GRADO de TELECOMUNICACIONES

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GRADO de TELECOMUNICACIONES

ESTADISTICA 2009-2010

PRACTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD

OBJETIVOS: Introducci´on a modelos de probabilidad discretos y cont´ınuos m´as comunes.

Caracterización, representación gráfica. Resolución mediante simulación con MATLAB/Octave de

ejercicios propuestos.

1. Introducci´

on

En general, para generar variables aleatorias cont´ınuas utilizaremos el m´etodo de la

trans-formación inversa de la función de distribución (siempre que exista inversa). Para el caso de v.a.’s

discretas utilizaremos una condici´on booleana (Ya visto en la pr´actica anterior). No obstante,

MATLAB/Octave, dispone de funciones propias para generar variables aleatorias de modelos de probabilidad conocidos.

La Tabla 1 resume algunas de las funciones más importantes para la generación de números

aleatorios de modelos de probabilidad para variables cont´ınuas y discretas en MATLAB/Octave:

Funci´on Descripci´on Sintaxis

normrnd no aleatorios N (µ, σ) normrnd(MU,SIGMA,m,n)

randn no _{aleatorios N (0, 1)} _randn(m,n)

exprnd no aleatorios Exp(λ) exprnd(1/lambda,m,n)

binornd no aleatorios Bin(n, p) binornd(N,P,m,n)

poissrnd no _{aleatorios Poiss(λ)} _{poissrnd(lambda,m,n)}

Tabla 1: Algunas funciones importantes para la generaci´on de n´umeros aleatorios

donde m y n, son respectivamente en no de filas y columnas a generar.

2. Caso cont´ınuo

Distribuci´on normal

Recordemos que la distribuci´on Normal tiene como funci´on de densidad:

X ∼ N (µ, σ) : f (x) = 1 σ√2πexp − 1 2σ2(x−µ) 2 , donde x ∈ R, σ > 0 y µ ∈ R.

1. Representa en MATLAB/Octave la funci´on de densidad de una Normal N (µ, σ), para los

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La funci´on normdf(x,MU,SIGMA), proporciona la la funci´on de densidad de una Normal(µ,σ), evaluado en los valores de x. En MATLAB/Octave:

% generamos una secuencia

% de 100 no entre -3 y 3 >> x=linspace(-3,3,100); >> mu=0; >> sigma=1; >> y=normpdf(x,mu,sigma); >> plot(x,y) -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

2. Representa gr´aficamente la funci´on de densidad de la v.a. normal para distintos valores de

los par´ametros de la distribuci´on:

a) Manteniendo σ y variando µ ⇒ Considera 3 distribuciones Normales con desviaci´on

t´ıpica constante (σ = 1) y con diferentes medias (µ =-1,0 y 1). ¿C´omo afectan los

parámetros a la forma de la distribución? ¿y a su posición en los ejes?

b) Mantiendo µ y variando σ ⇒ Considera 3 distribuciones Normales con media

con-stante (µ = 0) y variando la desviaci´on t´ıpica (σ =0.3,0.5 y 1.2). Analizar c´omo afecta

a la forma de la distribución y cómo afecta a su posición en los ejes.

>> x = linspace(-3,3,100);

% a)

>> y1 = normpdf(x,0,1); % y1 es Normal con media 0 y desv. 1

>> y2 = normpdf(x,-1,1); % y1 es Normal con media -1 y desv. 1

>> y3 = normpdf(x,1,1); % y1 es Normal con media 1 y desv. 1

% b)

>> y4 = normpdf(x, 0, 0.3); % y4 es Normal con media 0 y desv. 0.3

Una vez generadas las 6 variables aleatorias normales, vamos a compararlas gr´aficamente

usando la funcionessubplot1;plot yhold on, hold off.

1

mediante la funciónsubplotpodemos crear varios gráficos a la vez. En el ejemplo,subplot(1,2,i), significa que dibujamos en 1 fila y en 2 columnas el gráfico i = 1 y 2

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% GRAFICO CASO a)

>> subplot(1,2,1) % 1 fila, 2 columnas, gr´afico no 1

>> hold on % esta opcion permite superponer gr´aficos

>> plot(x,y1, ‘b’) % gr´afico x/y1 en color azul (‘blue’)

>> plot(x,y2, ‘g’) % gr´afico x/y2 en color verde (‘green’)

>> plot(x,y3, ‘r’) % gr´afico x/y2 en color rojo (‘red’)

>> hold off % deshabilitamos la opci´on para superponer gr´aficos

% GRAFICO CASO b)

>> subplot(1,2,2) % 1 fila, 2 columnas, gr´afico no 2

>> hold on

>> plot(x,y4, ‘b’) >> plot(x,y5, ‘g’) >> plot(x,y6, ‘r’) >> hold off

% Otro modo de hacerlo es: >> subplot(1,2,1) >> plot(x,y1,‘b’,x,y2,‘g’,x,y3,‘r’) >> subplot(1,2,2) >> plot(x,y4,‘b’,x,y5,‘g’,x,y6,‘r’) -5 0 5 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 mu = -1 , sigma = 1 mu = 0 , sigma = 1 mu = 1 , sigma = 1 mu = 0 ,sigma = 0.3 mu = 0 , sigma = 0.5 mu = 0 ,sigma = 1.2

NOTA: Otra manera de representar un gr´afico de una distribuci´on normal (µ = 0 y σ = 2,5)

para x ∈ (−10, 10) ser´ıa:

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Con la sentenciadisttoolde MATLAB sobre elCommand Window, podemos ver gr´aficamente la densidad de diferentes distribuciones, seleccionando en Function Type/PDF.

3. Genera en MATLAB/Octave n´umeros aleatorios de la distribuci´on normal.

En MATLAB/Octave es posible generar n´umeros aleatorios de una distribuci´on normal

(µ, σ), a trav´es de funciones propias de la librer´ıa estad´ıstica stats. As´ı, podemos crear

datos normales (n filas y m columnas) de la siguiente manera: >> x= normrnd(MU,SIGMA,m,n);

El comandorandn, permite generar números aleatorios de una distribución normal estándar

(es decir, de media µ = 0 y σ = 1). A partir de randn, es posible generar n´umeros aleatorios

∼ N (µ, σ). Del siguiente modo: sea Z ∼ N (0, 1), podemos obtener X ∼ N (µ, σ), dada la

siguiente relaci´on:

X = Z · σ + µ

>> z= randn(m,n); >> x= z*sigma + mu;

Podemos comprobar, que los n´umeros generados son N (µ, σ) representando el histograma:

>> m=1000; n=1; >> sigma=0.75; mu=1;

>> z=randn(m,n); x=z*sigma + mu; >> hist(x) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 50 100 150 200 250 300

4. Funci´on de distribuci´on acumulada. En MATLAB/Octave, el comandonormcdf(x,mu,sigma)

devuelve la probabilidad p = P (X ≤ x) de una distribuci´on normal de par´ametros µ y σ.

Representa la funci´on de distribuci´on acumulada, para los valores de x ∈ [−3, 3], siendo X

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>> x = [-3:0.01:3]; >> mu=0; sigma=1;

>> p = normcdf(x,mu,sigma); % p = normcdf(x) proporciona

% la f. distr. acum. de % una N(0,1) % Su inversa es x = norminv(p,mu,sigma) >> plot(x,p) >> grid on -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

3. Caso discreto

Distribuci´on binomial

La funci´on de probabilidad p(x) de la distribuci´on binomial Bin(n, p) es:

X ∼ Bin(n, p) : p(x) =n

x

px(1 − p)n−x donde x = 0, 1, ..., n y 0 ≤ p < 1.

Siendo n el n´umero de intentos o de ensayos y el par´ametro p la probabilidad de que el suceso

´

exito ocurra.

1. Crea una funci´on en MATLAB/Octave que permita representar funciones de probabilidad de

una distribuci´on binomial.

%% creamos la funci´on fp_binomial.m

function y=fp_binomial(x,n,p) for i=1:length(x)

y(i)=(nchoosek(n,x(i)))*(p^x(i))*((1-p)^(n-x(i))) ; end

%%

NOTA: la funci´onnchoosek(n,x) permite calcular n_x, sin embargo, para un tama˜no de

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la funci´on Gamma Γ:

Γ(p) =

Z +∞

0

e−xxp−1dx, donde p > 0

Propiedades de la funci´on Gamma (Γ):

a) Γ(1) = 0! = 1

b) Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1), ∀p > 0 y entonces Γ(p) = (p − 1)!, ∀p ∈ N.

c) n_x = _{Γ(x+1)·Γ(n−x+1)}Γ(n+1)

d ) Γ(1₂) =√π.

2. Crea en MATLAB/Octave que permita representar funciones de probabilidad de una

dis-tribuci´on binomial para tama˜nos de n grandes.

%% creamos la funci´on fp_binomialN.m

%% utilizando la propiedad 3) de la funci´on Gamma

function y = fp_binomialN(x,n,p) for i=1:length(x) y(i)=(gamma(n+1)*(p^x(i))*((1-p)^(n-x(i))))/ (gamma(x(i)+1)*gamma(n-x(i)+1)); end %%

3. Utilizando la función creada anteriormente, representa gráficamente la función de probabilidad

de una variable aleatoria binomial, para los siguientes casos:

a) Dejando constante p y variando n ⇒ creamos 3 distribuciones binomiales: Bin(5,0.2), Bin(10,0.2), Bin(20,0.2)

b) Dejar n constante y variar p ⇒ creamos otras 3 distribuciones binomiales: Bin(100,0.1), Bin(100,0.5), Bin(100,0.8)

% Caso a):

>> x5=0:5 % creamos una secuencia de 0 a 5

>> y5=fp_binomial(x5,5,0.2) % llamamos a la funci´on fp_binomial.m

>> sum(y5) % comprobamos que la suma de las probabilidades es 1 >> x10=0:10;

>> y10=fp_binomial(x10,10,0.2); >> x20=0:20;

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% Caso b):

>> x100 = 0:100;

>> y1 = fp_binomialN(x100, 100, 0.1); % llamamos a la funci´on

>> y2 = fp_binomialN(x100, 100, 0.5); % fp_binomialN.m

>> y3 = fp_binomialN(x100, 100, 0.8);

Podemos comparar ambos gr´aficos, como vimos en el caso de la distribuci´on Normal.

>> subplot(1,2,1)

>> plot(x5,y5,‘.’, x10,y10, ‘+’, x20, y20, ‘*’); >> legend(‘n=5, p=0.2’, ‘n=10, p=0.2’, ‘n=20, p=0.2’) >> subplot(1,2,2)

>> plot(x100, y1, ‘.’, x100, y2, ‘+’, x100, y3, ‘*’);

>> legend(‘n = 100, p = 0.1’, ‘n = 100, p = 0.5’, ‘n = 100, p = 0.8’); 0 5 10 15 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 n=5, p=0.2 n=10, p=0.2 n=20, p=0.2 0 20 40 60 80 100 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 n = 100 , p = 0.1 n = 100 , p = 0.5 n = 100 , p = 0.8

NOTA: Tambi´en es posible utilizar el comando binopdf(x,N,P) para representar la

fun-ci´on de probabilidad de una binomial (n, p)

4. Sabiendo que la distribuci´on Bin(n, p) es la suma de n variables aleatorias Bernouilli

inde-pendientes:

Binom(n, p) = Bern(p) + ... + Bern(p)

| {z }

n veces

Crea una función en MATLAB/Octave para generar números aleatorios de la distribución

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%% creamos la funci´on na_binomial.m

function y= na_binomial(n_dat, n, p) % ‘n_dat’ es el

% no de datos binomiales % que se van a generar

prob = rand(n,n_dat); % realizamos ‘n’ experimentos

exitos = prob < p; % si se cumple, entonces se ha producido un exito y =sum(exitos); % sumamos todos los exitos producidos

%%

En el Command Window:

% Obtenemos 10 n´umeros binomiales obtenidos de sumar el no

% de ´exitos de n intentos con una probabilidad de ´exito p

>> y = na_binomial(10,n,p)

Num´ericamente, podemos verificar las propiedades de la media y la varianza de la

distribu-ci´on binomial: E[X] = n × p Var[X] = n × p × q >> n=100; p=0.1; >> y = na_binomial(10,n,p) >> mean(y) % aprox. 10 >> var(y) % aprox. 9

3.1. Generaci´on de variables aleatorias

Como se indicó en la práctica anterior, el método de la inversa nos permite generar variables

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Caso Weibull: Sea X una variable aleatoria Weibull2, X ∼ Weibull(α, β), con funci´on de distribuci´on: FX(x) = 0 x > 0 1 − e−(x/β)α 0 ≤ x

donde α y β son par´ametros dados. Indica c´omo generar´ıas en MATLAB/Octave variables

aleatorias Weibull.

X Mediante el m´etodo de la inversa, tenemos que considerando u = FX(x),

1 − e(x/β)α = u e(x/β)α = 1 − u (x/β)α= − ln(1 − u) x/β = [− ln(1 − u)]α1 x = β[− ln(1 − u)]α1 Por tanto: >> u = rand(n,1); >> x = beta*(-log(1-u))^(1/alpha);

4. Funci´

on Q

La función Q se define como la complementaria a la función de distribución de la N (0, 1), es

decir como

Q(x) = P (X > x) siendo X ∼ N (0, 1)

Supongamos una funci´on Q tiene por cotas superiores (cs1) y (cs2) y cota inferior (ci) dadas por

Q(x) ≤ 1 2e −x2 2 para todo x ≥ 0 (_cs1) Q(x) < √1 2πxe −x2 2 para todo x > 0 (_cs2) Q(x) > √1 2πx 1 − 1 x2 e−x22 para todo x > 1 (_ci) 2

NOTA: Esta distribuci´on se aplica en los an´alisis de fiabilidad de sistemas, para establecer, por ejemplo el tiempo de vida de un componente hasta que se produce un fallo.

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a) La función de MATLAB normcdf(x,MU,SIGMA) devuelve la función de distribución

acumu-lada de una N (µ, σ). ¿C´omo representar´ıas en MATLAB la funci´on Q?

>> Q = 1 - normcdf(x,0,1)

b) Escribe el código en MATLAB para representar gráficamente la función Q en el intervalo

(0, 5] junto con las cotas superiorescs1ycs2y la cota inferiorci. El resultado que se ha de

obtener ser´a similar al de la figura1.

NOTA:

Representa x ∈ (0, 5] comox=[0.01:0.01:5].

Para la cota inferior ci, observa que existe una as´ıntota vertical en x = 1, por tanto,

definexi=[1.01:0.01:5] tan s´olo para esta cota.

Utiliza una escala logar´ıtmica para representar gr´aficamente las cotas.

>>x1= [1.01:0.01:5]; >>for i=1:length(x1)

ci(i) = (1/x1(i)*sqrt(2*pi))*(1- (1/x1(i)^2))*exp(-0.5*x1(i)^2); end >>x = [0.01:0.01:5]; >>for i=1:length(x) cs1(i)=0.5*exp(-0.5*x(i)^2); cs2(i)=(1/(x(i)*sqrt(2*pi))) * exp(-0.5*x(i)^2); end >>q = 1- normcdf(x,0,1); >> plot(x, log(q), ‘black’) >> hold on

>> plot(x, log(cs1), ‘r’) >> plot(x, log(cs2), ‘g’) >> plot(x1, log(ci), ‘m’) >> hold off

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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -20 -15 -10 -5 0 5 10 log(q) log(cs1) log(cs2) log(ci)

Figura 1: Representación gráfica de la función Q con las cotas en escala logar´ıtmica log(cs1),

log(cs2) y log(ci). La l´ınea vertical representa la as´ıntota en x = 1.

5. Ejercicios de inter´

es

1. Sea X la v.a. “horas que se dedica a realizar una actividad”, cuya funci´on de densidad es

f (x) =

₁

4(x + 1) 0 < x < 2

0 resto

Se pide:

a) Calcular, de forma anal´ıtica y con MATLAB/Octave, la probabilidad de que el tiempo empleado sea superior a una hora y media.

b) Si se realizan 10 actividades seg´un la v.a. X, calcular, de forma anal´ıtica y con

MAT-LAB/Octave, la probabilidad de que exactamente en tres de ellas, el tiempo que se emplee en realizar cada una sea superior a una hora y media.

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a) De forma anal´ıtica, se tiene que: P (X > 1,5) = Z +∞ x=1,5 f (x) dx = Z 2 x=1,5 1 4(x + 1) dx = 1 4 1 2x 22 1,5+ 1 4[x] 2 1,5 = 1 8 4 −9 4 +1 4 2 −3 2 = 7 32 + 1 8 = 11 32 = 0,3438

Para resolverlo con MATLAB/Octave, hay que utilizar el m´etodo de la inversa, con lo

que hay que calcular previamente la funci´on de distribuci´on, que es

F (x) =    0 x < 0 Rx 0 1 4(y + 1) dy = 1 8x 2₊1 4x 0 ≤ x < 2 1 2 ≤ x

Y ahora hay que invertir la funci´on de distribuci´on:

1 8x 2₊ 1 4x = u x2+ 2x − 8u = 0 x = −2 ± √ 4 + 32u 2

Dada la definición de la v.a. X la solución negativa no es válida, con lo que el

proced-imiento para generarla es:

u ∼ U (0, 1)

x = −2 +

√

4 + 32u 2

El c´odigo MATLAB/Octave para resolver este apartado es:

>> u=rand(1000,1);

>> x=(-2+sqrt(4+32*u))/2; >> prob=sum(x>1.5)/1000

0.33800

b) De forma anal´ıtica, si se define Y como la v.a. “n´umero de actividades entre las 10

realizadas en las que el tiempo que se emplea es superior a una hora y media”, se tiene

que Y ∼ Bin n = 10, p = 11₃₂ hay que calcular

P (Y = 3) =10 3 11 32 3 21 32 7 = 0, 2555

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El c´odigo MATLAB/Octave para resolver este apartado es: >> u=rand(1000,10); >> x=(-2+sqrt(4+32*u))/2; >> conta=(x>1.5); >> suma=sum(conta,2); >> prob=sum(suma==3)/1000 0.24500

4. Ex. FEB 2004 Ing. Tel. (C1a) (link). El objetivo de este problema es analizar un canal de

comunicaciones. Cuando el canal transmite un 1, el receptor recibe una variable aleatoria que

sigue una distribuci´on Normal de media 1 y varianza 0, 5. Si el canal binario transmite un

2, el receptor recibe una variable aleatoria Normal con media 2 y varianza 0, 5. Sea P (1) la probabilidad de transmitir un 1.

a) Si P (1) = 0, 75. ¿Cu´al es la probabilidad de que un 1 haya sido transmitido cuando el

receptor ha recibido una se˜nal superior a 2?

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En MATLAB/Octave, podemos aproximar la probabilidad mediante: >> n=10000;

>> u=rand(n,1); % simulamos n experimientos aleatorios

>> p=0.75; % es la probabilidad de transmitir un 1

% transmision del mensaje por el canal >> t=1*(u<=p)+2*(u>p);

% Simulamos z1 y z2 con la funci´on normrnd(MU,SIGMA,n,1)

>> z1 = normrnd(1,sqrt(0.5),n,1); >> z2 = normrnd(2,sqrt(0.5),n,1)

% recepci´on del mensaje

>> r=(t==1).*z1+(t==2).*z2; >> r=2*(r>2)+1*(r<=2);

% creamos una tabla de doble entrada transmitidos/recibidos

% (SOLO EN MATLAB)

>> a=crosstab(t,r) >> a =

6894 599 % a(1,1) a(1,2)

1258 1249 % a(2,1) a(2,2)

% nos piden la probabilidad P(t==1|r>2), en la simulaci´on

>> a(1,2)/(a(1,2)+a(2,2)) 0.3241

Otra manera de hacerlo, sin utilizar crosstab, ser´ıa

% en la matriz A, ponemos en columnas transmitidos y recibidos

>> A = [t r]

% cu´antas veces se cumple la condici´on

>> a12 = sum(A(:,1)==1 & A(:,2)==2) 610

% cu´antas veces se cumple la condici´on

>> a22 = sum(A(:,2)==1 & A(:,2)==2) 1276

>> a12/(a12+a22)

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5. Ex. SEP 2007 Ing. T´ec. Tel. (P2b).(link). La duraci´on en d´ıas de un tipo de sensores sigue un modelo Weibull con

F (t) = 1 − exp − t α 1/2! f (t) = 1/2 α1/2t −1/2_exp ₋ t α 1/2! con α > 0.

a) Se supone que se tiene una caja de 60 sensores sin usar cuya duraci´on siguen el modelo

Weibull con α = 1₄ d´ıas que verifica que E [T ] = 1₂ d´ıas y V [T ] = 5₄ d´ıas2. Si se

comienza con un sensor de dicha caja y se va reemplazando instant´aneamente seg´un se

vaya fundiendo con un sensor de la misma caja, ¿cu´al es la probabilidad de que cuando

haya fallado el ´ultimo sensor de la caja hayan pasado menos de 47 d´ıas?

Utilizar alguno de los siguientes valores de la funci´on

x 1,64 −1,64 1,96 −1,96 47 −47

Q (x) 0,05 0,95 0,025 0,975 ' 0 ' 1

b) Comentar l´ınea a l´ınea el siguiente c´odigo de MATLAB y decir el valor aproximado que

tomar´a prob.

>> u=rand(60,1000);

>> w=0.25*(-log(1-u)).^(1/0.5); >> s=sum(w);

>> prob=sum(s<47)/1000

a) Si se define la v.a. Ti como el tiempo hasta que falla el sensor i, se tiene que se pide

P 60 X i=1 Ti ≤ 47 !

Como las Ti verifican las condiciones del teorema central del l´ımite, se tiene que

60 X i=1 Ti∼ N 60 1 2, r 605 4 ! Si se estandariza P 60 X i=1 Ti ≤ 47 ! = P   P60 i=1Ti− 601₂ q 605₄ < 47 − 60 1 2 q 605₄   P Z < 47 − 30 8, 66 = P (Z < 1, 96) = 1 − Q (1, 96) = 1 − 0, 025 = 0, 9750

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b) En primer lugar hay que saber generar un modelo Weibull. Para ello se aplica el

método de la inversa de la función de distribución. Por lo que

F (t) = 1 − exp − t α β! = u ln (1 − u) = − t α β t = α [−Ln (1 − u)]1/β

La primera l´ınea genera una matriz de dimensiones 60 × 1000 con n´umeros U (0, 1).

La segunda l´ınea genera una matriz de dimensiones 60 × 1000 con n´umeros Weibull con

α = 1₄ d´ıas, (se est´a generando los tiempos en los que van fallando los sensores). La tercera

l´ınea suma la duraci´on total de los 60 sensores. La cuarta l´ınea mira cu´antas veces de las

1000, la duraci´on total de los sensores es menor que 47. Eso lo hace con la ayuda de la

variable booleana (s < 47).

Por tanto, este c´odigo est´a contestando a la misma pregunta que el apartado a). El