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Ecuaciones Diferenciales Lineales

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(1)

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Ecuaciones Diferenciales Lineales

Manuel Fern´andez Garc´ıa-Hierro

23 de octubre de 2012

(2)

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Ecuaciones diferenciales lineales.

Introducci´ on

Este cap´ıtulo est´a dedicado casi en su totalidad a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Contiene adem´as una introduci´on a las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes y a los sistemas diferenciales lineales de coeficientes constantes.

Las ecuaciones lineales de segundo orden se utilizan para modelar matem´aticamente fen´omenos f´ısicos en los que se usa la segunda ley de la mec´anica de Newton, tales como el movimiento de una part´ıcula que cae bajo la acci´on de la gravedad, el movimiento de un p´endulo, el de los planetas alrededor del Sol, o las oscilaciones en sistemas mec´anicos y el´ectricos.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Ecuaciones diferenciales lineales.

Introducci´ on

Este cap´ıtulo est´a dedicado casi en su totalidad a las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Contiene adem´as una introduci´on a las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes y a los sistemas diferenciales lineales de coeficientes constantes.

Las ecuaciones lineales de segundo orden se utilizan para modelar matem´aticamente fen´omenos f´ısicos en los que se usa la segunda ley de la mec´anica de Newton, tales como el movimiento de una part´ıcula que cae bajo la acci´on de la gravedad, el movimiento de un p´endulo, el de los planetas

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Una ecuaci´on diferencial de segundo orden tiene la forma g(t, x, x0, x00) = 0, (1) donde

g : D ⊂ R4→ R, (t, x1, x2, x3) → g(t, x1, x2, x3).

(5)

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

El concepto de soluci´ on

Sea I un intervalo de R. Se dice que x : I → R es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial si para todo t ∈ I,

x es dos veces derivable,

(t, x(t), x0(t), x00(t)) ∈ D, g(t, x(t), x0(t), x00(t)) = 0.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

El concepto de soluci´ on

Sea I un intervalo de R. Se dice que x : I → R es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial si para todo t ∈ I,

x es dos veces derivable, (t, x(t), x0(t), x00(t)) ∈ D,

g(t, x(t), x0(t), x00(t)) = 0.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

El concepto de soluci´ on

Sea I un intervalo de R. Se dice que x : I → R es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial si para todo t ∈ I,

x es dos veces derivable, (t, x(t), x0(t), x00(t)) ∈ D, g(t, x(t), x0(t), x00(t)) = 0.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Ecuaciones expl´ıcitas

La ecuaci´on diferencial est´a en forma expl´ıcita si

x00= f (t, x, x0), (2) donde f : D ⊂ R3 → R.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Existencia y unicidad de soluciones

Cada (t0, x0, x00) ∈ D es una condici´on inicial.

El problema de valor inicial para x00= f (t, x, x0) consiste en encontrar soluciones tales que x(t0) = x0, x0(t0) = x00. Es decir, tales que su gr´afica pase por el punto (t0, x0) y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto sea x0(t0) = x00.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Existencia y unicidad de soluciones

Cada (t0, x0, x00) ∈ D es una condici´on inicial.

El problema de valor inicial para x00= f (t, x, x0) consiste en encontrar soluciones tales que x(t0) = x0, x0(t0) = x00.

Es decir, tales que su gr´afica pase por el punto (t0, x0) y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto sea x0(t0) = x00.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Existencia y unicidad de soluciones

Cada (t0, x0, x00) ∈ D es una condici´on inicial.

El problema de valor inicial para x00= f (t, x, x0) consiste en encontrar soluciones tales que x(t0) = x0, x0(t0) = x00. Es decir, tales que su gr´afica pase por el punto (t0, x0) y que la pendiente de la recta tangente en dicho punto sea x0(t0) = x00.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Estudiaremos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden del tipo

a0(t)x00+ a1(t)x0+ a2(t)x = a3(t), (3) donde ai: I → R son funciones definidas en el intervalo I ⊂ R.

En el caso en que a0(t) 6= 0 para todo t ∈ I, la ecuaci´on se puede escribir en la forma

x00+ a(t)x0+ b(t)x = c(t), (4) donde a(t) = aa1(t)

0(t), b(t) = aa2(t)

0(t) y c(t) = aa3(t)

0(t).

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Estudiaremos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden del tipo

a0(t)x00+ a1(t)x0+ a2(t)x = a3(t), (3) donde ai: I → R son funciones definidas en el intervalo I ⊂ R.

En el caso en que a0(t) 6= 0 para todo t ∈ I, la ecuaci´on se puede escribir en la forma

x00+ a(t)x0+ b(t)x = c(t), (4) donde a(t) = aa1(t)

0(t), b(t) = aa2(t)

0(t) y c(t) = aa3(t)

0(t).

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Existencia y unicidad de soluciones

Teorema

Sean a(t), b(t), c(t) continuas en el intervalo I y sea (t0, x0, x00) ∈ I × R2. Entonces existe una ´unica soluci´on x : I → R de la ecuaci´on

x00+ a(t)x0+ b(t)x = c(t) tal que x(t0) = x0, x0(t0) = x00.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Existencia y unicidad de soluciones

Es decir, existe una ´unica soluci´on del problema de valor inicial para la ecuaci´on x00+ a(t)x0+ b(t)x = c(t).

N´otese que se afirma que la soluci´on est´a definida en todo el intervalo I de definici´on de las funciones a(t), b(t), c(t).

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Existencia y unicidad de soluciones

Es decir, existe una ´unica soluci´on del problema de valor inicial para la ecuaci´on x00+ a(t)x0+ b(t)x = c(t).

N´otese que se afirma que la soluci´on est´a definida en todo el intervalo I de definici´on de las funciones a(t), b(t), c(t).

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

En todo lo que sigue se supondr´a que las funciones a(t), b(t), c(t) son continuas en el intervalo I y que cualquier soluci´on est´a definida en el intervalo I, sin mencionarlo expl´ıcitamente.

La ecuaci´on x00+ a(t)x0+ b(t) = 0 se llama homog´enea, en contraposici´on con la ecuaci´on no homog´enea o completa, que corresponde al caso x00+ a(t)x0+ b(t) = c(t) con c(t) no id´enticamente nula.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

En todo lo que sigue se supondr´a que las funciones a(t), b(t), c(t) son continuas en el intervalo I y que cualquier soluci´on est´a definida en el intervalo I, sin mencionarlo expl´ıcitamente.

La ecuaci´on x00+ a(t)x0+ b(t) = 0 se llama homog´enea, en contraposici´on con la ecuaci´on no homog´enea o completa, que corresponde al caso x00+ a(t)x0+ b(t) = c(t) con c(t) no id´enticamente nula.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

El conjunto de soluciones de la ecuaci´on

x00+ a(t)x0+ b(t) = c(t) es un subconjunto del espacio vectorial de las funciones de clase 2 sobre el intervalo I.

Se probar´a que el conjunto de soluciones de la ecuaci´on homog´enea es un subespacio vectorial y el de las no homog´eneas un subespacio af´ın, ambos de dimensi´on 2.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

El conjunto de soluciones de la ecuaci´on

x00+ a(t)x0+ b(t) = c(t) es un subconjunto del espacio vectorial de las funciones de clase 2 sobre el intervalo I.

Se probar´a que el conjunto de soluciones de la ecuaci´on homog´enea es un subespacio vectorial y el de las no homog´eneas un subespacio af´ın, ambos de dimensi´on 2.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Proposici´on

Sean x(t), y(t) soluciones de

x00+ a(t)x0+ b(t)x = 0, (5) y λ, µ ∈ R. Entonces λx(t) + µy(t) tambi´en es soluci´on.

Sea xp(t) una soluci´on de

x00+ a(t)x0+ b(t)x = c(t).

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Demostraci´on.

Sea C2(I) (resp. C(I)) el espacio de las funciones reales de clase 2 (resp. continuas) definidas en I. Def´ınase L : C2(I) → C(I) mediante la f´ormula Lx = x00+ a(t)x0+ b(t)x. Entonces L es lineal.

Adem´as L(xp+ xh) = c(t) y dadas dos soluciones x, y de la ecuaci´on no homog´enea, L(x − y) = 0.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Demostraci´on.

Sea C2(I) (resp. C(I)) el espacio de las funciones reales de clase 2 (resp. continuas) definidas en I. Def´ınase L : C2(I) → C(I) mediante la f´ormula Lx = x00+ a(t)x0+ b(t)x. Entonces L es lineal.

Adem´as L(xp+ xh) = c(t) y dadas dos soluciones x, y de la ecuaci´on no homog´enea, L(x − y) = 0.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

El siguiente resultado es un criterio para que dos soluciones sean linealmente indeprendientes de aplicaci´on muy sencilla.

Proposici´on

Sean x, y soluciones de la ecuaci´on homog´enea y sea t0∈ I.

Entonces x, y son linealmente independientes si y solo si los vectores (x(t0), x0(t0)), (y(t0), y0(t0)) son linealmente

independientes.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Demostraci´on.

Es f´acil comprobar que si (x(t0), x0(t0)), (y(t0), y0(t0)) son linealmente independientes, entonces x, y son linealmente independientes.

Rec´ıprocamente, sup´ongase que x, y son linealmente independientes. Sean λ, µ ∈ R tales que λ(x(t0), x0(t0)) + µ(y(t0), y0(t0)) = (0, 0). La soluci´on

λx(t) + µy(t) es la soluci´on id´enticamente nula por la unicidad de soluciones del problema de valor inicial. Por tanto

λ = µ = 0.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Demostraci´on.

Es f´acil comprobar que si (x(t0), x0(t0)), (y(t0), y0(t0)) son linealmente independientes, entonces x, y son linealmente independientes. Rec´ıprocamente, sup´ongase que x, y son linealmente independientes. Sean λ, µ ∈ R tales que λ(x(t0), x0(t0)) + µ(y(t0), y0(t0)) = (0, 0). La soluci´on

λx(t) + µy(t) es la soluci´on id´enticamente nula por la unicidad de soluciones del problema de valor inicial. Por tanto

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

La utilidad de este criterio se hace patente al demostrar la siguiente proposici´on.

Proposici´on

El subespacio vectorial de las soluciones de la ecuaci´on homog´enea tiene dimensi´on 2.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Demostraci´on.

Sea t0 ∈ I. Sea x1(t) (resp. x2(t)) la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea tal que (x1(t0), (x1)0(t0)) = (1, 0) (resp

(x2(t0), (x2)0(t0)) = (0, 1)).

Entonces x1(t) y x2(t) son linealmente independientes.

Sea x(t) la soluci´on del sistema homog´eneo tal que

x(t0) = x0, x0(t0) = x00. Entonces x0x1(t) + x00x2(t) tambi´en es soluci´on y cumple la misma condici´on inicial. Por tanto x(t) = x0x1(t) + x00x2(t) para todo t ∈ I.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Demostraci´on.

Sea t0 ∈ I. Sea x1(t) (resp. x2(t)) la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea tal que (x1(t0), (x1)0(t0)) = (1, 0) (resp

(x2(t0), (x2)0(t0)) = (0, 1)). Entonces x1(t) y x2(t) son linealmente independientes.

Sea x(t) la soluci´on del sistema homog´eneo tal que

x(t0) = x0, x0(t0) = x00. Entonces x0x1(t) + x00x2(t) tambi´en es soluci´on y cumple la misma condici´on inicial. Por tanto x(t) = x0x1(t) + x00x2(t) para todo t ∈ I.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Demostraci´on.

Sea t0 ∈ I. Sea x1(t) (resp. x2(t)) la soluci´on de la ecuaci´on homog´enea tal que (x1(t0), (x1)0(t0)) = (1, 0) (resp

(x2(t0), (x2)0(t0)) = (0, 1)). Entonces x1(t) y x2(t) son linealmente independientes.

Sea x(t) la soluci´on del sistema homog´eneo tal que

x(t0) = x0, x0(t0) = x00. Entonces x0x1(t) + x00x2(t) tambi´en es soluci´on y cumple la misma condici´on inicial. Por tanto

1 0 2

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

El wronskiano de dos soluciones. Sean x, y : I → R funciones derivables. El wronskiano de x, y es por definici´on

W (x, y)(t) =

x(t) y(t) x0(t) y0(t)

.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Proposici´on

Sean x, y soluciones de la ecuaci´on x00+ a(t)x0+ b(t)x = 0 y t0 ∈ I. Entonces

W (x, y)(t) = W (x, y)(t0) exp



− Z t

t0

a(s) ds



. (6)

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Demostraci´on.

Se probar´a que W (x, y)0(t) = −a(t)W (x, y)(t), ya que integrando entre t0 y t se obtiene (6).

W (x, y)0(t) = x(t)y00(t) − x00(t)y(t)

= x(t)(−a(t)y0(t) − b(t)y(t))

− (−a(t)x0(t) − b(t)x(t))y(t)

= −a(t)W (x, y)(t).

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Una consecuencia de la proposici´on anterior es que el

Wronskiano de dos soluciones de la ecuaci´on homog´enea, o es distinto de cero para todo t ∈ I o es id´enticamente nulo.

Teniendo en cuenta la Proposici´on 2 se obtiene la

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Una consecuencia de la proposici´on anterior es que el

Wronskiano de dos soluciones de la ecuaci´on homog´enea, o es distinto de cero para todo t ∈ I o es id´enticamente nulo.

Teniendo en cuenta la Proposici´on 2 se obtiene la

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Proposici´on

Sean x, y soluciones de la ecuaci´on x00+ a(t)x0+ b(t)x = 0 y t0 ∈ I. Son equivalentes:

x, y son linealmente independientes.

Los vectores (x(t0), x0(t0)), (y(t0), y0(t0)) son linealmente independientes.

W (x, y)(t0) 6= 0.

W (x, y)(t) 6= 0 para todo t ∈ I.

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Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenExistencia y unicidad de soluciones

Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Proposici´on

Sean x, y soluciones de la ecuaci´on x00+ a(t)x0+ b(t)x = 0 y t0 ∈ I. Son equivalentes:

x, y son linealmente independientes.

Los vectores (x(t0), x0(t0)), (y(t0), y0(t0)) son linealmente independientes.

W (x, y)(t0) 6= 0.

W (x, y)(t) 6= 0 para todo t ∈ I.

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Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Proposici´on

Sean x, y soluciones de la ecuaci´on x00+ a(t)x0+ b(t)x = 0 y t0 ∈ I. Son equivalentes:

x, y son linealmente independientes.

Los vectores (x(t0), x0(t0)), (y(t0), y0(t0)) son linealmente independientes.

W (x, y)(t0) 6= 0.

W (x, y)(t) 6= 0 para todo t ∈ I.

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Estructura algebraica del conjunto de soluciones

Caso homog´ eneo. El wronskiano de dos soluciones

Proposici´on

Sean x, y soluciones de la ecuaci´on x00+ a(t)x0+ b(t)x = 0 y t0 ∈ I. Son equivalentes:

x, y son linealmente independientes.

Los vectores (x(t0), x0(t0)), (y(t0), y0(t0)) son linealmente independientes.

W (x, y)(t0) 6= 0.

W (x, y)(t) 6= 0 para todo t ∈ I.

Referencias

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