Soluciones tema 5

(1)

1

_{Fórmulas trigonométricas}

Página 131

1 Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:

cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β

cos (α – β) = cos (α + (–β)) = cos α cos (–β) – sen α sen (–β) = = cos α cos β – sen α (–sen β) = cos α cos β + sen α sen β

2 Demuestra II.3 a partir de tg (α + β) = a _{a b}b

tg tg tg tg

1 – +

.

tg (α – β) = tg (α + (–β)) =

( ) ( )

a a

tg tg tg tg

b b

1– + –– =(*) 1tg–atg+a(–(–tgtgbb)) = 1tg+tg tga–atgbb

(*) Como _cossen_{( )}( )_––_aa ₌=_cos–sen_aa4 → tg (–α) = –tg α

3 Demuestra la fórmula II.3 a partir de las siguientes:

sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β

tg (α – β) = sen_cos₍(_{a b}a b–_– ₎)= sen_{cos cos}a_acos_bb₊–_{sen sen}cos_aasen_bb =(*) – +

a b a b

a b a b aa bb aa bb

a b a b

cos cos cos cos

cos cos cos coscos coscos cos sen sen

sen sen

tg tg tg tg 1 – = ₊

(*) Dividimos numerador y denominador por cos α cos β.

4 Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°. Calcula, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°, usando las fórmulas (I) y (II).

• sen 12° = 0,2

cos 12° = 1–sen212°₌ 1 0 04 0 98– , ₌ , tg 12° = _{0 98}0 2 0 2_,, = ,

• sen 37° = 0,6

cos 37° = 1–sen237°₌ 1 0 36 0 8– , ₌ , tg 37° = _{0 8}0 6 0 75_,, = ,

• 49° = 12° + 37°, luego:

sen 49° = sen (12° + 37°) = sen 12° cos 37° + cos 12° sen 37° = 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748 cos 49° = cos (12° + 37°) = cos 12° cos 37° – sen 12° sen 37° = 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664

tg 49° = tg (12° + 37°) = ₁tg_–12_tg₁₂°+_°tg_tg37₃₇°_° =_{1 0 2 0 75}0 2 0 75_–, _{, · ,}+ , =1 12,

° _cos _°° tg49 sen₄₉49 Podría calcularse =

(2)

• 25° = 37° – 12°, luego:

sen 25° = sen (37° – 12°) = sen 37° cos 12° – cos 37° sen 12° = 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 = 0,428 cos 25° = cos (37° – 12°) = cos 37° cos 12° + sen 37° sen 12° = 0,8 · 0,98 + 0,6 · 0,2 = 0,904

tg 25° = tg (37° – 12°) = ₁tg₊37_tg₃₇°–_°tg_tg12₁₂°_° =_{1 0 75 0 2}0 75 0 2₊, _{, · ,}– , =0 478,

5 Demuestra esta igualdad:

( ) ( )

( ) cos( )

cos

sen a b sen a ba b+ ++ + a b–– =tg a1

( ) ( )

cos cos

cos cos cos cos

cos cos cos cos

sen a b sen a ba b+ ++ + a b–– = sen aa b sen a sen bb–+ a sen b sen a++ a bb sen a sen b+– a sen b = cos

cos cos cos

sen aa bb sen aa tg a

22 1

= = =

6 Demuestra las fórmulas (III.1) y (III.3) haciendo α = β en las fórmulas (I). sen 2α = sen (α + α) = sen α cos α + cos α sen α = 2 sen α cos α

tg 2α = tg (α + α) = tga_{tg tg}_{a a}tga a_a tg tg

1 1

2

– + = – 2

7 Halla las razones trigonométricas de 60° usando las de 30°.

sen 60° = sen (2 · 30°) = 2 sen 30° cos 30° = · ·2 ₂1 ₂3 = ₂3

cos 60° = cos (2 · 30°) = cos 2_{30° – sen}2_{30° =}

23 – 21 43 – 41 42 21

2 ₂

= = =

e o c m

tg 60° = tg (2 · 30°) =

° °

( ·

/ ·

/ )/ / /

tg tg

1 30

2 30

12 33 33 2 31 3 93 2 32 33 3

– 2 = – 2= – = =

8 Halla las razones trigonométricas de 90° usando las de 45°.

sen 90° = sen (2 · 45°) = 2 sen 45° cos 45° = ·2 ₂2 · ₂2 1=

cos 90° = cos (2 · 45°) = cos 2_{45° – sen}2_{45° =}

22 – 22 0

2 2

=

e o e o

tg 90° = tg (2 · 45°) = tg tg

1 45

2 45

1 12 1

– °

° –·

2 = → No existe.

9 Demuestra que: a_a _aa _aa

coscos sen sen

sen sen

2 2

1 1

– –

+ = +

= = (₍ ₎) =

a a

a a a

a a

aa

coscos coscos coscos sen sen

sen sen

2 22 22 22 22 11 11

2 – – – –

+ + + +

Página 132

Hazlo tú. Halla cos 15° y tg 15°.

cos 15° = cos 30₂° = 1+cos₂ 30° = 1 3 2+₂ / = 2 3+₄

tg 15° = _°°

// coscos

1 30 1 30

1 3 2 1 3 2

2 3

2 _{3 2 3}

– – – _–

(3)

• cos α = cos_b2· a₂_l₌cos2 a₂ –sen2 a₂ Por la igualdad fundamental:

a a a a

cos2 ₂ ₊sen2 ₂ ₌1 8 1₌cos2 ₂ ₊sen2 ₂ De aquí:

a) Sumando ambas igualdades:

±

a a a a a a

cos cos cos cos cos cos

1₊ ₌2 2 ₂ 8 2 ₂ _{= +}1 ₂ 8 ₂ ₌ 1+₂

b) Restando las igualdades (2.ª – 1.ª):

±

a a 8 a a 8 a a

cos sen sen cos sen cos

1– ₌2 2 ₂ 2 ₂ ₌ 1–₂ ₂ ₌ 1–₂ • Por último:

± ± //

a

a a

aa

cos cos

cos

coscos tg ₂ sen ₂2

2 1 2 1

1 1 –

–

= = ₊ = ₊

11 Sabiendo que cos 78° = 0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razones trigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.

• cos 78° = 0,2

sen 78° = 1–cos278°₌ 1 0 2 0 98– , 2₌ , tg 78° = 0 98 4 9_{0 2},_, = ,

• sen 39° = sen 78₂° = 1–cos₂ 78° = 1 0 2 0 63–₂, = ,

cos 39° = cos 78₂°= 1+cos₂78°= 1 0 2 0 77+₂, = ,

tg 39° = tg 78₂° = 1₁–₊_coscos₇₈78_°° = 1 0 2 0 82_{1 0 2}–₊ _,, = ,

12 Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60° = 0,5. • cos 60° = 0,5

• sen 30° = sen 60₂° = 1 0 5 0 5–₂, = ,

cos 30° = cos 60₂°= 1 0 5 0 866+₂, = ,

tg 30° = tg 60₂° = 1 0 5 0 577_{1 0 5}–₊ _,, = ,

13 Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90° = 0. • cos 90° = 0

• sen 45° = sen 90₂° = 1 0₂– = ₂1 = ₂2

cos 45° = cos 90₂°= 1 0+ =₂ ₂2

(4)

14 Demuestra esta igualdad: 2 tg α · sen 2 a

2 + sen α = tg α

· ·

a a a a cosa a

tg sen sen tg sen

2 2 ₂ ₊ ₌2 1–₂ ₊ ₌ ₍_1–_cos ₎₊_sen ₌_sen ₌

a

a _a _a _a

aa

cos coscos

sen _c1– ₊₁_m

·

a a_a a a _a _aa a

cos cos cos

cos cos

sen 1– sen 1 sen tg

= c + m= = =

15 Demuestra la siguiente igualdad:

a a

sen sen sen sen

2 2

2 – 2

+ = tg 2 a2

( )

a a

a a a

a a

aa a

coscos coscos coscos sen sen

sen sen

sen

sen _tg

2 2

2 1

1 1

2

– – – – 2

+ = + = + = + =

Página 133

16 Para demostrar las fórmulas (V.3) y (V.4), da los siguientes pasos: • Expresa en función de α y β:

cos (α + β) = … cos (α – β) = …

• Suma y resta como hemos hecho arriba y obtendrás dos expresiones. • Sustituye en las expresiones anteriores:

a b a b– AB

+ = = 4

• cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β Sumando → cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β (1) Restando → cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sen α sen β (2)

• Llamando a_a b_b A_B a A B, b A B

2 2

8

– –

+ =

= 4 = + = (al resolver el sistema) • Luego, sustituyendo en (1) y (2), se obtiene:

(1) → cos A + cos B = cos2 A B₂+ cos A B₂– (2) → cos A – cos B = –2sen A B sen A B₂+ ₂–

17 Transforma en producto y calcula.

a) sen 75° – sen 15° b) sen 75° + sen 15° c) cos 75° – cos 15°

a) sen 75° – sen 15° = 2cos 75 15°₂+ ° sen 75 15°–₂ ° =2cos45°sen30 2°= · ₂2·1₂ = ₂2

b) sen 75° + sen 15° = 2sen 75 15°+₂ ° cos 75 15° – °₂ =2sen45°cos30 2°= · ₂2· ₂3= ₂6

c) cos 75° – cos 15° = –2sen 75 15°₂+ ° sen 75 15°–₂ °=–2sen45°cos30°=–2· ₂2· ₂3 =– ₂6

18 Expresa en forma de producto el numerador y el denominador de esta fracción y simplifica el resultado:

4a sen a2

cos a cos a sen

4 ++ 2

cos cos

2

cos sen

2

cos a cos a cos

sen a sen a

a a

a

a a

a a a a

a sen a tg a

4 2

2

4 22 4 2 4 2

2 4 2

2 3

2 3 ₃

– – +

+ ₌

+ +

(5)

2

_{Ecuaciones trigonométricas}

Página 134

Hazlo tú. Resuelve sen (α + 30°) = 2 cos α. sen (α + 30°) = 2 cos α

sen α cos 30° + cos α sen 30° = 2 cos α

a cosa cosa

sen 2 1

23 2

+ =

Dividimos los dos miembros entre cos α:

a 8 a 8 a

tg tg tg

2 1

23 2 3 4 4– 3

+ = + = =

Soluciones: a_a1 66 12 22_{246 12 22}° ' ''_{° ' ''} 2

= = *

Hazlo tú. Resuelve cos α = sen 2α. cos α = sen 2α

cos α = 2 sen α cos α → cos α – 2 sen α cos α = 0 → cos α (1 – 2 sen α) = 0

Posibles soluciones: _{1 2}cosa_sen0_a ₀a 90_sen°,_aa 270°_a _°, _a _° 2

1 ₃₀ ₁₅₀

8

8 8

–

1 2

3 4

= = =

= = = =

*

Al comprobarlas sobre la ecuación inicial, vemos que las cuatro soluciones son válidas.

Página 135

Hazlo tú. Resuelve sen 3α – sen α = 0. sen 3α – sen α = 0

a a a a _a _a _a _a

cos sen cos sen cos sen

2 3 ₂+ 3 ₂– =0 8 2 2 =0 8 2 =0

Si cos 2α = 0 →

° °

° ° ° °

a a

a 8 a

2 90 45

2 270 135

2 90 360 450 225

2 270 360 630 315

8 ₁

2

3 4

= =

= + = =

Z

[

\ ] ] ]]

Si sen α = 0 → α₅ = 0°, α₆ = 180°

1 Resuelve.

a) tg α = – 3 b) sen α = cos α c) sen 2_α_{= 1} _{d) sen}_α_{= tg}_α a) x = 120° + k · 360° o bien x = 300° + k · 360°

Las dos soluciones quedan recogidas en:

x = 120° + k · 180° = π2 + k π rad = x con k ∈₃

b) x = π₄ + k π rad con k ∈

c) π π

π _π

8 8

sen x x k

1 ₂ 2

1 3₂ 2

Si rad

Si – rad

= = +

(6)

d) En ese caso debe ocurrir que: π

π

8 8

cossen xx 10 xx k2k

O bien rad

O bien == == rad3 → x = k π rad con k ∈

2 Resuelve estas ecuaciones: a) 2 cos 2_α_{+ cos}_α_{– 1 = 0} b) 2 sen 2_α_{– 1 = 0} c) tg 2_α_{– tg}_α_{= 0} d) 2 sen 2_α_{+ 3 cos}_α_{= 3}

a) cosa= – ±1 1 8₄ + = – ±1 3₄ = 1 2_–₁/ ₈8_aa1 ₁₈₀60_°°, a2 300° 3

= =

=

Las tres soluciones son válidas (se comprueba en la ecuación inicial).

b) 2sen a 1 0 sen a ₂1 sena ± ± 2 1

22

8 8

–

2 ₌ 2 ₌ ₌ ₌

• Si sena= ₂2 8 a₁=45°, a₂=135°

• Si sena=– ₂2 8 a₃=– °45 315= °, a₄=225° Todas las soluciones son válidas.

c) tg 2_α_{– tg}_α_{= 0}_→_tg_α_(tg_α_{– 1) = 0} °, °

°, °

a 8 a a

tg

tg 0 0 180

1 ₃1 45 2₄ 225

= =

=

Todas las soluciones son válidas.

d) 2 sen 2_{α + 3 cos α = 3 →}(*)_{2(1 – cos}2_{α) + 3 cos α = 3} (*) Como sen 2_{α + cos}2_{α = 1 → sen}2_{α = 1 – cos}2_α 2 – 2 cos 2_α_{+ 3 cos}_α_{= 3}_→_{2 cos}2_α_{– 3 cos}_α_{+ 1 = 0} cos α = ± ±

4 3 9 8

4 3 1

– = = _/1_{1 2} Entonces:

• Si cos α = 1 → α₁ = 0°

• Si cos α = 2

1 → α₂ = 60°, α₃ = –60° = 300° Las tres soluciones son válidas.

3 Transforma en producto sen 5α – sen 3α y resuelve después la ecuación sen 5α – sen 3α = 0. sen 5α – sen 3α = 0 → 2cos 5a+₂3a sen 5a₂–3a =0 8 2cos 8₂a sen 2₂a =0 8

8 2cos4asena=0 8 )cos_sen4_aa₌=₀0

• Si cos 4α = 0 →

° ' ° ' ° ' ° '

a a a a

8 8 8 8

a a a a

90 270 90 36 270 360

22 30 4

4 4 4

67 30 112 30 157 30 °

° ° °

° °

1 2 3 4 =

= = +

= +

= = = = Z

[

\ ] ] ]]

• Si sen α = 0 → α₅ = 0°, α₆ = 180°

(7)

a) 4 cos 2α + 3 cos α = 1 b) tg 2α + 2 cos α = 0 c) 2 cos (α/2) – cos α = 1 d) 2 sen α cos 2_α_{– 6 sen}3_α_{= 0}

a) 4 cos 2α + 3 cos α = 1 → 4 (cos 2_{α – sen}2_{α) + 3 cos α = 1 →}

→ 4 (cos 2_{α – (1 – cos}2_{α)) + 3 cos α = 1 → 4 (2 cos}2_{α – 1) + 3 cos α = 1 →} → 8 cos 2_{α – 4 + 3 cos α = 1 → 8 cos}2_{α + 3 cos α – 5 = 0 →}

→ cos α = –3 9 160± ₁₆+ =–3 13₁₆± = 10 16 5 8 0 625_–₁/ = / = , • Si cos α = 0,625 → α₁ = 51° 19' 4,13'', α₂ = –51° 19' 4,13'' • Si cos α = –1 → α₃ = 180°

Al comprobar las soluciones, las tres son válidas.

b) tg 2α + 2 cos α = 0 → a_a tg tg 1

2

– 2 + 2 cos α = 0 →

→ a_a

tg tg

1– 2 + cos α = 0 →

aa aa

cos cos

sen sen

1– ₂2 + cos

α = 0 →

→ _aa a_a

cossen2 –cossen2 + cos α = 0 → sen α cos α + cos α (cos 2α – sen 2α) = 0 → → cos α (sen α + cos 2_α_{– sen}2_α_{) = 0}_→_cos_α_(sen_α_{+ 1 – sen}2_α_{– sen}2_α₎_→ → cos α (1 + sen α – 2 sen 2_{α) = 0 →}

→ cos₁ _sena _a0 _sen _a ₀ ₈ _sen_a

4 1 1 8 2

– 2 – ±_–

=

+ = = + =

*

/

1 1 2 –

• Si cos α = 0 → α₁ = 90°, α₂ = 270° • Si sen α = –

2

1 → α₃ = 210°, α₄ = 330° = –30° • Si sen α = 1 → α₅ = 90° = α₁

Al comprobar las soluciones, vemos que todas ellas son válidas.

c) 2 cos a₂ – cos α = 1 → 2 1+cos₂ a – cos α = 1 → → 1+cosa – cos α = 1 → 1–cosa = 1 + cos α →

→ 1 + cos α = 1 + cos 2_α_{+ 2 cos}_α_→_cos2_α_{+ cos}_α_{= 0}_→_cos_α_(cos_α_{+ 1) = 0} • Si cos α = 0 → α₁ = 90°, α₂ = 270°

• Si cos α = –1 → α₃ = 180°

Al comprobar las soluciones, podemos ver que las únicas válidas son: α₁ = 90° y α₃ = 180° d) 2 sen α cos 2_α_{– 6 sen}3_α_{= 0}_→_{2 sen}_α_(cos2_α_{– 3 sen}2_α_{) = 0}_→

→ 2 sen α (cos 2_α_{+ sen}2_α_{– 4 sen}2_α_{) = 0}_→_{2 sen}_α_{(1 – 4 sen}2_α_{) = 0} • Si sen α = 0 → α₁ = 0°, α₂ = 180°

• Si sen 2_α₌ 4

(8)

5 Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen (180° – α) = cos (270° – α) + cos 180° b) sen (45° – α) + 2 sen α = 0

a) sen (180° – α) = cos (270° – α) + cos 180°

sen 180° cos α – cos 180° sen α = cos 270° cos α + sen 270° sen α – 1 sen α = –sen α – 1 → 2 sen α = –1 → sen α = –

2

1 → α₁ = 210°, α₂ = 330° b) sen (45° – α) + 2 sen α = 0

sen 45° cos α – cos 45° sen α + 2 sen α = 0 → ₂2cosa– ₂2 sena+ 2sena=0 cos α – sen α + 2 sen α = 0 → cos α + sen α = 0

Dividimos entre cos α:

(9)

3

_{Funciones trigonométricas}

Página 137

1 ¿Verdadero o falso?

a) El radián es una medida de longitud equivalente al radio. b) Un radián es un ángulo algo menor que 60°.

c) Puesto que la longitud de la circunferencia es 2πr, un ángulo completo (360°) tiene 2π radianes. d) 180° es algo menos de 3 radianes.

e) Un ángulo recto mide π/2 radianes.

a) Falso. El radián es una medida angular, no es una medida de longitud. b) Verdadero, porque un radián tiene 57° 17' 45''.

c) Verdadero, porque cada radián abarca un arco de longitud r .

d) Falso. 180° es la mitad de un ángulo completo y equivale, por tanto, a π radianes, algo más de 3 radianes.

e) Verdadero. Un ángulo recto es la cuarta parte de un ángulo completo y tiene π π2₄ = radianes.₂

2 Pasa a radianes los siguientes ángulos:

a) 30° b) 72° c) 90°

d) 127° e) 200° f ) 300°

Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo: 30° = 30 ·

180π rad = 6π rad = 0,52 rad

a) ₃₆₀2 · 30° = ππ_° ₆ rad ≈ 0,52 rad b) ₃₆₀2 · 72° = ππ_° 2 rad ≈ 1,26 rad₅

c) ₃₆₀2 · 90° = ππ_° ₂ rad ≈ 1,57 rad d) ₃₆₀2 · 127° ≈ 2,22 radπ_°

e) ₃₆₀2 · 200° = ππ_° 10 rad ≈ 3,49 rad ₉ f) ₃₆₀2 · 300° = ππ_° 5 rad ≈ 5,24 rad₃

3 Pasa a grados los siguientes ángulos:

a) 2 rad b) 0,83 rad c) ₅π rad d)

6

5π rad e) 3,5 rad f ) π rad

a) 360 · 2 = 114° 35' 29,6''₂_π°

b) 360 · 0,83 = 47° 33' 19,8''₂_π°

c) 360 · π₂_π° ₅ = 36°

d) 360 · π₂_π° 5 = 150°₆

e) 360 · 3,5 = 200° 32' 6,8''₂_π°

(10)

4 Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno y añade las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de cada uno de los ángulos:

grados _{0° 30°} _{60° 90°} _{135° 150°} radianes

4 π

3

2 π _π

grados _{210° 225°} _270° _{330° 360°} radianes

3

4 π ₃5 π ₄7 π

La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto.

Página 138

5 ¿Verdadero o falso?

a) Las funciones trigonométricas son periódicas. b) Las funciones sen y cos tienen un periodo de 2π. c) La función tg x tiene periodo π.

d) La función cos x es como sen x desplazada π/2 a la izquierda.

a) Verdadero. La forma de sus gráficas se repite a lo largo del eje horizontal, cada 2π radianes. b) Verdadero.

( π) ( π)

cos cos

sen x sen x

x x

2 2 + =

+ = 4 porque 2π radianes equivalen a una vuelta completa. c) Verdadero.

tg (x + π) = tg x

(11)

E

jercicios y problemas resueltos

Página 139

1. Razones trigonométricas a partir de otras

Hazlo tú. Sabiendo que sen 54° = 0,81 halla cos 108°, tg 27°, sen 24°, cos 99°.

sen 2_{54° + cos}2_{54° = 1}_→_0,812_{+ cos}2_{54° = 1}_→_{cos 54° =} _{1 0 81 0 59}_– _, 2₌ _, cos 108° = cos (2 · 54°) = cos 2_{54° – sen} 2_{54° = 0,59}2_{– 0,81}2_{= –0,31}

tg 27° = tgc54₂°m= 1₁₊–_coscos₅₄54_°°= 1 0 59 0 51_{1 0 59}–₊ _,, = ,

sen 24° = sen (54° – 30°) = sen 54° cos 30° – cos 54° sen 30° = 0,81 · ₂3 0 59– , ·₂1 0 41= ,

cos 99° = cos (54° + 45°) = cos 54° cos 45° – sen 54° sen 45° = , ·0 59 ₂2 0 81– , · ₂2 =–0 16,

2. Identidades trigonométricas

Hazlo tú. Demuestra que sen 2α – tg α cos 2α = tg α.

Aplicamos las fórmulas del ángulo doble y las relaciones fundamentales:

sen 2α – tg α cos 2α = 2 sen α cos α – tg α (cos 2_{α – sen}2_{α) =} = 2 sen α cos α – _aa( a a)

cos cos

sen 2 _–_sen2 ₌

a

a a a a a

cos

cos cos

sen sen sen

2 2 – 2 3

= + =

= _aa( a a a)

cos cos cos

sen ₂ 2 _– 2 ₊_sen2 ₌

( )

aa a a aa a

cos cos cos

sen 2 _sen2 sen _tg

= + = =

3. Simplificación de expresiones trigonométricas

Hazlo tú. Simplifica la expresión ( a) _a ( a)

cos

cos cos

2

2 45°+ 45° – _.

( ° ) ( ° ) ( ° ° )( ° ° )

a

a a

a

a a a a

cos

cos cos

cos

cos cos sen sen cos cos sen sen

2

2 45 45

2

2 45 45 45 45

– –

+ ₌ + ₌

a

a a a a

cos

cos sen cos sen

2

2 ₂2 – ₂2 ₂2 ₂2

= e oe + o=

( )( )

a

a a a a

cos

cos sen cos sen 2· ₂2· ₂2 – ₂

= + =

a

a a

cos cos

cos cos sen

2 22 1

–

2 2

(12)

Página 140

4. Resolución de ecuaciones trigonométricas

Hazlo tú. Resuelve estas ecuaciones: a) sen 3_{x – sen x cos}2_{x = 0}

b) 3 sen x + cos x = 2 c) tg 2_x

2 = 1 – cos x d) cos cos

sen x sen x44x–+ 22x = 1

a) Extraemos factor común: sen x (sen 2_{x – cos}2_{x ) = 0} Igualamos a cero cada factor:

sen x = 0 → x = 0° + 360° · k; x = 180° + 360° · k

sen 2_{x – cos}2_{x = 0}_→_sen2_{x – (1 – sen}2_{x ) = 0}_→_2sen2_{x = 1 = sen}2_{x =} 2

1 → sen x = ± ₂2

Si sen x = ₂2 , entonces x = 45° + 360° · k ; x = 135° + 360° · k

Si sen x = – ₂2 , entonces x = 225° + 360° · k ; x = 315° + 360° · k

b) Pasamos cos x al segundo miembro y elevamos al cuadrado después: ( 3sen x) (2₌ 2–cosx)2 8 3sen x2 ₌4 4– cosx₊cos2x 8

→ 3(1 – cos 2_{x) = 4 – 4cos x + cos}2_{x → 4cos}2_{x – 4cos x + 1 = 0 →} → cos x = 4 0±₈ =₂1 8 x=60 360°+ ° ·k x; =300 360°+ ° ·k Comprobamos las soluciones porque pueden aparecer falsas soluciones al elevar al cuadrado.

x = 60° + 360° · k → ·3 ₂3+ = ₂1 2 → Vale. x = 300° + 360° · k → ·3 –₂3 + = ₂1 2 → No vale. c) Utilizamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad:

8 8 8

coscosxx cosx coscosxx cosx cosx cos x 1

1 ₁

1

1 ₁ ₁ ₁

– 2 _– – _– _– _– 2

+ = + = =

c m

→ cos 2_{x – cos x = 0 → cos x (1 – cos x) = 0 →} → )cos_cosx_x₌=₁0₈8_xx_{= +}=_{0 360}90 360_°°+ _{° ·}° ·_kk x; =270 360°+ ° ·k d) Transformamos las sumas en productos:

cos cos

2

8 8 8 8

cos

cos x _{x sen x x}

x x x x

sen xx tg x tg x 2 4 ₂2 4 ₂2

2 4 2

1 1 1 1 1

– –

+ +

= = = =

(13)

E

jercicios y problemas guiados

Página 141

1. Razones trigonométricas de (

α

+

β

); (

α

–

β

); 2

α

y

α

/2

Si sen α =

53 , 90° < α < 180°, y cos β = – 41 , 180° < β < 270°, hallar: cos (α + β); sen (α – β); tg 2α; tg

b

2. sen 2_{α + cos}2_{α = 1 →}

259 + cos 2 α = 1 → cos 2 α = 2516 → → cos α = –

5

4 porque el ángulo está en el segundo cuadrante. tg α = _–3 5_{4 5}/_/ =–₄3

sen 2_β_{+ cos}2_β_{= 1}_→_sen2_β₊

161 = 1 → sen 2β = 1615 → → sen β = –

4

15 porque el ángulo está en el tercer cuadrante. tg β = –_–_{1 4}15_//4 = 15

cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β = c–₅4m·c–1₄m– 3₅ ·e– 15₄ o= 3 15 4₂₀+ sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β = ·₅3 c–₄1m– –c ₅4m·e– 15₄ o=–4 15 3₅ –

tg 2α = 2 –·

a a

tg tg 1

2

1 ₄3 4 3

7 24 – 2 = _{– –} 2 =–

c c

m m

tg b₂ 1₁ _coscos_bb 1– – 1 ₄1

4 1

3 5

– – –

– –

= ₊ =

+c = c

m m

ya que el ángulo b₂ está en el segundo cuadrante.

2. Identidades trigonométricas

Demostrar que: cos 3x = 4 cos 3_{x – 3 cos x}

cos 3x = cos(2x + x ) = cos 2x cos x – sen 2x sen x = (cos 2_{x – sen}2_{x ) cos x – 2 sen x cos x sen x =} = cos 3_{x – sen}2_{x cos x – 2 sen}2_{x cos x = cos}3_{x – 3 sen}2_{x cos x}

3. Expresiones algebraicas equivalentes

Escribir la expresión cos (α + β) cos (α – β) en función de cos α y sen β. cos (α + β) cos (α – β) = (cos α cos β – sen α sen β) (cos α cos β + sen α sen β) =

= cos 2_{α cos}2_{β – sen}2_{α sen}2_{β = cos}2_{α (1 – sen}2_{β) – (1 – cos}2_{α) sen}2_{β =} = cos 2_{α – cos}2_{α sen}2_{β – sen}2_{β + cos}2_{α sen}2_{β = cos}2_{α – sen}2_β

4. Simplificación de expresiones trigonométricas

Simplificar esta expresión: 2 tg α cos 2 a

2 – sen α

2 tg a cos 2 a _a _a _± a _a _·

aa a a

cos

cos cos

sen tg sen sen sen

2 – 2 1 2 – 2 1 2 –

2

= c + m = + =

( )

a

a a a a

a

a a a a a

a a _a

cos

cos cos

cos

cos cos

cos

sen 1 –sen sen sen –sen sen _tg

(14)

5. Ecuaciones trigonométricas

Resolver estas ecuaciones:

a) cos 2_{(2x + 30°) =}

41 b) 4 sen x + 4 cos 2 x tg x + tg x = 0, con tg x ≠ 0 a) cos (2x + 30°) = ±₂1

Si cos (2x + 30°) = ₂1 →

·

° ° ° ° ·

° ° ° ° ° ·

8 8

x x k

2 30 60 15 360

2 30 300 135 360 2 30 60 360 195 360 2 30 300 360 315 360

° ° ° °

+ = = +

+ = + = +

Z

[

\ ] ] ]]

Si cos (2x + 30°) = – ₂1 →

° ° ° ° ·

° ° ° ° ° ·

8 8

x x k

2 30 120 45 360

2 30 240 105 360

2 30 120 360 225 360 2 30 240 360 285 360

+ = = +

+ = + = +

Z

[

\ ] ] ]]

b) Si tg x = 0 entonces x = 0° + 360° · k; x = 180° + 360° · k son soluciones de la ecuación, ya que el seno de estos ángulos también es 0.

Si tg ≠ 0, dividimos entre esta función en los dos términos de la ecuación:

8 8 8

cos

cos cos cos

tg xsen x x

x

sen xsen x x x x

4 ₊₄ 2 _{+ =}_{1 0} 4 ₊₄ 2 _{+ =}_{1 0} ₄ 2 ₊₄ _{+ =}_{1 0}

8 cos x= – ±4 0₈ =–₂1 8 x=120 360°+ ° ·k x; =240 360°+ ° ·k

6. Resolución de sistemas de ecuaciones trigonométricas

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en el intervalo [0°, 360°]:

cos cos y sen x sen x y

1

4 1 0

– =

+ = *

cos y = 1 + sen x

4 sen x (1 + sen x ) + 1 = 0 → 4 sen 2_{x + 4 sen x + 1 = 0 → sen x =} ± 8 4 0

2 1 – ₌_–

• Si sen x = ₂1 → cos y = 1+ = , que es imposible.₂1 ₂3

• Si sen x = – ₂1 → cos y = 1– =₂1 ₂1

Las diferentes posibilidades son:

; ; ;

x k

y==210 36060 360°+°+ ° ·° ·k xy==210 360300 360°°++ ° ·° ·kk xy==60 360330 360°°++ ° ·° ·kk xy==300 360330 360°°++ ° ·° ·kk

(15)

E

jercicios y problemas propuestos

Página 142

P

ara practicar

Fórmulas trigonométricas

1 Sabiendo que cos α = – 4

3 y 90° < α < 180°, calcula sin hallar el valor de α:

a) sen 2α b) tg a

2 c) sen (α + 30°) d) cos (60° – α) e) cos a₂ f ) tg (45° + α) sen 2_{α + cos}2_{α = 1 → sen}2_{α +}

169 = 1 → sen 2 α = 167 → sen α = 47 ya que el ángulo está en el 2.º cuadrante. tg a = _cossen_aa =_–7_{3 4}/_/4=– ₃7

a) sen2a=2senacosa=2·e ₄7o·c–3₄m=–3 7₈

b) tg a₂ 1₁ _coscos_aa 1– – 1 ₄3

4 3

7 –

–

= ₊ =

+c = c

m m

ya que a₂ está comprendido entre 45° y 90° (está en el 1.er_cuadrante).

c) sen(a+30°)=senacos30°+cosasen30°= ₄7 · ₂3 +c m–₄3 ·₂1 = 21 3₈–

d) ( °cos 60 –a)=cos60°cosa+sen60°sena=1₂ ·c m–3₄ – ₂3 · ₄7 = – 21 3₈–

e) cos a₂ 1 cos₂ a 1 ₂ 4 3

42 –

= + = +c m= porque a₂ está comprendido entre 45° y 90° (está en el 1.er_cuadrante).

f) ( ° ) ° _°

·

a a_a

tg 45 ₁tg_tg45₄₅tg_tg

1 1 ₃7 1 ₃7

1 7 1 7 –

– –

+ = + = + =

+ e

e

o o

2 Calcula las razones trigonométricas de 22° 30' a partir de las de 45°.

( ° ') ° /

sen 22 30 =sen 45₂ = 1–₂2 2= 2–₂ 2

( ') /

cos 22 30° =cos 45₂° = 1 2 2+₂ = 2 2₂+

( ° ') °

/ / tg 22 30 tg 45₂

1 2 1 2

2 2

2 2 2 2 –

– –

= = =

+

3 Si cos 78° = 0,2 y sen 37° = 0,6 halla las razones trigonométricas de 41° y de 115°. 41° = 78° – 37°

(16)

Ahora ya podemos calcular:

• sen41°=sen( °78 37– °)=sen78°cos37°–cos78°sen37 0 98 0 8 0 2 0 6 0 664°= , · , – , · , = , • cos41°=cos( °78 37– °)=cos78°cos37°+sen78°sen37 0 2 0 8 0 98 0 6 0 748°= , · , + , · , = , • tg41°=sen_cos₄₁41_°°= _{0 748}0 664 0 8877,_, = ,

• sen115°=sen(78 37°+ °)=sen78°cos37°+cos78°sen37 0 98 0 8 0 2 0 6 0 904°= , · , + , · , = , • cos115°=cos( °78 37+ °)=cos78°cos37°–sen78°sen37 0 2 0 8 0 98 0 6°= , · , – , · , =–0 428, • tg115°= _cossen115₁₁₅_°°=–_{0 428}0 904_,, =–2 112,

4 a) Halla el valor exacto de las razones trigonométricas de 75° a partir de las de 30° y 45°. b) Utilizando los resultados del apartado anterior, calcula las razones trigonométricas de:

105°; 165°; 15°; 195° y 135°.

a) sen 75° = sen (30° + 45°) = sen 30° cos 45° + cos 30° sen 45° = ·₂1 ₂2+ ₂3 · ₂2 = 2₄+ 6

cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45° – sen 30° sen 45° = ₂3 · ₂2 – 1₂· ₂2= 6₄– 2

tg 75° = tg (30° + 45°) = ° _° °_° +1 · tg tg

tg tg

1 3030 4545

1 ₃3 1 33

33 33 3 2 –

– –

+ ₌ ₌ + ₌ ₊

b) sen 105° = sen (30° + 75°) = sen 30° cos 75° + cos 30° sen 75° = ₂1· 6₄– 2 + ₂3· 2+₄ 6 = 6₄+ 2

cos 105° = cos (30° + 75°) = cos 30° cos 75° – sen 30° sen 75° = ₂3 · 6₄– 2 – ₂1 · 2₄+ 6= 2₄– 6

tg 105° = 4 24 6

26 3

6 2

6

2 _– ₂

– = – = –

+

sen 165 ° = sen (90° + 75°) = sen 90° cos 75° + cos 90° sen 75° = cos 75° = 6₄– 2

cos 165° = cos (90° + 75°) = cos 90° cos 75° – sen 90° sen 75° = –sen 75° = – 2₄– 6

tg 165° = 4 24 6

2 3

6 2

6

2 6 ₂

– – –

–

– _–

= =

sen 15° = sen (90° – 75°) = sen 90° cos 75° – cos 90° sen 75° = cos 75° = 6–₄ 2

cos 15° = cos (90° – 75°) = cos 90° cos 75° + sen 90° sen 75° = sen 75° = 2₄+ 6

tg 15° = 4 24 6 6 2

2 6

6 _{2 2 3}

–

– _–

+ = + =

sen 195° = sen (270° – 75°) = sen 270° cos 75° – cos 270° sen 75° = –cos 75° = 2₄– 6

cos 195° = (cos 270° – 75°) = cos 270° cos 75° + sen 270° sen 75° = –sen 75° = – 2₄– 6

tg 195° = 4 24 2

2 2

6

6 ₂ ₃

6 6

22

– –

–

– –

= = =

(17)

sen 135° = sen (180° – 45°) = sen 180° cos 45° – cos 180° sen 45° = sen 45° = ₂2

cos 135° = cos (180° – 45°) = cos 180° cos 45° + sen 180° sen 45° = –cos 45° = –₂2

tg 135° = 22 22 ₁ – =–

5 Desarrolla, en función de las razones trigonométricas de α, y simplifica las siguientes expre-siones:

a) sen (45° + α) – cos (α – 45°) b) _a a _a

coscos+2sen

c) (sen α + cos α)2_{– 2 sen}_α_{+ cos 2}_α _{d) cos}2 a

2 · sen 2 a2 + 14 cos 2α a) sen (45° + α) – cos (α – 45°) = sen 45° cos α + cos 45° sen α – (cos α cos 45° + sen α sen 45°) =

= ₂2 cosa+ ₂2 sena– ₂2 cosa– ₂2 sena=0

b) _a a _a a_a _aa ( a _aa)( a_a a) a a

coscos2sen coscos –sensen cos sencos cossen –sen cos –sen

2 2

+ = + = + + =

c) (sen α + cos α)2_{– 2 sen α + cos 2α = sen}2_{α + 2 sen α cos α + cos}2_{α – 2 sen α + cos}2_{α – sen}2_{α =} = 2(cos 2_{α + sen α cos α – sen α)}

d) cos2 a₂ ·sen2 a_{2 4}₊ 1 cos2a₌_c± 1+cos₂ a_m2· ±_c 1–₂cosa_m2₊ 1₄ cos2a₌

_{= +}1 cos₂ a ·1–₂cosa₊ 1₄ cos2a₌ 1–cos₄ 2a ₊cos₄2a ₌1₄

6 Sabiendo que cos α = –7

25 (180° < α < 270°) y tg β = 43 (180° < β < 270°), calcula tg

a b

2 + _.

Usamos la relación sen 2_{α + cos}2_{α = 1 para calcular sen α:}

a cos a a a a

sen2 ₊ 2 ₌1 8 sen2 ₊ ₆₂₅49 1₌ 8 sen2 ₌ ₆₂₅576 8 sen ₌–24₂₅_{porque el ángulo está en el 3.}er_cuadrante.

cos cos

sen _sen

bb= 34 8 b= 34 b

b cos b cos b cos b cos b cos b cosb

sen2 ₊ 2 ₌1 8 16₉ 2 ₊ 2 ₌1 8 25₉ 2 ₌1 8 2 ₌₂₅9 8 ₌–3₅_{porque también} perte-nece al tercer cuadrante.

·

b

sen = ₃4 c m–₅3 =–₅4

Como 360° < α + β < 540°, dividiendo las desigualdades entre 2 tenemos que 180° < a₂+b <270°. Por tanto, a₂+ pertenece al tercer cuadrante y la tangente de b a₂+ es positiva.b

Calculamos cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β = –₂₅7· – – –₅3 ₂₅24· –₅4=–3₅

(18)

7 Si tg a

2 = –3 y α < 270°, halla sen α, cos α y tg α.

a

aa a 8

coscos coscos tg ₂ =–3 8 1₁–₊ =–3 8 1₁–₊ a =9

→ 1–cosa= +9 9cosa 8 10cosa=–8 8 cosa=–₅4

a

sen =– 1– –c m4₅ 2=– ₂₅9 =– ₅3

/ /

a

tg =_––3 5_{4 5} =₄3

8 Si tg 2α = 6 y α < 90°, halla sen α, cos α y tg α.

± ±

a

a _a _a _a _a _a

tg

tg _tg _tg _tg _tg _tg

1

2 ₆ ₂ ₆ ₆ ₆ ₂ _{6 0}

2 6 2 28

6 1 7

8 8 8

– 2 = = – 2 2 + – = = – =–

Como α está en el primer cuadrante, solo puede darse que tg α = 6 1 7 – + _.

sen α = cosa

6 7 1–

a a a a

cos cos cos cos

6

7 1 ₁

6

8 2 7 ₁

8 8

– 2 2 ₊ 2 ₌ – 2 ₊ 2 ₌

f p

8 7 ₃ 7 cos a 1 8 cos a 8 cosa

7 3 7 7 3 7

–

– –

2 ₌ 2 ₌ ₌

·

( )

a

sen

6 7

7 3 7 1

2 77 17 –

–

––

= =

9 Expresa en función de α y simplifica esta expresión:

sen2 a₂ – cos 2 a₂ + 2 sen (90 – α)

( ° ) ( ° ° )

a _cos a _a cosa cosa _cos_a _cos _a _cos_a _cos_a _cos_a

sen2 ₂ – 2 ₂ ₊2sen 90 – ₌1–₂ – 1+₂ ₊2 sen90 – 90 sen ₌– ₊2 ₌

10 Transforma las siguientes sumas en productos:

a) sen 65° + sen 35° b) sen 65° – sen 35° c) cos 48° + cos 32°

d) cos 48° – cos 32° e) 1₂ + sen 50° f ) ₂2 + cos 75°

a) sen65°+sen35 2°= sen 65 35°+₂ °cos 65 35°–₂ °=2sen50°cos15°

b) sen65°–sen35 2°= cos 65 35°₂+ ° sen 65 35°₂– ° =2cos50°sen15°

c) cos48°+cos32 2°= cos 48 32°+₂ °cos 48 32°–₂ °=2cos40°cos8°

d) cos48° –cos32° –= 2sen 48 32°+₂ ° sen 48 32° – ° –₂ = 2sen40°sen8°

e) ₂1+sen50°=sen30°+sen50 2°= sen 30 50°₂+ ° cos 30 50°₂– °=2sen40°cos(–10°)=2sen40°cos10°

(19)

Identidades trigonométricas

11 Demuestra las siguientes identidades teniendo en cuenta las relaciones fundamentales: a) (sen α + cos α)2_{– (sen}_α_{– cos}_α₎2_{= 4 sen}_α_cos_α _{b) sen}_α_{· cos}2_α_{+ sen}3_α_{= sen}_α

c) a_a a_a _a

cos cos

sen sen

sen

1+ +1– = 2 d) coscosaa+–sensenaa · cos 2α = 1 + sen 2α

a) (sena₊cosa)2–(sena–cosa)2₌sen2a₊2senacosa₊cos2a–(sen2a–2senacosa₊cos2a)₌

₌sen2a₊2senacosa₊cos2a–sen2a₊2senacosa–cos2a₌4senacosa

b) sena·cos2a₊sen3a₌sena(cos2a₊sen2a)₌sena·1₌sena

c) a_a a_a a ₍ a _aa₎₍ a _a₎ a a

a a

aa a

cos cos coscos cos cos cos

sen sen sen sen sen sen sen

sensen sen 1₊ + 1– = – 1₊ +1– + = 12– 2 = 2 2 = 2

d) _aa a_a · a _aa a_a( a a) _aa a_a ( a a)( a a) coscos +–sensen cos2 = coscos +–sensen cos2 –sen2 = coscos +–sensen cos +sen cos –sen = ₌(cosa₊sena)(cosa₊sena)₌cos2a₊2cosasena₊sen2a₌

= +1 2senacosa= +1 sen2a

12 Prueba que son verdaderas las identidades siguientes:

a) cos (x + 60°) – cos (x + 120°) = cos x b) tg (x + 45°) – tg (x – 45°) =

tg x tg x

1 2 2

– 2 2 +

a) cos(x+60°)–cos(x+120°)=cos cosx 60°–sen x sen60° (– cos cosx 120°–sen x sen120°)= =cos cosx 60°–sen x sen60°–cos cosx 120°+sen x sen120°= =cos cosx 60°–sen x sen60°–cosx·(–cos60°)+sen x sen60°= =2cos cosx 60 2°= ·₂1 cosx=cosx

b) (tg x+45°)–tg x( –45°)=₁tg x tg_–_{tg x tg}+ 45₄₅°_° – ₁tg x tg₊_{tg x tg}– 45₄₅°_°= ₁tg x_–_{tg x}+1 – tg x₁₊_{tg x}–1 =

tg x tg x₍ _{tg x}₎₍( _{tg x}tg x tg x₎ )

tg x tg x

1 1

1 2 1 2

1 2 2

– – – – _–

2 2

= + + ₊+ = +

13 Comprueba que se verifican las dos identidades siguientes:

a) sen α sen (α + β) + cos α cos (α + β) = cos β b)

( )

a ba b a b a b

sen sen

tg tg tg tg

– –

+ ₌ +

En b), divide numerador y denominador entre cos α cos β.

a) sen sena (a b+ +) cos cosa (a b+ =) sena(senacosb+cosasenb)+cosa(cos cosa b–sen sena b)= ₌sen2acosb₊senacosasenb₊cos2acosb–cosasen sena b₌

₌(sen2a₊cos2a)cosb₌cosb

b) ₍(_{a b}a b)₎ _aa _bb a_a b_b

a

a ba ba b a b a b

coscos coscos

cos cos coscos coscos cos cos

sensen sensen sensen sen sen

sen sen

b

– – –

+ ₌ + ₌ + ₌

– +

aa bb aa bb aa bb aa bb

aa bb

cos coscos coscos cos cos coscos coscos cos

sen sen

tgtg –tgtg

= +

14 Demuestra.

a) tg α + _tg1_a =_sen2₂_a b) 2 tg α cos 2 a₂ – sen α = tg α

a) a _a _aa a_a a_a _aa _a _a _a _a _a

cos cos coscos cos cos

tg + _tg1 = sen + _sen =sen_sen2 + 2 =_sen 1 =₂_sen2 = _sen2₂

(20)

15 Demuestra.

a) cos (α + β) cos (α – β) = cos 2_β_{– sen}2 _α b) sen (α + β) sen (α – β) = sen 2_α_{– sen}2 _β

a) cos(a+b)cos(a b– ) (= cos cosa b–sen sena b)(cos cosa b+sen sena b)=

₌cos2acos2b₊cos cosa bsen sena b–sen sena bcos cosa b–sen2asen2b₌

₌cos2acos2b–sen2asen2b₌(1–sen2a)cos2b–sen2a(1–cos2b)₌ ₌cos2b–sen2acos2b–sen2a₊sen2acos2b₌cos2b–sen2a

b) sen(a b+ )sen(a–b) (= senacosb+cosasenb)(senacosb–cosasenb)=

₌sen2acos2b–senacos cosb asenb₊cosasen senb acosb–cos2asen2b₌

₌sen2acos2b–cos2asen2b₌sen2a(1–sen2b) (– –1 sen2a)sen2b₌

₌sen2a–sen2asen2b–sen2b₊sen2asen2b₌sen2a–sen2b

16 Demuestra las siguientes igualdades:

a) _aa _aa

cos tgsen2 sen

2 2

+ = cos α b)

acoscosa a

sen12– ₊ 2 2 = 2 tg 2α c) sen 2α cos α – sen α cos 2α = sen α d) 2₂sen_sena_a–₊_sensen₂2_aa = tg 2 a₂ e) a_a

cos sen

1+ 22 = tg α

a) _aa _aa a( _a a) _aa sen

aa a a _a a

aa

cos cos

cos cos cos

cos

tgsen sen sen tg tg sen sen

sen

sen 2

2

2 1– –

2 2 2 2

2 2

2

+ = + = + =

a _a a _aa _aa a

cos cos

cos coscos cos

sen sen

–

2 2 2 2

= + = =

b) _a a _a _a( a _a a)_a a _a a _aa a

cos cos

cos

sen sen sen

sen sen sen _tg

2

1– 2 1 1 2 ₂

–

– – –

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2

2 ₂

+ = + = + = =

c) sen2acosa–senacos2a₌2senacos cosa a–sena(cos2a–sen2a)₌

₌2senacos2a–senacos2a₊sen3a₌senacos2a₊sen3a₌

₌sena(cos2a₊sen2a)₌sena

d) 2₂sen_sena_a–_sensen₂2_aa 2₂sen_sena_a–2_sensen_aa_coscos_aa 2₂sen_sena_a(₍1₁–_coscos_aa₎) 1₁–_coscos_aa tg2 a₂

+ = + = + = + =

e) a_a

aa a a

cos cos cos

sen

sen sen

1₊ 22 = 1₊2 2 – 2 =(*) _cos2sen2_aa₊_coscos2a_a = 2sen₂_cosa2cos_aa =sen_cosa_a =tg a (*) 1₌cos2a₊sen2a 8 –sen2a₌cos2a–1

17 Comprueba, sin utilizar la calculadora, las siguientes igualdades.

a) sen 130° + sen 50° = 2 cos 40° b) cos 75° – cos 15° = – 22

a) sen130°+sen50 2°= sen 130 50°₂+ ° cos 130 50°₂– °=2sen90°cos40 2°= cos40°

(21)

Ecuaciones trigonométricas

18 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2 sen 2_{x = 1} _{b) 3 tg}2_{x – 1 = 0} _{c) 1 – 4 cos}2_{x = 0} _{d) 3 tg x + 4 = 0}

a) 2sen x 1 8 sen x ₂1 8 sen x ± ± 2 1

22

2 ₌ 2 ₌ ₌ ₌

• Si sen x= ₂2 8 x=45 360°+ ° ·k x; =135 360°+ ° ·k • Si sen x=– ₂2 8 x=225 360°+ ° ·k x; =315 360°+ ° ·k

Es decir, las soluciones son todos los ángulos del tipo x = 45° + 90° · k

b) 3tg x 1 0 8 tg x ₃1 8 tg x ± ± 3 1

33 –

2 ₌ 2 ₌ ₌ ₌

• Si tg x= ₃3 8 x=30 360°+ ° ·k x; =210 360°+ ° ·k • Si tg x=– ₃3 8 x=150 360°+ ° ·k x; =330 360°+ ° ·k c) 1 4– cos2x₌0 8 cos2x₌ ₄1 8 cosx₌± ₂1

• Si cos x= ₂1 8 x=60 360°+ ° ·k x; =300 360°+ ° ·k • Si cos x=–₂1 8 x=120 360°+ ° ·k x; =240 360°+ ° ·k

d) 3tg x+ =4 0 8 tg x=–₃4 8 x=126 52 12 360° ' ''+ ° ·k x; =306 52 12 360° ' ''+ ° ·k

19 Resuelve estas ecuaciones: a) 2 cos 2_{x – sen}2_{x + 1 = 0} b) sen 2_{x – sen x = 0} c) 2 cos 2_{x – 3 cos x = 0}

a) 2 cos 2_{x – sen}2_{x + 1 = 0}

cos 2 x 8 2cos x–cos x 0

2 2 ₌

4

cos 2_{= 0}_→_{cos x = 0}_→ ° ° x

x 90 270 1 2 = = *

Al comprobarlas en la ecuación inicial, las dos soluciones son válidas. Luego:

° · ° π π

x k k

90 360 ₂ 2 270 360 3₂ 2 1

2

= + = +

4

con k ∈

Lo que podemos expresar como:

° · ° π π

x=90 +k 180 = +₂ k con k ∈

b) sen x (sen x – 1) = 0 8 sen x_{sen x} ₁0₈8 _xx1 ₉₀0°,_°x2 180°

3

= = =

= =

*

Comprobando las posibles soluciones, vemos que las tres son válidas. Luego:

· ° π

° · ° π π

x k k

x k k

360 2

180 360 2

90 360 ₂ 2 1

2

3

= =

= + = +

_

`

a bb

(22)

O, de otra forma:

π · °

π ° · °

x k k

x k k

180

2 2 90 360

π 1

3 = =

= + = +

4

con k ∈

(x₁ así incluye las soluciones x₁ y x₂ anteriores)

c) cosx(2cosx 3 0) 8 cos_cosx_x 0 8₈x _x 90°,_°,x _x 270° _°

23 30 330

– 1 2

3 4

=

*

=₌ =₌ =₌

Las cuatro soluciones son válidas. Luego:

° · ° π

x =90 +k 360 = +π 2k

° · ° π π

x k k

2 270 360 3₂ 2 30 360 ₆ 2 330 360 11₆ 2 1

2

3

4

= + = +

_

`

a b b bb b b bb

con k ∈

nota: Obsérvese que las dos primeras soluciones podrían escribirse como una sola de la siguiente forma: x = 90° + k · 180° = π₂ +kπ

20 Resuelve.

a) sen 2_{x – cos}2_{x = 1} _{b) cos}2_{x – sen}2_{x = 0} _{c) 2 cos}2_{x + sen x = 1} _{d) 3 tg}2_{x – 3 tg x = 0}

a) (1–cos2x)–cos2x 1 8 1 2– cos2x 1 8 cos2x 0 8 cosx 0 8 x_x1 90₂₇₀°_°

2

= = = = * =₌

Las dos soluciones son válidas. Luego:

° · ° π π

x k k

90 360 ₂ 2 270 360 3₂ 2 1

2

= + = +

4

con k ∈ O, lo que es lo mismo:

° · ° π π

x=90 +k 180 = +₂ k con k ∈

b) (1–sen x sen x2 )– 2 ₌0 8 1 2– sen x2 ₌0 8 sen x2 ₌ ₂1 8 sen x₌± ₂2 • Si sen x= ₂2 8 x₁=45°, x₂=135°

• Si sen x=– ₂2 8 x₃=225°, x₄=315°

Comprobamos que todas las soluciones son válidas. Luego:

° · ° π π

x k k

45 360 ₄ 2 135 360 3₄ 2 225 360 5₄ 2 315 360 7₄ 2 1

2

3

4

= + = +

_

`

a b b bb b b bb

con k ∈

O, lo que es lo mismo:

° · ° π · π