FUERZA E INTERACCIÓN

Unidad 13

CONTENIDOS.

1.- Evolución histórica del concepto de fuerza (concepciones pregalineanas).

2.- Naturaleza de las fuerzas

2.1. Carácter vectorial de la fuerza.

2.2. Medida de las fuerzas.

2.3. Fuerza elástica. Ley de Hooke.

3.- Fuerza resultante.

3.1. Composición de fuerzas concurrentes.

3.2. Composición de fuerzas paralelas.

3.3. Descomposición de fuerzas. Componentes normal y tangencial.

4.- Momento de una fuerza.

4.1. Par de fuerzas.

5.- Condiciones generales de equilibrio.

5.1. Palanca y polea.

6.- Interacción gravitatoria. Ley de gravitación universal. Peso de un cuerpo.

Campo gravitatorio.

7.- Interacción eléctrica. Ley de Coulomb. Campo eléctrico.

EVOLUCIÓN HISTÓRICA DEL CONCEPTO DE FUERZA

Aristóteles

Diferencia entre movimientos:

•

Naturales

(caída libre, rotación de planetas). No precisan, al igual que en reposo, la existencia de fuerzas.

•

No naturales

. Precisan de fuerzas (aunque sean uniformes).

Si se lanza un objeto, la fuerza existiría mientras exista movimiento Galileo

• “Las fuerzas son las causantes de los cambios de velocidad”.

• Por tanto, en el MRU, en donde v es constante no es preciso la existencia de fuerzas.

• En cambio, en el MCU, v sí que varía pues aunque no cambie su módulo sí que cambian la dirección y el sentido constantemente. Por tanto, necesita F.

• Igualmente un MRUA o un MCUA precisan la existencia de fuerzas.

Newton

• Además de las fuerzas por contacto “vis impresa” existen las fuerzas que actúan a distancia “vis centrípeta” (incluso en el vacío).

• Un ejemplo de estas últimas son las “

fuerzas gravitatorias

” que gobiernan el movimientos de los planetas.

• El peso de los cuerpos es una fuerza gravitatoria en donde uno de los objetos es siempre la Tierra.

Definición actual de Fuerza.

Fuerza

“es toda acción capaz de cambiar el estado de reposo o de movimiento, o de producir en él alguna deformación”.

Concepto de Dinámica.

Dinámica

“es la ciencia que estudia el movimiento, pero atendiendo a las causas que los producen, es decir, las fuerzas”.

CARÁCTER VECTORIAL DE LAS FUERZAS.

La fuerza es una magnitud vectorial ya que posee además de un valor concreto (módulo) una dirección y un sentido determinados.

JG F

Por tanto puede expresarse como: F =^JG F i + F j + F k_x^G _y ^G _z ^JG.

MEDIDA DE LAS FUERZAS. UNIDADES.

La unidad de medida de las fuerzas en el Sistema Internacional es el Newton (N) que es la fuerza aplicada a 1 kg de masa para que adquiera una aceleración de 1 m/s².

2

N = kg × m s

Otra unidad de fuerza muy usada es el kilopondio (kp) (normalmente llamado

“kilo”).

La equivalencia entre ambas es: 1 kp = 9,8 N

FUERZA ELÁSTICA.

Al estirar un muelle, la deformación de éste es proporcional a la fuerza aplicada. En esta propiedad se basan los dinamómetros para saber la fuerza que se aplica sobre ellos.

Ley de Hooke Ley de Hooke

La expresión matemática se conoce como Ley de Hooke:

Felástica = – k x Δr

“k” se conoce como constante elást

La fuerza que hay que aplicar para estira

ica y depende lógicamente del tipo de muelle.

r o comprimir el muelle (fuerza deformadora) es igual y de sentido

contrario (k×ΔJJGr ).

Normalmente, sólo es necesario calcular el módulo de dicha fuerza. Como el módulo del vector desplazamiento de un punto situado al final del muelle es la variación de longitud del mismo:

F = k x Δl = k ·|l –l0|

Hay una fuerza límite, a partir de la cual el muelle deja de comportarse como elástico. Por encima de esta fuerza se encuentra el límite de fractura.

Ejemplo:

Un muelle de constante elástica de 200 N/m tiene una longitud de 50 cm cuando no se aplica ninguna fuerza. Calcula: a) el alargamiento que sufre al aplicar 50 N; b) la fuerza que debe aplicarse para que el muelle mida 60 cm.

a) 50 ₁

k 200 0,25

F N

x m

Δ = = N m₋ = =

× 25 cm

b) Δx = 60 cm – 50 cm = 10 cm = 0,10 m

F = ×k Δx =200N×m⁻¹×0,10m= 20 N

SUMA DE FUERZAS C

JJG G G

ONCURRENTES.

Sean N y N

La fuerza suma será:

N

SUMA DE FUERZAS PARALELAS.

Al ser las fuerzas vectores deslizantes (se pueden trasladar en la misma dirección) en fu

resul

ión de la fuerza resultante se obtiene aplicando la ley de la

(

^{4 6}

)

FA = i+ j ^{FJJGB =}

(

^6Gi+2Gj

)

(

^{10 8}

)

FJJJJGA B₊ = Gi+ Gj

erzas paralelas es imposible hacer el punto de aplicación de ambas fuerzas.

El módulo de la fuerza resultante es la suma (en fuerzas del mismo de la fuerza tante sentido) o la resta (en fuerzas de sentido contrario) de los módulos de cada fuerza.

El Punto de aplicac palan

dos rectas paralelas en caso de fuerz

ca: F1 x d1 = F2 x d2, siendo d1 y d2 las distancias de las rectas que contienen las fuerzas al Punto de Aplicación de la fuerza resultante.

El Punto de aplicación queda entre medias de las

a del mismo sentido o a un lado (el de la fuerza de mayor módulo) en caso de fuerzas de sentido contrario.

10

F_y

F_x

5

FB

FA

5 10

FA+B

Pueden ser:

• Mismo sentido.

• Sentido contrario.

Ejemplo:

En los extremos de una barra de 2 m de longitud se ejercen dos fuerzas paralelas y de sentido contrario de 10 N y 20 N y perpendiculares a la barra. Determina a) el módulo de la fuerza resultante; b) la distancia del punto de aplicación a fuerza de 10 N.

Sean F1 = 10 N y k2 = 20 N

a) R = F2 – F1 = 20 N – 10 N = 10 N b) F1 x d1 = F2 x d2

Sustituyendo: 10 N x d1 = 20 N x (d1 – 2 m) 10 N x d1 = 20 N x d1 – 40 N x m

10 N x d1 = 40 N x m De donde: ₁ 40

10 d N m

N

= × =

uJJGT

uN

= ×

G JG

4,0 m

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

Normalmente, las fuerzas oblicuas a la línea de movimiento se descomponen en una fuerza paralela al movimiento PJJG_T =P_T ×

(PT es la componente tangencial) y otra perpendicular al mismo PJJ P J

N N (PN es la componente normal) Por ejemplo, el peso cuando actúa en un plano inclinado.

CÁLCULO DE COMPONENTES

T N T T N

PJG=PJJG JJG+P =P ×uJJG+P ×uJJG

N

El ángulo α que forman es el mismo de la inclinación de la rampa (ambos lados perpendiculares).

y _N PJG PJJG

Por trigonometría se sabe que:

PT = P x sen α ; PN = P x cos α Ejemplo:

Calcula el valor de las componentes tangencial y normal del peso correspondiente a un cuerpo de 5 kg colocado sobre un plano inclinado de 30º de inclinación.

sen 30º = 0,5 ; cos 30º = 0,866

sen sen

PT = P× α =m g× × α ; P_N = P×cosα =m g× ×cos α Sustituyendo los datos:

PT = 5 kg x 9,8 m x s^–2 x 0,5 = 24,5 N ; PN = 5 kg x 9,8 m x s^–2 x 0,866 = 42,4 N

MOMENTO DE UNA FUERZA.

Las fuerzas aplicadas en una dirección que no pasa por el centro de gravedad de un objeto producen un giro en éste.

Para medir la magnitud de este giro se define Momento de una fuerza con respecto a un punto O como un vector cuya dirección es perpendicular al plano que forman O con la recta dirección de y el sentido lo marca la regla del tornillo.

JG F

α sen JJG JG G

M = F × r ×

Su módulo vale M = senF× ×r α = ×F d siendo “α” el ángulo que forman los dos vectores y “d” la distancia (más corta) de O a la recta dirección de F^JG.

La unidad en el S.I. Es el N x m.

Ejemplo:

En los extremos de una barra de 2 m de longitud se ejercen dos fuerzas paralelas y de sentido contrario de 10 N y 20 N y perpendiculares a la barra. a) Determina el módulo del

momento resultante de dichas fuerzas sobre el punto medio de la barra; b) Dibuja dicho Momento.

a) Los Momentos de ambas fuerzas tienen la misma dirección y sentido con lo que:

Mtotal = M1 + M2 = F1x d1 + F2 x d2 =

= 10 N x 1,0 m + 20 N x 1,0 m = 10 N x m + 20 N x m = 30 N x m

PAR DE FUERZAS.

Es un sistema formado por dos fuerzas paralelas de igual módulo pero de sentido contrario aplicadas sobre un sólido rígido.

Al ser fuerzas iguales y de sentido contrario la fuerza resultante es nula con lo que no se produce traslación.

Sin embargo, se produce un giro sobre el punto medio de los puntos de aplicación de dichas fuerzas debido a que los Momentos de las mismas tienen el mismo sentido y sus módulos se suman.

d d

M = F × + F × = F × d

2 2

en donde “d” es la distancia que separa las rectas dirección de ambas fuerzas (brazo del par).

CONDICIONES GENERALES DE EQUILIBRIO.

Se llama “ESTÁTICA” a la parte de la Dinámica que estudia los cuerpos en equilibrio (reposo o velocidad constante).

Para que un cuerpo esté en equilibrio deben cumplirse dos condiciones simultáneamente:

•

∑

F^JJG_i =0 ⇒ No aceleración lineal. (traslación)

•

∑

M^JJG_i =0⇒ No aceleración tangencial. (rotación)

LA PALANCA Y LA POLEA.

Son máquinas que se basan en

∑

M^JJG_i =0

Palanca:

F1 × d1 – F2 × d2 = 0 ⇒ F1 × d1 = F2 × d2 (ley de la palanca)

Polea:

Como d1 = d2 = R ⇒ F¹ = F2

Ejemplo:

En un balancín de 4 m de largo se columpian dos niños de 20 y 30 kg en sus extremos ¿En dónde se tendría que colocar un adulto de 70 kg para lograr el equilibrio?

i 0 M =

∑

^JJG

20 kp × 2 m + 70 kp × d – 30 kp × 2 m = 0

30 2 20 2

70

kp m kp m

d kp

× − ×

= = 0,286 m

TENSIÓN.

Siempre que hay objetos suspendidos o unidos por cuerdas, éstas ejercen o transmiten sobre un cuerpo una fuerza debido a la acción del otro cuerpo al que están unidas.

Esta fuerza se denomina “

Tensión

”.

Así, por ejemplo, si un cuerpo está suspendido de una cuerda ésta ejerce sobre el cuerpo una fuerza igual al peso y de sentido contrario de forma que la suma de ambas fuerzas sea nula.

Ejemplo:

Se desea colgar del techo un cuerpo de 2 kg de masa mediante dos cuerdas igual de largas y que forman entre sí un ángulo de 60 º. Calcula la tensión que soporta cada cuerda.

Si el cuerpo está en equilibrio:

1 2

0 0

a^G = ⇒

∑

F^G =T^{JG JJG}+T + =P^G

Descomponiendo en componentes cartesianas: G PJG= − × ×m g

j

1 1x 1y

TJG=T × +Gi T ×G

j ; TJJG₂ =T_2x × +iG T_2y ×Gj

∑

F G

T1y

Si

∑

F = ⇒⁰

∑

F_x =0 y _y =0

Las componentes cartesianas se obtienen a partir de T y del ángulo α:

T1x = T1 × cos 120º = –0,5 T1 ; T1y = T1 × sen 120º = 0,866 T1

T2x = T2 × cos 60º = 0,5 T2 ; T2y = T2 × sen 60º = 0,866 T2

1 2 0,5 1 0,5 2 0 1 2

x x x

F =T +T = − T + T = ⇒T =T

∑

1 2 0,866 1 0,866 1 19,6 0

y y y

F =T +T +P = T + T − N =

∑

⇒ T1 = T 2 = 11,3 N

FUERZAS NATURALES

• Gravitatorias.

• Eléctricas

• Magnéticas.

• Fuerza nucleares fuertes.

• Fuerza nucleares débiles.

FUERZA GRAVITATORIA

Es la fuerza que mantiene unidos los astros y es responsable del movimiento de los mismos.

Ley de gravitación universal (Newton):

1 2

12 G m 2m 1

F u

d

= − × × ×

JJJG JGJ

y

1 2 1 2

21 2 2 2 1

m m m m

F G u G

d d

× ×

= − × × = × ×

JJG JJG JG

uJ

= −u JJG JJG

puesto que u_{2 1 ⇒} FJJG₂₁= −FJJG₂₁

(ley de acción y reacción) siendo

2 11

G 6,67 10 N m2

kg

− ×

= ×

Normalmente, una vez determinado la dirección y sentido nos limitamos a calcular el módulo cuya expresión es:

1 2

2

= ×m ×m F G

d

Ejemplo:

¿Cuanto pesará una persona de 75 kg en la Luna sabiendo que la masa de ésta es 7,35×10²² kg y su radio de 1738 km? ¿y en Júpiter? (mJupiter = 2 ·10²⁷ kg; rJupiter = 7×10⁷ m)

( )

2 2

11

2

2 2 6

75 7,35 10

6,67 10

1,738 10

× − × × ×

= × = × × =

×

L L

L

m m N m kg kg

P G

R kg m

2

121,7 N

( )

2 2

11

2

2 2

7

75 2 10 6,67 10

7 10

J J

J

m m N m kg kg

P G

R kg m

× − × × ×

= × = × × =

×

7

2047 N

Ejercicio A:

Sabiendo que la masa del sol es 1,99×10³⁰ kg y la fuerza con que atrae a la Tierra es de 3,54×10²² N, calcular la distancia del Sol a la Tierra?

PESO ( )

^PJG

.

“Es la fuerza con la que la Tierra atrae a los objetos que están en su proximidad”.

Si los cuerpos están cerca de la superficie terrestre, la aceleración que sufren dichos cuerpos es más o menos constante y se denomina “gravedad”

9,8 m2

P m g m j

s

⎛ ⎞

= × = × −⎜ ⎟×

⎝ ⎠

JG JG G

La componente cartesiana del peso es siempre negativa, pues la masa sólo puede ser positiva, lo que indica que está dirigida siempre hacia abajo.

GRAVEDAD Y CAMPO GRAVITATORIO ( )

^gJG

^.

Newton es el primero en darse cuenta que la fuerza que atrae a dos astros haciendo giran uno con respecto a otro es la misma que provoca la caída de los cuerpos (peso). Igualando ambas fuerzas para un objeto situado en la superficie terrestre:

2 T T

F G m m u m g u m

R

= − × × × = − × × = ×

JG G G JG

g

siendo un vector unitario perpendicular a la superficie terrestre hacia el exterior.

uJG

( )

2 24

11

2

2 2 6

5,97 10 6,67 10

6,38 10

− × ×

= × = × × =

×

T T

m N m kg

g G

R kg m ²

9,8m s

El campo gravitatorio es el vector:

2

F M

g g u G

m d

= = − × = − ×

JG JG JG

es decir, tiene la misma dirección que la fuerza (dirigido hacia el centro).

El módulo de “ ” depende pues de la masa del planeta y de la distancia al centro del mismo a la que esté situado el objeto.

gJG

Ejemplo:

¿Cuanto valdrá el módulo del campo gravitatorio (gravedad) en la órbita geoestacionaria situada a 36200 km de altura? (mT = 5,97×10²⁴ kg; rT = 6,38×10⁶ m; G = 6,67×10^–11 N×m²/kg²).

( ) ( )

2 24

11

2 2 2

6 7

5,97 10 6,67 10

6,38 10 3,62 10

− × ×

= × = × × =

+ × + ×

T T

m N m kg

g G

R h kg m m ²

0,22m s

Ejercicio B:

Calcula el módulo de la fuerza que sufrirá una nave espacial de 80 toneladas y módulo del campo gravitatorio en un punto situado a 1/4 parte de la distancia que une la Tierra y la Luna desde la Luna y en el segmento entre ambos astros. Haz un esquema de la fuerza y del campo. (G = 6,67×10^–11 N×m²×kg^–2. Distancia Tierra-Luna: d = 3,84×10⁸ m; MT = 5,98×10²⁴ kg; ML = 7,47×10²² kg)

CARGA ELÉCTRICA.

• Es una propiedad de la materia.

• Puede ser positiva o negativa según el cuerpo tenga defecto o exceso de electrones.

• Puede trasmitirse de unos cuerpos a otros bien por contacto, o incluso, a distancia, al producirse descargas (rayos).

• Son los electrones las partículas que pasan de unos cuerpos a otros.

• Se mide en culombios. (C). La carga de un electrón es –1’6 · 10^–19 C.

LEY DE COULOMB.

• Cargas del mismo signo se repelen entre sí.

• Cargas de distinto signo se atraen entre sí.

La fuerza con que se atraen o repelen dos cargas vienen determinada por la ley de Coulomb:

1 2

12 21 K 2 12

JJJG JJJG × JJJG

= − = ×q q ×

F F u

d ;

2 9

K 9 10 N 2m C

= × ×

en donde “K” depende del medio y “uJJJG₁₂

” es un vector unitario cuya dirección es la línea que une las cargas q1 y q2 y el sentido va de 1 hacia 2. En la fórmula no aparece el signo “–“ que existía en la ley de Gravitación Universal. El sentido de las fuerzas dependerá del signo de las cargas que, a diferencia de las masas, si pueden ser positivas o negativas.

Normalmente, una vez determinado la dirección y sentido nos limitamos a calcular el módulo cuya expresión: (no es preciso poner signo a las cargas)

q q F K

d

= × ¹ ×₂ ²

Si existen dos cargas que actúan sobre una tercera, habrá que sumar las fuerzas que cada una ejerce sobre la tercera de manera vectorial.

Las fuerzas eléctricas tienen valores muy superiores a las gravitatorias y unen el

“microcosmos”.

Ejemplo:

¿Qué fuerza actuará sobre una carga de –2 μC situada en (0,0) si situamos dos cargas en (0, –1) y (1,0) de 3 μC y 5 μC respectivamente? Las unidades se toman en metros.

Sean q1 = –2 μC; q2 = 3 μC; q3 = 5 μC

( )

2 6

1 2 9

21 2 2 2

2 10 3 10

K 9 10

1

q q N m

F j

6

d C m

− −

× × − × × ×

= × × = × × ×

JJG G G

j

( ) ( )

2 6 6

1 3 9

31 2 2 2

2 10 5 10

K 9 10

1

q q N m

F j

d C m

− −

× × − × × ×

= × × = × × × −

JJG G G

i

JJG = − G

31 0,090 FJJG = N iG

j

21 0,054

F N j ;

1 21 31 0,090 0,054

F F F N i N

⇒ JJG = JJG+JJG = G− G

( ) (

²

)

²

2 2

1 1 21 31 0,054 0,090

F = FJJG = F +F = − N + N

=0,105 N 0,090

arctg

0,054 α =

− = –(59º 2’ 10”) Ejercicio C:

¿Qué fuerza actuará sobre una fuerza de 5 μC al situar a 5 cm de la misma otra de –2 μC en el vacío? Haz un esquema de las cargas y la fuerza indicando la dirección y el sentido de la misma.

Ejercicio D:

¿A qué distancia en el vacío estarán colocadas dos cargas de 3 μC y 6 μC para que se repelar con una fuerza cuyo módulo es de 3 N?

CAMPO ELÉCTRICO ( )

^EJG

.

Al igual que F g = m JG JG

el campo eléctrico EJG es el cociente entre la fuerza (fuerza que ejerce la carga generadora del campo (q

12

JJJG F

1) sobre la que actúa (q2).

F q

E u

q d

= ¹² = × ² ×

2 2 1

1

K

JJG JJJG JJG

A diferencia de “ gJG

”, “EJG” puede estar dirigido hacia el exterior si q

2 es positiva y hacia el interior si Q es negativa.

Ejemplo:

Dos cargas eléctricas de +10 μC y –30 μC están situadas en (0,0) y (3,0) respectiva- mente. Calcula el valor del campo eléctrico en (1,0). Las unidades se toman en metros.

( ) ( ) ( )

2 5 5

1 2 9

1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1

1 2

1 10 3 10

K K 9 10

1 2

− −

⎡ ⎤

× × − ×

= + = + = × ×⎢ + − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

JG JJG JJG q JG q JJG N m C JG C

E E E u u u u

d d C m m

JG

1

157500

1

E = N×C⁻ u

JJG JJG

OTRAS FUERZAS NATURALES

Fuerza magnética:

Fuerza magnética:

• Se produce entre imanes o cargas en movimiento.

• Va unida a la eléctrica por lo que hablamos de fuerza “electromagnética”.

Fuerza nuclear fuerte:

Fuerza nuclear fuerte:

• Son las más intensas de todas.

• Son las responsables de la unión de nucleones (protones y neutrones) en el núcleo.

• Tienen un alcance del orden de 10^–15 m.

Fuerza nuclear débil:

Fuerza nuclear débil:

• Son las responsable de la desintegración radiactiva.

• Tienen un alcance del orden de 10^–17 m.