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(2) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. y. 4. 4 4 1 h) log 1 3 16 = y ⇔ = 3 16 ⇔ 2− y = 3 24 ⇔ 2− y = 2 3 ⇔ − y = ⇔ y = − 3 3 2 2 Por tanto, log 1 3 16 = − 2. 4 3 2. i) ln 5 e2 = y ⇔ e y = 5 e 2 ⇔ e y = e 5 ⇔ y = Por tanto, ln 5 e 2 =. 2 5. 2 5 3. j) ln. e2 e2 e2 3 = y ⇔ ey = ⇔ ey = 1 ⇔ ey = e2 ⇔ y = 2 e e e2. Por tanto, ln. e2 3 = e 2. k) log 0,0001 = y ⇔ 10 y = 0,0001 ⇔ 10 y = 10−4 ⇔ y = −4 Por tanto, log 0,0001 = −4. l) log 0 = no existe (loga x existe ⇔ x > 0) m) log( −10)6 = y ⇔ 10 y = (−10)6 ⇔ 10 y = 106 ⇔ y = 6 Por tanto, log(−10)6 = 6. n) log(−106 ) = no existe (loga x existe ⇔ x > 0) 1. 3. o) log5 5 5 = y ⇔ 5 y = 5 5 ⇔ 5 y = 5 ⋅ 5 2 ⇔ 5 y = 5 2 ⇔ y = Por tanto, log5 5 5 =. 3 2. 3 2. p) log 0′01 = y ⇔ 10 y = 10 −2 ⇔ 10 y = 10 −1 ⇔ y = −1 Por tanto, log 0′01 = −1. q) log 6 5 216 −1 = y ⇔ 6 y = 5 216 −1 ⇔ 6 y = 5 (63 ) −1 ⇔ 6 y = 5 6 − 3 ⇔ 6 y = 6 Por tanto, log 6 5 216 −1 = −. −. 3 5. ⇔ y=−. 3 5. 3 5. 2.
(3) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. (5 ). y. 1 = 0,04 ⇔ r) log 1 0,04 = y ⇔ 5 5. −1. y. y. y − − 12 4 1 2 = ⇔ 5 = ⇔ 5 = 5−2 ⇔ 100 25 . y = −2 ⇔ − y = −4 ⇔ y = 4 2 Por tanto, log 1 0,04 = 4 ⇔−. 5. 1 1 = y ⇔ 4y = 3 ⇔ (22 ) y = 1024 1024. s) log 4 3. 1 3. 210. ⇔ 22 y =. 1 2. 10 3. ⇔ 22 y = 2. −. 10 3. ⇔. 10 5 ⇔ y=− 3 3 1 5 Por tanto, log 4 3 =− 3 1024 ⇔ 2y = −. 1. 1. t) log128 3 2 = y ⇔ 128 y = 3 2 ⇔ (27 ) y = 2 3 ⇔ 27 y = 2 3 ⇔ 7 y = Por tanto, log128 3 2 =. 1 1 ⇔y= 3 21. 1 21 1. 4. u) log 1 9. y. ( ). 4 3 3 1 = y⇔ = ⇔ 3− 2 9 9 9 4. Por tanto, log 1 9. y. 7. − 34 7 7 = 2 ⇔ 3− 2 y = 3 4 ⇔ −2 y = − ⇔ y = 3 4 8. 3 7 = 9 8 1. 4. v) log3. 1 3. 5. 4 − − 3 3 34 5 = y ⇔ 3y = ⇔ 3 y = 3 ⇔ 3y = 3 4 2 ⇔ 3y = 3 4 ⇔ y = − 4 27 27 32 4. Por tanto, log3. 3 5 =− 4 27. w) log2 (−16) = no existe (loga x existe ⇔ x > 0). 1 1 = y ⇔ e y = 3 ⇔ e y = e−3 ⇔ y = −3 3 e e 1 Por tanto, ln 3 = −3 e. x) ln. y) log −3 81 = no existe , la base de un logaritmo debe ser un número real positivo y distinto de 1 z) loga 1 = 0 ∀a > 0, a ≠ 1 3.
(4) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. 2.- Halla el valor de las siguientes expresiones: 1 1 1 1 1 − 1 − 50 − 5 56 28 1 a) log 25 5 − log 3 243 + log16 = − − 5 + − = − − 5 − = =− =− ( ∗ ) 4 10 10 2 10 10 5 5 2 1. − 1 1 1 1 1 = y ⇔ 25 y = 5 ⇔ (52 ) y = 1 ⇔ 52 y = 5 5 ⇔ 2 y = − ⇔ y = − 5 10 5 5 55 (∗) log 3 243 = y ⇔ y = 243 ⇔ 3 y = 35 ⇔ y = 5. (∗) log 25 5. (∗) log16. 1 1 2 1 = y ⇔ 16 y = ⇔ (24 ) y = 2− 2 ⇔ 24 y = 2− 2 ⇔ 4 y = −2 ⇔ y = − ⇔ y = − 4 4 4 2. b) log 2 6 0,5 − log 49. =. 1 1 1 1 1 1 1 − log 216 6 − log 4 64 = − − − − − 3 = − + − − 3 = (∗) 6 7 6 2 3 2 3. − 1 + 3 − 2 − 18 18 = − = −3 6 6 1. − 1 1 (∗) log 2 0,5 = y ⇔ 2 = 0,5 ⇔ 2 = ⇔ 2 y = 6 2 −1 ⇔ 2 y = 2 6 ⇔ y = − 2 6 1 1 1 (∗) log 49 = y ⇔ 49 y = ⇔ (7 2 ) y = 7 −1 ⇔ 7 2 y = 7 −1 ⇔ 2 y = −1 ⇔ y = − 7 7 2 1 (∗) log 216 6 = y ⇔ 216 y = 6 ⇔ (63 ) y = 6 ⇔ 63 y = 61 ⇔ 3 y = 1 ⇔ y = 3 y y 3 (∗) log 4 64 = y ⇔ 4 = 64 ⇔ 4 = 4 ⇔ y = 3 y. 6. y. 6. 6. 2. 2. 8 y 10 1 c) log5 (25 ⋅ 0,008 ) = y ⇔ 5 = (25 ⋅ 0,008 ) ⇔ 5 = (5 ) ⋅ ⇔ 5 = 5 ⋅ ⇔ 1000 125 5. 2. y. 5. 2. y. 2 5. ⇔ 5 y = 510 ⋅ (5−3 ) 2 ⇔ 5 y = 510 ⋅ 5−6 ⇔ 5 y = 54 ⇔ y = 4 Por tanto, log5 (255 ⋅ 0,0082 ) = 4. Otra forma (aplicando propiedades) 2. 2. 8 1 10 log5 (255 ⋅ 0,0082 ) = log5 255 + log 5 0,0082 = log5 (52 )5 + log5 = log5 5 + log5 = Prop. 1 1000 125 . ( ). 2. = log5 510 + log 5 5− 3 = log5 510 + log5 5− 6 = 10 ⋅ log 5 5 − 6 ⋅ log 5 5 = 4 ⋅ log5 5 = 4 ⋅ 1 = 4 Prop. 3. 3 2 125 2 2 ⋅ 1000 4 ⋅ 0,125 4 ⋅ 0,125 y y d) log 2 = y⇔2 = ⇔2 = 1 2 2 22 3 2. 3 2 −3 2 2 ⋅ (2 ) ⇔ 2y = 1 2 2 . 3 2. 2 − 92 2 ⋅2 y ⇔2 = 1 22 . log a a =1. 3 2 1 2 2 ⋅ 8 y ⇔2 = 1 22 . ⇔ . − 52 2 y y −3 ⇔ 2 = 1 ⇔ 2 = 2 ⇔ y = −3 22 4.
(5) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. 3 4 ⋅ 0,125 2 Por tanto, log 2 2 . TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. = −3 . Otra forma (aplicando propiedades) 3 4 ⋅ 0,125 2 log 2 2 . 3 3 1 2 −3 2 2 = log 2 4 ⋅ 0,125 − log 2 2 = log 2 2 ⋅ (2 ) − log 2 2 2 = Prop. 2 4=22 125 1 1 0 ,125 = = = = 2 −3 1000 8 2 3 1. 2 =22 1 5 1 − 2 − 92 5 1 6 2 2 = log 2 2 ⋅ 2 − log 2 2 = log 2 2 − log 2 2 2 = − ⋅ log 2 2 − ⋅ log 2 2 = − ⋅ log 2 2 = −3 ⋅ log 2 2 = log a a =1 2 2 2 = −3 ⋅ 1 = −3. e) log 2 5. 162 162 ( 24 ) 2 28 28 y y = y ⇔ 2y = 5 ⇔ 2y = ⇔ 2 = ⇔ 2 = ⇔ 5 5 1 1 1 5 1 − 0,5 ⋅ 2 0,5 ⋅ 2 − 1 ⋅ 22 2 ⋅ 22 2 2 2 5. ⇔2 = 2 y. 17 2. 17 10. ⇔2 =2 ⇔ y=. Por tanto, log 2 5. y. 17 10. 16 2 17 = 0,5 ⋅ 2 10. Otra forma (aplicando propiedades). 4 2 2 16 (2 ) log 2 5 = log 2 1 12 0,5 ⋅ 2 ⋅2 2 17 17 17 = ⋅ log 2 2 = ⋅1 = log a = 1 a 10 10 10. 1. 5 8 = log 2 2 1 −1 2 2 2 ⋅ . 1 5. 8 = log 2 2 1 −2 2. 1 5. 1. 17 17 = log 2 2 5 = log 210 = 2 2 Prop. 3 . 5.
(6) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. 3.- Halla el valor de ࢞ en cada caso: Enn todos los apartados aplicamos la definición de logaritmo y luego desarrollamos a) log x 7 = −2 ⇔ x − 2 = 7 ⇔. b) log x 7 =. 1 1 1 1 7 = 7 ⇔ 1 = 7 x2 ⇔ x2 = ⇔ x = ⇔x= ⇔ x= 2 x 7 7 7 7 racionaliar. 1. 1 ⇔ x 2 = 7 ⇔ x = 7 ⇔ ( x ) 2 = 7 2 ⇔ x = 49 2. c) log 7 x 4 = 2 ⇔ 7 2 = x 4 ⇔ x = ± 4 7 2. ⇔ x=± 7. simplifica r. 4. 1. 1 1 1 1 1 1 d) log x = ⇔ x 4 = ⇔4 x= ⇔ (4 x )4 = 2 ⇔ x = 8 ⇔ x = 7 −8 49 49 7 49 4 7 . 1. − 1 1 1 2 e) log 2 x = − ⇔ 2 2 = x ⇔ x = 1 ⇔ x = ⇔ x= 2 2 2 racionalizar 22 1. 1 1 1 1 3 f) log 1 x = ⇔ = x ⇔ x = 3 ⇔ x = 3 8 2 8 8. g) log7 (7 x ) = 2 ⇔ 7 2 = 7 x ⇔ x =. 72 ⇔ x=7 7. 1. h) log x. 1. − 1 1 1 1 1 = − ⇔ x 2 = ⇔ 1 = ⇔ x2 = 3 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9 3 2 3 3 x2. i) log x 0,001 = −3 ⇔ x − 3 = 0,001 ⇔ 1. 1 1 = ⇔ x3 = 1000 ⇔ x = 3 1000 ⇔ x = 10 3 x 1000 1. − 1 1 1 j) log x 27 = − ⇔ x 3 = 27 ⇔ 1 = 27 ⇔ x 3 = ⇔ 3 x = 3− 3 ⇔ (3 x )3 = (3−3 )3 ⇔ 3 27 x3 1 1 ⇔ x = 3−9 ⇔ x = 9 ⇔ x = 3 19683. k) log x e = −3 ⇔ x − 3 = e ⇔. 1 1 1 1 = e ⇔ x3 = ⇔ x = 3 ⇔ x = 3 3 x e e e. 6.
(7) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. l) log x 0,015625 = −3 ⇔ x −3 = 0,015625 ⇔. 1 15625 1 1 = ⇔ 3= ⇔ x3 = 64 ⇔ x = 4 3 x 1000000 x 64. 4.- Sabiendo que log 2 = 0,301 y log 3 = 0,477 calcula: a) log12 = log(22 ⋅ 3) = log 22 + log 3 = 2 log 2 + log 3 = 2 ⋅ (0,301) + 0,477 = 0,602 + 0,477 = 1,079 Prop.3. Prop.1. 2 = log 2 − log10000 = log 2 − log104 = log 2 − 4 log10 = b) log 0,0002 = log Prop.2 Prop.3 log a a =1 10000 = 0,301 − 4 ⋅ 1 = 0,301 − 4 = −3,699 1. 1 1 1 1 log 6 = log(2 ⋅ 3) = (log 2 + log 3) = (0,301 + 0,477) = 0,1556 Prop.3 5 Prop.1 5 5 5. c) log 5 6 = log 6 5 =. d) log 27000 = log(27 ⋅ 1000) = log(33 ⋅ 103 ) = log 33 + log103 = 3 log 3 + 3 log10 = Prop.1. Prop.3. 3 ⋅ 0,477 + 3 ⋅ 1 = 1,431 + 3 = 4,431 5. e) log. 32 = log 32 − log 6 = log 25 − log( 2 ⋅ 3) = log 2 2 − (log 2 + log 3) = Prop.2 Prop.3 Prop.1 6 Quitar paréntesis. 5 3 3 = log 2 − log 2 − log 3 = = log 2 − log 3 = ⋅ 0,301 − 0,477 = −0,0255 ↑ 2 2 2 5 3 2. −1=. 2. 125 1 = log = log1 − log 80 = 0 − log(8 ⋅ 10) = − log(23 ⋅ 10) = f) log 0,0125 = log simplifica r Prop.1 10000 80 Prop.2 = −(log 23 + log 10). =. Quitar paréntesis y Prop.3. = −3 log 2 − log 10 = −3 ⋅ 0,301 − 1 = −1,903. 1 45 15 2 4 5 45 15 2 ⋅3 48 2 ⋅3 5 5 = log 2 = log = log 2 ⋅ 3 − log10 5 = g) log 0,48 = log 2 Prop. 2 Prop.1 100 10 10 5 4. 1. 2. 4 1 2 4 1 2 log 2 + log 3 − log10 = ⋅ 0,301 + ⋅ 0,477 − ⋅ 1 = 5 5 5 5 5 5 = 0,2408 + 0,0954 − 0,4 = −0,0638 = log 2 5 + log 3 5 − log10 5 = = Prop. 3. 1. 6 2⋅3 1 2 ⋅ 3 4 = − log 4 = − log = log1 − log 4 0,6 = 0 − log 4 0,6 = − log 4 h) log 4 = 10 10 0,6 Prop. 2 10 Prop. 3. 7.
(8) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. 1 1 1 1 2⋅3 = − ⋅ log = − ⋅ (log 2 + log 3 − log 10) = − ⋅ (0,301 + 0,477 − 1) = − ⋅ (− 0,222) = 0,0555 Prop. 2 4 4 4 10 Prop.1 4. 22 ⋅ 32 36 = log 22 + log 32 − log10 = 2 log 2 + 2 log 3 −1 = i) log 3,6 = log = log Prop. 2 Prop. 3 10 10 Prop.1 = 2 ⋅ 0,301 + 2 ⋅ 0,477 − 1 = 0,556. j) log 360 = log(36 ⋅10) = log 36 + log 10 = log(22 ⋅ 32 ) + 1 = log 22 + log 32 + 1 = Prop.1. Prop.1. Prop. 3. = 2 log 2 + 2 log 3 + 1 == 2 ⋅ 0,301 + 2 ⋅ 0,477 + 1 = 2,556 2. 10 k) log(5 ⋅ 3 9 ) = log 5 + log 3 9 = log + log 3 32 = log10 − log 2 + log 3 3 = Prop.1 Prop. 2 Prop. 3 2 2 2 = log 10 − log 2 + log 3 = 1 − 0,301 + ⋅ 0,477 = 1,017 3 3 32 27 l) log(3,2 ⋅ 2,7 3 ) = log 3,2 + log 2,7 3 = log 3,2 + 3 log 2,7 = log + 3 log = Prop. 1 Prop. 3 10 10 . 25 33 = log + 3 log = log 25 − log10 + 3(log 33 − log10) = 5 log 2 − log10 + 3(3 log 3 − log10) = Prop. 3 10 10 Prop. 2 = 5 log 2 − log10 + 9 log 3 − 3 log10 = 5 log 2 + 9 log 3 − 4 log10 = 5 ⋅ 0,301 + 9 ⋅ 0,477 − 4 ⋅ 1 = 1,798 quitar paréntesis. 5.- Pasa a forma algebraica: 1 a) log C = 3 log A − log 2 + 2 log B 2 1. log C 2 = log A3 − log 2 + log B 2. A3 log C = log + log B 2 2 A3 log C = log ⋅ B 2 2 C=. b). A3 ⋅ B 2 2. 1 2 log z = log x − log y + 3 log s 3 3 1. 2. log z 3 = log x 3 − log y + log s 3. 8.
(9) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. 3 x2 + log s 3 log z = log y 3. 3 x2 3 log z = log ⋅s y 3. 3. z=. 3. x 2 ⋅ s3 y. 3 x2 ⋅ s3 z= y . z=. 3. x2 ⋅ s9 y3. c) 2 − log D = 2 log A − 3 log B − 4 log C. log100 − log D = log A2 − log B3 − log C 4 A2 100 4 log = log 3 − log C D B A2 100 3 : C 4 log = log D B A2 100 log = log 3 4 D B ⋅C 100 A2 = 3 4 D B ⋅C A2 ⋅ D 100 = 3 4 B ⋅C. d) log A =. 1 1 2 − log B + log C − log D 2 3 5 1 2. 1 3. log A = log10 − log B + log C − log D. 2 5. log A = log 10 − log 3 B + log C − log 5 D 2. 10 log A = log 3 + log C − log 5 D 2 B 10 log A = log 3 ⋅ C − log 5 D 2 B 10 ⋅ C 5 2 log A = log 3 : D B . 9.
(10) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. 10 ⋅ C 10 ⋅ C ⇒ A= log A = log 5 2 3 3 B ⋅ 5 D2 B⋅ D . 6.- Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla: 3 3 a) A = x ⋅5 y ⇒ log A = log x ⋅5 y ⇒ log A = log( x 3 ⋅ y ) − log z 5 ⇒ log A = log x 3 + log y − log z 5 ⇒. z. z. Prop.2. Prop.1. Prop.3. ⇒ log A = 3 log x + log y − 5 log z . 3. 5. . 3. 5. b) B = x 3 ⋅ y 5 ⋅ z 2 ⇒ log B = log x 3 ⋅ y 5 ⋅ z 2 ⇒ log B = log x 2 ⋅ y 2 ⋅ z ⇒ log B = log x 2 + log y 2 + log z ⇒ . ⇒ log B =. c) C =. Prop.1. Prop.3. 3 5 log x + log y + log z 2 2. 1 X2 X2 ⇒ log C = log X 2 − log( D ⋅ A ) ⇒ log C = log X 2 − log D + log A 2 ⇒ ⇒ log C = log Prop.1 D⋅ A D ⋅ A Prop.2 Prop.3. 1 1 ⇒ log C = 2 log X − log D + log A ⇒ log C = 2 log X − log D − log A 2 2 quitar paréntess 1 5 5 d) D = A ⋅ 4 B ⇒ log D = log A ⋅ 4 B ⇒ log D = log( A5 ⋅ B ) − log C 4 ⇒ log D = log A5 + log B 2 − log C 4 ⇒ . C. . C. . Prop.2. Prop.1. Prop.3. 1 ⇒ log D = 5 log A + log B − 4 log C 2. e) E =. 1 A2 ⇒ log E = log ⇒ log E = log ⇒ log E = log 1 1 1 B⋅ C B⋅ C B 2 ⋅C 2 B ⋅C ⋅ 4 . A. A. A. 1 1 1 12 14 2 2 ⇒ log E = log A − log B ⋅ C ⇒ log E = log A − log B + log C 4 Prop.1 1 2. ⇒ Prop.2 . ⇒ Prop.3 Quitar paréntesis. 1 1 1 ⇒ log E = log A − log B − log C 2 2 4. f) F = 3. A2 A2 ⇒ log F = log 3 ⇒ log F = log 3 B⋅ C B⋅ C. 2 A3 ⇒ log F = log 1 1 1 B 3 ⋅C 6 2 B ⋅C . A2. 2 1 1 13 16 3 3 ⇒ log F = log A − log B ⋅ C ⇒ log F = log A − log B + log C 6 Prop.1 2 3. ⇒ Prop.2 . ⇒ Prop.3 Quitar paréntesis. 2 1 1 ⇒ log F = log A − log B − log C 3 3 6. 10.
(11) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 2: POTENCIAS, RADICALES Y LOGARITMOS 4º ESO Matemáticas B. 7.- Sabiendo que log 2 = 0,301 , log 3 = 0,477 y utilizando el cambio de base calcula:. CAMBIO DE BASE → loga x =. logb x logb a. log 32 log 25 5 log 2 5 ⋅ 0,301 = = = = 3,155 a) log3 32 = log 3 log 3 log 3 0,477 3 log log 0,3 10 = log 3 − log10 = 0,477 − 1 = − 0,523 = −0,869 = b) log 4 0,3 = log 4 log 22 2 log 2 2 ⋅ 0,301 0,602 log 27 log 33 3 log 3 3 ⋅ 0,477 1,431 = = = = = 9,508 c) log 2 27 = 1 1 1 0,1505 log 2 2 log 2 ⋅ 0 , 301 log 2 2 2 d) log8 2 =. log 2 log 2 log 2 1 = = = 3 log 8 log 2 3 log 2 3. e) log 3 8 =. log 8 log 23 3 log 2 3 ⋅ 0,301 0,903 = = = = = 3,786 1 1 1 0 , 2385 log 3 log 3 ⋅ 0,477 log 3 2 2 2. 1 1 ⋅ log 3 ⋅ 0,477 log 3 log 3 0,0954 5 5 3= = = = = = −0,317 log 0,5 log 1 log1 − log 2 0 − 0,301 − 0,301 2 5. f) log 0,5 5. 1 5. 1. 3 3 1 3 1 3 3 log log 2 log ⋅ log 3 − log102 3 log 0 , 03 100 3 10 100 = = = =3 = g) log 1 3 0,03 = 1 1 1 1 1 − 2 2 log − log 2 − log 2 − log 2 log 2 2 2 2 2 1 1 1 ⋅ (log 3 − 2 log10) ⋅ (0,477 − 2) ⋅ (− 1,523) 3 3 3 = = = = 3,373 1 1 − 0,1505 − log 2 − ⋅ 0,301 2 2. (. ). 11.
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