Segura - 2018 - CGE Gobierno Desempleo e Insumos Intermedios.pdf

Un Modelo de Equilibrio General Computable

Con Gobierno, Impuestos y Desempleo

Formulación e Implementación Numérica con el

GAMS

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La Economía Modelo: Características Fundamentales

▪ Economía Pequeña, Cerrada;

▪ Un Consumidor Representativo;

▪ Tres Industrias: que fabrican su producción a partir de una agregación Leontief de Factores de Producción y Consumos Intermedios;

o Agregador CES en el paquete K-L,

o Agregador Leontief en el paquete de insumos intermedios;

▪ Capital y Trabajo pueden moverse entre sectores;

▪ Se introduce un Mercado de Inversión;

▪ Hay desempleo involuntario endógeno;

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La Economía Modelo: Cuentas Económicas

Hogares Gobierno Inversión IND COM SRV IND COM SRV LAB CAP RA GOV TAXC TAXL TAXK TAXM TAXY INV

IND 20 15 50 183 15 283

COM 40 5 20 55 5 125

SRV 250 250

IND 246 246

COM 120 120

SRV 250 250

LAB 90 20 120 230

CAP 50 60 60 170

Hogares RA 230 170 20 420

Gobiernos GOV 42 44 22 0 162 270

TAXC 37 5 0 42

TAXL 36 8 0 44

TAXK 10 12 0 22

TAXM 0

TAXY 162 162

Inversión (Ahorro) INV 20 20

Resto del Mundo ROW 0

283 125 250 246 120 250 230 170 420 270 42 44 22 0 162 20 0 Impuestos

TOTAL

TOTAL MCS / SAM [Economia + Gobierno]

Impuestos

ROW Mercancías Producción Factores

Mercancías

Ramas

4

1.

El Gobierno

El gobierno cobra impuestos sobre el consumo de los tres bienes disponibles, sobre el capital y el trabajo, y sobre la renta del Hogar representativo:

𝑇𝐴𝑋𝑅 = ∑3_𝑖=1(𝑡𝑐_𝑖 ∙ 𝑃𝐷_𝑖 ∙ 𝐶_𝑖 + 𝑡𝑘_𝑖 ∙ 𝑃𝐾. 𝐾_𝑖 + 𝑡𝑙_𝑖 ∙ 𝑃𝐿𝐿_𝑖) + 𝑡𝑦. 𝑌 (1)

El gobierno también da un subsidio al desempleo dada una tasa de reemplazo y transfiere recursos para otros propósitos como pensiones.

𝑃𝐶𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋𝑡 = ∑3𝑖=1(1+𝑡𝑐𝑖𝑡)∙𝑃𝐷𝑖𝑡∙𝐶𝑖0

∑3_𝑖=1(1+𝑡𝑐_𝑖0)∙𝑃𝐷_𝑖0∙𝐶_𝑖0 𝑡 = 0,1 (2)

En consecuencia, el total de transferencias totales realizadas por gobierno son:

𝑇𝑅𝐹 = 𝑡𝑟𝑒𝑝. 𝑃𝐿. 𝑈𝑁𝐸𝑀𝑃 + 𝑃𝐶𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋. 𝑇𝑅𝑂 (3)

5

Los gastos del gobierno en productos básicos son:

𝑇𝐴𝑋𝑅 − 𝑇𝑅𝐹 − 𝑃𝐶𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋. 𝑆𝐺 = ∑3_𝑖=1𝑃𝐷_𝑖. 𝐶𝐺₁ (4)

𝑆𝐺 es el ahorro real del gobierno. Se asume que el Gobierno maximiza una función de utilidad de Cobb-Douglas:

𝑈(𝐶𝐺₁, 𝐶𝐺₂, 𝐶𝐺₃) = 𝐶𝐺₁𝛼𝐶𝐺1_{. 𝐶𝐺} 2

𝛼𝐶𝐺₂

. 𝐶𝐺₃𝛼𝐶𝐺3 ₍₅₎

Con:

𝛼𝐶𝐺₁ + 𝛼𝐶𝐺₂ + 𝛼𝐶𝐺₃ = 1 (6)

Maximizando (5) sujeto a (4) se obtiene:

𝐶𝐺₁ = 𝛼𝐶𝐺₁.𝑃𝐷_𝑖−1. (𝑇𝐴𝑋𝑅 − 𝑇𝑅𝐹 − 𝑃𝐶𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋. 𝑆𝐺) (7)

6

7

Los hogares maximizan la función de utilidad de Cobb-Douglas:

𝑈 = 𝐶₁𝛼𝐻1_{. 𝐶} 2

𝛼𝐻_2.

𝐶₃𝛼𝐻3 ₍₈₎

Sujeto a la restricción presupuestaria. El ingreso total viene dado por:

𝑌 = 𝑃𝐾. 𝐾𝑆 + 𝑃𝐿. (𝐿𝑆 − 𝑈𝑁𝐸𝑀𝑃) + 𝑇𝑅𝐹 (9)

Los hogares ahorran una fracción 𝑚𝑝𝑠 de la renta disponible, de modo que (nominalmente) su ahorro es:

𝑆𝐻 = 𝑚𝑝𝑠 . ( 1 − 𝑡𝑦). 𝑌 (10)

El presupuesto para consumo es 𝐶𝐵𝑈𝐷 = ( 1 − 𝑡𝑦) 𝑌 − 𝑆𝐻. Por lo tanto, la restricción presupuestal es:

𝐶𝐵𝑈𝐷 = ∑3_𝑖=1(1 + 𝑡𝑐_𝑖). 𝑃𝐷_𝑖. 𝐶_𝑖 (11)

Donde 𝑃𝐷_𝑖, es el precio de la mercancía 𝑖 y 𝑡𝑐_𝑖 es la tasa del impuesto sobre la mercancía

8

Este problema de Optimización Restringida se resuelve diferenciando la Función de Lagrange, respecto de los argumentos y resolviendo para 0 el SysEq resultante:

Φ(𝐶_𝑖; 𝜆) = ∏ 𝐶𝐼 _𝑖𝛼𝐻𝑖

𝑖 + 𝜆[∑3𝑖=1(1 + 𝑡𝑐𝑖) ∙ 𝑃𝐷𝑖 ∙𝐶𝑖 − 𝐶𝐵𝑈𝐷] (12)

Así

𝐶_𝑖 = 𝛼𝐻_𝑖 ∙ [(1 + 𝑡𝑐_𝑖) ∙ 𝑃𝐷_𝑖]−1 ∙ 𝐶𝐵𝑈𝐷 ∀𝑖 (13)

ó

(1 + 𝑡𝑐_𝑖). 𝑃𝐷_𝑖𝐶_𝑖 = 𝛼𝐻_𝑖. 𝐶𝐵𝑈𝐷 (14)

i.e. el gastos nominal en productos básicos son fracciones fijas del presupuesto de consumo.

Nota 1 :

Se deduce de la ecuación 14 que:

𝛼𝐻_𝑖 = (1 + 𝑡𝑐₁). 𝑃𝐷₁. 𝐶₁/𝐶𝐵𝑈𝐷

El parámetro 𝛼𝐻_𝑖 en Cobb-Douglas, es el porcentaje del ingreso que se dedica a la mercancía i-ésima.

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3. El Comportamiento Firma

Una función de producción multinivel

10

En consecuencia, para firma 1 se tiene:

𝑋𝐷₁ = 𝑓(𝐾_1,𝐿_1,𝑋𝐷_11,𝑋𝐷_21,𝑋𝐷₃₁)

Donde 𝑋𝐷₁₁ denota la cantidad de la mercancía que esa firma usa en su proceso de producción, mientras 𝑋𝐷₂₁ denota la cantidad usada de mercancía de la firma 2, y

𝑋𝐷₃₁ denota la cantidad de mercancía utilizada por la firma 3.

Sean 𝑉𝐴₁ el valor agregado de la firma 1, y 𝐼𝑂₁ los bienes intermedios por esa misma firma 1. Entonces, en el primer nivel se tiene la función de producción:

𝑋𝐷₁ = 𝑔₁(𝑉𝐴₁, 𝐼𝑂₁) (15)

Mientras en el segundo nivel se tienen dos funciones agregadoras:

𝑉𝐴₁ = 𝑔(𝐾₁, 𝐿₁) (16)

11

Para (15) seleccionamos la función de producción de Leontief, a partir de la cual asumiendo asignaciones óptimas:

𝑉𝐴₁ = 𝑏₁𝑋𝐷₁ y 𝐼𝑂₁ = (1 − 𝑏₁)𝑋𝐷₁ (18)

Donde 𝑏₁ es el coeficiente fijo del valor agregado respecto de la producción bruta.

Para (16) seleccionamos una función de producción CES en K y L:

𝑉𝐴₁ = 𝛼𝐹₁(𝛾𝐹₁. 𝐾₁−𝜌1 _{+ (1 − 𝛾𝐹}

1). 𝐿−𝜌₁ 1) − 1

𝜌1 ₍₁₉₎

Combinando campos de (18) y (19):

𝑋𝐷₁ = 𝛼𝐹_1.(𝛾𝐹₁. 𝐾₁−𝜌1 + (1 − 𝛾𝐹₁). 𝐿−𝜌₁ 1)−

1

𝜌1 ₍₂₀₎

12

Para (17) seleccionamos función de producción de Leontief, nuevamente:

𝑋𝐷₁₁ = 𝑑₁𝐼𝑂₁

𝑋𝐷₂₁ = 𝑑₂𝐼𝑂₁ (21)

𝑋𝐷₃₁ = 𝑑₃𝐼𝑂₁

Definiendo 𝑖𝑜₁₁ = (1 − 𝑏₁)𝑑₁, 𝑖𝑜₂₁ = (1 − 𝑏₁)𝑑₂, 𝑖𝑜₃₁(1 − 𝑏₁)𝑑₃ se llega a la relación input-output habitual:

𝑋𝐷₁₁ = 𝑖𝑜₁₁ ∙ 𝑋𝐷₁

𝑋𝐷₂₁ = 𝑖𝑜₂₁ ∙ 𝑋𝐷₁ (22)

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Demandas de Capital y Trabajo

Las CPO para minimización de costos, haciendo uso de (20) dan:

𝛼𝐹_𝑖−𝜌𝑖 _{∙ 𝛾𝐹}

1 ∙ 𝐾₁−(1+𝜌𝑖 )

∙ 𝑋𝐷_𝑖(1+𝜌𝑖) _{= 𝜆}−1_{(1 + 𝑡𝑘}

𝑖) ∙ 𝑃𝐾 (23)

y

𝛼𝐹_𝑖−𝜌𝑖 _{∙ (1 − 𝛾𝐹}

1) ∙ 𝐿−(1+𝜌_𝑖 𝑖 )

∙ 𝑋𝐷_𝑖(1+𝜌𝑖) _{= 𝜆}−1_{(1 + 𝑡𝑙}

𝑖) ∙ 𝑃𝐿 (24)

Dividiendo (23) por (24) después de reorganizar da la condición de tangencia habitual:

𝛾𝐹𝑖

1−𝛾𝐹_𝑖

. (

𝐾_𝑖

𝐿_𝑖

)

−(1+𝜌_𝑖)

=

(1+𝑡𝑘𝑖)

(1+𝑡𝑙_𝑖)

.

𝑃𝐾

𝑃𝐿

(25)

Donde la elasticidad de sustitución de la función de producción CES es igual a:

14

Entonces, (20) y (25) podrían reescribirse así:

𝑋𝐷_𝑖 = 𝜎𝐹_𝑖. (𝛾𝐹_𝑖. 𝐾_𝑖−(1−𝜎𝐹𝑖)/𝜎𝐹𝑖 _{+ (1 − 𝛾𝐹}

𝑖)𝐿−(1−𝜎𝐹_𝑖 𝑖 )

)−𝜎𝐹𝑖/(1−𝜎𝐹𝑖) (26) y

𝛾𝐹𝑖

1−𝛾𝐹_𝑖 . ( 𝐾_𝑖

𝐿_𝑖)

−(1/𝜎𝐹_𝑖)

= (1+𝑡𝑘𝑖)

(1+𝑡𝑙_𝑖). 𝑃𝐾

𝑃𝐿 (27)

Las ecuaciones de demanda para capital y trabajo son además dadas por:

𝐾𝑖 = 𝛾𝐹_𝑖𝜎𝐹𝑖[(1 + 𝑡𝑘𝑖). 𝑃𝐾]−𝜎𝐹𝑖(𝛾𝐹_𝑖𝜎𝐹𝑖[(1 + 𝑡𝑘𝑖)𝑃𝐾]1−𝜎𝐹𝑖+ (1 − 𝛾𝐹)𝜎𝐹𝑖 [(1 + 𝑡𝑙𝑖). 𝑃𝐿]1−𝜎𝐹𝑖)

𝜎𝐹_𝑖/(1−𝜎𝐹_𝑖)

. (𝑋𝐷𝑖/𝛼𝐹𝑖) (28)

𝐿𝑖= (1 − 𝛾𝐹𝑖)𝜎𝐹𝑖[(1 + 𝑡𝑙𝑖). 𝑃𝐿]−𝜎𝐹𝑖(𝛾𝐹𝑖 𝜎𝐹_𝑖

[(1 + 𝑡𝑘𝑖)𝑃𝐾]1−𝜎𝐹𝑖+ (1 − 𝛾𝐹)𝜎𝐹𝑖 [(1 + 𝑡𝑙𝑖). 𝑃𝐿]1−𝜎𝐹𝑖)

𝜎𝐹_𝑖/(1−𝜎𝐹_𝑖)

15

4. El Comportamiento del Banco

El agente “Banco” maximiza la función de utilidad Cobb-Douglas

𝑈 =. 𝐼₁𝛼𝐼1_{. 𝐼} 2

𝛼𝐼₂

. 𝐼₃𝛼𝐼3 _s.a.:

𝑆 = 𝑃𝐷₁ ∙ 𝐼₁ + 𝑃𝐷₂ ∙ 𝐼₂ + 𝑃𝐷₃ ∙ 𝐼₃ (30)

Donde el ahorro agregado es igual al del hogar y al del gobierno

𝑆 = 𝑆𝐻 + 𝑃𝐶𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋. 𝑆𝐺 (31)

La solución es:

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5. Desempleo

Para introducir desempleo endógeno, se usa una curva de salarios, un relación entre la tasa de cambio en la tasa de salario bruto real y la tasa de variación de la tasa de desempleo.

hacemos una distinción entre el equilibrio BENCHMARK, denotado por superíndice “0”,

y el equilibrio después de un choque, denotado por “1”.

𝑃𝐿0/𝑃𝐶𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋0 en el benchmark y 𝑃𝐿1/𝑃𝐶𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋1 después del choque.

El porcentaje de cambio en el desempleo es definido así:

𝑈𝑁𝐸𝑀𝑃0/𝐿𝑆0 en el benchmark, y 𝑈𝑁𝐸𝑀𝑃1/𝐿𝑆1 después del choque.

Entonces, la curva de salarios se lee:

[

𝑃𝐿1/𝑃𝐶𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋1

𝑃𝐿0/𝑃𝐶𝐼𝑁𝐷𝐸𝑋0

− 1] = 𝑝ℎ𝑖𝑙𝑙𝑖𝑝𝑠 [

𝑈𝑁𝐸𝑀𝑃1/𝐿𝑆1

17

En consecuencia, la función de exceso de demanda para el mercado laboral se convierte en:

18

6. Exceso de Demanda, definición de Ingresos

El sistema de exceso de demanda queda:

𝐾₁ + 𝐾₂ + 𝐾₃ = KS (35)

𝐿₁ + 𝐿₂ + 𝐿₃ = 𝐿𝑆 − 𝑈𝑁𝐸𝑀𝑃 (36)

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Definiciones de Ingresos

Hogares

𝑌 = 𝑃𝐾. 𝐾𝑆 + 𝑃𝐿(𝐿𝑆 − 𝑈𝑁𝐸𝑀𝑃) + 𝑇𝑅𝐹 (38)

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Firmas

En el caso de una función de producción con rendimientos constantes a escala, las ganancias son cero. En consecuencia, las relaciones de ingresos, teniendo en cuenta esta condición de beneficio cero es:

𝑃𝐷_𝑖 ∙ 𝑋𝐷_𝑖 = ∑3_𝑗=1𝑃𝐷_𝑗 ∙ 𝑖𝑜_𝑗𝑖 ∙ 𝑋𝐷_𝑖 + (1 + 𝑡𝑘_𝑖)𝑃𝐾 ∙ 𝐾 + (1 + 𝑡𝑙_𝑖)𝑃𝐿 ∙ 𝐿 (40)

Gobierno

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Calibración

Denotamos el equilibrio de referencia mediante el superíndice “0”

Función de Utilidad Cobb-Douglas

Para usar la función de Cobb-Douglas necesitamos tener un valor para ∝ 𝐻_𝑖.

Reescribimos la expresión de la Nota 1 como:

𝛼𝐻

_𝑖

=

(1+𝑡𝑐𝑖)𝑃𝐷𝑖0𝐶𝑖0

𝐶𝐵𝐷𝑈0 (42)

En código GAMS no podemos usar superíndices, entonces usamos la letra “Z”. En código

GAMS (42) es;

alphaH(sec) = (1 + tc(sec))*PDZ(sec)*CZ(sec) / CBUDZ; (43)

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Coeficientes de Insumo Producto

Para (22) derivamos para firma 1:

𝑖𝑜

₁₁

=

𝑋𝐷110

𝑋𝐷₁0

,

𝑖𝑜

21

=

𝑋𝐷₂₁0

𝑋𝐷₁0

y

𝑖𝑜

31

=

𝑋𝐷₃₁0 𝑋𝐷₁0

Para todas las firmas, el código de calibración en GAMS se lee:

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Función de Producción CES

En este orden para usar la función CES necesitamos los calores para 𝜎𝐹 , 𝛾𝐹 𝑦 𝑎𝐹. Por lo general, el modelo se construye teniendo una idea acerca de la elasticidad de sustitución, so that calibramos el valor de 𝛾𝐹 𝑦 𝑑𝑒 𝑎𝐹. De la ecuación (25) derivamos para el equilibrio benchmark

𝛾𝐹

_𝑖

=

1

1+(1+𝑡𝑙𝑖).𝑃𝐿0

(1+𝑡𝑘𝑖).𝑃𝐾0.[ 𝐾𝑖0

𝐿𝑖0] −1

𝜎𝐹𝑖

⁄

(45)

Obteniendo los valores de 𝜎𝐹 𝑦 𝛾𝐹, usamos la ecuación (26) para calibrar el valor de 𝑎𝐹:

𝑎𝐹_𝑖=𝑋𝐷_𝑖0/ (𝛾𝐹_𝑖. (𝐾_𝑖0)−(1−𝜎𝐹𝑖/𝜎𝐹𝑖) + (1 − 𝛾𝐹_𝑖)(𝐿0_𝑖)−(1−𝜎𝐹𝑖)/𝜎𝐹𝑖)

−𝜎𝐹_𝑖/(1−𝜎𝐹_𝑖)

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Referencias:

▪

Dixon & Jorgenson (2013): Handbook of Computable General Equilibrium Modeling SET, Vols. 1A and 1B. Amsterdam: North-Holland

▪

Hosoe, Gasawa & Hashimoto (2010): Textbook of Computable General Equilibrium Modelling. London: Palgrave

▪

Segura (2012): Economía Computacional: Aplicaciones Fundamentales. Bogotá: Ediciones Unisalle

▪

Varian (1993): Análisis Microeconómico. Barcelona: Antoni Bosch.