Sistemas de los Números Reales

(1)

Dra. Noemí L. Ruiz

2005-2006

© Derechos

Reservados

Dra. Noemí L. Ruiz

2005-2006

© Derechos

Reservados

Números

Reales

(2)

Objetivos de la

lección

Objetivos de la

lección

1. Conocer los distintos

subconjuntos de los números Reales

2. Identificar a qué conjuntos de los Reales pertenece un

(3)

Conjuntos

de los

Reales

Conjuntos

de los

(4)

Números

Naturales

Números

Naturales

(“Natural Numbers”)

Son los números que se utilizan para contar:

(5)

Números

Cardinales

Números

Cardinales

(“Whole Numbers”)

Son los mismos números

Naturales a los cuales se les

ha añadido el número Cero:

(6)

(“Integers”)

Son todos los números Cardinales a los cuales se les ha añadido el

reflejo de los números Naturales en la parte izquierda de la recta

numérica, o sea, los opuestos de los números Naturales.

{…, - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

Números Enteros

(7)

(“Rational Numbers”)

Son los números que se pueden

escribir como una fracción, en

la cual el numerador y

denominador son Enteros,

excepto el denominador que no

puede ser

Números Racionales

(8)

Ejemplos de Racionales

• Fracciones

• Decimales

– Propias – Impropias – Mixtas

– Exactos – Periódicos

(9)

(“Irrational Numbers”) Son los números que no son

racionales, o sea, aquellos que no se pueden escribir como fracción, como por ejemplo:

 Raíces cuadradas que no son

exactas (inexactas)

 Decimales infinitos que no son

periódicos

Números

Irracionales

Números

(10)

(“Real Numbers”)

Es la unión de los números

Racionales con los Irracionales.

Números Reales

(11)

Practica

identificar

números

Practica

(12)

¿A qué conjuntos

pertenece: –9?

¿A qué conjuntos

pertenece: –9?

Naturales

Cardinales

Enteros

(13)

¿A qué conjuntos

pertenece: 0?

¿A qué conjuntos

pertenece: 0?

Naturales

Cardinales

Enteros

(14)

¿A qué conjuntos

pertenece: 30,456?

¿A qué conjuntos

pertenece: 30,456?

Naturales

Cardinales

Enteros

(15)

¿A qué conjuntos

pertenece: -25,000?

¿A qué conjuntos

pertenece: -25,000?

Naturales

Cardinales

Enteros

(16)

¿A qué conjuntos

pertenece: 25.4 ?

¿A qué conjuntos

pertenece: 25.4 ?

Naturales

Cardinales

Enteros

(17)

¿A qué conjuntos

pertenece: 3.232323… ?

¿A qué conjuntos

pertenece: 3.232323… ?

Naturales

Cardinales

Enteros

(18)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

(19)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

(20)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

(21)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

(22)

¿A qué conjuntos

pertenece: 3.14 ?

¿A qué conjuntos

pertenece: 3.14 ?

Naturales

Cardinales

Enteros

(23)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

(24)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

1 3

(25)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

(26)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

(27)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

(28)

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

¿A qué conjuntos

pertenece: ?

Naturales

Cardinales

Enteros

Racionales

Irracionales

Reales

(29)

¿A qué conjuntos

pertenece: 2.13453… ?

¿A qué conjuntos

pertenece: 2.13453… ?

Naturales

Cardinales

Enteros

(30)

(31)

¿Por qué el denominador no

puede ser cero?

¿Por qué el denominador no

puede ser cero?

• La división por cero no está definida ya que no existe número alguno que se obtenga

como resultado cuando se divide por cero. • Ejemplo:

= 0 10

Dividir por 0 significa buscar un número que cuando se multiplique por 0, de 10, en este ejemplo.

¿Qué número se multiplica por 0 y da 10? Ninguno, ya que todo número que se

multiplica por 0 da 0. 10

0

(32)

Naturales

• Para determinar si un número

Natural es también Racional, basta tomar un ejemplo.

• Tomemos como ejemplo el número 5.

• ¿Se puede escribir el 5 como una fracción que cumpla con la

definición de Racional?

(33)

Naturales

• ¿Habrá alguna otra forma de fracción equivalente al 5?

• Si. Veamos: 102 ,

15 , 3 20 , 4 50 10

• ¿Cuántas formas hay de escribir el 5

como fracción?

• Hay infinitas maneras de escribir el 5 como una fracción.

• Para buscar una fracción equivalente a 5, solo hay que buscar dos números tales que al dividirse se obtenga 5 como

(34)

Naturales

• ¿Se podrá hacer lo mismo con los otros números Naturales?

• Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1:

10 , 1 18 , 1 21 , 1 38 , 1 43 1

• ¿Son todos los Naturales, Racionales?

(35)

• Para determinar si un número Cardinal

es también Racional, basta tomar un ejemplo.

• Tomemos como ejemplo el único número Cardinal que no es Natural, o sea, el 0. • ¿Se puede escribir el 0 como una

fracción que cumpla con la definición de Racional?

• Si. El 0 se puede escribir como:

0

1 Cardinales

Cardinales

0 1

Observa que es equivalente a 0.

(36)

• ¿Habrá alguna otra forma de fracción equivalente al 0?

Cardinales

0 2

0 3

0 4

0 7

• Si. Veamos: , , ,

• ¿Cuántas formas hay de escribir el 0 como fracción?

(37)

Cardinales

• ¿Se podrá hacer lo mismo con los otros números Cardinales?

• ¿Son todos los Cardinales Racionales?

• Sí. Todos los números Cardinales son Racionales.

12 1 25 1 31 1 58 1 93 1

• Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1:

(38)

• Para determinar si un número

Entero es también Racional, basta tomar un ejemplo como hemos

hecho antes.

• Tomemos como ejemplo un número negativo: -4

• ¿Se puede escribir el -4 como una fracción que cumpla con la

definición de Racional?

• Si. El -4 se puede escribir como:

4

1 

Enteros

(39)

Enteros

• ¿Se podrá hacer lo mismo con los otros números Enteros?

12 1  25 1  31 1 58 1 0 1

• Si. La forma más fácil es colocar el número sobre 1: , , , ,

• ¿Son todos los Enteros Racionales?

(40)

Fracciones

Propias

Fracciones

Propias

• Son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el denominador.

Observa que todas las fracciones propias cumplen con la definición de números Racionales ya que de hecho están en la forma de fracción, por lo tanto son Racionales.

2 3 3 5 3 7 26 37 4 100

(41)

Fracciones

Impropias

Fracciones

Impropias

• Son aquellas fracciones cuyo

numerador es mayor o igual que el denominador.

Observa que todas las fracciones

impropias cumplen con la definición de números Racionales ya que de hecho están en la forma de fracción, por lo tanto son Racionales.

12 3 7 5 3 1 6 6 40 40

(42)

Fracciones

Mixtas

Fracciones

Mixtas

• Son aquellas fracciones que

consisten de un número entero y una fracción propia.

Observa que la fracción del número mixto siempre es una fracción propia. 1 3 3 1 2 5 3 16 8 1 24 6

 45 4

21



(43)

• Para determinar si una fracción mixta

es Racional, basta con tomar un

ejemplo y ver si se puede convertir a una fracción que cumpla con la

definición de Racional.

• ¿Se puede convertir un número mixto a fracción?

• Sí, veamos el ejemplo en la próxima pantalla.

• Por tanto, las fracciones mixtas son Racionales.

Fracciones

Mixtas

(44)

• ¿Cuál es el proceso para convertir el número mixto a fracción?

• Para convertir un número mixto a fracción: – Se multiplica el entero por el

denominador.

– A ese resultado se le suma el numerador. Este es el numerador de la fracción.

– Se coloca el mismo denominador en la fracción.

Fracciones

Mixtas

Fracciones

Mixtas

Observa que siempre se obtiene una fracción impropia

1

3

5

16 5

(45)

Decimales

exactos

Decimales

exactos

• Son aquellos que no son periódicos. Los periódicos son los que se repite infinitamente una misma cifra o

período.

• Ejemplos: 0.5, 0.23, 2. 145 • ¿Se pueden convertir estos

decimales a fracción?

• Sí, veamos el ejemplo en la próxima pantalla.

(46)

Decimales exactos

• Para convertir un decimal exacto a fracción: – Leerlo correctamente, de acuerdo al valor

de lugar decimal

– Colocar el denominador que corresponda al valor de lugar decimal

Observa que el valor de lugar decimal incrementa en

potencias de 10 y esta potencia corresponde al denominador de la fracción.

Observa que el último ejemplo representa un número

mixto que se puede convertir a fracción impropia.

145 2 1000 23 100 5 10

• Ejemplos:

–0.5- cinco décimas-

–0.23- veintitres

(47)

milésimas-Decimales

Periódicos

Decimales

Periódicos

• Son decimales infinitos en los cuales se repite una misma cifra o período de numéros

• ¿Se pueden convertir estos decimales a fracción?

• Sí, veamos la explicación en la próxima pantalla.

• Por tanto, los decimales periódicos son Racionales.

0.3 0.45 2.376

(48)

Decimales

Periódicos

Decimales

Periódicos

• Se pueden convertir los decimales periódicos a fracción, aunque no

demostraremos este proceso en estos momentos ya que es un tanto complejo y se necesitan conocimientos más

avanzados.

• Sin embargo, podemos demostrar que si una fracción representa un decimal

periódico, entonces, el decimal

(49)

Decimales

Periódicos

Decimales

Periódicos

• Tomemos el ejemplo de la fracción:

• Para convertir la fracción a decimal, hay que dividir el numerador por el

denominador. Veamos:

0.33… 3 1.00 -9 10 -9 1 1 3 0.3

Observa que 0.33… equivale a y por

tanto, es un decimal periódico que se puede escribir como una

(50)

Muy bien.

(51)