Tema 14 Vectores

250

VECTOR

Las magnitudes vectoriales vienen representadas por vectores, cuya representación gráfica es una flecha.

Un vector en un plano es un segmento orientado que tiene su origen en el punto, A, del plano y su extremo en el punto, B, de dicho plano. Este vector así definido se escribe, AB.

Si en un vector su punto origen, A, y su punto extremo, B, coinciden se dice que es un vector nulo.

El conjunto de todos los vectores que existen en un plano se le denomina, ℝ2.

Los elementos que caracterizan a un vector, AB, son:

Origen, A

Punto en el que comienza ó está aplicado el vector, AB.

Extremo, B

Punto en el que termina el vector, AB.

Dirección

Es la dirección de la recta que contiene a los puntos, A, y, B, origen y extremo respectivamente del vector, AB.

Sentido

Es el recorrido de la recta cuando se va desde el punto, A, hasta el punto, B, origen y extremo respectivamente del vector, AB.

Cada dirección tiene dos sentidos posibles, el que va desde el punto, A, hasta el punto, B, y el opuesto que va desde el punto, B, hasta el punto, A.

Módulo

Es la longitud del segmento, AB, que tiene sus extremos respectivamente en los puntos, A, y, B, del plano. Indica, en la unidad elegida, el valor numérico de la magnitud correspondiente y se representa por

AB



= AB

Si las coordenadas del punto origen del vector, AB, son A(x1,y1), y las coordenadas del punto extremo del vector,

AB, son, B(x2,y2), en un sistema de coordenadas cartesiano,

O,X,Y, entonces se definen las componentes del vector, AB, como la diferencia entre las coordenadas del punto extremo, B, y las coordenadas del punto origen, A.

= B – A= (x2,y2) - (x1,y1)= (x2 -x1,y2 -y1)= (u1,u2) u2

Las componentes de un vector son sus proyecciones sobre los ejes coordenados, X, e, Y, del sistema de coordenadas cartesiano, O,X,Y.

Algunas de las propiedades del módulo de un vector son:

El módulo de un vector es siempre un número positivo.

AB



= AB> 0

El módulo de un vector, AB= (u1,u2), del que se conocen sus componentes viene dado por:

AB



= AB



u



u





x



x





(

y



y

)

Vector unitartio

Vector que tiene por módulo la unidad

Para obtener un vector unitario en la misma dirección y sentido que un vector dado, se divide éste por su módulo.

Hallar un vector unitario en la misma dirección y sentido que el vector, u(5,-2)

Hallar un vector unitario en la misma dirección y sentido opuesto que el vector, u(5,-2)

Vector nulo

Vector que tiene por módulo el valor cero.

Dependiendo de cómo sean los elementos del vector éstos se clasifican en:

Iguales

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Opuestos

Dos vectores son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios. Las componentes correspondientes de ambos vectores son opuestas.



u

u

u





1 2

( ,

)

u





u u

  



_u

₍

_u

_,



_u

₎



2 2

(5, 2)

(5, 2)

(5, 2)

5

2

,

25 4

29

29

29

5

( 2)

u

u

u





















_{ }

_







 





2 2

(5, 2)

( 5, 2)

( 5, 2)

5

2

,

25 4

29

29

29

5

( 2)

u

u

u

























_{ }

_







252

Libre

Viene determinado únicamente por sus componentes. Carece de:

Punto de aplicación, el cual es arbitrario.

Línea de acción, siendo ésta cualquier recta paralela a su dirección.

Los vectores libres pueden trasladarse paralelamente a si mismos sin que su efecto varíe.

Fijo

Viene determinado por sus componentes, su línea de acción y su punto de aplicación.

Equipolentes

Los vectores libres son equipolentes cuando tienen la misma, dirección, líneas de acción paralelas, módulo y sentido pero distintos puntos de aplicación. Un vector del sistema se diferencia únicamente de otro vector del sistema en su punto origen y en su punto extremo. Tienen sin embargo las mismas componentes.

El conjunto de los vectores equipolentes del plano definen una clase de equivalencia. Se denomina vector libre a un representante de esta clase, siendo su módulo, dirección y sentido el módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de sus representantes.

Si, AB, es un vector libre del plano y, O, es un punto cualquiera de ese plano, entonces existe un único representante de esa clase de equivalencia que tiene su origen en el punto, O.

Si el sistema está formado por dos vectores que tienen igual módulo y sentidos opuestos constituyen un par.

Ligados o Deslizantes

Son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Vienen determinados por sus componentes. Tienen el mismo módulo, dirección y sentido y su punto de aplicación se encuentra sobre la misma recta.

Los vectores deslizantes pueden trasladarse a lo largo de su línea de acción sin que su efecto varíe.

Concurrentes

Son vectores que tienen un origen común.

Vector de posición de un punto, P

Es el vector, OP, que une el origen de coordenadas, O, de un sistema de referencia con el punto, P.





1 1

(

)

u

 

 

v

u



v



u



v

Dados dos vectores libres, u, y, v, del plano, su suma es otro vector libre del plano definido por, u+v.

Para sumar dos vectores libres, u, y, v, se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el origen del otro vector. El vector suma

es aquel que une el origen del primer vector con el extremo del último vector.

Si los vectores libres vienen definidos por sus componentes, u=(u1,u2), y, v=(v1,v2), el vector

suma de ambos es otro vector cuyas componentes se obtienen sumando las componentes semejantes de ambos vectores.

El módulo del vector suma viene dado por la expresión



La dirección de este vector suma se obtiene a través del ángulo que forma con el eje, X, de un sistema de referencia cartesiano mediante la expresión

2 2

1 1

u

v

tg

u

v









= arco tg 2 2

1 1

u

v

u

v





La suma de vectores tiene las siguientes propiedades:

Asociativa

(u + v) + w= u + (v + w)

Conmutativa

u + v= v + u

Elemento neutro

Existe el vector nulo, o, que verifica:

u + o= o + u= u

Elemento opuesto

Todo vector, u, posee un vector opuesto, -u, que tiene el mismo módulo, la misma dirección, y sentido contrario. Además se verifica:

u + (-u)= (-u) + u= o

La suma de vectores libres es independiente del punto elegido como origen

1 2 1 2 1 2 1 2

( ,

) ( ,

)

(

,

)

254 Existen los siguientes casos particulares en la suma de dos o más vectores:

Sumar vectores con la misma línea de acción

Se distingue:

Vectores con el mismo sentido

El vector resultante, R, de la suma de vectores, A, B…,que tienen la misma dirección y sentido es un vector que tiene la misma dirección y sentido que esos vectores y cuyo módulo es la suma de los módulos de dichos vectores.

Vectores con sentidos contrarios

El vector resultante, R, de la suma de dos vectores, A, y, B, que tienen la misma dirección y sentidos opuestos es un vector que tiene la misma dirección que esos vectores, sentido el del vector que tiene mayor módulo y por módulo la diferencia de los módulos de dichos vectores

Sumar vectores concurrentes

El módulo del vector resultante, R, se obtiene a través del teorema del coseno aplicado a uno cualquiera de los triángulos formados

2 2

2. . .cos R A B  A B 

los ángulos, , y, , son suplementarios

cos = -cos 

por lo que finalmente se tiene

2 2

2. . .cos R A B  A B 

Si fuesen más de dos los vectores concurrentes se aplicaría la propiedad asociativa de la suma dividiendo el sistema en parejas de vectores y calculando su resultante por separado, hasta llegar al vector resultante final.

Sumar dos vectores concurrentes perpendiculares

Gráficamente el vector resultante coincide en módulo, dirección y sentido con la diagonal del paralelogramo cuyos lados son los vectores concurrentes

El módulo del vector resultante, R, se determina aplicando el teorema de Pitágoras.

2 2 R A B

La dirección del vector resultante, R, viene dada por la tangente del ángulo, , que este vector forma con uno cualquiera de los vectores concurrentes

A tg

B

Gráficamente los vectores se pueden sumar por uno de estos procedimientos:

Regla del polígono

Para sumar dos vectores libres, , y, , se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector. El vector suma es aquel que une el origen del primer vector con el extremo del último.

Al sumar más de dos vectores, A, B, C…, partir del extremo de uno de ellos se traza el vector equipolente de otro, en el extremo de éste último se traza el vector equipolente al siguiente vector y así sucesivamente. El vector que une el origen del primer vector con el extremo del último es el vector suma o resultante de los vectores dados.

Regla del paralelogramo

Para sumar dos vectores libres, , y, , se escogen como representantes dos vectores con el origen común. Se trazan rectas paralelos a ellos por sus extremos obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con el vector suma de ambos vectores.

Siempre se puede descomponer un vector como suma de vectores que vayan dirigidos en la dirección de los ejes coordenados de un sistema de referencia cartesiano, llamados componentes de ese vector. Los vectores componentes de un vector dado son perpendiculares entre sí y actuando a la vez producen el mismo efecto que dicho vector.

Restar

Dados dos vectores libres, u, y, v, del plano, su resta es otro vector libre del plano definido por, u-v.

Si los vectores libres vienen definidos por sus componentes, u=(u1,u2), y, v=(v1,v2), el vector

resta de ambos es otro vector cuyas componentes se obtienen restando las componentes semejantes de ambos vectores.

1 2 1 2 1 2 1 2

( ,

)

( ,

)

(

,

)

u

 

 

v

u u



v v



u



u v



v

El módulo del vector resta viene dado por la expresión Trazar una

paralela al eje X

Trazar una paralela al eje Y

v

y

v

x

v

Componente x Componente y

vx = v. cos α

vy = v . sen α

v

y

v



x

256





1 1

(

)

u

 



v



u



v



u



v

La dirección de este vector suma se obtiene a través del ángulo que forma con el eje, X, de un sistema de referencia cartesiano mediante la expresión

2 2

1 1

t

g

u

v

u

v









= arco tg 2 2

1 1

u

v

u

v





Gráficamente para restar dos vectores libres, u, y, v, se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final del primero coincida con el origen del vector opuesto al segundo vector. El vector suma es aquel que une el origen del primer vector con el extremo del vector opuesto al segundo vector.

(

)

u





v





u



 



v

Producto de un número real, kℝ, por un vector, u

Dado un vector libre no nulo, u, del plano y un número real, k, se define el producto de ambos por un vector, ku, que tiene:

Módulo k .u

Dirección la dirección del vector, u.

Sentido el sentido del vector, u, si el escalar, k, es positivo y el opuesto al del vector, u, si el escalar, k, es negativo.

Si, u O, k= 0 k.u= O, es el vector nulo.

Si, u= O, k 0 k.u= O, es el vector nulo.

Gráficamente el producto del vector, u, por el escalar, k, es otro vector que tiene las siguientes características:

Es de igual dirección que el vector, u.

Es del mismo sentido que el vector, u, si el escalar, k, es un número positivo y de sentido opuesto si el escalar, k, es un número negativo.

Al multiplicar un número, k, por un vector, u, se obtiene:

k>1 un vector de la misma dirección y sentido que el vector, u, y de mayor longitud que éste.

0<k<1 un vector en la misma dirección y sentido que el vector, u, y de menor longitud que éste.

-1<k<0 un otro vector con la misma dirección y sentido opuesto que el vector, u, y de menor longitud que éste.

Si el vectores libre viene definido por sus componentes, u=(u1,u2), el vector que resulta de

multiplicar este vector por el número real, k, tiene por componentes las componentes del vector, u, multiplicadas por el escalar, k.

1 2 1 2

.

.( ,

)

( . , . )

k u





k u u



k u k u

El producto de un vector por un número real tiene las siguientes propiedades:

Distributiva del producto del escalar con respecto a la suma de vectores

k.(u + v)= ku + kv

Distributiva del producto por un escalar con respecto a la suma de escalares

(k + k’)u= ku + k’u

Asociatividad mixta

k(k’u)= (k.k’)u

Unicidad

1.u= u

El producto de un vector por un número real permite considerar a todo vector como múltiplo de otro cualquiera de su misma dirección y sentido. Si este otro vector tiene módulo unidad se denomina vector unitario.

u= u.

u

ˆ

u módulo del vector, u

ˆ

u

En función del producto de un escalar por un vector se obtiene una notación muy útil para representar los vectores del plano. Para ello en el plano se definen los vectores unitarios, i, y, j, dirigidos respectivamente según los ejes coordenados, X, e, Y, de un sistema de referencia cartesiano, O,X,Y, como aquellos vectores que tienen módulo unidad, dirección la de estos ejes coordenados y sentido el sentido positivo de los mismos. De esta forma, cualquier vector se puede escribir en función de ellos sin más que multiplicarlos por determinados números reales y finalmente sumarlos.

u= (4,3)= 4i + 3j

Cuando un vector, u, del plano se escribe en función de los vectores unitarios, i, y, j, se dice que es una combinación lineal de ellos.

Una combinación lineal de dos o más vectores,

v1, v2, ..., vn, es el vector que se obtiene al sumar esos

vectores multiplicados por determinados escalares, a1, a2, ..., an, según la expresión.

v= a1.v1+a2.v2+ ...+an.vn

Se verifica:

X

Y

i



j



4i



3 j



258

Cualquier vector del plano se puede escribir como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección, y esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres se dicen linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que da el vector nulo, sin que sean cero todos los escalares de la combinación lineal.

v= a1.v1+a2.v2+ ...+an.vn

ai  0

Los vectores linealmente dependientes tienen las siguientes propiedades:

Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal del resto de los vectores.

de aquí se escribe

2 3

1 2 3

1 1

.

.

a

a

v

v

v

a

a

 









Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos juntos son linealmente dependientes.

Dos vectores del plano son linealmente dependientes, si y sólo si son paralelos.

Dos vectores libres del plano, u(u1,u2), y, v(v1,v2), son linealmente dependientes si

son proporcionales.

.

u





k v



expresión que en función de sus componentes se escribe



u u

,





k v v

.( ,

)

1 2

1 2

u

u

k

v



v



Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres se dicen linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos que da el vector nulo obliga a que sean cero todos los escalares.

a1.v1+a2.v2+ ...+an.vn= 0

ai= 0

Se verifica:

1

.

.

.

0

Si los vectores son linealmente independientes, ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal del resto de vectores.

Si los vectores son linealmente independientes entonces todos tienen distintas direcciones y sus componentes no son proporcionales.

Se denomina base en un espacio de, n-dimensiones, a, n-vectores, linealmente independientes que permiten escribir cualquier vector del espacio como combinación lineal de los vectores que constituyen la base.

Si el espacio es bidimensional, es decir, un plano una base está constituida por un conjunto formado por dos vectores linealmente independientes, es decir, por dos vectores que sean no nulos. y no proporcionales, por lo que cualquier vector del plano puede escribirse como combinación lineal de dichos vectores

En un espacio bidimensional, dos vectores, , y, , con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del plano puede escribirse como combinación lineal de ellos.

.

.

x



a u



b v







Las coordenadas del vector,

x



= (a,b)

Los vectores que forman una base no pueden ser paralelos.

Un caso particular de base es:

Base Ortogonal

En un espacio, n-dimensional, está constituida por, n-vectores, perpendiculares entre sí.

Base Ortonormal

En un espacio, n-dimensional, está constituida por, n-vectores, perpendiculares entre sí y de módulo la unidad.

En un espacio dimensional cuando la base está formada por los vectores unitarios, i, y, j, se le llama la base canónica, la cual se representa

B={i,j}

los vectores, i, y, j, que constituyen esta base tienen por componentes

ˆ

_{(1, 0)}

i



ˆ

j



(0,1)

ˆ

ˆ

i



j

i

ˆ



ˆ

j



1

y es la base que se utiliza habitualmente

Se denomina sistema de referencia en un espacio, n-dimensional, al conjunto formado por un punto, O, de dicho espacio llamado origen del sistema de referencia y, n-vectores, linealmente independientes que constituyen una base de dicho espacio.

260 En el plano, un sistema de referencia está constituido por un punto, O, y una base formada por dos vectores,

( , )

u v

 

Sistema de referencia ortogonal

Los vectores que constituyen la base son perpendiculares y en general tienen distinto módulo.

Sistema de referencia ortonormal

Los vectores que constituyen la base son perpendiculares y tienen módulo unidad.

Si la base elegida en el plano es la canónica, B={i,j}, y el punto, O, el punto donde se cortan los ejes, X, e, Y, llamados ejes

coordenados, un vector, u, del plano puede escribirse como combinación lineal de los vectores de la base del sistema de referencia

u= xi + yj

se llaman coordenadas cartesianas del vector, u en este sistema de referencia al par de números reales, x, e, y, que permiten expresar a ese vector como combinación lineal de los vectores de la base. Escribiéndose, u= (x,y), de esta forma, a cada vector del plano, u, se le asocia de modo único un par de números reales, (x,y), y viceversa.

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, u, y, v, definidos en un plano en el que está definido un sistema de referencia canónico, es un número real cuyo valor se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que

forman dichos vectores cuando sus orígenes son coincidentes. Se expresa

u.v= u.v.cos (u,v)= u.v.cos 

La longitud del segmento, OA’, viene dada por la expresión

.cos

OA



u







proy u



y se la conoce como proyección del vector, u, sobre el vector, v. Esta longitud también puede considerarse como el producto escalar de ambos vectores en el caso de que el vector, v, fuese unitario.

ˆ

.

. .cos

.cos

u v





u v





u





proy u



Se deduce que la expresión del producto escalar anterior puede escribirse de la forma

Gráficamente el producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro vector sobre él.

Si el producto escalar es de un vector con sigo mismo se sigue

de donde

.

.

.cos

.

u v



u v





v proy u



u proy v

 

 









2

.

.

.cos 0

.

.1

2

.

u





u u

 



u



De la definición inicial de producto escalar se puede obtener una expresión que permita hallar el ángulo que forman dos vectores

El producto escalar de dos vectores tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa

u.v= v.u

u.v= u.v.cos (u,v)= v.u.cos (v,u)= v.u

El producto escalar de un vector no nulo consigo mismo es siempre positivo

u o, u.u> 0

u.u= u.u.cos (u,u)= u.u.cos 0= u.u.1= u2> 0

Asociativa con respecto a un escalar, k, ó propiedad homogénea

k.(u.v)= (k.u).v= u.(k.v)

k> 0

k.(u.v)= k.u.v.cos (u,v)= (k.u).v.cos (u,v)= (ku).v

k.(u.v)= k.u.v.cos (u,v)= u.(k.v).cos (u,v)= u.(kv) k< 0

k.(u.v)= k.u.v.cos (u,v)= ( k.u).v.cos (ku,v)= (ku).v

k.(u.v)= k.u.v.cos (u,v)= u.(k.v).cos (u,kv)= u.(kv) Distributiva

u.(v+w)= u.v + u.w

Producto escalar de los vectores unitarios, i, j

i.i= 1.1.cos 0= 1.1.1= 1 i.j= 1.1..cos 90= 1.1.0= 0

j.j= 1.1.cos 0= 1.1.1= 1 j.i= 1.1.cos 90= 1.1.0= 0

Si se trabaja en el plano, donde las bases están formadas por dos vectores linealmente independientes y donde los vectores vienen definidos por dos componentes. El producto escalar de los vectores, u=(u1,u2), y, v=(v1,v2), cuyas componentes vienen definidas en una

base, (a,b), formada por los vectores, a, y, b, viene dado por la expresión

.

cos

.

u v

u v





 

 

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

.

( ,

).( ,

)

( .

. ).( .

. )

.

.

.

.

.

.

.

.

u v

 



u u

v v



u a u b







v a v b









u v a a u v a b u v b a u v b b

 



 



 



 



1 1 1 2 2 1 2 2

2 2

.

.

cos 0

.

.

cos

.

.

cos

.

.

cos 0

u v a a

 



u v a b

 





u v b a

 





u v b b

 



262 Expresión que se simplifica cuando la base es ortogonal a

Expresión que se simplifica aún más cuando la base es ortonormal, quedando reducido a

Si la base ortonormal es la base canónica, el producto escalar de dos vectores se puede desarrollar en función de sus coordenadas cartesianas de la forma

u= xi + yj

v= x’i + y’j

u.v= (xi + yj).(x’i + y’j)= x.x’.i.i + x.y’.i.j + y.x’.j.i+ y.y’.j.j=

x.x’.1.1.cos (i,i) + x.y’.1.1.cos (i,j) + y.x’.1.1.cos (j,i) + y.y’.1.1.cos (j,j)=

x.x’.cos 0 + x.y’.cos 90 + y.x’.cos 90 + y.y’.cos 0= x.x’.1 + y.y’.1= x.x’ + y.y’

En función de este resultado se obtiene el módulo de un vector, u, del que se conocen sus coordenadas cartesianas en una base canónica

u.u= u.u.cos 0= u2

u.u= (xi + yj).(xi + yj)= x.x + y.y= x2 + y2

igualando ambos resultados

u2= x2 + y2

2 2

u



x



y

Dado que el producto escalar de dos vectores, u, y, v, se puede desarrollar de dos formas distintas, y como el resultado final de ambas ha de ser el mismo

u.v= u.v.cos (u,v)= u.v.cos 

u.v= x.x’ + y.y’

igualando ambos resultados se obtiene una expresión que permite obtener el ángulo, , que forman dichos vectores.

u.v.cos = x.x’ + y.y’

cos =

. '

. '

.

x x

y y

u v





= arco sen

Se deduce que si dos vectores, u, y, v, son perpendiculares entonces su producto escalar es nulo, pues en ese caso el ángulo que forman es, 90º, y su coseno es nulo. Del desarrollo de su producto escalar se deduce entonces la condición de perpendicularidad de dos vectores

x.x’ + y.y’= 0

2 2 ' 2 ' 2 . ' . '

.

x x y y x y x y



 

2 2 ' 2 ' 2 . ' . '

.

x x y y x y x y



 

2 2

1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2

.

. 1

( .

. ) 1 . 1 cos 90

.

1

.

.

u v

 



u v



u v



u v

 



u v



u v



u v

2 2

1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2

.

.

( .

. )

.

cos 90

.

.

.

.

Hallar la proyección del vector, u=(2,1), sobre el vector, v=(-3,4)

 

.

2.( 3) 1.4

2

2

5

25

3

4

u v

proy u

v

















 





Dados los vectores, u=(1,2), y, v=(3,4), referidos a la base canónica. Hallar: El ángulo que forman dichos vectores

El valor de, m, para que el vector, w=(-1,m) sea ortogonal al vector, v.

cos =

. '

. '

.

x x

y y

u v





2 2 2 2

1.3

2.4

0'984

1

2 . 3

4









= cos-1 0’984= 10º 15’ 47”

Si, w┴ v, w.v= 0

(-1).3 + m.4= 0

m=

3

4

Hallar la proyección del vector, v(5,12), sobre el vector, u(6,1)



2 2

(6, 1) (6, 1) (6, 1) 6 1 30 12 18

. . (5,12). (5,12). (5,12). (5,12). ,

36 1 37 37 37 37 37 37

6 ( 1) u

u proy v v u v

u              _{ }            

Sean, a, y, b, dos vectores de módulos respectivamente, 6, y, 2, tales que el coseno del ángulo que forman es, 2/3. Hallar:

a.(a+b)

2

.(

)

.

.

. .cos 0

. cos( , )

6.6.1 6.2.

36

8

44

3

a a

 



b





a a

 



a b

 



a a



a b

a b

 







 

a.(a+2b)

2

.(

2 )

.

2 .

. .cos 0

2 . cos( , )

6.6.1 2.6.2.

36 16

52

3

a a

 



b





a a

 



a b

 



a a



a b

a b

 











(a+b)2

2 2

2 2

( ) 2 . . .cos 0 2 . cos( , ) . .cos 0 6.6.1 2.6.2. 2.2.1 36 16 4 56

3

ab a  a b b a a  a b a b  b b       

Utilizando las propiedades del producto escalar y sabiendo que, u= 5, v= 3, y que el ángulo que forman los vectores, u, y, v, es, 60º, hallar, (u-2v).(3u+v)



u





2 . 3



v



u







v





3 .

u u

 



5. .

u v

 



2 .

 

v v



3. . .cos 0

u u



5. . .cos 60

u v



2. . .cos 0

v v



3.5.5.1 5.5.3.

1

2.3.3.1

75

75

18

39

2

2

2

264

Demostrar que los vectores, a(a1,a2), y, b(-a2,a1), son siempre perpendiculares. si son perpendiculares su producto escalar ha de ser siempre nulo

a.b= (a1,a2).(-a2,a1)= -a1.a2 + a1.a2= 0

Hallar el valor de, k, para que los vectores, a(3,k), y, b(2,-1), sean: Perpendiculares.

su producto escalar ha de ser nulo

(3,k).(2,-1)= 3.2 + (-1).k= 6 – k= 0

k= 6

Tengan la misma dirección.

los vectores han de ser paralelos, por lo que sus componentes han de ser proporcionales

3

2

1

k





2k= -3

k=

3

2



Formen un ángulo de, 45º.

2 2 2 2 2

(3, ).(2, 1)

3.2

.( 1)

6

2

(3, ).(2, 1)

3

. 2

( 1) .cos 45

9

. 5.

2

k

k

k

k

k

k









 







 





igualando ambos resultados del producto escalar de esos vectores

2

2

6

9

. 5.

2

k

k







2

12



2

k



9



k

. 10

elevando ambos miembros al cuadrado

2 2 2

2 2 2

(12

2 )

( 9

. 10)

144

48

4

10.(9

)

90 10

k

k

k

k

k

k



















pasando a un miembro todos los términos resulta una ecuación de segundo grado, que simplificada y resulta permite conocer los valores de, k.

2

2

6

48

54

0

6

9

0

6

36

36

6

72

2

2

k

k

k

k

k













 



 

Hallar el ángulo que forman los vectores, (3,4), y, (12,-5)

2 2 2 2

(3, 4).(12, 5)

3.12

4.( 5)

36

20 16

(3, 4).(12, 5)

3

4 . 12

( 5) .cos



25. 169.cos



5.13.cos



65.cos























 







igualando ambos resultados

65.cos

16

16

cos

65









16

cos

65

ar







Hallar dos vectores perpendiculares al vector, v(5,-2)

un vector perpendicular al vector, v(5,-2), es, (2,5)

otro vector perpendicular es el opuesto al perpendicular anterior, (-2,-5)

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores, a, y, b, definidos en un mismo sistema de coordenadas cartesiano, O,X,Y,Z, da como resultado otro vector, ab, que tiene por módulo el producto de los módulos de ambos vectores por el seno del ángulo que forman, por dirección la perpendicular al plano que

determinan ambos vectores y por sentido el del avance de un sacacorchos cuando hacemos girar el primer vector sobre el segundo por el camino más corto, regla de Maxwell, según la expresión

ab= a.b.sen 

Gráficamente el módulo del producto vectorial coincide numéricamente con el área del paralelogramo del que dos de sus lados son los vectores, a, y, b.

Las componentes de estos vectores en el sistema de referencia cartesiano, O,X,Y,Z, son

a= (ax,ay,az)= axi + ayj + azk

b= (bx,by,bz)= bxi + byj + bzk

 ángulo que forman los vectores a, y, b, cuando sus orígenes son coincidentes.

El producto vectorial de dos vectores tiene las propiedades:

No Conmutativa ó Anticonmutativa

266 ab= -(ba)

el sentido del vector producto vectorial, ab, es opuesto al sentido del vector producto vectorial, ba .

Distributiva del producto vectorial con respecto a la suma de vectores

Dados tres vectores, a, b, c, la propiedad distributiva afirma que

c(a+b)= ca+cb

Producto Vectorial de los vectores i, j, k

ii= 0 ii= i.i.sen 0= 1.1.sen 0= 1.1.0= 0

jj= 0 jj= j.j.sen 0= 1.1.sen 0= 1.1.0= 0

kk= 0 kk= k.k.sen 0= 1.1.sen 0= 1.1.0= 0

ij= -ji= k ij= i.j.sen 90= 1.1.sen 90= 1.1.1= 1= -1.1.sen 270= -j.i.sen 270=

-ji

ik= -kvi= j ik= i.k.sen 90= 1.1.sen 90= 1.1.1= 1= -1.1.sen 270= -k.i.sen 270=

-ki

jk= -kj= i jk= j.k.sen 90= 1.1.sen 90= 1.1.1= 1= -1.1.sen 270= -k.j.sen 270=

-kvj

teniendo en cuenta estas propiedades el producto vectorial de dos vectores, a, y, b, en función de sus componentes se escribe

ab= (axi+ayj+azk)( bxi+byj+bzk)=

axbx ii+axby ij+axbz ik + aybx ji+ayby jj+aybz jk + azbx ki+azby kj+azbz kk

sustituyendo los productos vectoriales de los vectores unitarios por su resultado se tiene

ab= axbyk+axbzj+aybz(-k)+aybzi+azbx(-j)+azby(-i)= (aybz-azby)i+(axbz-azbx)j+(axby-aybx)k

expresión que se corresponde con el desarrollo del determinante

x y z

x y z

i

j

k

a

b

a

a

a

b

b

b















Si los vectores, a y b, son paralelos el ángulo, , que forman es, 0º, en cuyo caso

= 0º, sen = sen 0º= 0

El producto vectorial de dichos vectores es nulo

ab= 0

ab= a.b.sen = a.b.sen 0= a.b.0= 0

para que la expresión del producto vectorial de los vectores, a y b, dada por el desarrollo del determinante, se anule es necesario que las filas de dicho determinante, formadas por las componentes rectangulares de los vectores, a y b, sean proporcionales

y

x z

x y z

a

a

a

b



b



b

ecuación que expresa la condición de paralelismo de dos vectores, a y b, en el sistema de coordenadas rectangulares, O,X,Y,Z.

Producto mixto de tres vectores

El producto mixto de tres vectores definidos en un mismo sistema de referencia cartesiano, O,X,Y,Z, da como resultado un escalar que viene dado por la expresión

P= a.(bc)

Gráficamente el producto mixto de tres vectores coincide con el volumen del paralelepípedo cuyos lados miden respectivamente el módulo de los vectores, a, b, y, c.

Sean

a= (ax,ay,az)= axi + ayj + azk

b= (bx,by,bz)= bxi + byj + bzk

c= (cx,cy,cz)= cxi + cyj + czk

vectores definidos en un sistema de coordenadas cartesiano.

Teniendo en cuenta la expresión obtenida para el producto escalar y para el producto vectorial de dos vectores en función de las componentes de los vectores, se tiene para el producto mixto de tres vectores

P= a.(bc)= (axi+ayj+azk).[(bycz-bzcy)i+(bxcz-bzcx)j+(bxcy-bycx)k]=

ax(bycz-bzcy)+ay(bxcz-bzcx)+az(bxcy-bycx)

expresión que coincide con el desarrollo del determinante

x y z

x y z

x y z

a

a

a

P

b

b

b

c

c

c



Si se llama, w, al vector obtenido por el producto vectorial de los vectores, b, y, c.

w= bc

se escribe entonces

268 OM altura del paralepípedo

El producto mixto de tres vectores tiene las siguientes propiedades:

Permutación Cíclica

Una permutación cíclica de los vectores no altera el resultado del producto mixto.

Sean

a,b,c vectores

La propiedad de permutación cíclica afirma que

P= a.(bc)= b.(ca)= c.(ab)

Producto mixto nulo

Si los tres vectores son coplanarios entonces su producto mixto es nulo por no generarse un paralelepípedo con volumen.

Doble producto vectorial

El doble producto vectorial de los vectores, a, b y c, definidos en un mismo sistema de referencia cartesiano, O,X,Y,Z, da como resultado un vector, a(bc), que viene dado por la expresión

w= a(bc)= b.(a.c)-c.(a.b)

se deduce de las propiedades del producto vectorial:

El vector doble producto vectorial, a(bc), es un vector perpendicular a los vectores, a, y, bc, respectivamente.

El vector producto vectorial, bc, es perpendicular a los vectores, b, y, c.

Entonces los vectores, a(bc), b, y, c, son coplanarios.

Triple producto vectorial de cuatro vectores

El triple producto vectorial de cuatro vectores definidos en un mismo sistema de referencia cartesiano, O,X,Y,Z en un es un vector dado por la expresión

w= (ab) (cd)