PRÁCTICA N° 8 FUERZA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO

(1)

PRÁCTICA

N° 8 FUERZA SOBRE UNA CARGA EN

MOVIMIENTO

1. OBJETIVOS:

a) Observar la desviación del rayo de electrones en campos eléctricos de tensión continua y alterna.

b) Observar la desviación del rayo de electrones bajo la influencia de un campo magnético no homogéneo.

c) Analizar el comportamiento de una carga eléctrica en movimiento, bajo la influencia de un campo magnético homogéneo y determinación cuantitativa de la carga específica (q/m) de los electrones.

2. EQUIPO Y MATERIAL NACESARIO:



Tubo de rayo filiforme con bobinas de Helmholtz.



Reóstato de 11Ω.



Fuente de alimentación universal.



Dos (2) Multímetros Digitales.



Acumulador.



Interruptor monopolar.



Imán permanente.



Dos (2) Fuentes de alta tensión (0 – 3000 V).



Cables para conexiones.



Tubo de desviación con placas paralelas incorporadas.

3. FUNDAMENTO TEÓRICO:

Definiremos los siguientes conceptos:

3.1. CAMPO ELÉCTRICO.

UNIVERSIDAD DEL ZULIA - Facultad de Ingeniería - Escuela de Ingeniería Eléctrica - Departamento de Física - Física II.

(2)

Cualquier región del espacio en donde una carga eléctrica experimenta una fuerza eléctrica se llama campo eléctrico. La intensidad de un campo eléctrico en un punto es igual a la fuerza por unidad de carga colocada en ese punto. El símbolo es:

Por lo tanto: ^ó ^F ^q ^E

q

EF   (1)

(Ver Figura 1)

La intensidad de campo eléctrico _E se expresa en Newtons/Coulomb o usando las unidades fundamentales m.Kg.s². C^-1.

E

( + ) ^F^ ^ ^q^^E^

^F^ ^^^q^^E^ ( - )

Fig. 1: Sentido de la fuerza producida por un campo eléctrico sobre una carga positiva y sobre una negativa.

Obsérvese que si q es positiva la fuerza F que actúa sobre la carga tiene el mismo sentido del campo E, pero si q es negativa, la fuerza tiene el sentido opuesto a E. Ver figura 1 y 2.

(3)

Si 2

4 0

' .

r q F q

  (Ley de Coulomb) da la fuerza de la carga q sobre la carga q’ colocada a una distancia r de q, podríamos decir que el campo en el punto donde está colocada q’ es tal que ^F^ ^^q^'.^E^ . Por consiguiente, comparando las dos expresiones de F se concluye que el

campo eléctrico a una distancia r de una carga puntual q es ^E ^q_r2^Ur

40



, donde Ur es el versor en la dirección radial, alejándose de la carga q, ya que F está según esta dirección. De este modo el campo E está dirigido alejándose de una carga positiva y acercándose hacia una carga positiva. Así mismo según la relación E  V se obtiene que

r E V (2) siendo V el potencial en un punto producido por una carga puntual.

3.2. RELACIONES ENERGÉTICAS EN UN CAMPO ELÉCTRICO.

Consideremos un electrón que se mueve en un campo eléctrico (por ejemplo el producido en un tubo de rayo electrónico filiforme con una tensión entre ánodo y cátodo V). Ver figura 3.

Fig. 3: Conjunto cátodo-ánodo o cañón electrónico

~

cátodo 6,3 V AC 0-300 V

filament o

ánodo

(4)

El electrón al hacer el recorrido de la placa negativa (cátodo) a la positiva (ánodo) adquiere una energía cinética igual a:

q mv₀²  2

1 V (3)

Conociendo la relación carga-masa del electrón y midiendo el voltaje anódico V, podemos determinar la velocidad del electrón:

mV v 2q

0  (4)

Donde: V = Voltaje anódico.

v 0 = Velocidad del electrón.

q = Carga del electrón.

q/m = Carga específica del electrón = 1,76 x 10¹¹ C/Kg.

3.3. MOVIMIENTO DE UNA CARGA ELÉCTRICA EN UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME.

La ecuación de movimiento está dada por:

m E a q ó E q a

m. .    donde:

a = Aceleración que adquiere la partícula.

q/m = Carga específica.

E = Intensidad del campo eléctrico.

Un caso interesente es el de una carga positiva moviéndose a través de un campo eléctrico que ocupa una región limitada del espacio (Fig. 4). Disparemos la partícula

(5)

Fig. 4: Desviación de una carga positiva por un campo eléctrico uniforme

La trayectoria de una carga positiva por un campo a través del campo es una parábola.

Después de cruzar el campo la partícula readquiere el movimiento rectilíneo, pero con una velocidad V diferente en módulo y dirección. Decimos entonces que el campo eléctrico ha producido una desviación medida por el ángulo α.

Las coordenadas de la partícula mientras se mueve a través del campo con una aceleración (q/m)E, están dadas por:

 

²

0 / .

2

; 1

.t y q m Et V

x 

Eliminando el tiempo, obtenemos la ecuación de la trayectoria.

2 2 0

. 2 .

1 x

V E m

y q 

 







 



  (5)

la cual verifica que es una parábola.

El ángulo de desviación α lo obtenemos calculando la pendiente dy/dx de la trayectoria para x=b, donde:

b: Longitud de las placas.

El resultado es: 2

0

. . mV

b E b q dx tg dy

x



 



 





 (6)

+ + + + + + + +

- - - - - - - -

y

O

v0

A

b L

v

S B x

C

α d

(6)

Si colocamos una pantalla S a la distancia L, la partícula llegará a ella en el punto d.

Observamos que tg α es aproximadamente igual a L

d . Finalmente nos queda:

L d V m

b E q ₂ 

. 0

. .

Midiendo d, L, b y E obtenemos la velocidad V0 si conocemos la razón q/m; o recíprocamente, podemos obtener q/m si conocemos V0, por lo tanto, cuando un haz de partículas con la misma relación q/m, pasa a través de un campo eléctrico, los mismos se reflectan de acuerdo a sus velocidades o energías.

Calculemos la velocidad V una vez que la partícula sale del campo

; 0

:V V V V V

E  _x  _y _x 

(por no haber aceleración sobre este eje).

V b E x m t q m E t q a V

x

y  



 







 







0

. . .

de manera que:

2

0 2

0 2 2

. . . 

 









 mV

b E V q

V V

V _x _y (7)

3.4. TRABAJO REALIZADO POR UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME (B).

El trabajo realizado sobre una carga q es:

0 90 cos . .

.  





^F ^dl



^F ^dl

W_B _B

Puesto que la fuerza magnética es siempre perpendicular a V y por consiguiente a

dl, el producto escalar se anula. De aquí se concluye que éste tipo de campo no puede

(7)

cambiar la energía cinética de la partícula, sólo puede cambiar la dirección de su velocidad.

3.5. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA ELÉCTRICA.

Si en lugar de un campo eléctrico una carga (q) se somete a un campo magnético uniforme de inducción magnética (B) y lanzada dentro del mismo con velocidad V0

, dicha carga experimentará una fuerza: ^F ^^q.



^V^0^^B^



(8)

cuya magnitud es F  q.V₀.B.sen , siendo  el ángulo entre la velocidad (V0) y la inducción magnética (B).

Si el electrón se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme, puesto que la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, su efecto es cambiar la dirección de éste último pero no su módulo, resultando un movimiento circular uniforme como se muestra en la Fig. 6, (ver anexo de esta práctica).

Fig. 6: Trayectoria circular de una carga que se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme.

B

F q r

O r

(8)

La aceleración es por tanto centrípeta, entonces se tiene que la fuerza centrípeta es igual a la fuerza magnética, de donde:

r V F m y B V q F F

F_m _c _m _c

2 0 0

. . .

,  

 B

V r q

V

m. . .

0 2

0  de donde

B q

V r m

. . ₀

 (9)

la cual da el radio de la circunferencia descrita por la carga. Puesto que V0=W.r, tenemos

que r

W V⁰

m B q r m

r B

W q 



 





 .

.

. (10)

Esto nos indica que la velocidad angular es independiente de la velocidad lineal y depende solamente del cociente q/m y del campo B. Esta expresión da el módulo de W pero no su sentido, si queremos hallarlo, utilizaremos las ecuaciones:



^V ^B



q a m F y V W

a     .  

    

^V ^B



m V q W B V q V W

m        









 ;



^B ^V



m V q

W   









lo que implica que: ^B

m W q 



 



 . (11)

(9)

El signo menos indica que W tiene sentido opuesto de B para una carga positiva y el mismo sentido para una carga negativa, Ver la figura 7.

Fig. 7: Trayectorias circulares para cargas positivas y negativas en un campo magnético uniforme.

Si el electrón se mueve inicialmente en una dirección que no es perpendiculares al campo magnético, podemos descomponer la velocidad en sus componentes paralela y perpendicular al campo magnético; la componente paralela permanece constante y la perpendicular cambia continuamente de dirección pero no de magnitud.

El movimiento es entonces la resultante de un movimiento uniforme en la dirección del campo con velocidad angular dada por la ecuación:

m B W q



 





La trayectoria será una hélice como se muestra en la figura 8.

q positiva; B hacia arriba y W

hacia abajo q negativa; B y W hacia

arriba

r r

(10)

Fig. 8: Trayectoria helicoidal de un ión positivo que se mueve oblicuamente respecto a un campo magnético uniforme.

Definiremos el paso de la hélice como la distancia que ella avanza cuando la partícula ha girado 360°. Puesto que el campo es uniforme, la partícula no experimenta cambios de energía y el movimiento es uniforme en la dirección del campo. El paso (P) será:

T V

P (12)

Donde:

V = Velocidad paralela al campo = 0 ^cos ² V ^cos^. m

V  q

T = Período. El cual se puede hallar de

T  2W . y W se halla aplicando la ecuación 10.

3.6. RELACIÓN CARGA MASA.

La relación entre carga masa del electrón (q/m) se determinará por el voltaje en el ánodo y el radio de curvatura de un haz de electrones es una trayectoria circular, por medio de un campo magnético de densidad conocida. Si la trayectoria del haz de electrones es inicialmente normal a la dirección del campo, luego, los electrones seguirán una trayectoria circular, entonces se tiene que:

F0 = Fm ; F0 = fuerza centrípeta; Fm = fuerza magnética, es decir:

q  2 (13)

(11)

Donde: = Voltaje anódico.

B = Inducción Magnética.

R = Radio de Curvatura

4. DESCRIPCIÓN Y FUNCIONAMIENTO DE LOS APARATOS.

En esta parte describiremos el tubo de rayo filiforme, la fuente de alimentación universal para energizar dicho tubo, las bobinas de Helmholtz, el tubo de desviación y la fuente de alta tensión para alimentar este último tubo.

4.1. TUBO DE RAYO ELECTRÓNICO FILIFORME.

Este tubo es un perfeccionamiento del célebre tubo de Whenelt. Sirve para hacer visible un rayo de electrones filiforme, y así, poner en evidencia su comportamiento bajo la influencia de campos eléctricos y magnéticos.

En su interior contiene hidrógeno a una presión de aproximadamente 10^-2mm de Hg.

Este tubo es particularmente apropiado para la determinación cuantitativa de la carga específica (e/m) de los electrones, cuyo rayo es desviado bajo la acción de un campo magnético homogéneo creado por un par de bobinas de Helmholtz.

El referido tubo se compone de un matraz de vidrio de 170mm de diámetro que contiene un sistema de electrodos, los cuales se ilustran en la Figura 9.

0 Voltios 5

3 4 -25 VDC 250 VDC

1 2

En donde:

(1) y (2) son los Filamentos de calentamiento.

(3) Cátodos de calentamiento indirecto.

(4) Ánodo.

(5) Grilla.

(12)

Fig. 9: Configuración del tubo de rayos filiformes.

Para el funcionamiento se hacen llegar las tensiones necesarias al tubo como se indica en la Fig. 9 (para ello se utiliza la fuente de alimentación universal).

Al aplicar 12V alternos al filamento, por efecto Joule éste se calienta e indirectamente calienta el cátodo, el cual desprende electrones, quedando alrededor del cátodo en forma de “nube electrónica”. Al aplicar los 250V al ánodo, hace que los electrones del cátodo se muevan hacia el ánodo, por oposición de cargas, apareciendo el haz de electrones. La grilla sirve para controlar la cantidad de electrones que cruzarán hacia el ánodo, haciendo más o menos nítido el haz. Además de lo indicado el tubo lleva en su interior una escala graduada, la cual servirá para medir el radio de las diferentes trayectorias circulares. Esto se puede ver en la Figura 10.

Fig. 10: Tubo de rayos mostrando la escala graduada y el indicador de ángulo.

La separación entre las divisiones es de 2cm y la separación entre el cañón y la primera división es de 4cm. Finalmente lleva un indicador (I) que nos servirá para medir el ángulo entre la velocidad y la inducción magnética, especialmente cuando está formada la hélice.

I

(13)

4.2. FUENTE DE ALIMENTACIÓN UNIVERSAL.

Esta fuente produce los voltajes necesarios para alimentar los diferentes circuitos y especialmente el tubo de rayo filiforme. La descripción la haremos apoyándonos en la figura 11.

Fig. 11: Fuente de alimentación universal

En la parte inferior hay dos salidas de 6,3V (AC) las cuales quedan activadas al poner la fuente en funcionamiento con el interruptor (1). Seguidamente hacia arriba observamos una salida fija de 300V (DC) y siguiendo hacia arriba, observamos dos salidas variables:

Una va de “0”V hasta 300V (DC), variada con la perilla P1 y la otra va desde “0” V hasta -25V (DC), variada con la perilla P2.

4.3. BOBINAS DE HELMHOLTZ.

El tubo de rayo electrónico filiforme viene montado junto con dos bobinas de Helmholtz sobre una placa base de 50 x 25 cm². Las bobinas sirven para la producción de un campo magnético homogéneo y así lograr la desviación del rayo electrónico.

Encima de la placa base se encuentran dos soportes que reciben el tubo y permiten su giro alrededor de su eje horizontal. Las bobinas son anulares de 30cm de diámetro con 130 espiras cada una, de hilo de cobre barnizado; están colocadas a ambos lados del tubo

P₁ 1

P₂

(14)

separados por una distancia de 15cm. Se utilizan, como antes se indicó, para la producción de un campo magnético prácticamente homogéneo en el espacio del tubo, el sentido de este campo magnético es perpendicular al eje de giro del tubo de rayo electrónico filiforme.

La alimentación para la excitación del campo magnético se realiza a través del par de bornes denominado “Magnefeld” (campo magnético). Se requiere de una fuente de tensión continua, la corriente debe estar comprendida entre 0,5 y 2 amperios. La densidad de flujo magnético alcalzada, se deduce de la intensidad de corriente en la bobina (I), del radio de la bobina (R) y del número de espiras en cada bobina (N) o sea:

R I

B N.

5 4 ³²

0 



 



  (14)

Amperios Metro Tesla.

10 26 ,

1 ⁶

0

 

 

N =Número de espiras.

B = Inducción Magnética (Tesla).

R = Radio de la Bobina (Metro).

I = Intensidad de la Corriente (Amperios).

Esta expresión sale de la aplicación de la Ley de Biot-Savart al modelo de Helmholtz.

La figura12, ilustra las bobinas de Helmholtz junto al tubo de rayos filiformes.

(15)

Fig. 12: Bobinas de Helmholtz y tubo de rayo filiforme.

4.4. TUBO DE DESVIACIÓN.

Con este tubo estudiaremos el efecto de un campo eléctrico producido por dos placas paralelas sobre una carga en movimiento, dejando claro que con este tubo podemos también estudiar el efecto de un campo magnético sobre una partícula en movimiento, pero los resultados son más imprecisos, llegando a cometerse errores por encima del 20%, por este motivo utilizaremos el tubo de rayo filiforme para la parte de campo magnético, el cual es mucho más preciso. El tubo está formado por un matraz de vidrio de 140mm de dámetro aproximadamente en cuyo interior se encuentran los siguientes elementos (Ver Figura 13).

a) Un cañón electrónico formado por un cátodo (K) calentado directamente con 6,3V (AC), el cual al calentarse por efecto Joule, emite electrones, los cuales son acelerados por el ánodo (A) como se muestra en la Figura 13, con voltajes comprendidos entre 1500 y 5000V.

b) Una pantalla luminiscente cuadriculada dividida en cm, la cual hace visible el haz y con su escala calibrada se pueden hacer mediciones de posición.

c) Dos placas paralelas para producir un campo eléctrico. El voltaje entre las placas se variará entre 1500 y 5000V. Para alimentar este tubo necesitamos dos fuentes de alto voltaje las cuales se detallan más adelante.

(16)

Fig. 13: Tubo de desviación.

4.5. FUENTE DE ALTA TENSIÓN.

Esta fuente se ilustra en la Figura 14, como se pude observar tiene dos salidas, una que va desde 0 voltios hasta -3000 voltios y otra que va desde 0 voltios hasta +3000 voltios variados con la perilla P.

P

A Placas

Paralelas

K Pantalla

Luminiscente

P

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5. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL.

Proceda como se indica a continuación.

5.1. Monte el tubo de desviación y aliméntelo como se indica en la Figura 15, manteniendo las fuentes apagadas.

Fig. 15: Tubo de Desviación.

5.2. Encienda la fuente de 6,3 V y espere dos minutos hasta que el tubo adquiera su temperatura de trabajo.

5.3. Incremente el voltaje del ánodo con la fuente A (VA) hasta que se haga visible el haz de electrones ¿Qué trayectoria describe el haz?.

A

K

 V_A (0 – 5000 VDC)

V_P

(0 – 5000 VDC)

V_K=6,3 VAC

(18)

5.4. Encienda la fuente (P) e incremente el voltaje entre las placas ( P) hasta que el haz de electrones adquiera una desviación apreciable ¿Qué trayectoria describe el haz?

¿Puede reconocer la placa positiva?.

5.5. Invierta la polaridad de las placas de desviación ¿Qué observa?.

5.6. Realice las mediciones que se indican en la tabla N° 1 siguiente:

TABLA N° 1.

P (Voltios) d (m) b (m)

A (Voltios)

Donde:

P = Voltaje entre las placas desviadoras.

d = Separación entre las placas.

A = Voltaje del ánodo.

b = Longitud de las placas.

5.7. Con las mediciones realizadas en la parte 5.6, mida indirectamente: V0 (emplee la ecuación 4), el campo E (use ecuación 2), el ángulo de desviación α (emplee ecuación 6) y la velocidad V con que el electrón sale de las placas (emplee ecuación 7).

5.8. ¿cómo es la velocidad de salida V en relación a la de entrada a las placas (V0), en módulo y dirección?.

(19)

5.9. Desconecte la fuente P y conecte en su lugar una fuente de tensión alterna.

Encienda F y encienda e incremente A hasta que se observe claramente el haz de electrones. Incremente P hasta que el haz se desvíe ¿Cómo es la desviación?.

5.10. Sustituya el tubo de desviación por el tubo de rayo filiforme. La alimentación del tubo se hace como se indica en la figura 16.

Fig. 16: Forma de alimentar el tubo de rayo filiforme.

5.11. Encienda la fuente universal e inmediatamente quedará energizado el filamento.

Espere dos minutos hasta que el tubo adquiera su temperatura de trabajo. Transcurrido este tiempo transfiera el interruptor S de la fuente e incremente el voltaje anódico con la perilla P1, hasta que aparezca el haz de electrones. Mueva la perilla P2 hasta que el haz quede lo mejor definido posible, observe que el haz viaja en línea recta.

0 Voltios

-25 VDC 250 VDC

P₂

S

P₁

12,6 VAC

(20)

5.12. Una vez obtenido el haz, acerque un polo del imán al mismo y observe la desviación.

Aplique la regla de la mano derecha y determine el polo que está acercando al haz.

Cambie el polo y observe la desviación nuevamente ¿Qué dirección tiene la fuerza magnética al acercar el segundo polo en relación al primero?.

5.13. Coloque un polo del imán sobre el haz ¿Habrá desviación? Si cambiamos el polo

¿Habrá desviación? ¿Producirá el imán un campo magnético homogéneo? Razone sus respuestas.

5.14. Estando el haz presente en el tubo, alimente las bobinas de Helmholtz con una intensidad de corriente continua, como se indica en la Figura 17. El haz experimenta una desviación.

Fig. 17: Montaje para alimentar las Bobinas de Helmholtz (no aparece la alimentación del tubo con el objeto de simplificar el diagrama).

5.15. Gire el tubo hasta que no haya desviación del haz ¿qué podría decir en relación al ángulo formadao entre la velocidad y el campo? ¿Quedará de esta forma determinada la dirección del campo? Razone su respuesta.

5.16. Gire el tubo de manera que la velocidad sea perpendicular al campo ¿Qué trayectoria

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5.17. Gire el tubo de manera que la velocidad no quede paralela ni perpendicular al campo

¿Qué trayectoria describe el haz?.

5.18. Coloque nuevamente la velocidad perpendicular al campo. Aumente la velocidad tangencial de la partícula, para ello aumente el voltaje anódico y emplee la ecuación 4

¿Qué pasa con el radio de la trayectoria formada?.

5.19. Deje la velocidad tangencial constante y aumente la inducción magnética B. Para ello aumente la corriente de excitación de las Bobinas de Helmholtz y utilice la ecuación 14. ¿Qué pasa con el radio de la trayectoria?.

5.20. En base a los resultados obtenidos en los incisos 5.18 y 5.19 ¿Se podrá utilizar un campo magnético homogéneo como analizador de energía? Razone su respuesta.

5.21. Manteniendo la velocidad perpendicular a la inducción magnética B realice las mediciones que aparecen en la tabla N° 2 y N° 3siguientes. El radio de la trayectoria circular se mide con la escala graduada incorporada al tubo. La corriente se mide como se indica en la figura 17 y el voltaje anódico se mide como se indica en la figura 16 ( A).

5.21.1. Mantenga constante el voltaje acelerador, varíe la intensidad de corriente; anote los diferentes radios. Calcule la carga específica.

TABLA N° 2

(Volts) r (m) I (Amp) B (Tesla) q/m (Coul/Kg)

(22)

5.21.2. Mantenga constante la intensidad de corriente, varíe el voltaje acelerador, anote los diferentes radios. Calcule la carga específica.

TABLA N° 3

(Volts) r (m) I (Amp) B (Tesla) q/m (Coul/Kg)

5.22. Mantenga la intensidad de corriente y el voltaje acelerador constantes. Varíe el ángulo  entre la velocidad y el campo hasta ver formada una hélice y complete la tabla N° 4.

TABLA N° 4

(Volts) I (Amp) B (Tesla)  (Grados)

5.23. En base a los datos obtenidos en las tablas N° 2 y 3, determine:

a) La relación q/m promedio.

(23)

b) El voltaje anódico necesario para obtener un círculo de 5cm de radio, cuando se le aplica a las bobinas de Helmholtz una intensidad de corriente de 1 amperio.

c) El radio del círculo cuando la corriente cambia a 0,5 amperios.

d) El radio del círculo cuando variamos el voltaje a la mitad del calculado anteriormente.

5.24. En base a los datos obtenidos en la tabla N° 3 determine para cada uno de los ángulos:

a) El paso de la hélice.

b) El radio de la hélice.

ANEXO

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

El producto vectorial de dos vectores lo podemos aplicar de varias maneras, utilizaremos dos de los métodos más generalizados, representados en la figura 18.

(24)

Fig. 18: Producto vectorial de dos vectores.

El producto vectorial en a es:

b a

c , el sentido de c es aquel en el cual avanza un tornillo derecho cuando se hace girar de

a

hacia b el ángulo más pequeño.

La dirección de c en la figura (18-b) se puede obtener con la regla de la mano derecha (para una carga positiva), de tal manera que los dedos cerrados sigan la rotación de ^a hacia

b

, el pulgar extendido apunta en el sentido de c.