcula el trabajo que hace la fuerza peso en cada uno de los tramos de esta trayectoria. b) Calcula el trabajo que hace la fuerza aplicada en cada uno de los tramos de esta trayectoria.

Sol: -490 J; 0; 490; 0 490; 0; -490;0

4.- Calcula el trabajo que hemos de hacer para trasladar una caja de masa m desde los puntos A y B hasta el punto C situado a una altura h del suelo, siguiendo el cuerpo un movimiento rectilíneo y

uniforme. Suponga el sistema sin rozamiento.

PROBLEMAS DE ENERGÍA MECÁNICA

5.- Sobre un lago helado se lanza un trozo de hielo de 500 g a una velocidad de 10 m/s. Si el coeficiente de rozamiento es 0,08, calcula: a) La variación de energía cinética hasta que se detiene.

b) El trabajo de rozamiento. Sol: -25 J; -25 J

6.- Un cuerpo que se desliza por una superficie horizontal tiene en un momento dado una velocidad de 10 m/s. Si la masa del cuerpo es de 2 kg y el coeficiente de rozamiento es μ = 0,2, calcula:

a) La fuerza de rozamiento. b) El trabajo que realiza esa fuerza hasta que el cuerpo se detiene.

c) El espacio recorrido por el cuerpo hasta detenerse. Sol: 3,9 N; –100 J; 25,6 m

8.- Se lanza verticalmente hacia arriba un objeto de 0,5 kg con una energía cinética de 25 J. Calcula: a) La altura alcanzada si no hay rozamiento del aire. b) La energía potencial máxima. c) La energía potencial cuando la velocidad es 1/5 de la velocidad inicial. Sol: 5,1 m; 25 J; 24 J.

9.- El mecanismo de lanzamiento de una lanzadera espacial de juguete consta de un resorte de constante

k = 80 N/m. Su longitud se reduce en 10 cm al montarla para el lanzamiento. ¿Qué energía potencial tiene el resorte en esa situación? Si toda la energía potencial elástica se transforma en cinética, ¿con qué velocidad saldrá el cohete, cuya masa es de 5 g? Sol: 0,4J; 12,7 m/s.

10.- Utilizamos la lanzadera del ejercicio anterior para lanzar verticalmente una bola de acero que tiene una masa de 20 g. Si, al alcanzar la altura máxima, toda la energía potencial elástica se trasforma en potencial gravitatoria, ¿qué altura alcanzará la bola al lanzarla?

Sol: 2 m

11- Un péndulo de l = 1,6 m se deja oscilar desde la posición (1). Considerando que no hay rozamiento, calcula la velocidad del péndulo en las posiciones (2), (3) y (4). ¿Cuál es la energía cinética y cuál la energía potencial en (2) y (3) si la masa es 100 g? Sol: 4 m/s; 5,2 m/s; 5,6 m/s; 0,8 J; 1,35 J

12.- Se deja caer un cuerpo desde una rampa para que, haga un rizo de radio R. Desde que altura mínima, comparada con el radio R, debemos dejar caer dicho cuerpo para que se complete el rizo, suponiendo que no haya fricción?

13.- El tren de una montaña rusa, de 10 t, hace un rizo cuyo radio mide 3 m. Calcula, considerando los rozamientos nulos: a) La mínima energía cinética que debe tener el tren

en el punto más alto del trayecto circular del rizo. b) La altura mínima, referida a la base del rizo, desde la que al dejar caer el tren se describa el rizo. Sol: 147 000 J; 7,5 m

14.- El sistema de la figura es liberado desde el reposo. Halla una expresión para la velocidad de A y B cuando B haya descendido una altura h. Resuelve el problema por:

A) Procedimientos energéticos. B) Procedimientos dinámicos.

15.- Se lanza un bloque de 1 kg de hielo a la velocidad de 10

m/s por una rampa helada, hacia arriba. Si la pendiente de la rampa es de 30º y el rozamiento se supone nulo, determina:

a) La energía mecánica en las partes más alta y más baja de la rampa. b) El espacio recorrido por el bloque antes de detenerse.

c)Las energías potencial y cinética cuando ha recorrido 8 m. Sol: 50 J; 50 J; 10,2 m; 39,2 J; 10,8 J

16.- Una caja de 5 kg se deja en un plano de 60º. Determina el trabajo de las distintas fuerzas y la energía cinética a los 2 m de recorrido, si el coeficiente de rozamiento es 0,35. Sol: 85 J; –8,75 N; 67,6 J

18.- Un camión de 3000 kg arranca en una carretera horizontal y en 10 s alcanza la velocidad de 20 m/s. Si el coeficiente de rozamiento es 0,2 calcula:

a) El trabajo de la fuerza de rozamiento.

b) El trabajo realizado por el motor del camión. Sol: -588000 J; 1188000 J.

19.- En una montaña rusa, la altura de uno de los picos es hA= 15 m y la del siguiente es de hB = 10

m. Cuando un vagón pasa por el primero, la velocidad que lleva es vA = 5 m/s. Si la masa del vagón

más la de los pasajeros es de 500 kg, calcula: a) La velocidad del vagón al pasar por el segundo pico en el caso de que no haya rozamientos. b) Si la velocidad real con la que pasa por el segundo pico es vB = 8 m/s, ¿cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento?Sol: 11,1 m/s; –14 775 J

20.- Situado sobre una mesa se encuentra un objeto de 2,5 kg sujeto a un muelle de constante k = 300 N/m. El muelle se estira 15 cm y se suelta. Si entre el objeto y la mesa existe un rozamiento de coeficiente μ = 0,35, ¿qué velocidad lleva el cuerpo cuando pasa por la posición x = 0 cm? Sol: 1,94 m/s

PROBLEMAS DE POTENCIA.

21.- Una grúa sube un contenedor de 2 800 kg a 15 m de altura en 20 s. Calcula la potencia de la grúa en este trabajo. Sol: 20,6 kW

22.- Por una cascada de 60 m de altura caen 50 m3 _{de agua por segundo.}

¿Cuántas bombillas de 100 W se podrían encender si se pudiese aprovechar el 75% de la energía producida por la caída del agua? Sol: 221 000 bombillas

23.- a) Calcula la potencia de un motor que eleva 100 000 L de agua por hora, de un pozo de 80 m de profundidad. b) Considerando que el rendimiento del motor es η = 45 %, ¿qué cantidad de energía hay que suministrarle para que realice este trabajo? Sol: 21 800 W; 174 400 000 J

24.- Una moto de 200 kg arranca y en 10 s alcanza una velocidad de 120 km/h. Calcula, en julios, el aumento de energía cinética. Si, debido al rozamiento, se ha perdido el equivalente al 25% de la Ec, calcula la potencia media del vehículo. Sol: 13,9 kW

EJERCICIOS DE CHOQUES.

32.- Un camión de 10 t avanza a una velocidad de 70 km/h y choca contra un coche de 1,8 t que está en reposo. Después del choque, el camión arrastra al coche en la misma dirección de su movimiento. ¿Con qué velocidad se mueven los dos vehículos tras el choque? Sol: 16,4 m/s

33.- Dos coches de 0,7 t y 0,850 t circulan por calles perpendiculares a 50 km/h y 80 km/h, respectivamente. En el cruce chocan y se quedan empotrados. ¿Cuál será la velocidad de los vehículos juntos después del choque? ¿En qué dirección se moverán tras el choque? Sol: v = 49,4 km/h; = 62,7º

34.- Cuando una bola de 150 g de masa choca contra un péndulo balístico de 10 kg de masa, se observa que el centro de gravedad del péndulo se eleva una altura de 15 cm y la bola queda incrustada en el péndulo. Calcula la velocidad de la bola. Sol: 116 m/s

35.- Dos cuerpos de 5 y 8 Kg respectivamenete experimentan un choque central elástico. Si el primer cuerpo se mueve hacia la derecha con una velocidad de 6 m/s y el segundo cuerpo hacia la izquierda con una velocidad e 10 m/s, calcula sus velocidades depués del choque. Sol: V1=-13,7 m/s; V2=2,3

m/s.