CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Oscar Cardona Villegas

Héctor Escobar Cadavid

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA

ESCUELA DE INGENIERÍAS

MÓDULO 1

COORDENADAS CARTESIANAS

Hasta el siglo XVII el álgebra y la geometría se desarrollaron como disciplinas

matemáticas independientes, sin embargo Descartes y Fermat dieron un gran paso

en el desarrollo de la geometría, el cual consistió en hacer a ésta menos

geométrica y más algebraica, lo que les permitió expresar las figuras geométricas

en forma de ecuaciones algebraicas. Así se resolvieron problemas considerados

antes insolubles.

El objetivo central de la geometría analítica es entonces encontrar la

representación geométrica adecuada de las expresiones algebraicas y por lo tanto

resolver los problemas de la geometría por medio del álgebra. El punto clave para

lograr esto está en la introducción de un sistema de referencia, idea simple pero

genial de Descartes en 1619, que dio origen a la geometría analítica clásica.

Actualmente, con la introducción de una herramienta tan poderosa como los

vectores, la geometría analítica clásica se ha simplificado de manera notable.

El concepto fundamental sobre el que se desarrolla la geometría analítica es el

establecimiento de una correspondencia biunívoca entre los números reales y los

puntos de una recta. Esto se conoce como el axioma de Cantor y Dedekind. Por el

momento la idea de recta es la misma que se trae desde geometría euclidiana,

como un término indefinido al cual se hace una aproximación por medio de los

Axioma de Cantor Dedekind:

Existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de

una recta de modo que:

a. A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real.

b. A cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta.

Este axioma es la base para definir las coordenadas cartesianas. En las secciones

siguientes se definen las coordenadas cartesianas sobre una recta, un plano, el

espacio tridimensional y, por inducción, en el espacio de

n

dimensiones.

1.1 COORDENADAS CARTESIANAS EN UNA DIMENSIÓN

Sobre una recta horizontal (esto es convencional, la recta puede ir en cualquier

dirección) se escoge de forma arbitraria un punto

O

correspondiente al real cero y

al cual se le llama origen. Luego se escoge, como convenga, una longitud como

unidad de medida y con esta se localiza a la derecha de

O

un punto

P

₁ y se le

asigna el número

1

. El origen divide a

l

en dos semirrectas, la que contiene a

P

₁ se llama el lado positivo y la otra el lado negativo. A todo punto

P

sobre el lado

positivo se le asocia el número correspondiente a la longitud del segmento

OP

medido en términos de

OP

₁; y a todo punto

P

en el lado negativo se le asocia el

negativo del número real obtenido de la misma manera. De este modo dos

números consecutivos de (o de los enteros) quedan separados en

l

por un

-3 -2 -1 0 1 2 3

Lado positivo Lado negativo

Figura 1.1 Coordenadas cartesianas de una dimensión

Establecida esta correspondencia, la recta se llama recta numérica real o eje

coordenado y el número real asociado se llama su coordenada. Si

x

es la

coordenada de

P

se escribe

P

=

( )

x

ó

P x

( )

.

Definición 1.1

Dados los puntos sobre la recta real

P x

₁

( )

₁ y

P x

₂

( )

₂ ,la distancia euclidiana entre

ellos está dada por:

2

1 2 1 2

(

1 2

)

PP

=

x

−

x

=

x

−

x

Definición 1.2

La recta numérica real con la distancia o métrica* _{euclidiana se conoce como}

espacio euclidiano unidimensional. Y se representa por

E

.

1.2 COORDENADAS CARTESIANAS EN DOS DIMENSIONES

Si se toman dos rectas reales no paralelas

l

₁ y

l

₂ (convencionalmente tomamos a

1

l

horizontal) que tengan definida la misma unidad de medida y que se corten en

sus orígenes, entonces se genera lo que se denomina un plano cartesiano (figura

1.2).

l2

l1

Py

Px

y

x

O

P

Figura 1.2. Coordenadas cartesianas en dos dimensiones

Si

P

es un punto cualquiera del plano, este se puede condicionar o referenciar

trazando por

P

paralelas a

l

₁ y

l

₂. La paralela a

l

₂ corta a

l

₁ en

P x

_x

( )

y la

paralela a

l

₁ corta a

l

₂ en

P y

_y

( )

. El punto

P

queda determinado biunívocamente por la pareja ordenada

( , )

x y

. Esta pareja de números reales se denomina coordenadas cartesianas de

P

; y más concretamente

x

se denomina

la abscisa y

y

la ordenada. Se escribe

P

=

( , )

x y

o

P x y

( , )

.De este modo es preferible llamar a

l

₁ como eje de las

x

(o eje

x

) y a

l

₂ como eje de las

y

(o eje

y

); el punto de corte de los dos ejes es el origen

O

y, claro, tiene asignada la

pareja

(0,0)

.

Lo más conveniente es que los ejes coordenados sean perpendiculares. En ese

caso se tiene un plano cartesiano ortogonal y la pareja ordenada

( , )

x y

se llama coordenadas cartesianas ortogonales de

P

.

Los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes que se numeran

Primer cuadrante Segundo cuadrante

Tercer cuadrante Cuarto cuadrante x y

P(X0,-Y0)

·

Figura 1.3. Plano cartesiano ortogonal

Teorema 1.1

Si

P x y

₁

( , )

_{1 1} y

P x y

₂

( , )

_{2 2} son dos puntos cualesquiera del plano cartesiano

ortogonal (fig. 1.4) entonces la distancia o métrica euclidiana entre ellos (que

se define como la longitud del segmento que los une) está dada por:

2 2

1 2

(

1 2

)

(

1 2

)

PP

=

x

−

x

+

y

−

y



Y

X P1

P2 y2

y1

x2 x1

Actividad en clase: demostrar el teorema anterior.

Definición 1.3.

El plano cartesiano ortogonal con la métrica euclidiana recibe el nombre de

Espacio Euclidiano Bidimensional y se simboliza por

E

2.

Nótese que lo que se ha hecho es representar cada punto del plano como una

pareja ordenada de números reales, es decir, se ha establecido una

correspondencia biunívoca entre los elementos de 2 y los puntos del plano

cartesiano. Esta relación es tan estrecha que, en la práctica, se dice que el punto

es la pareja ordenada y viceversa.

Teorema 1.2

Sean

P x y

₁

( , )

_{1 1} y

P x y

₂

( , )

_{2 2} dos puntos del plano y

P

₃ un punto del segmento

1 2

PP

tal que

PP

_{1 3}

=

r P P r

_{3 2}

,



+

−

 

0

(fig. 1.5). Las coordenadas

( , )

x y

_{3 3} de

3

P

en términos de las coordenadas de

P

₁ y

P

₂ están dadas por :

₃ 1 2

1

x

rx

x

r

+

=

+

y 3 1 2

1

y

ry

y

r

+

=

Y

X P2

P3

Figura 1.5. Teorema 1.2

Actividad en clase: demostrar e ilustrar este teorema.

Corolario: Si

P

₃ es el punto medio de

PP

_{1 2} entonces

r

=

1

y sus coordenadas

son: ₃ 1 2

2

x

x

x

=

+

y ₃ 1 2

2

y

y

y

=

+

1.3 COORDENADAS CARTESIANAS EN TRES DIMENSIONES

Si se toman las tres rectas reales

l l

₁

,

₂ y

l

₃ no coplanares y concurrentes en sus

orígenes, en las en las cuales se ha definido la misma unidad de medida, se

genera un espacio cartesiano tridimensional. Cualquier punto

P

situado en dicho

espacio se puede condicionar o referenciar biunívocamente al trazar por

P

planos

paralelos a los planos generados por cada par de rectas. El plano paralelo a

l l

_{2 3}

Lo más conveniente es que

l l

₁

,

₂ y

l

₃ sean ortogonales dos a dos (fig. 1.6), en

este caso

( , , )

x y z

se llaman coordenadas cartesianas ortogonales de

P

.

Z

X Y

z

x

y P(x,y,z)

Figura 1.6. Coordenadas cartesianas en tres dimensiones

Las rectas

l l

₁

,

₂ y

l

₃ se conocen como ejes

x y

,

y

z

; los planos

xy yz

,

y

xz

se llaman planos coordenados; la coordenada

x

se llama abscisa, la coordenada

y

ordenada y la

z

cota o altura. Las ocho partes en que se divide el espacio,

octantes. El que corresponde al lado positivo

( )

+

de los 3 ejes es el primero.

Finalmente, el lado positivo de los ejes se elige según lo que se conoce como

sistema derecho: tomando (imaginariamente desde luego) el eje

x

con la mano

derecha y con el pulgar en el sentido positivo, los otros dedos se curvan desde el

eje

y

hacia el eje

z

. (fig. 1.7)

Como en el caso del plano, se ha establecido una correspondencia biunívoca entre

los puntos del espacio tridimensional y el conjunto de las ternas ordenadas de

números reales 3.

Teorema 1.3

Sean

P x y z

₁

( , , )

_{1 1 1} y

P x y z

₂

( , , )

_{2 2 2} dos puntos cualesquiera del espacio

cartesiano ortogonal. La distancia o métrica euclidiana entre

P

₁ y

P

₂es:

PP

_{1 2}

=

(

x

₁

−

x

₂

)

2

+

(

y

₁

−

y

₂

)

2

+

(

z

₁

−

z

₂

)

2

Actividad en clase: demostrar e ilustrar este teorema.

Definición 1.4

El espacio cartesiano ortogonal con la métrica euclidiana se denomina Espacio

Euclidiano Tridimensional y se representa por

E

3.

Teorema 1.4

Dado un segmento de

E

3 con extremos

P x y z

₁

( , , )

_{1 1 1} y

P x y z

₂

( , , )

_{2 2 2} . Si

P

₃ es

un punto del segmento

PP

_{1 2} tal que

PP

_{1 3}

=

r PP

_{3 2} entonces las coordenadas

3 3 3

( , , )

x y z

de

P

₃son :

1 2 3

1

x

rx

x

r

+

=

+

3 1 2

1

y

ry

y

r

+

=

+

3 1 2

1

z

rz

z

r

+

=

+

1.4 COORDENADAS EN N DIMENSIONES (N>3)

Por inducción, se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los

puntos de un espacio

n

dimensional

(

n



3)

y n, el conjunto de las n-adas ordenadas de números reales.

Un espacio de más de tres dimensiones se conoce como hiperespacio*_{. Para la}

mente humana es difícil concebir un mundo físico de más de tres dimensiones

pues nuestros sentidos sólo perciben un espacio tridimensional. Sin embargo, los

espacios

n

dimensionales

(

n



3)

tienen un tratamiento matemático análogo al del espacio tridimensional y aunque no tienen porqué tener relación directa con el

mundo físico, si son de gran utilidad en muchas aplicaciones.

En un hiperespacio cartesiano ortogonal de

n

dimensiones, el sistema de

referencia está formado por

n

rectas, cada una de las cuales es perpendicular a

las demás, tienen un origen común y una misma unidad de medida. A cada punto

P

situado en dicho espacio le corresponde una única n-ada

( , ,..., )

x x

_{1 2}

x

_n ,

llamada sus coordenadas cartesianas ortogonales y donde cada

x

_i es la

coordenada sobre

l

_i del punto de proyección de

P

sobre ella. Se representa

1 2

( , ,..., )

_n

P x x

x

.

Un conjunto de puntos (figura geométrica) en un espacio

E

n con

n



1

se denomina una variedad. Por ejemplo, el universo físico de la relatividad se puede

considerar como una variedad de cuatro dimensiones dotado de una métrica, que

describe las propiedades físicas del universo.

Definición 1.5

Sean

P x x

₁

( , ,..., )

_{1 2}

x

_n y

P y y

₂

( , ,..., )

_{1 2}

y

_n dos puntos de un hiperespacio

cartesiano ortogonal. La distancia euclidiana entre

P

₁y

P

₂ es:

_{1 2} 2

1

(

)

n

i i

i

PP

x

y

=

=



−

Definición 1.6

El hiperespacio cartesiano ortogonal de

n

dimensiones con la métrica euclidiana

se llama Espacio Euclidiano

n

dimensional y se representa por

E

n.

1.5 Ejemplos

1. Halle las longitudes de las medianas del triángulo cuyos vértices son los puntos

−

−

( 1,2), (3, 3) y (4,5)

A

B

C

Solución: referirse a la figura 1.8 en la que se ha dibujado el triángulo.

Sean

D E

,

y

F

los puntos medios de los lados del triángulo. Por el teorema 1.2 se obtienen sus coordenadas así:

1,

1

2

D

=



_

−



_





3 7

_,

2 2

E

_{= }





_





7

_,1

2

F

_{= }





_





por el teorema 1.1, se hallan las longitudes de las medianas

AF BE

,

y

CD

.

(

)

=

− −

7 2

+ −

2

=

2

85

|

|

1

(2 1)

2

( )

(

)

=

−

3 2

+ − −

7 2

=

2 2

178

|

|

3

3

2

BE

(

)

(

)

=

−

2

+ +

1 2

=

2

157

|

|

4 1

5

2

CD

Y X A B C D E F

Figura 1.8. Ejemplo 1

2. Halle las coordenadas del baricentro del triángulo del ejemplo 1.

Solución:

El baricentro es el punto de corte de las medianas del triángulo. De la geometría

euclidiana se sabe que el baricentro esta a

2

₃

de la longitud de una mediana desde el vértice respectivo.

Tomando, por ejemplo, la mediana

CD

; si

P x y

( , )

es el baricentro, entonces se

cumple que,

CP

2

PD

=

Por el teorema 1.2,

=

+

=

+

4 2(1)

2

1 2

x

y

1

5 2

₄

2

1 2

3

El baricentro tiene coordenadas

( )

2,

3₄ .

3. El segmento de

A

(3, 2,4)

−

a

B

(5,6, 2)

−

se prolonga en una distancia igual a su longitud. Encuentre las coordenadas del punto final y del punto medio de la

parte agregada.

Solución:

Supóngase que el segmento se extiende hasta el punto

C x y z

( , , )

_{1 1 1} . El punto

B

queda como punto medio de

AC

, o sea que por el teorema 1.4 y con

r

=

1

:

5

3

1

, 6

2

1

2

2

x

y

+

− +

=

=

, y

2

4

1

2

z

+

− =

y de ahí,

x

₁

=

7,

y

₁

=

14

y

z

₁

= −

8

El punto extremo es entonces

C

(7,14, 8)

−

El punto medio de

BC

, por el mismo teorema, es

(6,10, 5)

−

.

4. Pruebe que los puntos

P

₁

(7, 1,2), (4,2,2), (4, 1,5)

−

P

₂

P

₃

−

y

P

₄

(3, 2,1)

−

son los

vértices de un tetraedro regular.

Solución:

Todas las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros. Los puntos

otros tres, o sea si

PP

_{1 2}

=

PP

_{1 3}

=

PP

_{1 4}

=

PP

_{2 4}

=

PP

_{3 4} . Mediante el teorema 1.3

se verifica que todas estas distancias miden

3 2

.

1.6 EJERCICIOS

Ejercicios básicos

1. Halle las coordenadas del punto del eje

x

que equidista de los puntos en

3

E

,

A

(2,1, 5)

−

y

B

( 1,7,3)

−

.

2. Verifique en cada caso si los puntos siguientes son colineales o no.

a.

(3,3),(0,1),(9,7)

b.

( 3,1),(1,3),(10,8)

−

c.

( 2, 2),(5, 2),( 11,2)

− −

−

−

3. Si

( 3, )

−

y

equidista de

(2,6)

y

(7, 2)

−

, encuentre

y

.

4. Encuentre las coordenadas del punto que está a

1 5

de la distancia de

( 7,2,1)

A

−

a

B

(3,7,11)

.

5. Dados

A

( 5,8, 3)

−

−

y

B

(6,5, 5)

−

, encuentre las coordenadas de un punto

P

sobre

AB

extendido más allá de

B

, de modo que

AP

=

2

AB

.

6. Encuentre la condición para que el punto

P x y z

( , , )

diste trece unidades del punto

A

( 3,4,12)

−

.

7. Halle en cada caso las coordenadas del punto que divide el segmento

AB

en

la razón

r

dada:

c.

A

( 2, 2), ( 4,1),

− −

B

−

r

=

5 2

8. Halle las coordenadas del punto del segmento

PQ

que está a

3 4

de la

distancia de

P

(2,5,6)

a

Q

(6, 7, 2)

− −

a partir de

P

.

9. Dados los puntos

A

(3, 1,6)

−

y

B

(5,4,2)

, halle

C

sobre la recta

AB

, tal que

AC

mida el doble que

AB

(2 soluciones).

10. Halle las coordenadas de los puntos de trisección y el punto medio del

segmento cuyos puntos extremos son

(5, 1,7)

−

y

( 3,3,1)

−

.

11. Determine si los puntos siguientes son colineales o no.

a.

(0, 2. 5), (3,4,4), (2,2,1)

− −

b.

(1, 1,5), (0, 1,6), (3, 1,3)

−

−

−

c.

(1,2.4), (2,5,0), (0,1,5)

Ejercicios avanzados

1. Muestre que los puntos

P

₁

( 2,5), (3,9), (11,7)

−

P

₂

P

₃ y

P

₄

(6,3)

son los vértices

de un paralelogramo.

2. Los puntos medios de los lados de un triángulo son

( 5,2),(2,4)

−

y

(5,5)

. Halle las coordenadas de los vértices del triángulo.

3. Halle las coordenadas del baricentro (punto de corte de las medianas) del

triángulo con vértices en

(2, 1),( 4,7)

−

−

y

(8,0)

.

4. Muestre que los puntos

A

(8,9), ( 6,1)

B

−

y

C

(0,5)

son los vértices de un triángulo isósceles.

5. Deducir la fórmula para encuentre la distancia entre dos puntos

P x y

₁

( , )

_{1 1} y

2

( , )

2 2

P x y

si estos están referidos a un sistema cartesiano no ortogonal cuyos

6. Muestre que los puntos

A

(1,1 2 3), B(2+ 3,2+ 3), C( 3, 3)

+

, son los

vértices de un triángulo equilátero.

7. Verificar si

A

(1,4, 6), B(2,8,1), C(4,3,-1)

−

y

D

(5,7,6)

, son los vértices de un paralelogramo. (Ayuda: recuerde que se debe verificar si los puntos son

coplanares).

8. Determine la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto

( , , )

x y z

equidista de los dos puntos

(3,0,1)

y

( 2,2,1)

−

.

9. Dados los puntos

A x y

( , )

_{1 1} y

B x y

( , )

_{2 2} de modo que los segmentos

OA

y

OB

son lados adyacentes de un paralelogramo y

O

el origen, halle las coordenadas

del cuarto vértice del paralelogramo.

10. Un octágono regular de lado

2

se coloca con centro en el origen y dos de sus lados paralelos al eje

x

. Halle las coordenadas de sus vértices.

11. Pruebe, usando lo visto en este capítulo, que el segmento de recta que une el vértice del ángulo recto con el punto medio de la hipotenusa de un triángulo

rectángulo mide la mitad de la hipotenusa.

12. Muestre que los puntos

A

(2,2,0), B(6,6,0)

y

C

(6,2,1)

son los vértices de un triángulo isósceles y encuentre su área.

13. Halle el área del triángulo de

E

2 cuyos vértices son los puntos

1

(2,3), (4,7)

2

P

P

y

P

₃

(3,9)

.

14. Un cohete despega de un punto

P

de la Tierra tal que

OP

forma con los ejes

X

y

Y

ángulos de 

3 y



4 respectivamente. El sistema de referencia se sitúa

con origen en el centro de la Tierra y de modo que el eje

Z

pasa por los polos.

El cohete viaja en línea recta hacia un satélite a

500 Km

de altura sobre la

superficie. A 1₃ del recorrido se suelta el tanque de combustible; halle las