16 ECUACIONES

(1)

ECUACIONES

PRINCIPALES CONCEPTOS

IGUALDAD

.-IGUALDAD .-

_{Es la expresión de la equivalencia de}

dos cantidades.

ECUACIONES EQUIVALENTES ECUACIONES EQUIVALENTES

Son ecuaciones que tienen las mismas soluciones; es

decir, que las soluciones de una, son también las de

la otra.

Ejemplo:

4x - 5 = 2x +13

x + 3 = 12

son ecuaciones equivalentes ya que x = 9 es la

solu-ción de ambas ecuaciones.

ción de ambas ecuaciones.

CLASES DE IGUALDADES CLASES DE IGUALDADES

A) IGUALDAD ABSOLUTA

Llamada también identidad, o igualdad

incondi-cional. Es aquella que se

cional. Es aquella que se

verifica para cualquier valor

numérico de sus letras.

Ejemplos:

i i

)

(a + b)

22

= a

22

+ 2ab + b

22 ii ii

)

(x + a)(x + b) = x

22

+ (a + b)x + ab

B) IGUALDAD RELATIVA O ECUACIÓN

Llamada también igualdad condicional. Es aquella

que se verifica para algunos valores particulares,

atribuidos a sus letras, llamadas incógnitas.

Ejemplos:

i

)

5x

+

2

2 =

=

17

17 ;

;

se

verifica

para

x

=

3

3 x

x

₁₁

= 2

ii

)

x

22

- 5x +

6 = 0;

se verifica

para

{

x

₂₂

= 3

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Esta se realiza atendiendo:

1) Al grado: Pueden ser de primer grado,

segundo grado, tercer grado,

etc.

2) A los coeficientes: Pueden ser numéricas o

literales.

3) A las incógnitas: Pueden ser de una, dos,

tres incógnitas, etc.

4) A las soluciones: Pueden ser compatibles e

incompatibles.

a)Compatibles.-a)Compatibles.-

Son aquellas que admiten solu-

Son aquellas que admiten

solu-ción y pueden ser, a su vez:

ción y pueden ser, a su vez:

1º

Determinadas.- Si admiten un número limi-

Determinadas.- Si admiten un número

limi-tado de soluciones.

tado de soluciones.

2º

Indeterminadas.- Si admiten un número

ilimitado de soluciones.

b) Incompatibles o

absurdas.-b) Incompatibles o absurdas.-

Son aquellas que

no admiten solución.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LAS

IGUALDADES QUE PERMITEN

TRANS-FORMAR LAS ECUACIONES

FORMAR LAS ECUACIONES

1er.

PRINCIPIO.-1er. PRINCIPIO.-

Si a ambos miembros de una

ecuación se suma o resta una misma expresión o

un mismo número, resulta una ecuación

equiva-lente a la primera.

(2)

Ejemplo:

Sea la ecuación A = B donde A y B son el primer

y segundo miembro y “m” una cantidad

cua-lesquiera, entonces:

lesquiera, entonces:

A ±

A ± m = m = B B ±± mm

2do.

PRINCIPIO.-2do. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros de unaSi a ambos miembros de una

ecuación se multiplica o divide por un mismo

número o por una misma expresión independiente

de x(m

de x(m ≠≠ 0, 0, mm ≠ ≠ ∞∞) se obtiene una ecuación que es) se obtiene una ecuación que es equivalente a la primera.

equivalente a la primera.

Ejemplo:

Sea la

Sea la ecuación: ecuación: A = A = BB

Multiplicando por m

Multiplicando por m ≠≠ 0, m0, m ≠ ≠ ∞∞ ; se tiene:; se tiene: A . m = B . m

A . m = B . m

dividiendo entre m

dividiendo entre m ≠≠ 0, m0, m ≠ ≠ ∞∞ ; se tiene:; se tiene: A A BB ––– ––– == –––––– m m mm

NOTA.-NOTA.- _{Obsérvese que si m está dependiendo}_{Obsérvese que si m está dependiendo}

de la incógnita, se obtendrá soluciones

extrañas; o sea, soluciones que no pertenecen a

la ecuación.

3er.

PRINCIPIO.-3er. PRINCIPIO.- Si a ambos miembros se unaSi a ambos miembros se una

ecuación se eleva a una misma potencia o se extrae

una misma raíz, la ecuación que resulta es

parcial-mente equivalente a la primera.

mente equivalente a la primera.

Ejemplo: Ejemplo: Sea la ecuación: Sea la ecuación: A = B A = B o: o: A - B = 0 A - B = 0

Elevando los dos miembros a la “m”:

A Amm _{= B}_{= B}mm o: o: A Amm _{- B}_{- B}mm _{= 0}_{= 0}

factorizando por cocientes notables:

(A - B)(A (A - B)(Am-1m-1 _{+ A}_{+ A}m-2m-2_{B +}_{B +} _A_Am-3m-3_B_B22 _{+ … + B}_{+ … + B}m-1m-1_{) = 0}_{) = 0} de aquí se obtiene: de aquí se obtiene: A - B = 0 A - B = 0 A = B A = B y: y: A Am-1m-1 _{+ A}_{+ A}m-2m-2 _{B + A}_{B + A}m-3m-3_{+ B}_{+ B}22_{+ … + B}_{+ … + B}m-1m-1_{= 0}_{= 0}

(Ecuación donde aparecen soluciones extrañas).

En forma análoga, se obtiene para la raíz.

NOTA.-NOTA.- _{Se denomina soluciones extrañas, a}_{Se denomina soluciones extrañas, a}

aquellas que se introducen o se pierden en una

ecuación al realizar ciertas operaciones.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON

UNA INCOGNITA

Son aquellas que pueden reducirse a la forma:

ax + b = 0

siendo a y b coeficientes. La solución es:

a a x = -x = - –––––– b b

DISCUSIÓN DE LA SOLUCIÓN

1) 1) Si aSi a ≠≠ 0, b0, b ≠≠ 0, se tendrá:0, se tendrá: a a x = -x = - –––––– b b 2) 2) Si aSi a ≠≠ 0, b0, b ≠≠ 0, se tendrá: x = 0.0, se tendrá: x = 0. 3)

3) Si a = 0, b = 0, se tendrá: x = indeterminadaSi a = 0, b = 0, se tendrá: x = indeterminada

4)

4)Si a Si a = 0= 0, , bb≠≠ 0; no se 0; no se tendrá ninguna solución;tendrá ninguna solución; o, es una ecuación incompatible o absurda.

o, es una ecuación incompatible o absurda.

EJERCICIO RESUELTOS

1.-1.- Resolver:Resolver: _____ _____ x -x -

√

xx22_-_-₈₈ ₌₌₄₄ Solución: Solución:

Transponiendo términos para lograr eliminar el

radical: radical: _____ _____ x - 4 = x - 4 =

√

xx22_{- 8}_{- 8}

(3)

elevando al cuadrado: elevando al cuadrado: _____ _____ ₂₂ (x - 4) (x - 4)22 ₌₌

(

√

_x_x22_{- 8}_{- 8}

)

x x22_{- 8x + 16 = x}_{- 8x + 16 = x}22_{- 8}_{- 8} 24 = 8x 24 = 8x x = 3 x = 3

Para verificar la solución obtenida, se reemplaza

este valor en la ecuación propuesta, así:

_

_______ ____

3

-3 -

√

9 - 8 = 3 -9 - 8 = 3 -

√

1 1 = = 3 3 - - 1 1 = = 22≠≠ 44

El valor x = 3,

El valor x = 3, no satisface a la ecuación propues-no satisface a la ecuación

propues-ta, luego se trata de una solución extraña. Como

ta, luego se trata de una solución extraña. Como

no existe otra solución, la solución es

incompati-no existe otra solución, la solución es incompati-____

ble ya que

ble ya que aritméticamentearitméticamente_{__}_{__} √√1 1 = 1, = 1, pero pero tambientambien

podría considerarse podría considerarse √√1 1 = = -1-1 2.-2.- Resolver:Resolver: x x22_-_-₆₆_x_x₊₊₁₁₀₀ _x_x_-_-₃₃ 22 ––––––––––– ––––––––––– ==

(

––––––––––

)

x x22₊₊₈₈_x_x₊₊₁₁₇₇ _x_x₊₊₄₄ Solución: Solución: Desarrollando la potencia: Desarrollando la potencia: x x22_-_-₆₆_x_x₊₊₁₁₀₀ _x_x22_{- 6x + 9}_{- 6x + 9} ––––––––––– ––––––––––– == –––––––––––––––––––––– x x22₊₊₈₈_x_x₊₊₁₁₇₇ _x_x22 _{+ 8x + 16}_{+ 8x + 16} haciendo un cambio de variable:

haciendo un cambio de variable:

x x22_{- 6x = a}_{- 6x = a} x x22_{+ 8x = b}_{+ 8x = b} se tendrá: se tendrá: a a + + 1100 a a + + 99 –––––– –––––– == –––––––––––– b b + + 1177 b b + + 1166 efectuando: efectuando: (a + 10)(b + 16) = (a + 9)(b + 17) (a + 10)(b + 16) = (a + 9)(b + 17) ab + 10b + 16a + 160 = ab + 17a + 9b + 153 ab + 10b + 16a + 160 = ab + 17a + 9b + 153

transponiendo y simplificando los términos

iguales de ambos miembros:

10b - 9b + 16a - 17a = 153 - 160 10b - 9b + 16a - 17a = 153 - 160 de donde: de donde: b - a = -7 b - a = -7 sustituyendo valores de a y b: sustituyendo valores de a y b: (x (x22_{+ 8x) - (x}_{+ 8x) - (x}22_{- 6x) = -7}_{- 6x) = -7} simplificando: simplificando: 7 7 1 144x x = = --77 x x = = --–––––– 14 14 finalmente: finalmente: 1 1 x = -x = - –––––– 2 2 3.-3.- Resolver:Resolver: __ _______________________{_}_{_}_{_}_{_}_____{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_____{_}_{_} _____________________{_}_{_}_{_}_{_}_____{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_____{_}_{_} _{_}_{_}_{_}_{_}

√

_x_x₊₊₁₁₁₁₊₊₅₅

√

_{2x - 3 +}_{2x - 3 +}

√

_x_x_{+ 3}_{+ 3}_{+ 3}_{+ 3}

√

_2x_2x_-_-_{3 =}_{3 =}₉₉

√

₂₂ Solución: Solución: _{__}_{__}

Multiplicando ambos miembros por

√

2 2 ::

__ ____________________________ ____________________________ _ ___ __________ __________

√

₂₂

[

√

_x_x₊₁₁₊₊₁₁₊₅₅

√

₂₂_x_x_{- 3}_{- 3} ₊₊

√

_{x + 3 + 3}_{x + 3 + 3}

√

_{2x -3}_{2x -3}

]

₌₌_9._9.₂₂ Efectuando: Efectuando: _ ________________________{_}_{_}___{_}_{_}___{_}_{_}___{_}_{_}___{_}_{_}__ _____________________{_}_{_}___{_}_{_}___{_}_{_}_____{_}_{_}_{_}_{_}__

√

_2x_2x₊₊₂₂₂₂₊₊₁₀₁₀

√

_{2x -3 +}_{2x -3 +}

√

_2x_2x₊₊_{6 +6}_{6 +6}

√

_{2x -3 = 18}_{2x -3 = 18} T

Transformando los radicales ransformando los radicales dobles a dobles a simples:simples:

__ _____________________{_}_{_}_______{_}_{_}_{_}_{_}_____{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_____{_}_{_}_{_}_{_}__ _______________________{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}___________{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}

√

_2x+22+2_2x+22+2

√

_{25(2x-3) +}_{25(2x-3) +}

√

_2x+6+2_2x+6+2

√

₉₍₂₉₍₂_x_x_-_-_{3) =}_{3) =}₁₈₁₈ _____ ________________________________________{_________}_{_________}______

√

_{25 + (2x - 3) + 2}_{25 + (2x - 3) + 2}

√

_{25(2x - 3)}_{25(2x - 3)} _____ ____________________________{________}_{________}______________ + +

√

9 + (2x - 3) + 29 + (2x - 3) + 2

√

9(2x - 3) = 189(2x - 3) = 18 _ _____ __________ ____ __________

√

_{25 +}_{25 +}

√

_2x_2x_-_-₃₃ ₊₊

√

₉₉ ₊₊

√

_2x_2x_{- 3}_{- 3} ₌₌₁₈₁₈ _ ___________ 5 + 3 + 3 5 + 3 + 3

√

2x - 3 = 182x - 3 = 18 _____ _____

√

_{2x - 3 = 5}_{2x - 3 = 5} elevando al cuadrado: elevando al cuadrado: 2x - 3 = 25 2x - 3 = 25 28 28 x = x = –––––– 2 2 finalmente: finalmente: x = 14 x = 14 4.-4.- Resolver:Resolver: _ _________ __________ n n

√

_{2 + x}_{2 + x} ____

√

nn_{2 + x}_{2 + x} ––––––– ––––––– ==

√

nn2 2 -- –––––––––––––– 2 2 xx

(4)

Solución:

El mínimo común múltiplo de los

denomi-nadores es (2x); multiplicando ambos miembros

nadores es (2x); multiplicando ambos miembros

de la ecuación por este valor:

_ _________ __________ (2x) (2x)

√

nn2 + x2 + x ____ (2x)(2x)

√

nn2 + x2 + x ––––––––––– ––––––––––– = (2x)= (2x)

√

nn2 2 -- –––––––––––––––––––––– 2 2 xx _ _________ ____ __________ x x

√

nn2 + x = (2x)2 + x = (2x)

√

nn2x - 22x - 2

√

nn2 + x2 + x

transponiendo términos, adecuadamente:

_ _________ __________ ______ x x

√

nn2 + x + 22 + x + 2

√

nn 2 + x = (2x)2 + x = (2x)

√

nn2x2x factorizando: factorizando: _ _________ ______ (x + 2) (x + 2)

√

nn2 + x = (2x)2 + x = (2x)

√

nn2x2x elevando a la “n”: elevando a la “n”: _____ _____ _n_n ______ _n_n

[

nn

√

_{2 + x (2 + x)}_{2 + x (2 + x)}

]

₌₌

[

_(2x)_(2x)

√

nn_2x_2x

]

efectuando: efectuando: (2 + x)(2 + x) (2 + x)(2 + x)nn _{= (2x)}_{= (2x)}nn_(2x)_(2x) (2 + x) (2 + x)n+1n+1 _{= (2x)}_{= (2x)}n+1n+1 extrayendo raíz “n + 1”: extrayendo raíz “n + 1”: 2 + x = 2x 2 + x = 2x ∴ ∴ x = 2x = 2 5.-5.- Resolver:Resolver: x x22₊₊₂₂_x_x₊₊₂₂ _x_x22₊₊₈₈_x_x₊₊₂₂₀₀ _x_x22₊₊₄₄_x_x₊₊₆₆ _x_x22_+6x+12_+6x+12 ––––––––– ––––––––– ++ –––––––––––––––––––– == –––––––––––––––– ++ –––––––––––––––– x x + + 11 x x + + 44 x x + + 22 x x + + 33 Solución: Solución:

Escribiendo los numeradores de la siguiente

manera: manera: (x+1) (x+1)22₊₊₁₁ ₍₍_x_x₊₊₄₄₎₎22_{+ 4}_{+ 4} ₍₍_x_x₊₊₂₂₎₎22₊₊₂₂ ₍₍_x_x₊₊₃₃₎₎22₊₊₃₃ –––––––– –––––––– ++ –––––––––––––––––– == –––––––––––––––––– ++ –––––––––––––––––– ( (x x + + 11)) ((x x + + 44)) ((x x + + 22)) ((x x + + 33))

descomponiendo las fracciones en fracciones

par-ciales: ciales: (x + 1) (x + 1)22 ₁₁ ₍₍_x_x₊₊₄₄₎₎22 ₄₄ ₍₍_x_x₊₊₂₂₎₎22 ––––––– ––––––– ++ –––––––––– ++ –––––––––––––– ++ –––––––––– == –––––––––––––– x x + + 11 x x + + 11 x x + + 44 x x + + 44 ((x x + + 22)) 2 2 ((x x + + 33))22 ₃₃ + + –––––––––– ++ –––––––––––––– ++ –––––––––––– x x + + 22 ((x x + + 33)) ((x x + + 33)) simplificando: simplificando: 1 1 44 x + 1 + x + 1 + –––––––––– + + x + x + 4 4 ++ –––––––––– x x ++ 11 xx ++ 44 2 2 33 = x + 2 + = x + 2 + –––––––––– + + x x + + 3 3 ++ –––––––––– x x ++ 22 xx ++ 33

reduciendo términos iguales:

1 1 44 22 33 ––––– ––––– ++ –––––––––– == –––––––––– ++ –––––––––––– x x + + 11 x x + + 33 x x + + 22 x x + + 33 transponiendo adecuadamente: transponiendo adecuadamente: 4 4 33 22 11 ––––– ––––– -- –––––––––– == –––––––––– --–––––––––––– x x + + 44 x x + + 33 x x + + 22 x x + + 11

Efectuando operaciones en cada miembro:

x x xx –––––––––––– –––––––––––– == –––––––––––––––––––––––– ( (x x + + 44))((x x + + 33)) ((x x + + 22))((x x + + 11))

Eliminado “x”(una solución es x = 0), se obtiene:

(x + 4) (x + 3) = (x + 2)(x + 1) (x + 4) (x + 3) = (x + 2)(x + 1) efectuando: efectuando: x x22_{+ 7}_{+ 7}_{x + 1}_{x + 1}₂₂_{= x}_{= x}22_{+ 3x + 2}_{+ 3x + 2} 4x = -10 4x = -10 finalmente: finalmente: 5 5 x = -x = - –––– 2 2 6.-6.- Resolver:Resolver: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 –– ––

[

––––

[

––––

[

––––

[

–––– x - 1x - 1

]

- 1- 1

]

- 1- 1

]

- 1- 1

]

- 1 = 0- 1 = 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Solución: Solución:

Efectuando operaciones en el corchete más

inte-rior y luego en los externos:

rior y luego en los externos:

1 1 11 11 11 11 –– ––

[

––––

[

––––

[

–––– x -x - –––– - 1- 1

]

- 1- 1

]

- 1- 1

]

- 1 = 0- 1 = 0 3 3 33 33 99 33 1 1 11 11 11 11 –– ––

[

––––

[

–––––– x -x - –––– --–––– -1-1

]

- 1- 1

]

- 1 = 0- 1 = 0 3 3 33 2277 99 33 1 1 11 11 11 11 –– ––

[

–––––– x -x - –––––– -- –––– -- –––– -1-1

]

- 1 = 0- 1 = 0 3 3 8811 2277 99 33 1 1 11 11 11 11 –––– –––– x -x - –––––– --–––––– --–––– -- –––– - - 1 1 = = 00 2 24433 8811 2277 99 33

(5)

Multiplicando toda la ecuación por 243:

x - 3 - 9 - 27 - 81 - 243 = 0 x - 3 - 9 - 27 - 81 - 243 = 0 despejando x: despejando x: x = 363 x = 363 7.-7.- Resolver:Resolver: 1 1 11 11 ––––––––– –––––––––== –––––––––––––––––––––––––– ++ –––––––––––––––––––––––––– a ax x + n + n + + 11 ((aax + x + 11))((aax x + 2+ 2)) ((aax x + 2+ 2))((aax + x + 33)) 1 1 11 + + ––––––––––––––––––––––––––+ … ++ … + –––––––––––––––––––––––––––––––––– ( (aax x + + 33))((aax x + + 44)) ((aax x + + nn))((aax x + + n n + + 11)) Solución: Solución:

Descomponiendo las fracciones en fracciones

parciales: parciales: 1 1 11 11 11 11 ––––––––– –––––––––== ––––––––––-- –––––––––– ++ ––––––––––-- –––––––––– a ax x + + n n + + 11 aax x + + 11 aax x + + 22 aax x + + 22 aax x + + 33 1 1 11 11 11 + + –––––––––––– --–––––––––––– + … ++ … + –––––––––––– -- –––––––––––––––– a ax x + + 33 aax x + + 44 aax x + + nn aax x + + n n + + 11 reduciend

reduciendo la segunda fracción con o la segunda fracción con la tercera, lala tercera, la

cuarta con la quinta, y así sucesivamente, se

tiene: tiene: 1 1 11 11 –––––––– ––––––––== ––––––––––––-- –––––––––––––––––– a ax x + + n n + + 11 aax x + + 11 aax x + + n n + + 11 transponiendo: transponiendo: 2 2 11 ––––––––– ––––––––– == –––––––––––– a ax x + + n n + + 11 aax x + + 11 2(ax + 1) = ax + n + 1 2(ax + 1) = ax + n + 1 ax + n + 1 = 2ax + 2 ax + n + 1 = 2ax + 2 ax = n - 1 ax = n - 1 finalmente: finalmente: n - 1 n - 1 x = x = –––––––––– a a 8.-8.- Resolver:Resolver: 121(5x 121(5x44_{+ 10x}_{+ 10x}22_{+ 1)}_{+ 1)} ––––––––––––––––– –––––––––––––––––= 2x= 2x 61(x 61(x44_{+ 10x}_{+ 10x}22_{+ 5)}_{+ 5)} Solución: Solución:

Haciendo transposiciones de términos:

1 12211 xx((xx44_{+ 10x}_{+ 10x}22 _{+ 5)}_{+ 5)} ––––––––– ––––––––– == –––––––––––––––––––––––––––––– ( (6611) ) . . ((22)) 55xx44_+10x_+10x22 _{+ 1}_{+ 1} 1 12211 xx55_{+ 10x}_{+ 10x}33_{+ 5x}_{+ 5x} ––––– ––––– == –––––––––––––––––––––––––– 1 12222 55xx44_{+ 10x}_{+ 10x}22_{+ 1}_{+ 1}

Por propiedad de proporciones, se sabe que:

a a cc –– –– == –––– b b dd a a + + bb c c + + dd ∴ ∴ ––––––––––== –––––––––– a a - - bb c c - - dd aplicando esta

aplicando esta propiedad:propiedad:

1 1221 1 + + 112222 xx55_{+ 5x}_{+ 5x}44_{+ 10x}_{+ 10x}33_{+ 10x}_{+ 10x}22_{+ 5x + 1}_{+ 5x + 1} ––––––––– –––––––––== –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 1 1221 1 - - 112222 xx55_{- 5x}_{- 5x}44_{+ 10x}_{+ 10x}33_{- 10x}_{- 10x}22_{+ 5x - 1}_{+ 5x - 1} 2 24433 ((x x + + 11))55 –––– –––– == –––––––––––––– --11 ((x x - - 11))55 aplicando raíz quinta a ambos:

aplicando raíz quinta a ambos:

____ ____ 5 5

√

_-_-₂₂₄₄₃₃ _x_x_-_-₁₁ –––––– –––––– ==

(

––––––––––

)

--11 x x - - 11 x + 1 x + 1 -3 = -3 = –––––––––– x - 1 x - 1 -3x + 3 = x + 1 -3x + 3 = x + 1 De donde: De donde: 1 1 x = x = –––– 2 2 9.-9.- Resolver:Resolver: _ _______ __________ (x - a) (x - a)

√

x - x - a a + (x + (x - b)- b)

√

x - bx - b –––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––––________ ________ = a - b= a - b

√

_x_x_-_-_a_a ₊₊

√

_{x - b}_{x - b}

y dar el valor numérico de x cuando:

4a - b = 15

Solución:

Introdu

Introduciendo los factores en ciendo los factores en los radicales:los radicales:

____ ____ ₃₃ ________ ₃₃

(

√

_{x - a}_{x - a}

₎

₊₊

₍

√

_{x - b}_{x - b}

₎

––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––________ ________ = a - b= a - b

(

√

_{x - a}_{x - a}

₎

₊₊

₍

√

_{x - b}_{x - b}

₎

desarrollando por cocientes notables y

simplifi-cando: cando: ____ ____ ₂₂ ________ ________ ________ ₂₂

(

√

_{x - a}_{x - a}

₎

_-_-

₍

√

_{x - a}_{x - a}

₎₍

√

_{x - b}_{x - b}

₎

₊₊

₍

√

_{x - b}_{x - b}

₎

_{= a - b}_{= a - b} _ _______ ________ x a -x - a -

(

√

x - ax - a

)(

√

x - bx - b

)

+ + x - x - b = b = a - a - bb reduciendo: reduciendo: _ _______ ________ 2(x - a) = 2(x - a) =

√

x - ax - a

√

x - bx - b

(6)

Elevando al cuadrado y extrayendo raíz cuadrada

al paréntesis del primer miembro:

_

2

2 √

√

(x - a)

22

₌

√

_{x - a}

√

_{x - b}

____

dividiendo por

√

x - a:

_

2

2 √

√

x - a =

√

x

-

b

(

I

)

Observese que se ha eliminado la solución:

x

-

a

=

0,

x

=

a

Elevando al cuadrado (I):

4(x - a) = x - b

4a - b

x =

––––––

3

3 por

por

dato:

4a

-

b

=

15:

∴ ∴

x = 5

10.-10.-

Resolver:

1

1 –––––––––––

–––––––––––

+

––

–

(x + a)

22

_{- b}

22

_{(x + b)}

22

_{- a}

22

1

1 =

=

–––––––––––

+

––––––––––

x

22

_{- (a + b)}

22

_x

22

_{- (a - b)}

22

Solución:

Factorizando los

denominadores:

1

1 –––––––––––––––––

–––––––––––––––––

+

––––––––––––––––––

(x

+ a

+ b

)(

x +

a -

b)

(x

+ b

+ a

)(

x +

b -

a)

1

1 =

=

––––––––––––––––––

+

–––––––––––––––––

(x

+ a

+ b

)(

x -

a -

b)

(x

+ a

- b

)(

x -

a +

b)

transponiendo términos en forma conveniente:

1

1 –––––––––––––––––

–––––––––––––––––

-

––––––––––––––––––

(x

+ a

+ b

)(

x +

a -

b)

(x

+ a

+ b

)(

x -

a -

b)

1

1 =

=

––––––––––––––––––

+

–––––––––––––––––

(x

+ a

- b

)(

x -

a +

b)

(x

+ a

+ b

)(

x -

a +

b)

Restando parcialmente, en cada miembro de la

ecuación:

x - a

- b

-(x + a

- b)

–––––––––––––––––––––––––

(x + a + b)(x + a - b)(x - a - b)

(x + a + b) - (x + a - b)

=

––––––––––––––––––––––––––

(x + a - b)(x + a + b)(x - a + b)

reduciendo los numeradores y simplificando

x + a + b, de los denominadores, tómese en

cuenta que al simplificar esta factor, se ha

eliminado la solución:

x

=

-

b

-

a

(

1

1 )

)

Que no es solución.

--

2

2 a

a

2

2 b

b

–––––––––––––––––

=

–––––––––––––––––

(x

+ a

- b

)(

x -

a -

b)

(x

+ a

- b

)(

x -

a +

b)

simplificando x + a - b, igual que

la simplificación

anterior, se elimina la solución:

x

=

b

-

a

(2)

Que no es solución.

-a

b

–––––––

=

––––––––

x

-

a

-

b

x

-

a

+

b

-a(x - a + b) = b(x - a - b)

-ax + a

22

_{- ab = bx - ba - b}

22

a

22

_{+ b}

22

_{= x(a + b)}

a

22

_{+ b}

22

–

––

(3)

a +

b

Luego, la solución es:

a

22

_{+ b}

22

x =

–

––

a + b

ig

ua

lm

en

t

e:

x =

-a

- b

No es solución, porque no verificar la igualdad

relativa.

Del m

ismo m

odo: x

= b

- a

No es

solución.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.-1.-

En cierto Instituto, estudian 500 postulantes en el

ciclo intensivo. De éstos, 329 dominan Álgebra;

186, Física; 295, Geometría; 83, Algebra y Física;

217, Algebra y Geometría; y 63, Física; y

Geometría. Hallar el número de alumnos que

dominan 3 cursos.

Solución:

Supongamos que “x” es el número de alumnos que

dominan los tr

es cursos a la

vez;

luego, de acuerd

o

al problema se puede plantear el siguiente gráfico.

(7)

B B M M 30 m 30 m A A X X 50 - x50 - x C C 20 m 20 m N N 217-x 217-x Algebra 29+x

Algebra 29+x 15+x 15+x GeometríaGeometría

x x 83-x 63-x 83-x 63-x 40+x 40+x Física Física

Postulantes que dominan sólo

Postulantes que dominan sólo Algebra:Algebra:

329 - (217 - x + x + 83 - x) = 29 + x

Postulantes que dominan sólo Física:

186 - (83 - x + x + 63 - x) = 40 + x

Postulantes que dominan sólo

Postulantes que dominan sólo Geometría:Geometría:

295 - (217 - x + x + 63 - x) = 15 + x

De acuerdo con el problema, los postulantes de la

Academia son en total 500.

Luego: Luego: 2 29 9 + + xx + + 22117 7 - - xx + + 883 3 - - x x ++ xx + + 115 5 + + xx ++ 6633 - - xx + + 4400 + x= + x= 550000 reduciend

reduciendo y o y despejando x:despejando x:

Dominan los tres cursos:

x = 51 alumnos.

2.-2.- Un barril contiene 120 litros de vino y 180 litrosUn barril contiene 120 litros de vino y 180 litros

de agua; un segundo barril contiene 90 litros de

vino y 30 litros de agua. ¿Cuántos litros debe

tomarse de cada uno de los barriles para formar

una mezcla homogénea que contenga 70 litros de

agua y 70 litros de vino?

Solución: Solución: ( (11)) ((22)) ((33)) 120 litros 120 litros 90 litros

90 litros 70 litros70 litros

vino

vino vinovino

180 litros

30 litros

30 litros 70 litros70 litros

agua

agua aguaagua

Supongamos que se extrae “x” litros del barril (1),

del segundo barril se debe extraer 140-x litros, ya

que la mezcla a formarse debe tener 140 litros.

Del primer barril se extrae:

120 litros vino 120 litros vino (x litros de mezcla) (x litros de mezcla)

(

––––––––––––––––––––––––––––––––

)

300 litros mezcla 300 litros mezcla 2 2 =

= –––– x litros de vino.x litros de vino.

5

Del segundo barril se extrae:

90 litros vino

[

[(140 - x)litros mezcla(140 - x)litros mezcla]]

[

––––––––––––––––––––––––––––––

]

120 litros mezcla

3

=

= –––– (140 - x) litros de vino(140 - x) litros de vino

4

La mezcla a formarse, debe tener 70 litros de

vino. Por lo tanto:

2 2 33 –– –– x +x + –––– (140 - x) = 70(140 - x) = 70 5 5 44 de de donde: donde: x x = = 100100

100 litros del primer barril y

40 litros del segundo barril.

3.-3.- En ambas orillas de un río crecen dos palmeras,En ambas orillas de un río crecen dos palmeras,

una frente a la otra. La altura de una es de 30

metros y la de la otra de 20. La distancia entre

sus troncos, 50 metros. En la copa de cada

palmera hay un pájaro, ellos vuelan a la misma

velocidad. De súbito, los dos pájaros descubren

un pez que aparece en la superficie del agua,

entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y

alcanzaron al pez al mismo tiempo. ¿A qué

dis-tancia del tronco de la palmera mayor apareció

tancia del tronco de la palmera mayor apareció

el pez?

Solución:

(8)

En la figura, aplicando el Teorema de Pitágoras, el

triángulo rectángulo BMA:

__

____₂₂

AB = 30

AB = 3022 _{+ x}_{+ x}22 En el

En el triángulo rectángutriángulo rectángulo CNA:lo CNA:

__ ____₂₂ AC = 20 AC = 2022 _{+ (50 - x)}_{+ (50 - x)}22 _ _____ ______

Pero AB = AC, por cuanto los pájaros vuelan a la

misma velocidad, luego estas distancias son

iguales. iguales. 30 3022 _+x_+x22 _{= 20}_{= 20}22 _{+(50 - x)}_{+(50 - x)}22 efectuando: efectuando: 900 + x 900 + x22_{= 400 + 2 500 - 100x + x}_{= 400 + 2 500 - 100x + x}22 100x = 2 000 100x = 2 000 x = 20 x = 20 Rpta.:

Rpta.: El pez apareció a 20 metros de la palmeraEl pez apareció a 20 metros de la palmera

que tenía 30 metros de altura.

4.-4.- ¿A qué hora, entre las 3 y las 4 las agujas de un¿A qué hora, entre las 3 y las 4 las agujas de un

reloj forman por segunda vez un ángulo recto?

Solución:

Para resolver este tipo de problemas, se debe

tener en cuenta la siguiente relación:

H

Hoorraarriioo:: vveelloocciiddaad d ccoommo 5 o 5 een n uun n hhoorraa

Mi

Minunuteterro:o: vevelolocicidadad d cocomo mo 60 60 en en ununa a hohorara

Dividiendo la esfera del

Dividiendo la esfera del reloj en 60 preloj en 60 partes artes o minu-o

minu-tos; en un mismo instante, el espacio recorrido por

tos; en un mismo instante, el espacio recorrido por

el horario es 1/12 del espacio recorrido por el

minutero.

Sea “x” en minutos, el espacio recorrido por el

minutero, desde las 12 hasta que forma ángulo

recto

recto con el con el horario, desphorario, después de las ués de las 3; en est3; en estee

tiempo, el horario habrá recorrido x/12, espacio

recorrido desde las 3 hasta el punto donde se

forma el ángulo de 90 grados.

Cuando las agujas del reloj forman un ángulo

recto, el espacio comprendido entre éstas, es la

cuarta parte del total de la esfera, es decir 15

cuarta parte del total de la esfera, es decir 15 min-

min-utos, 15 partes o divisiones

utos, 15 partes o divisiones

x/12 x/12 x x x x Del g

Del gráfico: ráfico: x = x = 15 +15 +–––––– + 15+ 15

12 12 x x x -x - –––––– = 30= 30 12 12 11x 11x –––– ––––= = 3030 12 12 3 36600 88 ∴ ∴ x =x = –––––––– = 32= 32 –––––– 1 111 1111 8 8 Hora:3 horas 32

Hora:3 horas 32 ––––––minutos.minutos.

11

5.-5.- ¿A qué hora entre las 2 y las 3, el horario y el¿A qué hora entre las 2 y las 3, el horario y el

minuter

minutero estarán o estarán en direcciones opuestas?en direcciones opuestas?

Solución:

Cuando las agujas del reloj estan en direcciones

opuestas, el espacio comprendido entre éstas es la

mitad del total de las esfera es decir 30 minutos.

x/12

Sea “x”, en minutos, el espcio recorrido por el

minutero, desde la 12 hasta que se encuetra en

dirección opuesta al horario, desde las 2; en este

tiempo el horario habrá recorrido x/12, medido

desde las 2. desde las 2. x x Del gráfico: x = 10 + Del gráfico: x = 10 +–––––– + 30+ 30 12 12 x x x -x - –––––– = 40= 40 12 12 10 10 30 30 15 15 15 15 x x

(9)

11x 11x –––– –––– = 40= 40 12 12 4 48800 77 x = x = –––––––– = 43= 43 –––––– 1 111 1111 7 7 Hora: 2horas 43

Hora: 2horas 43 –––––– minutosminutos

11

6.-6.- ¿Qué hora es entre las 5 y las 6, cuando el¿Qué hora es entre las 5 y las 6, cuando el

minutero encuentra al horario?

Solución:

Cuando el horario y el minutero coinciden, el

espacio comprendido entre éstos es igual a cero

ya que no hay separación entre ellos.

x/12

Sea “x” el

Sea “x” el espacio recorrido por el minutero, en elespacio recorrido por el minutero, en el

mismo tiempo, el horario habrá recorrido: x/12.

Del gráfico: Del gráfico: x x x = x = –––––– + 25+ 25 12 12 x x x -x - –––––– = 25= 25 12 12 11x 11x –––– –––– = 25= 25 12 12 3 30000 33 x = x = –––––––– = 27= 27 –––––– 1 111 1111 3 3 Hora: 5 horas 27

Hora: 5 horas 27 –––––– minutos.minutos.

11

7.-7.- Averiguar en qué día y hora del mes de abril deAveriguar en qué día y hora del mes de abril de

1 952 (año bisiesto) se verificó que la fracción

transcurrida del mes fue igual a la fracción

transcurrida del año.

Solución:

Por ser el año bisiesto, el mes de febrero tiene 29

días y el año 366 días.

Sea x los días transcurridos del mes de abril. El

número total de días transcurridos del año será:

Enero Enero : : 3131 Fe Febrbrereroo : 2: 299 M Maarrzzoo : : 3311 A Abbrriill : : xx –––––––––––––– –––––––––––––– T Tototal al dídíasas : : x x + + 9191

De los 30 días que

De los 30 días que tiene el mes de abril, tiene el mes de abril, han tran-han

tran-scurrido x días, luego la fracción transcurrida del

scurrido x días, luego la fracción transcurrida del

mes será: mes será: x x ––– ––– (I)(I) 30 30

De los 366 días que tiene el año, han

transcurri-do (x+91) días, luego la fracción transcurrida del

do (x+91) días, luego la fracción transcurrida del

año será: año será: x + 91 x + 91 ––––––– ––––––– (II)(II) 366 366

Por condición, (I) y (II) son iguales:

x x x x + + 9911 ––– ––– == –––––––––––––– 3 300 336666 de donde: de donde: 2 2 773300 11 x = x = –––––––––––– = 8= 8 –––– díasdías 3 33366 88 Transformando: Transformando: 1 1 11 –––

––– de día en horas =de día en horas = –––––– x x 24 24 = = 3 h3 horas.oras.

8

8 88

∴

∴ x = x = 8 días 8 días y 3 y 3 horashoras

Luego, han transcurrido 8 días y 3 horas.

Rpta.:

Rpta.:El día buscado será el 8 de abril a las 3El día buscado será el 8 de abril a las 3

horas.

8.-8.- ¿Qué día del año marcará la hoja de un¿Qué día del año marcará la hoja de un

almanaque cuando el número de hojas

arran-cadas exceda en 2 a los 3/8 del número de hojas

cadas exceda en 2 a los 3/8 del número de hojas

que quedan?

(El año no es bisiesto).

25

x

(10)

Solución:

El año no bisiesto tiene 365 dias, por tener en el

mes de febrero sólo 28 días.

Sea “x” el número de hojas arrancadas.

Luego (365 - x) representa el número de hojas

por arrancar. por arrancar. Por condición: Por condición: 1 1 x -x - –––––– (365 - x) = 2(365 - x) = 2 8 8 8x - 1 095 + 3x = 16 8x - 1 095 + 3x = 16 x = 101 x = 101

Se arrancó 101 hojas, de las cuales corresponden

al mes de enero 31; a febrero 28; a marzo 31; en

total 90 días. El resto corresponde al mes de abril

que son 101 - 90 =

que son 101 - 90 = 11 días, y que es 11 días, y que es el número deel número de

hojas arrancadas en el mes de abril. El día que

marcará el almanaque será el 12 de abril.

9.-9.-Dos móviles van en el mismo sentido. La veloci-Dos móviles van en el mismo sentido. La

veloci-dad de uno es “n” veces la velociveloci-dad del otro. Si

dad de uno es “n” veces la velocidad del otro. Si

en un determinado momento la ventaja es “na”

kilómetros y después de 2 horas se ha triplicado

la ventaja. ¿Cuál es la menor velocidad?.

Solución:

Sea A el punto donde se encuentra el automóvil

menos veloz y B el punto donde se halla el

automóvil más veloz. Sea: “E

automóvil más veloz. Sea: “E₁₁” el recorrido del” el recorrido del

primer automóvil y “E

primer automóvil y “E₂₂” el recorrido del ” el recorrido del segundosegundo

automóvil. El primero se halló en el punto C y el

segundo en el punto D. segundo en el punto D. E E₂₂ 64444447444448 64444447444448 B B CC A A ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––DD 123123 12312314444244431444424443 n na a kkmm xx 33nna a kkmm 1442443 1442443 E E₁₁

Sea la velocidad del automóvil que parte de A

igual a V

igual a V_A_A = V, y V= V, y V_B_B = nV la velocidad del= nV la velocidad del

automóvil que parte de B.

Sea “x” la distancia entre B y C; del gráfico se

plantea:

E

E₂₂ = = x x + + 3na 3na = = (nV)(2) (nV)(2) = = 2nV 2nV (1)(1)

ya que han transcurrido 2 horas, y el espacio es

igual a velocidad por tiempo:

E

E₁₁ = = nna a + + x x = = ((VV))((22) ) = = 22VV ((22))

Por la misma razón.

x

x = = 2nV 2nV - - 3na 3na (a)(a)

de (1) y (2): de (1) y (2): x x = = 2V 2V - - na na (b)(b) Si: ( Si: (αα) = () = (ββ) :) : 2nV - 3na = 2V - na 2nV - 3na = 2V - na de donde: de donde: na na V = V = –––––––––– n - 1 n - 1 n naa kkmm Rpta.:

Rpta.: La menor velocidad esLa menor velocidad es ––––––––––.. ––––––––

n

n - - 11 hh

10.-10.-De un depósito que contiene 729 litros de un áci-De un depósito que contiene 729 litros de un

áci-do puro se ha extraíáci-do “a”

do puro se ha extraído “a” litros y se ha litros y se ha rellenadorellenado

con agua.

con agua. Después del Después del mezclado mezclado se ha se ha extraídoextraído

nuevamente “a” litros de la solución y se

nuevamente “a” litros de la solución y se ha relle-ha

relle-nado con agua, revolviendo la mezcla

nado con agua, revolviendo la mezcla

escrupulo-samente. Después de repetir 6 veces tales

samente. Después de repetir 6 veces tales

opera-ciones, el líquido del depósito contenía 64 litros

ciones, el líquido del depósito contenía 64 litros

de ácido puro. Determinar el valor de “a”.

Solución:

Después que se extrajo del depósito por vez

primera “a” litros de

primera “a” litros de ácido puro y ácido puro y se se repuso conrepuso con

agua, en éste quedó,“729 - a” litros de ácido puro.

Es evidente que un litro de la

Es evidente que un litro de la solución ahora con-solución ahora

con-tiene:

tiene:

729 - a

(

––––––––––––––

)

litros de ácido puro.litros de ácido puro.

729

En la segu

En la segunda vez, nda vez, se extrae del se extrae del depósito:depósito:

729 - a

a .

(

––––––––––––––

)

litros de ácidolitros de ácido

729 729 y en éste queda: y en éste queda: 7 7229 9 - - aa ((77229 9 - - aa))22 7 72299--a a --a a ..

(

––––––––––––––

)

== –––––––––––––––– litros delitros de 7 72299 772299 ácido.ácido.

(11)

Por consiguiente, al reponer la solución con agua

por segunda vez, un litro de la nueva solución

contiene:

(729 - a)

(729 - a)22 _{(729 - a)}_{(729 - a)}22 –––––––––

–––––––––÷÷72729 =9 = –––––––––––––––––– litros de ácido.litros de ácido.

7

72299 77229922

Por lo tanto, la tercera sustracción disminuye la

cantidad de ácido en el depósito en:

(729 - a) (729 - a)22 a . a . –––––––––––––––––– litros.litros. 729 72922

es decir, después de la tercera operación queda:

(729 - a) (729 - a)22 _{(729 - a)}_{(729 - a)}22 _{(729 - a)}_{(729 - a)}33 ––––––––– –––––––––- a- a .. ––––––––––––––––––== ––––––––––––––––––litros delitros de 7 72299 77229922 ₇₂₉₇₂₉22 _ácido._ácido. No es difícil notar, que la cantidad de ácido en el

No es difícil notar, que la cantidad de ácido en el

depósito, después de la sexta operación, será igual a:

(729 - a) (729 - a)66 –––––––– –––––––– litroslitros 729 72955 Y por dato se tiene que:

Y por dato se tiene que:

(729 - a) (729 - a)66 –––––––– –––––––– 6464 729 72955 se observa que: se observa que: 64 = 2 64 = 266 729 = 3 729 = 366 ∴ ∴(729 - a)(729 - a)66 = 2= 266 .(3.(366))55 = 2= 266 .3.33030

Extrayendo raíz sexta a ambos miembros:

729 - a = 2 . 3

729 - a = 2 . 355 _{= 486}_{= 486} a = 729 - 486 = 243

a = 729 - 486 = 243

Por lo tanto

Por lo tanto en cada operación se en cada operación se extrajo extrajo a = 243a = 243

litros.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.

1. Resolver la ecuación:Resolver la ecuación:

(5x

(5x44_{+ 10x}_{+ 10x}22₊₊₁₎₁₎ _(5a_(5a44_{+ 10a}_{+ 10a}22_{+ 1)}_{+ 1)} ––––––––––––––––––––––––––––

––––––––––––––––––––––––––––= ax= ax

(x

(x44_{+ 10x}_{+ 10x}22 _{+ 5)(a}_{+ 5)(a}44_{+ 10a}_{+ 10a}22_{+ 5)}_{+ 5)} 1 1 a a)) aa bb)) –––– C) aC) a22 a a d) a d) a44 _{e) a}_{e) a}-2-2 2.

2. Si (a - 1)Si (a - 1)nn _{= a(a + 1)}_{= a(a + 1)}n-1n-1_{, calcular “x”:}_{, calcular “x”:} _ ___________ ____ n n

√

_ax_ax₊₊₁₁ ₊₊ nn

√

_ax_ax ––––––––––––––– –––––––––––––––_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_} _{_}_{_}_{_}_{_} = a= a n n

√

_ax_ax₊₊₁₁ _-_- nn

√

_ax_ax a a) ) aa bb) ) aann _{c) a}_{c) a}-n-n a a d d)) 11 ee))–––– n n 3. 3. Resolver:Resolver: 1 1 11 11 11 –––––– ––––––____ ++ ––––––––––––____ == ––––––––––––____ ++ ––––––––––––____

√

_{x + a}_{x + a}

√

_{x + b}_{x + b}

√

_{x - a}_{x - a}

√

_{x - b}_{x - b} a a a a) ) a a + + bb bb) ) a a - - bb cc))–––– b b b b d) d) –––– e) abe) ab a a 4. 4. Resolver:Resolver: _ _________ __________ (a + x) (a + x)

√

44 a - a - x x + (a + (a - x)- x)

√

44 a + a + xx ––––––––––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––––_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_} _{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_}_{_} = a= a 4 4

√

_a_a₊₊_x_x ₊₊

√

44 _{a - x}_{a - x} 1 1 a a)) aa bb)) –––– c) 2ac) 2a a a d d) ) 00 ee) ) --aa 5. 5. Resolver:Resolver: _ _________________________ ________________________

√

_{(x + a) (x}_{(x + a) (x}22₊₊_a)_a) ₊₊₂₂

√

_{(x - a)(x}_{(x - a)(x}22_{- a}_{- a}22₎₎ _ _______________________ ________________________ = =22

√

(x(x22₊₊_a)(x_a)(x_-_-_a)_a) ₊₊

√

_{(x + a)}_{(x + a)}22 _{(x - a)}_{(x - a)} 5a 5a a a) ) IImmppoossiibbllee bb) ) 55aa cc))–––––– 3 3 3a 3a d) d) –––––– e)2ae)2a 5 5