Regresión no lineal, un enfoque práctico

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

Y ELECTRICA

REGRESION NO-LINEAL

UN ENFOQUE PRACTICO

T

E

S I s

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE

MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA ADMINISTRACION

ESPECIALIDAD: SISTEMAS

P R E S E N T A :

JUAN MOISES ARIAS NIEVES

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F X ^ ^

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO IEON

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

Y ELECTRICA

E s c u e l a d e G r a d u a d o «

QUE FARA OBTENER EL TTTULÖ DE

"?

^ESTRIA EN CIENCIAS TIF LA ADMimSTRAÍSCáT

ESPECIAÍEjtAI/: SISTEMA?

Í R E S E N T A t

JUAN MOISES ARIAS NIEVES

REGRESION NO-IJNEAL

UN ESTOQUE FfUCTCO

T E S I S

PROLOGO.

Una idea motivante que influye en la intención de elaborar la presente

tesis surge de la importancia que tentó teórica como prácticamente tienen

los métodos de la regresión no lineal en una amplia diversidad de campos

de estudio y de investigación, que tan solo por mencionar algunos, señala_

mos a la Teoría del Crecimiento y al Análisis de l&s Series de Tiempo.

Aunque no es nuestro objetivo, el de exponer aplicación particular de la

regresión no lineal, se quiere, no dejar de señalar tal importancia.

Por otro lado, hacemos saber que se ha desarrollado el presente trabajo

teniendo en mente el siguiente doble propósito: Primeramente, se persigue

el objetivo de exponer conceptualmente tres métodos comúnmente utilizados

en la regresión no lineal o también llamada minimización de una función

objetivo suma de cuadrados, seguidamente se tiene el propósito de presen

m é t o d o s p r e s e n t a d o s ; son e s t o s los o b j e t i v o s que se han p r e ten

d i d o a l c a n z a r una v e z que se d e c i d e dar i n i c i o a la e l a b o r a c i ó n

de las p r e s e n t e s n o t a s .

La i n t e n c i ó n de p r e s e n t a r c o n j u n t a m e n t e los m é t o d o s de r e g r e

s ion con su r e s p e c t i v a r u t i n a c o m p u t a c i o n a l o b e d e c e p r i n c i p a l m e n

•te al h e c h o de q u e t a l e s m é t o d o s son i t e r a t i v o s y c o n s e c u e n t e

m e n t e la s o l u c i ó n de un p r o b l e m a p r á c t i c o r e q u i e r e de r e s o l v e r l o

c o m p u t a c i o n a l m e n t e , de tal m a n e r a que se h a c e n e c e s a r i o h a c e r la

p r e s e n t a c i ó n c o n j u n t a , del m é t o d o con su r u t i n a c o m p u t a c i o n a l que

le c o r r e s p o n d e , p a r a l o g r a r en el p r e s e n t e t r a b a j o t e n e r una ex

p o s i c i ó n c o m p l e t a de los m é t o d o s de la r e g r e s i ó n n o - l i n e a l . El

l a d o d é b i l de la a n t e r i o r i n t e n c i ó n , ID c o n s t i t u y e el h e c h o de

q u e , las r u t i n a s c o m p u t a c i o n a les día a día son m e j o r a d a s , no

o b s t a n t e tal c i r c u s t a n c i a , c o n s i d e r a m o s i n c o m p l e t a , la p r e s e n t a

c i ó n ú n i c a m e n t e d e l mé«todo, t e n i e n d o en c u e n t a el o b j e t i v o p r i n

c i p a l del p r e s e n t e t r a b a j o .

A d i c i o n a l m e n t e s e ñ a l a m o s , que se tomó en c u e n t a el d e s e o de

s a t i s f a c e r el i n t e r é s de a l g ú n l e c t o r que p r e t e n d a p r o f u n d i z a r

o a m p l i a r a l g u n o de los t e m a s que a q u í se a b o r d a n , i n t e n t a m o s

p a r a e l l o , p r o p o r c i o n a r una p e q u e ñ a r e c o p i l a c i ó n b i b l i o g r á f i c a

l l e v a d a a c a b o d u r a n t e la e l a b o r a c i ó n del t r a b a j o que n o s o c u p ó .

F i n a l m e n t e s e ñ a l a m o s que el c o n t e n i d o de n u e s t r o t r a b a j o se

v e r a a l t a m e n t e i n f l u e n c i a d o por la e s c a s a d i s p o n i b i l i d a d de

m a t e r i a l b i b l i o g r á f i c o con que se c o n t ó p a r a su e l a b o r a c i ó n ,

s i t u a c i ó n t o t a l m e n t e a j e n a a n u e s t r o s d e s e o s . D e s p u é s de este

i n t e n t o de p r ó l o g o no r e s t a m á s que a g r a d e c e r a t o d o s los com

p a ñ e r o s m a e s t r o s y a l u m n o s de la E s c u e l a de G r a d u a d o s de la

A u t ó n o m a de N u e v o L e ó n , que con su a y u d a h i c i e r o n p o s i b l e la

a p a r i c i ó n de las a c t u a l e s n o t a s y muy e s p e c i a l m e n t e al I n g .

V i c t o r i a n o A l a t o r r e asesor de la t e s i s , por sus v a l i o s a s r e —

c o m e n d a c i o n e s y su apoyo b i b l i o g r á f i c o , asi m i s m o como al per__

s o n a l del C e n t r o de I n f o r m á t i c a de la F a c u l t a d de C o n t a d u r í a

P ú b l i c a y A d m i n i s t r a c i ó n de la U . A . N . L . por f a c i l i t a r el acce

so al e q u i p o c o m p u t a c ion al, a t o d o s

b

II

db

a g r a d e c i m i e n t o .

J. M o i s é s A r i a s N.

I n d i c e de S e c c i o n e s

S e c c ion P á g i n a

I . - I n t r o d u c c i ó n 1

I I . - M í n i m o s c u a d r a d o s en el c a s o n o - l i n e a l 6

I I I . - M é t o d o de G a u s s - N e u t o n 10

I V . - D e s c r i p c i ó n d e l p r o g r a m a p a r a el

M é t o d o de G a u s s - N e u t o n 20

V. - P r o g r a m a p a r a el M é t o d o de G a u s s - N e u t o n 23

V I . - I n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a d e l

M é t o d o de G a u s s - N e w t o n 3U

V I I . - M é t o d o d e l C o m p r o m i s o de M a r q u a r d t

V I I I . - D e s c r i p c i ó n d e l p r o g r a m a p a r a e l

M é t o d o de M a r q u a r d t 5D

I X . - P r o g r a m a p a r a el M é t o d o de M a r q u a r d t 52

X . - A p e n d i c e A

M é t o d o de P o u e l l 59

X I . - A p e n d i c e B

D e s c r i p c i ó n del p r o g r a m a p a r a el

M é t o d o de P o u e l l 63

X I I . - A p e n d i c e C

P r o g r a m a p a r a el M é t o d o de P o u e l l 65

C o n c l u s i o n e s 79

I.- I N T R O D U C C I O N .

En los c u r s o s e l e m e n t a l e s de E s t a d í s t i c a , los m o d é l o s

de r e g r e s i ó n , m u e s t r a n " l i n e a l i d a d " en los p a r á m e t r o s y

son los m o d e l o s d e l s i g u i e n t e tipo:

P

v = Z í ( X r X 2 , , v + & C D

i = 1

d o n d e Z ^ C X ^ , X2, X^, ... , Xk) r e p r e s e n t a c u a l q u i e r f u n c i ó n

de las v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s b á s i c a s X ^ , X^, X ^ , ... ,X^,

e s t e m o d e l a t a m b i é n es c o n o c i d o c o m o m o d e l o de r e g r e s i ó n 1 i _ _

n e a l m ú l t i p l e .

La e c u a c i ó n ( 1 ) r e p r e s e n t a una a m p l i a v a r i e d a d de r e l a c i o _

n e s , p e r o e x i s t e n s i t u a c i o n e s en las c u a l e s los m o d e l o s de la «

a n t e r i o r f o r m a no son los a p r o p i a d o s p a r a ser u t i l i z a d o s .

En a l g u n o s c a s o s se p u e d e d i s p o n e r de i n f o r m a c i ó n a c e r c a

X2 ' *** '^k ^ v a r^a b^ -e d e p e n d i e n t e Y, que h a c e n

c o n c l u i r la n e c e s i d a d de u t i l i z a r un m o d e l o m a t e m á t i c o d i _

f e r e n t e al p r e s e n t a d o a n t e r i o r m e n t e , en a l g u n o s o t r o s c a s o s

la i n f o r m a c i ó n de que se d i s p o n e p u e d e d e j a r a d i s p o s i c i ó n ,

a l t e r n a t i v a s de v a r i o s m o d e l o s y a u n q u e p u d i e r a r e s u l t a r m á s

c ó m o d o la u t i l i z a c i ó n de un m o d e l o l i n e a l , p u d i e r a ser una

a l t e r n a t i v a m e n o s r e a l i s t a que la o p c i ó n de u t i l i z a r un m o _

d é l o n o - 1 i n e a 1 .

P r i m e r a m e n t e d e f i n i m o s que c u a l q u i e r m o d e l o que no p u e d a

ser r e p r e s e n t a d o bajo t r a n s f o r m a c i o n e s a l g e b r a i c a s a uno

r e p r e s e n t a d o por la e c u a c i ó n (1), le l l a m a m o s m o d e l o n o - l i _

n e a l . Así por e j e m p l o

Y / C B ^ - B g Q C e "B2t - e ~9 l t) + £.

s e r a c o n s i d e r a d o como un m o d e l o n o - l i n e a l . P e r o no es el c a s o

d e l m o d e l o

Y = E X P ( Bn + B2 t2 + £ )

p u e s t o que p u e d e ser t r a n s f o r m a d o a

Y* r 0,, + B2 tZ + t

d o n d e Y = ln( Y ); m o s t r a n d o " l i n e a l i d a d " en los p a r á m e t r o s

B r e2 .

G t r o s e j e m p l o s de m o d e l o s n o - l i n e a l e s se p u e d e n e n c o n t r a r L

en d i v e r s a s á r e a s , c o m o c a s o s s e ñ a l a m o s b r e v e m e n t e los s i g u i e n

tes: (ver r e f e r e n c i a (¿0).

Y = + b2 EXPC e3 t ) + £

A l a n t e r i o r m o d e l o se le c o n o c e c o m o Ley de M i t s c h e r l i c h y

se le d e s i g n a c o m o c u r v a de r e a c c i ó n de p r i m e r o r d e n .

A l g u n o s o t r o s m o d e l o s n o - l i n e a l e s e s t á n r e l a c i o n a d o s con

c o n d u c t a s de c r e c i m i e n t o , e s t o s m o d e l o s , t i e n e n a p l i c a c i ó n

en una g r a n v a r i e d a d de c a m p o s , c o m o s o n : B i o l o g í a , E c o l o g í a ,

C i e n c i a s P o l í t i c a s , C i e n c i a s E c o n ó m i c a s , D e m o g r a f í a , e t c .

E l tipo de m o d e l o que se n e c e s i t e en un e s t u d i o o i n v e s t i

g a c i ó n , d e p e n d e del tipo de c r e c i m i e n t o q u e o c u r r e , a l g u n o s

de e s t o s , c a e n , d e n t r o de la c l a s i f i c a c i ó n de m o d e l o s de

c r e c i m i e n t o m e c a n i c í s t a s y la o t r a c l a s i f i c a c i ó n son los

l l a m a d o s m o d e l o s e m p í r i c o s . Un m o d e l o m e c a n i c í s t a , u s u a l m e n _

te, es el r e s u l t a d o de h a c e r s u p u e s t o s a c e r c a d e l tipo de

c r e c i m i e n t o , e s t a b l e c i e n d o a m e n u d o e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s

que r e p r e s e n t a n e s t o s s u p u e s t o s y se p r o c e d e a r e s o l v e r las

e c u a c i o n e s p a r a la o b t e n c i ó n d e l m o d e l o r e q u e r i d o . Por o t r o

l a d o , un m o d e l o e m p í r i c o , es un m o d e l o que es s e l e c c i o n a d o ,

c o m o su n o m b r e lo i n d i c a , e m p í r i c a m e n t e , a p r o x i m a d o a un m o _

d é l o m e c a n i c í s t a : t í p i c a m e n t e , un m o d e l o e m p í r i c o es a j u s ta_

do a un p o l i n o m i o de o r d e n a c c e s i b l e .

A c o n t i n u a c i ó n s e ñ a l a m o s , como e j e m p l o , un m o d e l o de ere

c imi en to

Y = ot( 1 - e "k t ) + ¿

p a r t i c u l a r m e n t e a e s t a e c u a c i ó n se le c o n o c e con el n o m b r e de

" f u n c i ó n de c r e c i m i e n t o m o n o m o l e c u l a r

A d i c i o n a l m e n t e , s e ñ a l a m o s el m o d e l o de Von B e r t a l a n f f y (in i

c i a d o r de la T e o r í a de S i s t e m a s ) , m o d e l o de c u a t r o p a r á m e t r o s

y que t i e n e la f o r m a

d o n d e B ^ , B^, son los p a r á m e t r o s que han de ser e s t i

mados..

D t r o e j e m p l o de un m o d e l o n o - l i n e a l , es el c a s o de " Ley de

C r e c i m i e n t o L o g í s t i c o " , c u r v a que ha d e s e m p e ñ a d o un impor

t a n t e p a p e l en los e s t u d i o s del c r e c i m i e n t o de p o b l a c i o n e s

h u m a n a s . E s t a c u r v a da muy buen a j u s t e al c r e c i m i e n t o de la

p o b l a c i ó n en los E s t a d o s U n i d o s de A m é r i c a , de a c u e r d o con

los r e s u l t a d o s de los c e n s o s p o b l a c i o n a l e s y l i m i t a d o s un

c i e r t o i n t e r v a l o de t i e m p o , el m o d e l o en c u e s t i ó n es

Y = / ( 1 + ^ )

F i n a l m e n t e y de m a n e r a muy b r e v e , s e ñ a l a m o s o t r o impor

t a n t e c a m p o de a p l i c a i ó n de los m o d e l o s n o - l i n e a l e s ; e x i s t e n

c i e r t o s m o d e l o s de S e r i e s de T i e m p o que r e q u i e r e n un trats__

m i e n t o con m é t o d o s de r e g r e s i ó n n o - l i n e a l (ver r e f e r e n c i a

( 5 ) ) en p a r t i c u l a r son los m o d e l o s de Box y 3 e n k i n s . P u e s t o

que un -enfoque u s u a l ep los m o d e l o s y p a r t i c u l a r m e n t e en los

m é t o d o s de ls r e g r e s i ó n n o - l i n e a l son los p r o c e s o s i t e r s t i

v o s , es as 5 que, e n t o n c e s los a l g o r i t m o s r e q u i e r e n de esti

m a c i o n e s i n i c i a l e s , ( " e s t i m a c i o n e s preliminares'.1 c o m o le

l l a m a n Box y J e n k i n s ), de tal m a n e r a que los a u t o r e s mencio__

n & d o s han p r o p u e s t o un m é t o d o , en el c u a l , e s t a s e s t i m a c i o

n e s son o b t e n i d a s s t r a v é s de r e l a c i o n e s que ligan los pará__

m e t r o s i n v o l u c r a d o s e n e l m o d e l o de la s e r i e de t i e m p o , con les

a u t o c o r r e l a c i o n e s .

H e m o s e x p u e s t o h a s t a a q u í , de m a n e r a muy b r e v e , a l g u n a de

la i n t e n c i ó n de r e s a l t a r la i m p o r t a n c i a p r á c t i c a de t a l e s

m o d e l o s y a u n q u e no es el o b j e t i v o del p r e s e n t e t r a b a j o d e _

t a l l a r a p l i c a c i ó n p a r t i c u l a r a l g u n a , si se c o n s i d e r o con

v e n i e n t e m e n c i o n a r l a s a u n q u e F u e s e m e r a m e n t e de m a n e r a s u _

«

II.- M I N I M O S C U A D R A D O S EN EL C A S O N O - L I N E A L .

En el p r e s e n t e t r a b a j o v e m o s a i n t e n t a r u t i l i z a r une nots_

ción lo m á s e s t á n d a r p o s i b l e , i n i c i a m o s con Is f o r m s del m o d e l o

p o s t u l a d o

Y = f ( Xv X?, ... , Xk : 0 r 02, ... ,0 ) + £ (2)

d o n d e Y es 1 s v a r i a b l e d e p e n d i e n t e : X^ ( i = 1 , 2 , ... ,k) son las

v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s y 0 . ( j = 1 , 2 , . . . , p ) son los p a r á m e t r o s

p r e s e n t e s en el m o d e l o .

A n t e s de c o n t i n u a r , h a r e m o s ls s i g u i e n t e o b s e r v a c i ó n : La

n o t a c i ó n v e c t o r i a l o m s t r i c i s l que e m p l e a m o s , es la de subra_

yar el n o m b r e de la v a r i a b l e que r e p r e s e n t e s un v e c t o r o la

0 - _{= ( e}

r B e ) _p

d o n d e el s u p e r í n d i c e Ts s i g n i f i c s t r a n s p o s i c i ó n . De m a n e r a

que la e c u a c i ó n ( 2 ) q u e d a r e p r e s e n t a d a c o m o

Y_ = f( X ; B ) + £

S u p o n e m o s que El ( £» ) = O ; Var C £• ) = ~ y que los e r r o r e s

son i n d e p e n d i e n t e s y no c o r r e l a c i o n a d o s a d e m á s a d i t i v o s es de

cir que en n u e s t r o m o d e l o los e r r o r e s e s t a r á n s i e m p r e s u m á n d o s e .

D e n o t a m o s las n o b s e r v a c i o n e s de la f o r m a s i g u i e n t e

V

p a r a u = 1 , 2 , 3 , ... , n

E n t o n c e s a l t e r n a t i v a m e n t e , n u e s t r o m o d e l o p o s t u l a d o toma la

f o r m a

Vu = f< Xu; B ) + £,

d o n d e

- ( XkU )

•u 1u' 2u ' 3u a d i c i o n a l m e n t e s u p o n e m o s

( 3 )

6 ^ N ( 0 ; I < T¿)

— — n x n ' — n x n

d o n d e

í - < E v £n )T

0 d e n o t a la m a t r i z c e r o de o r d e n nxn „ — nxn

B

A h o r a d e f i n i m o s ls s u m e de los e r r o r e s s i c u a d r a d o d e l m o d e l o n o - l i n e a l c o m o la f u n c i ó n

n

s

" 2 t

u

"

f (

~

u ;

-U = 1

o b s e r v e m o s q u e S ( 0 ) es u n e f u n c i ó n e x c l u s i v a m e n t e de B ; p u e s t o

Js

que Y ^ , 21 u s o n o b s e r v a c i o n e s f i j a s . A h o r a d e n o t a m o s c o m o _0

a e l e s t i m a d o r m í n i m o c u a d r a d o de _9 , e s t o e s , s o n l o s VE l o r e s de 0 q u e m i n i m i z a n E S ( 0 ) . A d i c i o n a l m e n t e se p u e d e d e m o s t r a r

que b a j o e l s u p u e s t o de n o r m a l i d a d en l o s e r r o r e s , es d e c i r b a j o e l s u p u e s t a de % «^N ( , I tr ) el e s t i m a d o r m í n i m o c u a d r a d o de es t a m b i é n un e s t i m a d o r m á x i m o v e r o s í m i l de

P a r a e n c o n t r a r el e s t i m a d o r m í n i m o c u a d r a d o de n e c e s i t e m o s d i f e r n c i a r le e c u a c i ó n ( ) r e s p e c t o a 0 y o b t e n e r l a s p - e c u e

c i o n e s n o r m a l e s s i o u i e n t e s

Í U ¡ S ]

u = 1

3 f ( Xu; 0 )

= 0

g=B

p a r a i = 1» 2, 3, ... ,p

P a r e e l c a s o de r e g r e s i ó n l i n e a l m ú l t i p l e ls f u n c i ó n cer

? R

es l i n e a l y d e p e n d e u n i c e m e n t e de )< de t a l m a n e r a que

- X- • „ O

— i p s r a i = 1 , 2, ... ,p

de u r d e n pxp y que p r o c e d i e n d o a r e s o l v e r l o e n c o n t r a m o s el

e s t i m a d o r , p e r o en el c a s o que nos o c u p a , r e s o l v e r el sistema

que se p l a n t e a en la ú l t i m a e c u a c i ó n , en g e n e r a l no es s e n c i l l o

e n t o n c e s se t i e n e n que b u s c a r m é t o d o s m a s e s p e c i a l e s , t a l e s méto__

dos e s t á n c a r a c t e r i z a d o s por ser a p r o x i m a d o s y a d e m a s iterativos,

en s i t u a c i o n e s de m a y o r c o m p l e j i d a d , p u e d e ser q u e la s o l u c i ó n no

sea ú n i c a , es d e c i r que el s i s t e m a t e n g a s o l u c i o n e s m ú l t i p l e s , lo

que h a c e que la r e s o l u c i ó n del m i s m o sea t o d a v í a m á s c o m p l i c a d a .

En el p r e s e n t e t r a b a j o i n t e n t a m o s a b o r d a r a l g u n o s de los m é t o d o s

que c o m ú n m e n t e se u t i l i z a n , pero p r i m e r a m e n t e e x p o n e m o s las ideas

c e n t r a l e s de los m i s m o s y p o s t e r i o r m e n t e p r e s e n t a m o s las respectivas

i m p l e m e n t a c i o n e s a l g o r í t m i c a s en r u t i n a s c o m p u t a c i o n a l e s , por lo

p r o n t o y p a r a f i n a l i z a r la a c t u a l s e c c i ó n , s o l a m e n t e m e n c i o n a m o s

los n o m b r e s de los d o s m é t o d o s que p r i n c i p a l m e n t e n o s i n t e r e s a e x _

p o n e r :

a ) M é t o d o de " l i n a l i z a c i ó n " o de Gauss-IMeuton.

b ) M é t o d o del C o m p r o m i s o de M a r q u a r d t .

A d i c i o n a l m e n t e , de m a n e r a e s q u e m á t i c a y a m a n e r a de á p e n d i c e

p r e s e n t a m o s :

I I I . - ME T O D O DE GAUSS-IMEliJTDN .

E s t e m é t o d o u t i l i z s los r e s u l t a d o s de m í n i m o s c u a d r a d o s

l i n e a l e s en un p r o c e s a i t e r a t i v o , es d e c i r en e t a p a s s u c e s i v a s .

S u p o n e m o s p r i m e r a m e n t e que el m o d e l o p o s t u l a d o es de la f o r m a

p r e s e n t a d a en la e c u a c i ó n (3). Sea ; ia1 , 2 , ... ,p los

v a l o r e s i n i c i a l e s de los p a r á m e t r o s i n v o l u c r a d o s en el m o d e l o ;

e s t o s v a l o r e s p u e d e n ser o b t e n i d o s por s u p u e s t o s o e s t i m a c i o n e s

p r e l i m i n a r e s , b a s a d a s en le i n f o r m a c i ó n con la que se c u e n t e o

t a m b i é n p u e d e n ser o b t e n i d o s s u b j e t i v a m e n t e , t o m a n d o en c u e n t e

las p r o p u e s t a s de los i n v e s t i g a d o r e s con e x p e r i e n c i a y c o n o c i _

m i e n t o d e l f e n ó m e n o o p r o b l e m a en c u e s t i ó n . P e r a el m é t o d o de

G e u s s - N e u t o n es de g r a n i m p o r t a n c i a los v a l o r e s i n i c i a l e s p u e s t o

q u e una b u e n a s o l u c i ó n i n i c i a l p r o p o r c i o n a u n e r á p i d a c o n v e r g e

c i é ; f i n e l m e n t e , r e s p e c t o a le c u e s t i ó n de los v e l o r e s de i n i c i o

_ b l e s de t o m e r en c u e n t e p a r e i n t e g r a r un b u e n c o n j u n t o de

lores i n i c í e l e s , p e r o esto p u e d e c o n s t i t u i r le b s s e o la idea

c e n t r s l de un t r e b e j o o e s t u d i o p a r t i c u l a r , que por r a z o n e s ,

tentó de t i e m p o como de o b j e t i v o s , no es p o s i b l e a b o r d a r por

eh

dte

.

I n i c i a m o s con el d e s a r r o l l o en u n e s e r i e de T s y l o r , p a r a ls

f u n c i ó n fC X : 0 ) a l r e d e d o r de 0 = 8 = ( B „n, Bn n t ... ,0 n)T — u ' — o 1D ' 2 0' ' p D

y t r u n c e m o s el d e s a r r o l l o h e s t a les p r i m e r a s d e r i v a d a s con

le i n t e n c i ó n de e l i m i n a r los t é r m i n o s n o - l i n e a l e s y ssí o b t e

nernos le s i g u i e n t e a p r o x i m a c i ó n c u a n d o 0_ e s t e c e r c s n o E 0O :

Dn

— u —

i = 1

3 b,

fthore h a r e m o s

fu = f( X ; 0 )

u — u ' — o

/ • = « i - « -_{1 0}

Z° =

1U

[

3 f C X ; 0 )

[0 = 0

O b s e r v e m o s e n t o n c e s que 1 E e c u a c i ó n (3) t o m e e n t o n c e s le f o r m

s i g u i e n t e

Y - fD

JK^

Z°

i

u u > Z71 íu u ( 5 )

i = 1

o b s e r v e m o s que e n t o n c e s este ú l t i m a e c u a c i ó n es de le f o r m e

m o s t r a d a en la e c u a c i ó n (1). E s t i m e m o s e h o r e los p a r á m e t r o s

j.$° ; i = 1 , 2 , ... ,p a p l i c a n d o la t e o r í a de m í n i m o s c u a d r a d o s

l i n e s l e s , p e r o e n t e s v e m o s e u t i l i z a r le s i g u i e n t e s n o t e c i ó n

• -

A .

fr

E n t o n c e s le e c u a c i ó n e s c a l a r r e p r e s e n t a d a par ( 5 ) a u e d a r e p r e

s e n t a d a vectorifelmente par

y = Y - F° = Z

0 + £

d o n d e es un v e c t o r n x 1 de e r r o r e s .

Así que la sume de los e r r a r e s si c u e d r e d o es

t

í.

D b s e r v s m a s que ^ ^ Z^ (Y- fD) es una c a n t i d a d e s c a l a r , p u e s t o

que

[ á ] J í l > d

e n t o n c e s , t a m b i é n 1a m a t r i z t r a n s p u e s t a es u n e c a n t i d a d e s c a l a r

T

zT C Y - f ° ) l . ( Y - fD)T Z p

L ' -Q -O J - - — o o

!3i que

gT£ = ( Y - fD)T( Y - FD) - 2 ( Y - FD)TZ fi + 3JZ1Z & ( 7 ) - - - — - O ' — O '_Q_c-o'_Q

V e m o s e h o r a a d i F e r e n c i a r esta u l t i m e e c u e c i ó n ( 7 ) con r e s p e c t a

e ^ ^ e i g u a l a r l e a cero y al m i s m o t i e m p o r e e m p l a z a r por

el c u á l , es el e s t i m a d o r m í n i m o c u a d r a d o d e ^o

G b s e r v e c i ó n : P a r a o b t e n e r la d e r i v a d a de ££ r e s p e c t o a /3Q, d i _

F e r e n c i a m o s r e s p e c t a £ cada c o m p o n e n t e de y F o r m a m a s une m e _

simétries, entonces

£T£ ) = l ( Y - f )T(Y-f°) — 2?-UTZT ( Y - f ° ) V l [ 4T ZT z j l

Z

0\ =

= D

= - 2 Z^ (Y-f ) + 2 |Z;

Entonces

ZT Z b = ZT (Y-f°) -o -o -o

b = (ZT Z Z (Y-f°)

- o - 0 - 0 —o —

(8)

por tsnto el vector b minimize Is sums de cuadrados

_—o

n r ^ A 2

5( 9 ) = ^ Y - f( X ; 9 )- > fi.l. 1 — / J — u -u - i i lu

0= \

con respecto a ; i=1,2,3 donde

entonces

A . = 9 . „ - 0 .

" i i1 lo

bi = B ii - B i D

asi que

0., = »3 . + 6 .

i1 i io

donde 9 ^ es el estimador revisado de

Es así que pdemos colocar el velar de 9 ^ , el estimador revisedo, en el

mismo papel jugado por los valores de 9^ e iniciar nuevamente el procedi_

Vamos b expresar los resultados anteriores pero de manera vectorial

donde

B. „ « 0. + b. -J+1 - J - J

T - 1 T

0. „ = 0. + ( Z. Z . ) Z. ( Y - fJ ) J+1 J J J J

-Z. « 1-i

- J l u

L3 = C f3 v f l r¿¡ ) J J

- J " ( 91j' ' °Pj )

De esta manera nuestro proceso es iterativo; interrumpiéndolo hasta que

se alcance la convergencia deseada. Una prueba de convergencib que se pro

pone es,detener el proceso en el momento en que, l&s iteraciones sucesivas

j y j+1 sean tales que

9U j + 1 ) " 9i j

0. .

ij

< « f

donde cT es una cantidad pequeña establecida previamente.

Resolvemos &horb un ejemplo para ilustrar numéricamente el método de

Gauss-Neuton, pero antes se hacen las siguientes observaciones:

- El ejemplo presentado, es el mismo problema que se resuelve en el pro_

grama computacional que más adelante se presenta. Las diferencias que sur_

gen entre le solución a el ejemplo y la salida de resultbdos del programa

son debidas principalmente s la utilización de coeficientes de penalidad

en el programa mencionado, pero tales diferencias no deben de ser signifi__

cativamente diferentes, otro factor que contribuye, es el debido a errores

- En el ejemplo que a continuación se presenta, todos los cálculos fueron

obtenidos tediante la elaboración de un pequeño programa, utilizando el

lenguaje computacional BASIC, por lo cómodo en el manejo de arreglos bi__

dimensionales.

Nuestro modelo es:

v = f ( XI ; BR E2 , B 3 ) = E1 + B2 E X P C B3 X , , )

donde las observaciones son

1 127 - 5

2 151 - 3

3 379 - 1

4 421 + 1

5 460 + 3

6 426 + 5

Obtendremos primeramente

M

fa,

e =

— o

50 D

82 D " -1 5°

03 O = - 0 . 2

entonces

3 a.

B-6x3

Ü 1

V i

3 B ,

9 ^ 6

3

3

03X1 1

g3x1 2

°3X16

92X1 1 e

SX1 1

B2X1 2 E °3X12

92X1 6 E

93X1 6

ZG

iu

hacemos

6x3

í - M

2.7182 -13.5914

1.822 - 5.^663 _i

1.2211* - 1.2214

0.B187 D.8107 0.5488 1.6464 0.3679 1.8394

6x3

asi que

zT

— O

1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0

2.7102 1.822 1.2214 -13.5914 -5.4663 -1.2214

1 . 0 0 D 0 1 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 \

0.0107 0.5400 0.3679 G.8187 1.6464 1.8394

zTz

-•-o

6.0000 7.1*97

7.497 13.3069 \ - 15.9746 - 46.145

- 15.9746 - 46.1450 222.8627

puesto que

Y = f° =

92.2577

226.6822

e n t o n c e s

( ZTZ ) - V (Y - f ° ) — n — n — n — —

23 . 4 0 0 8

- 7 . 0 6 1 0 3

-0.0698156

por t s n t o

5 0 0 \

- 1 5 0

- 0 . 2 0

' 23 . 4 0 0 8 *

- 7 . 0 6 1 0 3

\ -0.0698156

i

5 2 3 . 4 0 0 8

157.D6103

-0.2698156

F i n a l m e n t e a p l i c a m o s una p r u e b a de c o n v e r g e n c i a , si e s t a es

s a t i s f e c h a e n t o n c e s d e t e n e m o s el p r o c e s o , es d e c i r no se r e a l i _

zan m á s i t e r a c i o n e s . d e o t r a m a n e r a , i n i c i a m o s el p r o c e s o n u e v a _

I V . - D E S C R I P C I O N DEL P R O G R A M A P A R A EL M E T O D O DE

D E G A U S S N E U T O N .

T o d o s los p r o g r a m e s que se p r e s e n t a n en e s t e t r a b a j o , f u e r o n

t o m a d o s y m o d i f i c a d o s a p r o p i a d a m e n t e de los q u e a p a r e c e n publi__

c a d o s en la obra:_

O p t i m i z a t i o n t e h n i q u e s w i t h F O R T R A N

J. L. K u e s t e r and J. H. M i z e

M C . GTEUJ-Hill Book C o m p a n y . 1973

A su v e z el p r o g r a m a que los a u t o r e s p r e s e n t a n en ls s n t e r i o r

o b r a , ID b e s a r o n en:

N o n l i n e a r P e r a m e t r s E s t i m a t i o n end P r o g r a m m i n g

C a t a l o g of P r o g r a m s for IBM S y s t e m 3 6 0

M n d e l s 2 5 and A b o v e , 2 0 - 1 6 1 9 - 8

P r o g r e m n u m b e r 3 6 0 . D - 1 3 . 6 . 0 0 3

El p r o g r a m e c o n s t a de un p r o g r a m a p r i n c i p a l y s e i s s u b r u t i n a s

en las c u a l e s , la t r a n s f e r e n c i a de d a t o s se r e a l i z a m e d i a n t e

la i n s t r u c c i ó n COMMQIM, del l e n g u a j e F D R T R A N y s i e n d o el p r o p ó _

s i t o de c a d a une de l a s s u b r u t i n a s los s i g u i e n t e s :

1 . - E 1 p r o g r a m a p r i n c i p a l l l a m a d o S T A R T - G A U S S - M E T H O D d e f i n e

c a n a l e s de e n t r a d a / s a l i d a , h a c i e n d a un s o l o l l a m a d o a la sub^

r u t i n a p r i n c i p a l .

2 . - Le s u b r u t i n a D L S D , se u t i l i z a p a r e e l c á l c u l o de d e r i

v a d e s .

3 . - Le s u b r u t i n a N L M A X , es la s u b r u t i n a p r i n c i p a l y su p r o ^

p ó s i t o es el de l l e v a r el c o n t r o l de les. d e m á s s u b r u t i n e s coor_^

d i n e n d o t o d o s los c á l c u l o s .

k . - La s u b r u t i n a A C C U M , c a l c u l a los v a l o r e s de ls f u n c i ó n

m í n i m o s c u a d r a d o s .

5 . - La s u b r u t i n a Q U T , e s el c o n t r o l de l a s i m p r e s i o n e s .

6 . - La f u n c i ó n F U N C , e s p e c i f i c a el m o d e l o .

7 . - La s u b r u t i n a I N V E R . es u t i l i z a d a p a r a c e l c u l e r m a t r i c e s

i n v e r s a s .

V a m o s a h o r a a dar le d e s c r i p c i ó n d e a l g u n o s p a r á m e t r o s uti

l i z e d o s en el p r o g r a m e :

NTH. es el n ú m e r o de p e r á m e t r o s e e s t i m e r en el m o d e l o .

L D U T , c o n t r o l a d o r de i m p r e s i o n e s de r e s u l t a d o s i n t e r m e d i o s .

(\IPH, c o n t r o l a d o r de le f u n c i ó n de p e n s l i d e d .

M. n ú m e r o de o b s e r v a c i o n e s .

N A , t o t a l de v a r i a b l e s , d e p e n d i e n t e s e i n d e p e n d i e n t e s .

ñ , m a t r i z de v a l o r e s o b s e r v a d o s .

C L B , c o t a i n f e r i o r en l o s v a l o r e s de los p a r á m e t r o s del m o d e l o .

C U B , c o t a s u p e r i o r en l o s v a l o r e s de los p a r á m e t r o s del m o d e l o .

I I , d e f i n e t a r e a s en las s u b r u t i n a s .

I, es el í n d i c e de los p u n t o s de v a l o r e s o b s e r v a d o s .

H, v a l o r de la c o t e m í n i m a .

El m o d e l o e x p e r i m e n t a l , p a r a la c o r r i d e es el m i s m o m o d e l o

p r e s e n t a d o en el e j e m p l o s i f i n a l de la s e c c i ó n " M é t o d o de E a u s s

-N e u t o n " . E s el m i s m o m o d e l o en los o t r o s dos p r o g r a m a s , que se

p r e s e n t a n p o s t e r i o r m e n t e , s i e n d o la i n t e n c i ó n , ls de c o m p a r a r los

P R O G R A M STAPT*GAUSS«-METHCC

S l B R U T I N A I N I C I A L , D E F I M H O S C A N A L E S CE E N T R A D A / S A L I D A ! V SE H A C E UN I M C G LLAMADO A LA S U 6 R U T I N A P R I N C I P A L !

C O M M O N G < 2 0 » 2 C ) , G l t 2 C * 2 0 > , P S C A » G t 2 0 » 2 0 ) « F ( 2 0 ) » Y ( 2 0 > , E G V < 2 0 ) , F F < 2 C ) i t C U e t 2 0 N C L E I 2 0 ) , P N L 1 2 0 ) » N C 0 N , L Q U T * F 3 , N T h * F 6 » F 7 , M E T H , N P H

$ , M D , L S * C 1 < 2 0 )

v » X » X T H ( 2 0 ) • A {20 C ,10)»M» NA

C

O P E N Í U N I T = 6 , N A M £ = * G A U S S K U M 4 « D A T1» S T A T U S - ' N E W * ) N 0 = 6

C

W R I T E {NO » 1 )

I F 0 R K A T ( 5 ( / ) , 2 Xf R E G R E S I O N N O - L I N E A L POR EL M E T O D O * DE GAUSS-NEk'TON D CE ML I N E A L IZACI O N " • )

C

C A L L N L N A X ( N 1 » N C ) C

END

! EN E S T A S U B R U T I N A SE C A L C U L A N D E R I V A D A S N U M E R I C A M E N T E !

S U B R O U T I N E C L S C i l I « l )

C O M M O N C ( 2 0 , 2 C ) t G l ( 2 Ct2 0 > , P S C A , G ( 2 0 » 2 0 ) » F ( 2 0 ) , V i 2 0 ) « » e C - V ( 2 0 ) » F F ( 2 C ) C U B t 2 0 ) , C L B ( 2 0 ) » P N L ( 2 0 ) » N C O N * L O U T , F 3 , N T H » F6» F 7 , M E T H • K P H

* t MD » L S » C I ( 2 0 )

* * X , X T H t 2 0 ) t A ( 2 0 C t 1 0 ) *M,NA GO T O < l « l t 2 ) , U

2 R E T U R N 1 X = F U N C ( C l t A t l )

GO T O ( 5 « 6 ) * 1 I 6 CC 10 J= 1 •» NTH

C 1 ( J ) = C 1 < J ) + 0 . 0 0 C 1 * C K J ) F0R = FUNC(C1«.A,I )

Cl( J ) = C 1 ( J ) - 0 . 0 0 0 2 * C 1 < J) R E V = F U N C { C I ^ A * I )

Cl( J ) - C l U ) - * C . 0 0 0 1 * C l ( J i

XTH( J ) = ( F O R - R E V )/( C . 0 C 0 2 S C H J) ) 10 C O N T I N U E

C

5 R E T U R N END

S U B R U T I N A P R I N C I P A L I S DCNCE L L E V A M O S C O N T R O L DE LAS D E M A S S U B R U T I N A .

S U B R O U T I N E NLM AX ( N I NO ) N C C E C K - 1 M E T C D C G A U S S - N E H T O N C

E Q U I V A L E N C E < NTh *L )

C O M P O N C( 2 0 t 2 0 ) » G l ( 2 C » 2 C ) t P S C A » G ( 2 C » 2 0 ) , F ( 2 0 ) « Y ( 2 0 ) íEGV(20)-»FF(2C) C U B ( 2 0 ) » C L B ( 2 0 ) »PNLI 20)«NCON» L O U T , F 3 , N T H t F ó , F 7 , M E T H , N P H

*» MD t L S * C I ( 2 0 )

* • X » X T H ( 2 0 ) , A { 2 0 C » 1 0 ) » M , N A * , X T H T < 2 0 t 20 )

$ » D I F ( 1 0 0 )

D I M E N S I O N W ( 2 C )

M E T H = 1

2U

D A T A N T H , L O U T , M D , M / 3 , 1 , 1 , 6 / 1 F Í N T H . E Q . 0 ) C A L L E X I T

O A T A C 1 < 1 ) » C 1 ( 2 ) » C L ( 3 ) / 5 0 0 * 0 0 » - 1 5 0 » 0 0 , - C « 2 0 /

C

I S = 1

c

C A L L A C C U M Í 3 , M , N O ) C A L L B O U N D ( 3 , H , N I , N O )

W R I T E ( N O , 5 0 C O ) Í C L ( I ) , 1 = 1 , L )

5 0 0 0 F O R M A T ( / / , 2 X , » P A R A M E T R O S I N I C I A L E S : , , / , 1 5 X , < 7 E 1 6 * 6 > )

I F I L S - 3 ) 1 9 9 , 9 0 7 , 1 9 9 1 9 9 I P H = 2

N I N = 0 N F = 0 N D = 0

E P S = 1 « E - 4 E P S 1 = 1 « E - 3 D O 9 0 6 1 = 1 , L F F ( I ) = C 1 < I )

Y U ) = 0 . 0 - C 1 ( I ) 9 0 6 C O N T I N U E

H = 1 • 0

C A L L B C U N O I 4 , F , N I , K 0 ) D O 9 1 1 , 1 = 1 , 1

9 1 1 Y U ) = C L ( I ) I H N P H = 1

I F ( N C 0 N ) 1 , 8 9 9 , 1 6 9 9 N P H = 2

G O T O 1 6 C

1 G O T O ( 2 1 2 , 1 6 ) L O U T 2 1 2 V I R I T E ( N O I L C O L )

1 0 0 1 F O R M A T ! / / , 2 X , • I N C L U Y E N D O F U N C I O N C E P E N A L I D A D1 , / / ) 1 6 1 1 = 2

N R E = 1 N D = N D + 1 G O T O 1 0 0 C

5 1 1 1 = 1 1 0 0 N F = N F + 1

LS = 1

C A L L A C C U M Í I 1 , N I , K C ) F 4 - F 3

G C T O < 4 0 5 , 6 8 , 1 0 C 3 J L S 4 0 5 G O T O 1 4 0 1 , 4 9 9 ) N P H

4 0 1 C A L L B O U N C Í I I , X , N I , N O ) 4 9 9 G O T O ( 4 8 , 4 0 9 ) I I

4 0 9 D G 4 0 8 1 = 2 , L D O 4 0 8 J = 2 , I

^ 0 8 G ( I , J - 1 ) = G ( J - 1 , I ) 4 8 G C T O ( 2 0 5 , 1 1 0 ) L C U T 2 0 5 G C T O ( 2 0 8 , 2 0 9 ) 1 1 2 0 9 W R I T E Í N C , 2 1 C ) N D

2 1 C F O R M A T ( / / / / , 2 X , • I T E R A C I O N : • * 1 6 ) 2 0 8 W R I T E ( N O , 2 0 7 ) F 3 , N F , ( C L ( I ) , 1 = 1 , L )

2 0 7 F O R P A T ( / , 7 4 < ) , / , 2 X , * F U N C I O N : • , E 1 7 . 7 , 1 C X , « E V A L U A C I O N : • , 1 6 » * / , 2 X , 1V A L G R C E L O S P A R A M E T R O S : • T /

c lio 101 22 106 26

G C T O ( 1 0 1 , 1 1 1 , 8 9 4 ) 1 1 I F ( F 2 - F 3 ) 2 2 , 2 1 , 2 1 G O T O ( 2 4 , 1 6 ) N P H

2 A G O T O ( U l » 1 6 n R E n i DO 1 0 6 1= 1 »L

F F ( I ) s C K I )

, I F( 11-1 ) 2 6 , 2 6 , 2 5 N R E = 2

G C T O ( 3 4 , 1 6 )NRR 34 Q = 0 .

I F ( N I N ) 1 4 , 1 4 , 1 6

X4 C O N T I N U E

DC 27 1 = 1 , L 27 C = Q + F O ) * Y ( l )

H = < Q - 2 . S I F 3 - F 2 ) > / 2 . / ( F 3 - F 2 - Q ) I F( A B S( H ) - . 1 > 1 6 , 1 6 , 3 0

30 I F ( H + 1 • ) 3 0 4 » 3 G 4 , 3 1 31 DO 29 1 = 1 , L

29 Y ( I ) - H $ Y ( I ) G C T O 3 0 4

25 C O N T I N U E D C 8 0 0 1 = 1 , L D C 8 0 0 J = 1 » L

800 C ( I , J ) = G ( 1 , J ) LT 3= 2

DO 9 1 = 1 , L E G V ( I ) = C ( I » I)

1 F ( C ( 1, I ) )9 ,13, 1C 13 C U , I ) = - 1 . C

G O T O 9 10 L T 3 = 1

C ( I , 1 ) = - C ( I ,1 ) 9 C O N T I N U E 41 C A L L I N V E R t G , L , G 1 )

DO 11 J = 1 , L W ( J ) = 0 . o

DC 2 0 2 J l - l » f

M J ) = W ( J ) - X T H T U , J 1 ) $ D I F ( J 1 ) 202 C O N T I N U E

C11 W ( J ) = W ( J ) / C U , J )

1 1 C O N T I N U E

D C 201 1 = 1 » L Y ( 1 ) = 0 . 0

DO 201 J = 1 , L

Y d ) = Y ( n - G l ( îi J ) * U J ) 201 C O N T I N U E

3 0 4 N R R = 1 F 2 = F 3 F 6 = F 7 H = l.

CALL B C U N O Í 4 , F , M , K C ) N l N = N l N / 2

H = H / 2 « * ^ N I N DO 6 0 4 1 = 1 , L 604 Y U ) = H * Y ( 1 > 603 J=l

DO 7 0 0 1 = 1 , L

I F ( A B S ( Y ( I ) ) / (EPSl + ABSIFF ( I ) ) ) - E P S ) 7 C C « 7 C 0 í ivi 7 0 1 J = 2

33

8 9 8 8 9 7 8 9 6 8 9 5

8 9 4

702 12 21 6 3 2 58 6 6 5 9 6 2

7 0 4

703

7 0 5

23

7 0 6

707

1 9

loo: 1 0 0

c 121

2 1 4

C

122

1 0 0

100

C

213 211

G O T O (3 3, 70 2 ) J GOTO < 8 9 8 , 1 6 ) h R E G O T O ( 1 0 0 2 , 8 9 7 ) N P H

I F ( H - 1 • ) 89 6 , 1 C C 3 , 1 0 0 3 CALL B C U N D ( 5 » H,NI» NO ) 00 895 1 = 1 , L

C H I > = FF< 1 )+H*Y (I )

CALL A C C U M ( 1 , K l » N O ) , N F = N F + 1

II = 3

G O T O ( 2 0 8 , 8 9 4 )LCUT

1 F(F3-F 2) 7 0 6 , 1003, 1003 DO 12 1=1,L

C H I ) =FF ( I )+Y(l ) G O T O 51

GCTO (2 »6)NRE OC 3 1=1,L C H I ) =FF ( 1 ) G O T O 16

0 = 0 .

NRR = 2

DO 58 1=1,L Q = Q + F U ) * Y ( I )

H = Q / ( Q + ( F 2 - F 3 ) ) $ »5 IF ( 4#* H - 1 . ) 5 9 , 5 9 , 6 2 H = . 2 5

J = 1

N 1 N = N I N + 1 DO 7 0 3 1 = 1, L Y(I ) = H*Y ( I )

I F ( A B S ( Y ( 1 ) )/(EPS1 + ABS( F F ( 1 ) ) Î - E P S ) 7 0 3 , 7 0 3 , 7 0 4 J=2

C O N T I N U E

GO TO ( 7 0 5 , 7 0 6 ) , J H = 1 •

CALL B C U N D ( 4 , h , N I , K O ) DG 23 1=1,L

Y ( I ) = H * Y ( I )

C H I )=FF ( I ) +Y ( I ) G C T O 51

F 3= F 2 F 7=F6

DC 7 0 7 1 = 1 , L C H I ) =F F ( I)

G C T O ( 1 0 0 2 , 1CC3 ÌNPH 1 F( IP H) 1004 , 1 0 0 4 , 1C05 NPH=2

GCTO ( 1 2 1 , 1 2 2 ) LOUT

ViR ITE ( NC » 2 1 4 )

FOR MAT(5X,* SIN F U N C I O N CE P E N A L ICAC * )

F 2 = - 1 . E 3 0 G G T O 16 '

I F ( A B S ( F 3 - F 4 ) - . 1 ) 1 0 0 4 , 1 0 0 6 , 1 0 0 6 CALL B O U N D l 6 , H , N I , N 0 )

I P H = I P H - 1

GOTO ( 2 1 3 , 1 6 ) L 0 U T

W R I T E ( N O , 2 1 1 )

G C T O 16 1003 C O N T I N U E

W R I T E ( N O , 1 2 3 > F 3 , ( C I (1 ),1 = 1,L )

123 F O R M A T I / » 2X ,1M A XIMC DE LA F U N C I O N CBJ ET I V O : • • E l 7 . 7 ,/,

1 2 X , ' P A R A M E T R O S : • , / , ( 7 E 1 7 . 7 ) ) W R I T E ( N O , 9 C C 1 ) N F , N D

9001 F O R M A T I / , 2 X , ' E V A L U A C I O N E S D E LA F U N C I ON :•,I 6 , 1 / , 2 X , « E V A L U A C I O N E S CE C E R I V A D A S : • , I 6 ) 407 C O N T I N U E

C

C A L L B O U N D Í 7 , H , N I , N 0 ) C A L L O U T ( N O )

C

G O T O ( 2 1 7 , 5 0 7 ) L T 3 217 W R I T E ( N O , 2 1 6 )

216 F O R M A T ( 2 X , * S C L U C I C N , NC E S U N M A X I M O I N T E R I O R * ) 907 R E T U R N

68 J = 1

DO 7 1 1 = 1 , L Y ( I ) = . 5 * Y U )

I F C A B S ( Y U ) ) / (EPS1 + A E S ( C 1 ( I ) ) > - E PS ) 7 1 , 7 1 , 9 25 925 J = 2

71 C U I )=C1( I ) — Y ( I ) G O T O ( 9 0 9 , 9 26 ) J 909 W R 1 T E ( N 0 , 9 1 0 )

910 F O R M A T ( / , 2 X , * V A L O R E S F A C T I B L E S DE L O S P A R A M E T R O S N O PUE 1 DEN SER E N C C N T R A D C S M

R E T U R N

926 C O N T I N U E K R I T E ( N 0 , 9 2 4 )

924 FOR M A T i / , 2 X , • V U E L V A A I N I C I A R S S S S « ) C

I F ( I I - 1 ) 5 1 , 5 1 , 1 6 C

END

EN E S T A S U B R U T I N A SE VA C O M P U T A N D O LA F U N C I O N DE M I N I M O S C U / C R A D C S .

S U B R O U T I N E A C C U M ( I 1 , N I , N 0 )

C O M M O N C ( 2 0 , 2 C ) , G l ( 2 C , 2 0 ) , P S C A , G ( 2 0 , 2 0 ) , F { 2 0 ) , Y ( 2 0 ) , E G V ( 2 C ) , F F i 2 0 ) * , C U B ( 2 0 ) , C L B ( 2 0 ) , P N L ( 2 0 ) , N C D N , L O U T , F 3 , N T H , F 6 , F 7 , M E T H , N P H

$ , M 0 , L S , C 1 ( 2 0 )

* , X , X T H ( 2 0 ) , A ( 2 C C » 1 0 ) , H , N A * , XTHT( 2 0 , 2 0 )

* , D 1 F ( 1 0 0 ) C

G O T O ( 1 0 0 , I C O , 1 0 1 ) 11 C

101 C O N T I N U E

DATA A i l , l ) , A ( 2 , l ) , A ( 3 , l ) t A ( 4 , l ) , A ( 5 , l ) , A { 6 , l ) * / - 5 . 0 , - 3 . 0 , - 1 . 0 , 1 . 0 , 3 . 0 , 5 . 0 /

DATA A ( 1 , 2 ) , A ( 2 , 2 ) » A ( 3 » 2 ) , A ( 4 , 2 ) , A ( 5 , 2 ) , A ( 6 » 2 ) / 2 7 . 0 , 1 5 1 . 0 , 3 7 9 . 0 , 4 2 1 . 0 , 4 6 0 , 0 , 4 2 6 . 0 /

DATA M , N A / 6 , 2 / C

W R I T E ( N 0 , 2 0 C 4 )

2 004 F O R M A T ( / / / , 1 0 X , « O e S E R VA C I O N E S :,, / , 3 X ,,C B S .i

i , 5 X ,f XI • , 1 C X , ' YI ')

DQ 2 0 0 5 1=1 ,M

2 0 0 6 F O R M A T I 1 5 , 7 E 1 6 . 6 , / , ( E 2 1 . 6 , 6 E 1 6 . 6 ) ) 2 F C A L L D L S Q ( 3 » 0 )

R E T U R N C

1 0 0 C O N T I N U E F 3 = 0 » 0

GOTO- ( 1 , 2 ) 1 1

2 D O 3 1 = 1 , N T H

F ( 1 ) = 0.

C C

G O T O ( 1 3 , 3 ) M E T H 1 3 D O 1 5 J = 1 , N T H 1 5 G ( 1 , J ) = 0 .

C

C

3 C O N T I N U E 1 D O 4 M U = 1 , M

C A L L D L S Q ( I 1 , MU ) D O 7 7 J 2 = 1 , N T H

X T H T < J 2 , M U ) = X T H ( J 2 ) 7 7 C O N T I N U E

G O T O ( 6 , 7 ) L S 6 C C N T I N U E

D I F ( M U ) = X F 3 = F 3 - X * X

G O T O ( 4 , 5 ) 1 1 5 D O 1 2 1 = 1 , N T H

F ( I ) = F ( I ) - X # X T H ( I )

C C

G O T O ( 1 4 , 1 2 ) M E T H 1 4 D O 1 6 J = I , N T H

1 6 G ( I , J ) = G ( I , J ) - X T H ( I > * X T M J )

C

1 2 C O N T I N U E 4 C O N T I N U E 7 C O N T I N U E

R E T U R N E N D

C

C _I

I S U B R U T I N A FARA IMPR1MIR LGS R E S U L T A D O S F I N A L E S j

S U B R O U T I N E C U T ( N C ) C

C O M M O N C ( 2 0 , 2 0 ) , G 1 ( 2 C , 2 C ) , P S C A , G ( 2 0 , 2 0 ) , F ( 2 0 ) , Y ( 2 0 ) , E G V ( 2 G ) , F F ( 2 0 ) * T C U B ( 2 0 ) , C L B ( 2 0 ) , P N L ( 2 0 ) , K C C N , L O U T , F 3 , N T K , F 6 , F 7 , M E T H , K P H

* , M D , L S , C 1 ( 2 0 )

5 , X , X T H ( 2 0 ) , A ( 2 0 C , 1 0 ) I M , N A W R I T E ( N 0 , 3 )

3 F O R M A T ( / / / » L O X F ' M O C E L C ' I S X ,

* * Y = A + A $ E X P ( A * X ) ' , / , 2 6 X , * 1 ' . 3 X , • 2 ' , S X , ' 3 ' » / * » / / , 1 0 X , * R E S I C U A L E S ( V A L C R E S C O M P U T A C G S

-- V A L O R E S O B S E R V A D O S )1 , / )

J = 0

D O 1 1 = 1 , M J = J + 1

I F ! J - 7 ) 1 » 2 , 2 2 J = 0

W R I T E ( NO , 4 ) ( F (K ),K=1,7 )

4 F O R M A T ! / , 1 0 X , 3 E 1 6 . 6 , / , 1 C X , 3 E 1 6 . 6 , / 1 C X , E 1 6 . 6 ,//) 1 C O N T I N U E

3 F ( J ) 5 , 6 , 5

5 W R I T E ! N O , A ) < F ! K ) , K = 1 , J )

6 F 3 - - F 3 ,

X = F 3 / R E A L ( M - N T H ) X1= SQRT(X )

W R I T E ( N 0 , 7 ) F 3 , X 1

7 F O R M A T ! 2 X ,1 S U M A CEL C U A D R A D O DE LOS R E S I D U A L E S : « , E 1 7 . 7 « $ / / / , 2 X , • D E S V I A C I O N E S T A N D A R : • , 1 6 X , 2 E 17.7 )

C c

DO 302 1=1 ,NTH DO 3 0 2 J = 1 » NTh 302 C< I , J )=X*G ( I , J )

W R I T E ! N O , 2 8 ) ! C1 < I ), 1 = 1, N T H )

28 F O R M A T ! / / , 2 X , • VALCR CE LCS P A R A M E T R O S : • , / / * * ! 1 5 X , 7 E 1 7 «7 ) )

C

R E T U R N END

ESTA F U N C I O N ES D E F I N I D A POR EL U S U A R 1 C , EN N U E S T R O P R O G R A M A , LA F U N C I O N E S :

A A «

Y = A 4 A S E X P ! A * X )

1 2 3

C

F U N C T I O N F U N C (C1,A,I ) C

C

D I M E N S I O N C H 2 0 ) , A ! 2 0 C , 1 0 )

F U N C = C 1 ( 1 ) + C 1 ( 2 ) * E X P ! C K 3 ) $ A ( I , 1 ) ) - A ( I , 2 )

C

R E T U R N END

S U B R U T I N A PARA C O N T R O L A R LAS R E S T R I C C I O N E S EN LOS V A L C — RES CE L O S C O E F I C I E N T E S .

S U B R O U T I N E E C U N C I I I , H« M , N O ) C

C O M M O N C ( 2 0 , 2 C ) , G 1 ! 2 C , 2 C ) , P S C A , G ( 2 C , 2 C ) , F ( 2 0 ) , Y ( 2 0 ) , E G V ( 2 C ) , F F ( 2 0 ) CUB! 20 ) , CLE! 20 ) , PNL ( 2 0 ) ,hCON, LOUT , F3 , NTH , F 6 , F7 » M ET I-, NPH

* , M D , L S , C 1 ! 2 0 )

C

G O T O < 1 , 1 , 2 , 3 , 3 , 4 4 , 4 3 ) 1 1 C

44 DO 45 1=1 ,NTH 45 P N L ! I ) s . l « P K L (I )

R E T U R N

C

1 C C N T I N U E

AA2 = P N L ( I ) / A A 1 A A 3 = C 1 ( I ) - C L 6 U ) A A 4 = P N l ( I ) / A A 3 F 3 = F 3 - A A 2 + A A 4 G O T O ( 4 , 5 ) 1 1 A A2 = A A 2 / A A l A A 4 = A A 4 / A A 3

F 1 1 ) = F( I J + A A 2 - A A 4

G O T O ( 1 0 0 , 4 ) M E T H

G ( I , I ) = G < 1 , 1 ) -*2 . 0 ^ ( A A 4 / A A 3 - A A 2 / A A 1 )

C O N T I N U E

R E T U R N

C O N T I N U E

DATA CL B ( 1 ) » CIB(2),CLB( 3 ) / - 9 9 9 . 0 , - 9 9 9 . 0 , - 9 9 9 . 0 / DATA C U B ( 1 ) ,CUB 1 2 ) , C U B ( 3 ) / 9 9 9 . 0 , 9 9 9 . 0 , 9 9 9 . 0 /

DO 20 1 = 1 , N T H

I F í C l í I ) - C L B ( I ) )21•21*23 I Fi CI í 1 )) 25 ,26, 27

C L B ( I ) = 1 0 0 . * C 1 ( I ) G O T O 23

CLB(I ) = C1 ( I ) - l . E 1 0 G C T O 23

C L B ( 1 ) = 0 .

IF(CI ( I )- CU B ( I) )20,22,22 IF Í C1( I ) ) 2 8 , 2 9 , 2 4

CUB (I ) = 0. G C T O 20

CUB ( I ) = C 1 U ) + 1.E10 G O T O 20

CUB(1 ) = 1 0 0 . * C 1 ( I > C O N T I N U E

DC 8 1 = 1 , N T H

P N L ( 1 ) = . O Q 0 1 * M I N ( . C 0 1 + A E S ( C 1 ( I ) ) , C U B ( I ) - C L B ( I ) )

W R I T E ( N 0 , 3 8 )( I, C L B ( I),CU6( I ) » P N L ( I) , 1 = 1 , K T H ) F O R M A T ( / / / , 2 X , ' P A R A M E T R O S C O T A I N F . COTA S U P .

C O E F I C I E N T E CE P E KALICAC / , ( 1 9 , 2 E 1 6 . 6 , E 2 2 . 6 ) , / )

N C 0 N = 2 * N T H R E T U R N

H Y = 0 .

DO 7 1 = 1 , N T H

H Y = M I N ( Y C I )/(CI ( I )-CLB( I ) ) , Y( I ) / ( C I ( I ) - C U B t 1 ) ) , H Y ) C O N T I N U E

IF ( 1 1 - 5 ) 4 0 , 4 1 , 4 3 H = M I N ( 1 . , - . 5 / F Y ) R E T U R N

END

; S U B R U T I N A P A R A C A L C U L A R L A S M A T R I C E S I N V E R S A S

S U B R O U T I N E I N V E R ( D , N O E Q S » E )

r

D I M E N S I O N D ( 2 C t 2 0 ) , E Í 2 0 T 2 0 )

C

c

D O 2 1 = 1 » N G E C S D O 2 J = 1 • N O E G S 2 E ( 1 * J ) = 0 . O

C

D O 6 M = 1 , N O E C S 6 E ( M , M ) = 1 . 0 C

D O 1 3 M P I V R C = 1 » N C E C S N P I V C O = M P I V R C

T = D ( M P 1 V R C , K P I V C 0 ) D O 1 N = 1 • N O E Q S

E ( M P I V R C , N ) = E ( M P I V R C * N ) / T

I D ( M P I V R C » N ) = D ( M P I V R C » N ) / T C

M= 1

1 0 C O N T I N U E

i F ( M P I V R O . E C . M ) G O T O 8 C M = - 0 ( M , N P 1 V C 0 )

D O 1 1 N = 1 » N C E C S T M = 0 ( M P I V R C , N > * C M T A = E ( M P I V R C t N > - C M E < M • N > = E ( M » N ) + T A I I D I M , N ) = D ( M » N > + T M C

8 M = M + 1

I F ( M . L E . N O E C S ) G O T O 1 0 1 3 C O N T I N U E

R E T U R N E N D C

R E G R E S I O N N O - L I N E A L P O R E L M E T O D O D E G A U S 3 - N E V i T O N O C E " L I N E A L I Z A C I O N * *

O B S E R V A C I O N E S

:

1 - 0 • 5 0 0 0 0 0 E + 0 1 0 . 1 2 7 0 0 0 E + 0 3 . 2 - 0 • 3 0 0 0 0 0 E + 0 1 0 * 1 5 1 0 0 0 E + 0 3

3 - 0 • 1 0 0 0 0 0 E + 0 1 0 * 3 7 9 0 0 0 E + 0 3 4 0 • 1 0 0 0 0 0 E + 0 1 C * 4 2 1 C 0 0 E + O 3 5 0 • 3 0 0 0 0 0 E + 0 1 0 * 4 6 0 0 0 0 E + 0 3 6 0 • 5 0 0 0 0 0 E + 0 1 0 . 4 2 6 C O O E + 0 3

P A R A M E T R O S C O T A I N F « 1 - D . 9 9 9 C 0 C E + 0 3 2 - 0 * 9 9 9 0 0 0 E + 0 3

>

3 - 0 * 9 9 9 0 0 C E + 0 3

C O T A S U P . C O E F I C I E N T E C E P E N A L I D A C

O • 9 9 9 0 0 0 E + 0 3 0 * 5 0 0 0 0 1 E - Ü 1 0 . 9 9 9 0 0 0 E + 0 3

O » 9 9 9 0 0 0 E + 0 3

0 . 1 5 0 0 0 1 E - 0 1 0 . 2 0 1 0 0 C E - 0 4

P A R A M E T R O S I N I C I A L E S :

0 . 5 0 0 0 0 0 E + 0 3 — O . 1 5 0 0 0 0 E + 0 3 — 0 * 2 0 0 0 0 O E + O O

I N C L U Y E N D O F U N C I O N D E P E M L I D A D

I T E R A C I O N

F U N C I O N : - 0 . 1 4 8 t 9 5 C E + 0 5 V A L O R D E L O S P A R A M E T R O S :

0 * 4 9 9 9 S 9 8 E + 0 3

E V A L U A C I O N : 1

- 0 . 1 5 0 0 0 0 0 E + 0 3 - O . 1 9 9 9 9 9 9 E + 0 0

F U N C I O N : - 0 . 1 3 3 9 0 1 0 E + 0 5 V A L O R D E L O S P A R A M E T R O S : O * 5 2 3 2 3 3 2 E + 0 3

E V A L U A C I O N : 2 • C * 1 5 6 8 7 2 C E + C 3 - 0 . 1 9 9 7 1 2 8 E + 0 C

F U N C I O N : - 0 . 1 4 8 6 8 1 5 E + 0 5 V A L O R D E L O S P A R A M E T R O S :

0 * 5 4 6 4 6 6 5 E + 0 3

E V A L U A C I O N : 3 •0 • 1 6 3 7 4 3 9 E + 0 3 - O * 1 9 9 4 2 5 6 E + 0 0

F U N C I O N : - O * 1 3 3 9 C1OE +05 VALOR DE LOS P A R A M E T R O S : 0 . 5 2 32 32 fiE + 03

E V A L U A C I O N :

- 0 . 1 5 6 8 7 2 0 E + 0 3 - 0 . 1 9 9 7 1 2 7 E + 0 0

F U N C I O N : -O» 1339 010E +05 E V A L U A C I O N VALOR DE LOS P A R A M E T R O S :

0« 52 34 043E +03 - O . 1 5 7 0 6 2 3 E + 0 3 S I N F U N C I O N DE P E N A L I D A D

- 0 . 1 9 9 5 5 9 2 E + 0 0

I T E R A C I O N

F U N C I O N : - 0 . 1 3 3 9 0 0 9 E + 0 5 VALOR CE LOS P A R A M E T R O S :

0 . 5 2 32 32 4E +03

E V A L U A C I O N :

- O • 1 5 6872 0E+ C3 - 0 . 1 9 9 7 1 2 6 E + 0 0

F U N C I O N : - 0 . 1 3 3 9 0 1 1 E + 0 5 E V A L U A C I O N : 7 VALOR DE LOS P A R A M E T R O S :

0 . 5 2 3C32 1E + 03 - O . 1 5 6 6 3 2 0 E + C 3 - 0 . 1 9 99 549E + 0 0

M A X I M O D E LA F U N C I C N G B J E T 1 V 0 : - O . 1 3 3 9 0 0 9 E + C 5 P A R A M E T R O S :

0.5 2 3 2 3 2 4 E + 0 3 - O . 1 5 6 8 7 2 0 E + C 3 - 0 . 1 9 9 7 1 2 6 E + 0 0

E V A L U A C I O N E S DE LA F U N C I O N : ' 7 E V A L U A C I O N E S DE D E R I V A D A S : 3

M O D E L O Y a A + A 5 EXP( A * X )

1 2 3

R E S I D U A L E S ( V A L O R E S C O M P U T A D O S - V A L C R E S O B S E R V A D O S )

0 . 2 9 5 7 7 4 E + 0 2 •0.2624 C 4 E + 0 2

0 . 8 6 6 3 9 4 E + 0 2 - 0 . 2 2 9 3 5 0 E + 0 2

- C . 4 7 3 1 6 3 E + 0 2 O•39 4395E+ 02

SUMA DEL C U A D R A D C DE LOS RES I C U A L E S : O • 1 3 3 9009 E+05

D E S V I A C I O N E S T A N C A R : 0 . 6 6 8 0 6 4 2 E + 0 2

VALOR DE LOS P A R A M E T R O S

/

VI.- INTERPRETACION GEOMETRICA DEL METODO

Anteriormente observamos que ls función

modela lineal, es una función únicamente

i=1,2, ... , p. En el espacio parámetrico

el espacio geométrico generado por los parámetros 0^ le función S(0)

puede ser representada por los contornos de una superficie, semejan

temente a curvas de nivel y si el modelo es lineal, las superficies de

contorno son elípticas , concéntricas, y ppseén un solo mínimo local

y un solo mínimo global, [üer figure (1).}

Por otra parte si el modelo no es lineal, entonces los contornos de

las superficies no son elípticas, sino contrariamente, tienden a ser

muy irregulares, en ciertos casos muy elongados, e incluso con elonga_

ciones extendiendose infinitamente, (Draper 8. Smith, han llamado a est

superficies, atendiendo a su forma, "banana-shaped"), en teles circus_

tancies la función S(0) puede poseer más de un mínimo, [ver figura (2) DE GAUSS-NEUTON.

suma de cuadrados S(B)en un

de los parámetros 0^ pera

/

©2

* , T ,-! T E « ( x x ) x Y

©i

F1G.1

SUPUESTOS CONTORNOS ELIPTICOS DE LAS

SUPERFICIES S (O) EN UN MODELO LINEAL

CONTORNOS IRREGULARES DE LAS SUPERFICIES

DE S (6) EN UN MODELO NO-LINEAL.

LE forme precisa y la orientación de los contornos de la superficie S(0)

va a depender del modelo y de los datos. Cuando los contornos que rodean

al festimador mínimo cuadrado J3 son muy elongados y varios posibles va_

lores de 0 son cercanamente "buenos" s en el sentido de que los vs_

lores S'(9) son próximos s e1 valor -'de S(£), entonces se dice que

el modelo esta mal condicionado, pudiendo indicar una sobreparsmetriza___

ción, es decir, que en el modelo se tienen más parámetros que los ne

cesarios, tal situación puede también puede ser indicadora que el con

junto de datos es inadecuado para estimar los parámetros postulados en

el modelo, tal mal acondicionamiento puede ocasionar dificultades compu__

tacionales'durante el proceso de la estimación. El decidir cuando los

datos o los parámetros son los causantes de dificultades, va a depender

mucho del conocimiento práctico que se tenga del modelo que se este uti_

lizando en alguna circustancis» particular.

Después del anterior vistazo a la geometría de la función suma de cua__

drsdos S(_0), vamos ahora a ver el comportamiento geométrico del método

de Gauss-Neuton, en escencia sabemos que tal método convierte el problema

de hallar el mínimo de S(0) d e un modelo no-lineal, en una serie de pro_

blemas que tratan el modelo original como si fuera lineal, de manera

que el método, reemplaza un contorno irregular de la superficie S(S) en

un contorno elíptico.

El reeplazamiento que se realiza durante el proceso de aplicación del

método de Gauss-Neuton, puede realizarse bien o mal dependiendo de las

siguientes tres situaciones:

1o. El modelo postulado.

3o. El punto de inicio

/

El proceso se inicia en hasta alcanzar un -"óptimo", digamos B^ ;

en esta primer etaps de la iteración, psrs alcanzar B^, se utiliza la

técnica de mínimos cuadrados lineales, posteriormente se reemplaza s B^

por B^ y vuelve a repetirse le técnica de linealización y ssi sucesivs__

mente hasta alcanzar la convergencia, [v/er figura (3).]

En teoría, la convergencia siempre es aclcanzada, pero en la practi__

METODO DE GAUSS

Bl-DIMENSIONAL .

V I I . - M E T O D O D E L C O M P R O M I S O D E M A R Q U A R D T

Este método fue desarrollado por D. lii. Marqusrdt y aparece publicado

en:

Journal of Society for Industrial and Applied Mathematics, 2,

1963,pp k31-M*1.

Titulado coma:

"An Algorithm for Least Square Estimation of Nonlinear Psrametrs"

En escencia este método represents un compromiso entre el método de

Gauss-Newton y el de ascenso-descenso, conservando les mejores caracte_

risticas de embos y s la vez evitando sus més series dificultades. Casi

siempre converge, incluso para intentos iniciales relativamente malos,

situación que no se presenta en el método de Gauss-Neuton y cuando la

método de ascenso-descenso.

Antes de describir le idea central del método de Msrquardt y tomando en

cuenta que esta relacionado con el método de ascenso-descenso, vamos a

describir brevemente la idea central tie este último método. Una descripción

total, se encuentra en el trabajo:

Design Analysis of Industrial Experiments

Editado por:

•. L. Davies & Boyd, Edimburg Scotland, 1954.

El método se centre en la función suma de cuadrados n

S(B)= " ' J 2

ci)=

2¡ h

-

nx

u

;

*

}

1

y utiliza un método iterativo para hallar el mínimo de la función; la idea i

básica es le de moverse a través del vector con componentes

3 S C B )

~ 2 g_ ; pera i=1,2, ... ,p

desde -un punto inicial B^. Es decir,la idea es de moverse a través de

- y s ( B ) cuyos valores están continuamente cambiando. Se consigue esto,

sin eveluer la totalidad de las derivadas, estimando los componentes del

vector pendiente en varios lugares de la superficie S(£) con funciones

aproximadamente planas. El método se inicia en une región del espacio pa__

remétrico y con la selección de una combinación de n niveles de los 0.

' i

i=1,2, ... ,p seleccionados convenientemente, por ejemplo, con una técnica

de diseño de experimentos. Usando ahora los valores de S(0) observados

a su vez considersndo estas combineciones como los valores correspon__

dientes a los valores de las variables independientes, se obtiene el mo

délo:

P B - 0

» S(S) observado » = ^ ¿ \ C ~ 5 + ¿

1=1 1

donde 0. es la media de los niveles 0. : u=1,2,3, ... ,n. i íu ' ' ' ' '

Tel modelo es resuelto por mínimos cuadrados lineales. Si observamos la

anterior ecuación, se observa que corresponde a un hiperplano, significen__

do que la superficie S(B) es aproximada por un plano pero en le región

paremétrica en ls cual se hacen las corridas, es decir, en el sub-espa_

ció de la selección de los n niveles de los 0^ ; i=1,2,3, ... ,p.

Entonces

N - 0 . - 0 . íu i

u«=1

s.

1

2

= k ; pare k, una constante.

asi que los estimadores -b^ de los - $ ^ indican la direEción de

descenso y los s^ son factores de escela. Los valores negativos de les

estimaciones de los coeficientes indican una dirección de descenso £stee_

pest descent).

Entre mejor sea le eproximeción lineal, el máximo decremento en S(B)

se obtiene moviéndose e través de le línea que contiene los puntos teles

que

0 . - 0 .

1 1 ^

«tf -s.

I

Observamos que — ^ ^ "S(9) observado " es el vector con componentes

0. - 0.

I I

Considerando a % como el factor de proporcionalidad, el vector del "escalón"

de descenso que contiene los puntos (8^, B^, B^, ... , 0^) tales que

9. - 0.

1 1

para A > 0 s.

I

equivalentemente

B. « 0. - A b . s.

i i í l

un número de valores de ^ son seleccionados y le trayectoria del descenso

continúa y a su vez S( _B ) sigue decreciendo. Cuando esto no es asi,

se selecciona otro conjunto de valores iniciales desde otro diseño de ex_

perimentos.

Uolviendo ahora al método de Marquerdt, como se ve anteriormente en el

método de ascenso-descenso obtenemos una dirección vectorial, digamos

que es obtenida mediente el gradiente. Si consideramos que este método uti__

liza una aproximación mediante un hiperplano que atenúa el contorno de S(j0)

se puede considerar a como le mejor dirección "local" en la cual te_

nemas que movernos pera alcanzar un menor valor de S(0) pero no se le puede

considerar a ^ g como la mejor dirección "global" para alcanzar el míni_^

mo deseado.

El método de Geuss-Neuton, deja otro vector de corrección, digamos $

Marquerdt encontró que para un buen número de problemas prácticos, por él

estudiados, el ángulo, digamos ^ entre IDS vectores y 5 se encuentra

entre los valores 60a < K 90° es decir que las dos direcciones casi

siempre, ¡ están colocadas en ángulo recto !. De este modo el algoritmo c'e

Marquardt proporciona, implícitamente, el método para la interpolación de

los vectores y <5* obtener, entonces una de las mejores direcciones que

Construimos ahora la siguiente ecuación mstricial

* *

' A ¿ = 9

donde

N

[ Ai j ] 1 si 'sj ; p s r a i ^ j

1 + 31

I"4

Arbitrariamente seleccionamos a = 0.001, aclarando que Marquardt

propone un método pars calcular este valor. Entonces

1 + D.0Ü1 O.DOB275

0.008275 1 + 0.QD1

0.003757 - 0 . D G M 6 1

resolviendo el sistema

U1

b2 l=l

0.9990631 -0.0062U37 0.0037155

-0.0082^+37 0.99908G3 0.0ÜU1221

0.0037155 0.00M221 0.9990320

b' 2

U /

k.73300

1.70058

-0.253389

reconsiderando la escala utilizada obtenemos

b1 0.25393G7'

b2 zz 0.03^9863

de tal manera que

entonces

= 5 o + ^

5DG.25394 = I -149.96501

- 0.20111D6

Evaluando la función suma de cuadrados con los valores B . 0., obtenemos —o' — 1

S ( 0 ) = 14,869.486

—O '

S ( B1 ) = 14,844.824

de tal manera que S ( 8 ^ ( Jj^ ).

VIII.- DESCRIPCION DEL PROGRAMA PARA EL METODO DE MARQUARDT.

El programa esta basado en el trabajo original de

Id- E. Ball

Washington University

St. Louis, Missouri. USA

Consta de un programa principal, dos subrutinas y una función,

1.- El p r o g r a m a p r i n c i p a l l l a m a d o P R I I M C 1 P A L - B S O L U E , d e f i n e

ú n i c a m e n t e un c a n a l de s a l i d a p a r a la i m p r e s i ó n de r e s u l t a

d o s , los d a t o s de e n t r a d a se e n c u e n t r a n i m p l í c i t o s en el pr

g r a m a .

2. - La s u b r u t i n a B S O L W E es la p r i n c i p a l , d e s a r r o l l a los c

c u l o s i n i c i a l e s y c o o r d i n a a t o d a s las o t r a s s u b r u t i n a s .

3 . - La s u b r u t i n a F U N C , se u t i l i z a p a r a e s p e c i f i c a r el mod

lo, y el c u á l es p r o p o r c i o n a d o por el u s u a r i o .

_ l i z a d a i n t e r n a m e n t e en el p r o g r a m a .

S e ñ a l a m o s adicionfclmente que el p r o g r a m a e s t a p r e p a r a d o p a r a

u t i l i z a r u n a s u b r u t i n a , p a r a el c a s o en que l a s d e r i v a d a s se

c a l c u l e n a n & l i t i c a m e n t e , a c t u a l m e n t e en n u e s t r o p r o g r a m a l a s

d e r i v a d a s se c a l c u l a n n u m é r i c a m e n t e .

D e s c r i p c i ó n de a l g u n o s p a r á m e t r o s .

N N , es el n ú m e r o d e p u n t o s de e n t r a d a .

KK, n ú m e r o de i n c ó g n i t a s .

B, v e c t o r de i n c ó g n i t a s .

B M I N , v e c t o r de c o t a s s u p e r i o r e s p a r e los v a l o r e s de B .

B M A X , v e c t o r de c o t a s i n f e r i o r e s p a r a los v a l o r e s de B .

X, es el v e c t o r d e l o s v a l o r e s de la v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e .

Y, v e c t o r de los v a l o r e s de la v a r i a b l e d e p e n d i e n t e .

P H , es la f u n c i ó n o b j e t i v o de m í n i m o s c u a d r a d o s .

X, son los v a l o r e s c a l c u l a d o s de la v a r i a b l e d e p e n d i e n t e .

BU, es un v e c t o r c ó d i g o y en n u e s t r o p r o g r a m a B d o p t a el v a _

lor de 1, s e ñ a l q u e es u t i l i z a d a p a r a i n d i c a r q u e las d e r i

v a d a s se c a l c u l a n n u m é r i c a m e n t e y -1 p a r a i n d i c a r el c a s o en