2 3 : razón
SUCESIONES
SUCESIÓN: Es aquel conjunto cuyos elementos (términos) se encuentran ordenados según una característica determinada, de modo que uno de sus términos es señalado como el primero, el siguiente como el segundo, el otro como el tercero y así sucesivamente, de tal forma que a cada uno de ellos le corresponde un número ordinal en la sucesión.
CLASES DE SUCESIONES
I. Sucesiones Polinominales o Aritméticas: Cuando la diferencia entre 2 términos consecutivos de la secuencia es constante también se las denomina “PROGRESIÓN ARITMÉTICA” y la diferencia común que estas presentan, se les conoce como “Razón Aritmética”.
Ejm: Así, la sucesión {an} será polinomial si:
1 2 3 1 2 1 ... k k k k k n C n C n C n C n C a
El grado del polinomio señalado, identifica a la sucesión: A. an AnB
an Ejm: ;...;16 3 1 ; 0 1 ; 7 ; 4 3 3 3 3 r r r r B. an An2 BnC
an Ejm: C. anAn3Bn2CnD Ejm: {n3 + 2n} Formula General ... ! 2 ) 2 )( 1 ( ! 1 ) 1 ( 3 2 1 a n a n n aII. Progresión Geométrica: Es aquella sucesión en la que el primer termino diferente de cero y cada termino posterior a partir del segundo se obtiene multiplicando al anterior por un mismo numero (diferente de cero) llamado “razón” de la PG. Ejm: 64 96 144 216 324 2 3 2 3 2 3 2 3 x x x x
1 1 3 1 3 4 2 1 2 3 1 2 1 1 . . n q n xq xq xqn n a a q a a a q a a a a a a a G P aIII. Sucesión Armónica: Es aquella sucesión en la que las inversas de sus términos forman un P.A. Ejm:
n n 1 2 1 ;... 11 1 ; 9 1 ; 7 1 ; 5 1 ; 3 1 ; 1 4 6 3 ;... 32 3 ; 26 3 ; 10 3 ; 14 3 ; 14 3 ; 8 3 ; 2 3 n 1° 2° 3° 4° : Número ordinal A X G T : Sucesión 1 7 8 8 10 : Sucesión 2 1/ 2 ° 2/ 3 3/4 4/5 : Sucesión 3 a1 a2 a3 a4|
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|
… anSucesión Polinomial de primer orden (Sucesión lineal)
{3n} + 1 a1 = 4
r = 3
Sucesión Polinomial de segundo orden (Sucesión Cuadrática)
3 ; 6 ; 11 ; 18 ; 27 ; 38 ; 51 3 5 7 9 11 13
2 2 2 2 2
Sucesión Polinomial de tercer orden (Sucesión Cúbica) 3 12 33 72 135 228 9 21 39 63 93 12 18 24 30 6 6 6 1° Diferencia 2° Diferencia 3° Diferencia donde q: es la razón
IV. Sucesión Especial: a) Sucesión de Fibonacci.
1 1
1 2
2 3
3 5
5 8
8 13
13 21
21 34
55 ; 34 ; 21 ; 13 ; 8 ; 5 ; 3 ; 2 ; 1 ; 1 1 2 n n n a a a Formula de recurrencia b) Sucesión de Lucas.
1 3
3 4
4 7
7 11
11 18
19 29
47 ; 29 ; 18 ; 11 ; 7 ; 4 ; 3 ; 1 c) Sucesión de Feinberg.
1 1 2
1 2 4
2 4 7
4 7 13
24 ; 13 ; 7 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 V. Sucesiones Literales: 27 5 4 3 2 1 ... Z E D C B AEjm1 Literales Simples:
3 3 3 3 15 12 9 6 3 Ñ L I F C
Ejm2 Literales Compuestas: AB ; CD ; EH ; GO Se observan dos sucesiones 1. A C E G (1) (3) (5) (7) +2 +2 +2 2. B D H O (2) (4) (8) (16) x2 x2 x2
Sucesiones Literales Alternadas
A A B D C I D O 112 422 932 1642 Sucesiones Literales U D T C C S Seis Cinco Cuatro Tres Dos Uno VI. Sucesiones Graficas:
Ejm: Ejm:
PROGRESIONES (Formulas)
I. Aritméticas: Inicio de la progresión : Primer termino : a1 Ultimo termino : an Razón o diferencia : r Termino de lugar n : tn Numero de términos : n Suma de términos : S r n a an 1( 1)
n
r n a S o n a a S n n 2 1 2 2 1 1Interpolación de Medios Aritméticos
cos " " .... ... aritmeti medios m b a 1 m a b r II. Geométrica: PA / PG
1 1 1 1.r Nota:a t a an n q r t a t t t ó t t tc n c n n n 1. 1 1 : 1 : 1 1 1 1 q q t SL Limite Suma q q t Sn n Interpolar: m1 a b q “m” medios geométricos. EJERCICIOS 1. ¿Qué número sigue?
4 ; 5 ; 7 ; 10 ; 16 ; 24 ; 40 ; 59 ; ……… a) 95 b) 96 c) 97 d) 98 e) 99
2. Hallar el par de letras que siguen: C; D ; E ; I ; G ; M ; I ; O ; ……… a) KR b) LR c) KQ d) KR e) MQ 3. Hallar “x” en: a) 121 b) 64 c) 72 d) 144 e) 169
4. Hallar el termino que sigue en la siguiente sucesión: ;... 12 ; 8 ; 5 ; 3x2 x6 x12 x20 a) 18x3 2 b) 15x 3 0 c) 16x 2 4 d) 17x2 8 e) 17x 3 0 5. Calcular el t24 4 ; 9 ; 17 ; 28 ; 42 ; ……… a) 878 b) 787 c) 868 d) 856 e) 798 6. Halla “x” en: a) 54 b) 64 c) 72 d) 60 e) 57 7. Sabiendo que: AB es AD como CE es a: a) JK b) IJ c) IK d) HL e) HK 8. Hallar “x” en: 4 (18) 3 16 (16) 2 289 (x) 5 a) 375 b) 430 c) 425 d) 515 e) 455
9. ¿Qué número continua?
17 ; 19 ; 15 ; 14 ; 17 ; 23 ; -1 ; -22 ; … a) - 78 b) 105 c) - 83 d) 83 e) - 95
10. ¿Qué número sigue? 2 ; 9 ; 93 ; ………… a) 875 4 b) 874 5 c) 847 5 d) 877 5 e) 854 5 11. ¿Qué figura sigue?
a) b) c)
d) e)
12. Hallar “x” en:
a) 4 b) 3 c) 8 d) 2 e) 5
13. ¿Qué letra sigue? A ; B ; D ; H ; ………
a) P b) R c) Ñ d) O e) Q
14. Hallar la suma de los 3 términos siguientes: 5 ; 7 ; 10 ; 15 ; 22 ; ………
a) 140 b) 142 c) 137 d) 139 e) 143
15. ¿Qué termino ocupa el lugar 100? 1 ; 4 ; 10 ; 19 ; 31 ;………… a) 1568 1 b) 15302 c) 1452 4 d) 14981 e) 1485 1
16. Hallar en la siguiente sucesión el primer término mayor que 100.
0 ; 4 ; 9 ; 17 ; 31 ; 55 ; ………
a) 152 b) 118 c) 154 d) 112 e) 123
17. ¿Qué número sigue? 4 ; 2 ; 2 ; 4 ; …………
a) 1 b) 4 c) 2 d) 16 e) 0
18. ¿Qué figura continua?
a) b) c)
d) e)
19. Señale el grupo alfanumérico que sigue: 13ZD25 ; 16WH36 ; 19TL49 ; …… a) 22RT6 4 b) 22QO64 c) 22QR6 4 d) 22RS64 e) 22RO6 4
20. Hallar en cada caso el número que falta: 45 (50) 55
15 (30) 45 12 ( ) 40 a) 26 b) 27 c) 29 d) 24 e) 22
21. ¿Qué figura sigue?
a) b) c)
d) e)
16 (20) 24 26 (33) 40 18 ( ) 12 a) 12 b) 14 c) 18 d) 17 e) 15
23. ¿Qué número falta?
2 (12) 2 3 (10) 1 5 ( ) 3 a) 50 b) 52 c) 48 d) 36 e) 56
24. Señale el grupo de letras que sigue: BMD ; CÑG ; DPJ ; ………
a) ETS b) EQP c) EQN d) ERM e) ETN
25. Federico reparte a sus nietos caramelos del modo siguiente: a Paula 2, Andrea 7, Sebastián 12; André 17, Anita 22, así sucesivamente. ¿Cuántos caramelos recibirá el nieto número 24?.
a) 123 b) 120 c) 117 d) 119 e) 121
26. ¿Qué palabra debe escribirse en el espacio punteado?
31 (CAFE) 65 49 (………) 71
a) LECHE b) DIGA c) DIME d) DIHA e) BEJE
27. Señale el grupo de letras que sigue: CTT ; FIV ; IVX ; ………
a) KWZ b) KVZ c) LWZ d) LVM e) LVZ
28. Señale el grupo alfanumérico que sigue: 5ZA18 ; 17WC25 ; 29TE32 ; ……… a) 41QH3 9 b) 41RG37 c) 39QG3 8 d) 41QH4 0 e) 41QG3 9
29. Calcular el número que continúa en la siguiente sucesión:
1 ; 6 ; 30 ; 168 ; …………
a) 460 b) 630 c) 810 d) 108
0 e) 1215
30. Hallar el valor de “x” que completa correctamente la siguiente distribución numérica:
a) 13 b) 7 c) 15 d) 18 e) 21
31. Calcular la suma de los tres números que tiene la figura 50, teniendo en cuenta la siguiente secuencia:
a) 597 b) 12 c) 588 d) 1515
0 e) 14875
32. ¿Qué valor toma “x” en la siguiente analogía numérica? 4 (20) 4 2 (10) 6 3 (x) 4 a) 16 b) 13 c) 19 d) 12 e) 18 33. ¿Cuál es el valor de “x”?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
34. Calcular el valor de “x + y + z” en la siguiente sucesión: 2 11 5 2 2 ;125 ; 3 64 ; 2 9 ; 2 ; 1 n n nx n zny n a) 512 b) 680 c) 724 d) 840 e) 984
35. Calcular la letra que continua en la siguiente secuencia:
A ; A ; B ; C ; E ; H ; ………
a) K b) M c) O d) P e) X
36. Calcular la suma de cifras del término que c o n t i n u a e n l a s i g u i e n t e s u c e s i ó n : 1 ; 3 ; 13 ; 183 ; ………
a) 28 b) 11 c) 13 d) 22 e) 18
37. ¿Qué término continua?
;... ; ; ; H G E D B C B A a) I p b) K O c) M p d) K p e) I O
38. Indique la alternativa que sigue la serie mostrada:
a) b) c)
d) e)
39. En la siguiente distribución numérica hallar el valor de x. 2 3 4 1 4 7 3 5 x a) 9 b) 12 c) 8 d) 11 e) 10 40. Hallar el valor de x: 2 10 9 4 13 24 6 11 x a) 32 b) 29 c) 31 d) 26 e) 24 41. En la sucesión: ... ; 1 4 ; 2 3 ; 3 2 ; 4 1 ; 1 3 ; 2 2 ; 3 1 ; 1 2 ; 2 1 ; 1 1 a) 78 b) 80 c) 75 d) 81 e) 85
42. Indique la alternativa que debe ocupar el casillero TRILCE:
3 0 0 0 0 5 27 TRILCE a) 88 b) 80 c) 87 d) 92 e) 85
43. Identifique la alternativa que continua coherentemente la siguiente sucesión grafica.
a) b) c)
SUCESIONES 1. ¿Qué número sigue en la sucesión?
3 ; 2 ; 4 ; 2 ; 4 ; 1 ; 3 ; ……
a) 0 b) 1 c) 2 d) - 2 e) - 1
2. ¿Cuál es el producto de los dos términos siguientes en la sucesión?
4 ; 11 ; 8 ; 7 ; 12 ; 3 ; 16 ; ……… a) 16 b) 20 c) - 8 d) - 12 e) - 20
3. ¿Qué número sigue en la sucesión? 60 ; 12 ; 3 ; 1 ; …… a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/6 4. Encuentre m + n + p , de: 30 ; ; 19 ; 12 ; 8 ; 2 ; np m a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 5. De la siguiente sucesión: .... ; ; ) ( ; ; ; ; ; 0 x a c b xb x
indique el termino que sigue, si a ; b ; c son números consecutivos crecientes, que suman 30 y x ; b ; (a + c) forman una progresión geométrica.
a) 20 b) 21 c) 22 d) 24 e) 25
6. Señale el valor de x2 – y conocida la siguiente
sucesión:
-2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 0 ; 4 ; 1 ;(x2 – y2); (x - y)
a) 8 b) 7 c) 6 d) 4 e) 2
7. Hallar la suma de los dos términos que continúan. 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 6 ;…… a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 15 8. Halle x – y , de : - 1 ; - 2 ; - 4 ; 4 ; - 7 ; - 8 ; - x ; y a) 10 b) 6 c) - 4 d) 4 e) 6
9. De la siguiente sucesión, halle la suma de cifras del número que sigue:
- 1 ; - 1 ; 0 ; 3 ; 10 ; …… a) 2 b) 5 c) 7 d) 8 e) 10 10. Halle x + y : x ; 1 ; 19 ; 45 ; 75 ; 107 ; y a) 130 b) 133 c) 136 d) 139 e) 141 11. Halle x + y : 5 ; 64 ; 1210 ; 1522 ; 6046 ; xy a) 157 b) 158 c) 159 d) 160 e) 161 12. Encuentre b a . ; ; 14 30 ; 11 24 ; 9 21 ; 7 12 ; 6 6 ; 5 3 b a a) 17 40 b) 2 c) 2039 d) 17 39 e) 19 40 13. En la sucesión 8 ; 17 ; 32 ; 53 ; 80 ; … ¿Cuántos términos de 3 cifras acaban en 3?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
14. Sea la sucesión {an} en la que sus primeros
términos son: 17 14 ; 14 12 ; 11 10 ; 1 ; 5 6
¿A partir de qué lugar los términos de la sucesión son menores que 0,72?
a) 20° b) 18° c) 16° d) 17° e) 21°
15. ¿Qué termino sigue en la sucesión mostrada? 1 ; 3/2 ; 19/11 ; 11/6 ; 17/9 ; …… a) 12 19 b) 19 23 c) 37 46
d) 38 73 e) 23 38 16. Dada la sucesión: ... , 14 13 , 1 , 8 9 , 5 7 , 2 5
¿A partir de que lugar los términos de la sucesión son menores que 4/5?
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
17. ¿Qué número sigue en la sucesión? 1 ; - 4 ; - 8 ; - 8 ; 1 ; 26 ; …… a) 24 b) 25 c) 50 d) 75 e) 76
18. Calcular el término que ocupa el lugar 30 en la siguiente sucesión numérica:
... ; 8 5 ; 1 ; 2 3 ; 2 ; 2 a) 8 16 15 b) 18 4 15 c) 20 2 15 d) 9 8 15 e) 7 15 16
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
1. Hallar el término de lugar 120 de la progresión aritmética.
- 8 ; - 3 ; 2 ; 7 ; 12 ; ……
a) 597 b) 592 c) 577 d) 582 e) 587
2. Hallar el término de lugar 26 de la P.A.:
.... ; 3 5 ; 6 7 ; 3 2 a) 3 72 b) 6 79 c) 6 80 d) 3 80 e) 6 76
3. Obtener el término a40 en una P.A. sabiendo
que: a25 = 52 y r = - 3
a) 1 b) 4 c) 7 d) 10 e) 13
4. Se sabe que una P.A. el término que ocupa el lugar 12 es 42, la razón es 2.
Hallar el primer término de dicha progresión. a) 24 b) 16 c) 22
d) 18 e) 20
5. En una P.A. el término de lugar 40 es 59; el término de lugar 27 es 33. Hallar el primer término y la diferencia común de dicha progresión.
a) – 21 y 2 b) – 19 y 2 c) – 21 y 3 d) – 19 y 3 e) – 17 y 2
6. ¿Cuántos números pares hay entre: 31 y 128? a) 45 b) 46 c) 47
d) 48 e) 49
7. Se desea saber el número de múltiplos de 4 que hay entre 10 y 116.
a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30
8. ¿Cuánto vale la suma de los 25 términos de una P.A., cuyo primer término es 4 y cuya razón es 10?
a) 3 090 b) 3 100 c) 3 110 d) 3 120 e) 3 130
9. Una P.A. de 30 términos tiene por primer termino 200 y por suma 5 130. ¿Cuánto valen la razón y su último término?
a) – 3 y 144 b) – 2 y 140 c) – 2 y 142 d) – 3 y 142 e) – 2 y 144
10. Hallar la suma de los 25 primeros términos de la P.A. 15 16 ; 15 11 ; 5 2
a) 109 b) 110 c) 110 d) 112 e) 113
11. Hallar la suma de los números impares desde 29 hasta 137.
a) 4 565 b) 4 594 c) 4 536 d) 4 702 e) 4 428
12. Hallar el número de términos y la suma de ellos, en una P.A., cuya razón es 3, su primer término es 6 y su último termino 123.
a) 39 y 2577 b) 40 y 2580 c) 39 y 2580 d) 41 y 2583 e) 40 y 2577
13. Es una progresión aritmética de 60 términos la diferencia común es igual a 5 y la suma de sus términos es 9 150. ¿Cuánto vale a1 y a60?
a) 10 y 295 b) 5 y 305 c) 0 y 305 d) 5 y 300 e) 0 y 295
14. Sumar los 30 múltiplos de 5 siguientes a 50. a) 3 825 b) 3 830 c) 3 835 d) 3 840 e) 3 820
15. Una progresión aritmética tiene 33 términos y su término central vale 8. ¿Cuánto vale la suma de los 33 términos?
a) 263 b) 264 c) 265 d) 266 e) 267 16. En la siguiente: P.A. (x - 6); (x - 1); (x + 4); (x + 9); …. a) (x + 184) b) (x + 169) c) (x + 164) d) (x + 179) e) (x + 174)
17. El mayor de tres números que forman una progresión aritmética es el triple del menor. ¿Cuál es el mayor de estos tres números, si su producto es 1 296?
a) 15 b) 6 c) 18 d) 12 e) 21
18. Los términos extremos de una P.A. son 3 y 79, y la suma de todos ellos es 820. ¿Cuál es la razón de la progresión y cuántos términos tiene?
a) 4 y 20 b) 5 y 20 c) 3 y 20 d) 4 y 21 e) 5 y 24
19. El menor ángulo de un hexágono irregular (ángulos desiguales) es de 100° y los seis ángulos están en P.A. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos? a) 100 ° b) 110° c) 120° d) 130 ° e) 140 °
20. En una progresión aritmética el quinto termino es 22 y al octavo 34. Calcula la suma de los 60 primeros términos. a) 704 4 b) 744 0 c) 740 4 d) 470 4 e) 407 4
21. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es la raíz positiva de la ecuación: x2 – 17x – 84 = 0, siendo el sexto termino 15. Hallar la razón.
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
22. Determinar el mayor de los 5 primero términos de una P.A. sabiendo que la suma de los tres últimos es igual al duplo de la de los tres primeros, y que la suma de estos 5 términos es 90.
a) 18 b) 24 c) 30 d) 6 e) 22
23. Hallar la suma de todos los números de dos cifras que son múltiplos de 3.
a) 166
2 b) 1665 c) 1668 d) 167
24. ¿Cuántos términos hay que tomar en la progresión aritmética:
- 2 ; 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; … para que la suma sea 8190?
a) 63 b) 64 c) 65 d) 66 e) 67
25. (x + y); (4x – 3y); (5y + 3x); son tres términos consecutivos de una progresión aritmética. La relación entre “x” e “y” es:
a) 3 1 y x b) 2 y x c) 3 y x d) 5 y x e) 4 1 y x
26. Si se sabe que: a; a2 y 3ª son los tres términos de una P.A., entonces la suma de los 10 primeros términos es:
a) 11 + 10a b) 100a + 11 c) 111a d) 55a e) 110a
27. Hallar el valor de c2; en la P.A: a; b; c; e; si se
sabe que: a + e = 20
a) 400 b) 100 c) 20 d) 10 e) 160
28. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular están en P.A. cuya suma de dichas dimensiones es 30m; el volumen del paralelepípedo es de 640 m3. ¿Cuánto mide las
aristas?
a) 6; 10; 14 b) 8; 10; 12 c) 2; 10; 11 d) 4; 10; 16 e) 2; 8; 14
29. ¿Cuántos términos de la P.A.?
2 1 2 ; 2 1 4 ; 2 1 6
Se deben tomar para que la suma sea - 396. a) 22 b) 23 c) 24
d) 25 e) 26
30. Los cuatro primeros términos de una expresión aritmética son: a ; 2x ; b ; 3x. La razón entre “a” y “b” es de:
a) 1:3 b) 2:5 c) 4:7 d) 3:5 e) 5:8
31. El primer término de una progresión aritmética vale – 7, y la diferencia común es 4. Hallar el termino a34 y la suma de los 34 primeros
términos (S34).
a) 125 y 2006 b) 125 y 2002 c) 126 y 2006 d) 126 y 2002 e) 124 y 2006
32. Averiguar las edades que tiene cuarto individuo sabiendo que forman una progresión aritmética creciente, sabiendo que la suma de la edad del primero con la del cuarto es 71 años y que multiplicando ambas edades resulta 1078. (Dar como respuesta la edad del mayor.) a) 96 años b) 77 años c) 49 años d) 94 años e) 36 años
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
1. El séptimo término de una progresión geométrica vale 243 y la razón 3, hallar el primer termino. a) 3 b) 31 c) 61 d) 9 1 e) 2 1
2. En una progresión geométrica el primer término vale 6 y el término de lugar 15 vale 54. Hallar el octavo término.
a) 18 b) 36 c) 9 d) 27 e) 6
3. En una progresión geométrica se sabe que: a15
= 512 y a10 = 16, hallar la razón y el primer
termino.
a) r = 2 y a1 = 1/16 b) r = 2 y a1 = 1/32
c) r = 2 y a1 = 1/8 d) r = 2 y a1 = 1/64
4. Hallar el término de lugar 16 de la progresión geométrica 81 8 : 27 4 : 9 2 : 3 1 a) 2-15.3-16 b) 2-15.3-16 c) 216.3-15 d) 315.2-16 e) 215.3-16
5. Hallar el producto de los once primeros términos de una progresión geométrica si sabemos que el término central vale 2.
a) 3 072 b) 1 024 c) 2 048 d) 4 096 e) 5 120
6. Hallar la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: 3 1 ; 3 2 ; 3 4 a) 21/4 b) 21/8 c) 23/6 d) -21/8 e) -16/3
7. Sabiendo que : a1 = 7 y r = 2, hallar la suma de
los nueve primeros términos de la progresión geométrica.
a) 5 377 b) 3 577 c) 7 735 d) 5 735 e) 7 537
8. En una progresión geométrica el primer término vale – 5 y la razón – 1/5. Hallar el término de lugar 10.
a) 5-7 b) 5-8 c) 5-9
d) 5-10 e) 5-6
9. Nos dan el primer término y la razón de una progresión geométrica, que valen respectivamente 27 y 1/3. Nos piden hallar el producto de los ocho primeros términos (p8).
a) 27 1 8 P b) 87 1 8 P c) 64 1 8 P d) 243 1 8 P e) 16 1 8 P
10. Hallar la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: 2 3 ; 1 ; 3 2 a) 8 665 b) 48 665 c) 64 647 d) 64 665 e) 32 656
11. Suponiendo que el numerador y el denominador tiene infinitos términos, calcular el valor de la fracción. ... 625 1 125 1 25 1 5 1 ... 81 1 27 1 9 1 3 1 a) 3/5 b) 5/2 c) 3 d) 2 e) 4
12. La suma de los términos de una P.G. decreciente y prolongada indefinidamente, es el doble de la suma de los cinco primeros términos. Hallar la razón.
a) 4 1 b) 2 1 c) 3 4 1 d) 52 1 e) 32 1 13. Sumar: ... 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 4 S a) 3 1 b) 3 2 c) 2 1 d) 7 1 e) 3 3
14. La suma de los 6 primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos. Hallar la razón.
a) 1/2 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1/3
15. La diferencia del tercer termino menos el sexto termino de una P.G. es 26 y el cociente 27.
a) 245 b) 234 c) 243 d) 1/4 e) 5/9
16. Hallar el término de lugar 12 de la progresión geométrica. ... : 4 3 : 2 3 : 3 : 6 a) 6 x 10-10 b) 3 x 2-11 c) 2 x 3-10 d) 3 x 2-10 e) 6 x 10-12
17. El primer término de una progresión geométrica vale 1 y la razón es 2. Hallar el término a7 y el producto de los siete primeros términos (p7)
a) a7 = 37; p7 = 210 b) a7 = 64; p7 = 221
c) a7 = 16; p7 = 218 d) a7 = 64; p7 = 220
e) a7 = 32; p7 = 221
18. Calcular la suma de los 12 primeros términos de la progresión: ... : 3 : 3 : 1 a) 728
31
b) 364
31
c) 364
31
d) 182
31
e) 346
31
19. La suma de los términos de una progresión geométrica decreciente ilimitada es 4; y su primer término es 3. ¿Cuál será la suma de los términos a los cuadrados de los del anterior? a) 16 b) 9,6 c) 12
d) 15 e) 7,2
20. Uniendo los puntos medios de los lados de un triangulo equilátero, cuya área es de 16cm2 se
obtiene un segundo triangulo equilátero; repitiendo la construcción con este segundo triangulo se obtiene un tercero y así se prosigue indefinidamente. Hallar la suma de todas las áreas de los triángulos obtenidos por el procedimiento descrito, cuando el número de ellos tiende a infinito.
a) 8 cm2 b) 16 cm2 c) 8/3 cm2
d) 64/3 cm2 e) 32/3 cm2
21. Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de ocho cortes. ¿Cuántos trocitos de papel habrá?
a) 256 b) 260 c) 510 d) 501 e) 105
22. Un circulo tiene un diámetro de 2m; un segundo circulo tangente exterior al primero tiene un diámetro de 1m, un tercer circulo, tangente exterior al segundo (y con el centro alineado con el del primero) tiene un diámetro igual a 1/2m; si se continua indefinidamente construyendo círculos en las mismas condiciones. ¿Cuánto suma las áreas de estos infinitos círculos?
a) 2m2 b) (4/3)m2 c) (3/4)m2
d) (3/2)m2 e) 3m2
23. Si el segundo y el sexto término de una progresión geométrica son 24 y 96, ¿Cuál es el cuarto término positivo?
a) 2 30 b) 16 c) 48 d) 24 e) 4 3
24. Sabiendo que A; B y C están en progresión geométrica en ese orden, entonces el producto (A + B + C) . (A – B - C) es igual a:
a) A2 + B2 + C2 b) A2 - B2 + C2
c) A2 + B2 - C2 d) A2 - B2 - C2
e) -A2 + B2 + C2
25. La suma de los 7 primeros términos de una progresión geométrica creciente es 2 186, y la
razón del séptimo término sobre el segundo termino es 243. Hallar el término de lugar 4. a) 12 b) 18 c) 54
d) 24 e) 162
26. Una progresión geométrica admite 4 términos siendo la suma de sus extremos 27 y la de los centrales 18. Proporcionar la suma de cifras del mayor d estos números.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
27. Los tres números positivos en progresión aritmética que aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente forman una progresión geométrica de suma 28 son:
a) 3; 5 y 7 b) 2; 6 y 10 c) 3; 6 y 9 d) 1; 5 y 9 e) 3; 7 y 11
28. La diferencia del tercer término menos el sexto de una progresión geométrica es 312 y el cociente 27. Calcular el primer término. a) 10 b) 12 c) 291
6 d) 5 e) 8
SERIES Y SUMATORIAS
Principales Series y Sumas Notables
1. Suma de los “n” primeros números naturales.
n k n sumandos n n n k 1 " " 2 1 ... 5 4 3 2 1 2. Suma de los “n” primeros números paresnaturales.
n k n n n k 1 1 2 ... 8 6 4 23. Suma de los “n” primeros números impares naturales.
n k n n k 1 2 1 2 ... 7 5 3 1 1 24. Suma de los “n” primeros números cuadrados perfectos.
6 1 2 1 ... 3 2 12 2 2 2 1 2
n n n n k n k5. Suma de los “n” primeros números cubos perfectos.
2 3 3 3 3 3 1 3 2 1 ... 4 3 2 1
n n n k n k6. Suma de los “n” primeros productos consecutivos. a) Tomados de 2 en 2
3 2 1 1 ... 5 . 4 4 . 3 3 . 2 2 . 1 1 1 " "
n n n n n k k n k nsumandos b) Tomados de 3 en 3
4 3 2 1 ... 5 . 4 . 3 4 . 3 . 2 3 . 2 . 1 2 1 1 " "
n n n n k k k n k nsumandos7. Suma de los inversos de productos binarios.
U a r U P a a a a a a a a S r r r 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 5 4 4 3 3 2 2 1
8. Suma de una serie asociado a una sucesión polinómica de orden superior.
z z z b a y q p r C C rC C T T T T T T n n n n 2 3 4 5 1 1 2 3 4 1
1
2
3
... 2 1 2 1 3 x k k k k n n n Cn k9. Suma de los cuadrados de los primeros números impares.
6 1 2 2 1 2 1 2 ... 5 3 1 1 2 min " " 2 2 2 2 1 2
n n n n k os ter n n k 10. Suma de cuadrados de los primeros números pares.
6 2 2 1 2 2 2 ... 6 4 2 2 min " " 2 2 2 2 1
n n n n k os ter n n k 11. Suma de los cubos de los primeros números pares.
2 min " " 3 3 3 3 3 1 3 2 4 6 8 ... 2 2 1 2
n n n n os ter n n k 12. Suma de potencia.
1 1 ... 5 4 3 2 1 b b b b b b b b b n n Propiedades Si: S
an b
a n n b a n
n
bn k n k n k . 2 1 . 1 1 1
Si:
n
n
nc b n n n a c n b n a c bn an S n k n k n k . 2 1 6 1 2 1 . 1 1 1 2 2
EJERCICIOS1. Una progresión geométrica admite 4 términos siendo la suma de sus extremos 27 y la de los centrales 18. Proporcionar la suma de cifras del mayor d estos números.
a) 250 0 b) 195 5 c) 232 5 d) 194 0 e) 215 0 2. Calcular: S = 5 + 12 + 21 + ……….. + 486 a) 364 0 b) 3590 c) 2325 d) 377 4 e) 3910 3. Calcular “m” m + (m - 1) + (m - 2) + …… + 3 + 2+ 1 = 105 a) 7 b) 12 c) 16 d) 14 e) 15 4. Calcular y3 en: 1 + 3 + 5 + …….. + (3y - 2) = 169 a) 64 b) 729 c) 512 d) 125 e) 100 0 5. Hallar: S = 22 + 42 + 62 + …… + 302 a) 245 0 b) 496 0 c) 280 0 d) 520 0 e) 3650
6. Hallar la suma total del siguiente arreglo: 2 + 4 + 6 + ……….. + 60 4 + 6 + ……… + 60 6 + ……… + 60 . . . 60 a) 9455 b) 9556 0 c) 10500 d) 8655 0 e) 18910 7. Hallar el resultado de sumar:
20 + 19 + 18 + ……… + 5 + 4 + 3 + 2 +1 20 + 19 + 18 + ……… + 5 + 4 + 3 + 2 20 + 19 + 18 + ……… + 5 + 4 + 3 20 + 19 + 18 + ……… + 5 + 4 . . . 20 + 19 20 a) 3450 b) 1870 c) 4070 d) 2870 e) 4230
8. En la base cuadrangular de una pirámide se ha usado 900 bolas. ¿Cuántas bolas se ha usado en total?
a) 9215 b) 7215 c) 9455 d) 3025 e) 1708
5
9. Se forma una pirámide triangular regular (tetraedro) con 1540 esferas. ¿Cuántas esferas conforman la base?
a) 200 b) 930 c) 210 d) 190 e) 420
10. Calcular el valor de “S” si:
sumandos S 100 .... 24 23 22 a) 834 5 b) 7250 c) 817 d) 847 5 e) 832 0
11. ¿Cuantos términos hay que considerar en las dos sumas siguientes para que tengan el mismo valor?
S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + ……….
S2 = 100 + 98 + 96 + 94 + …………
a) 61 b) 100 c) 67 d) 50 e) 48
12. Sabiendo que la suma de 20 números impares consecutivos es 400, hallar la suma de los 20 posteriores a los 20 siguientes números impares consecutivos, si todos son positivos. a) 800 b) 120 0 c) 2100 d) 200 0 e) 4000 13. Hallar “S” : S = 1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + …… + 49 x 51 a) 2207 5 b) 2205 0 c) 2102 5 d) 1562 5 e) 21525
14. Hallar la suma de los 20 primeros términos: S = 1 x 3 – 3 x 5 - + 5 x 7 – 7 x 9 + …… a) – 820 b) - 700 c) 820 d) - 840 e) 0 15. Halle el valor de “S” os ter S min 20 ... 9 7 16 7 5 12 5 3 8 3 1 4 a) 19/2 0 b) 21/2 0 c) 39/4 0 d) 41/4 0 e) 40/4 1 16. Hallar el valor de “x” : 4 + 7 + 10 + ……… + x = 175 a) 26 b) 31 c) 30 d) 29 e) 28 17. Calcular: ... 11 18 11 13 11 8 11 3 4 3 2 S a) 3 1 b) 20 7 c) 11 3 d) 21 5 e) 32 3
18. Hallar la suma limite de :
... 3 242 3 26 3 2 1 2 6 10 S a) 10/80 b) 31/81 c) 100/80 d) 101/79 e) 101/81 19. Calcular:
2 2 2 2 2 2 2 2 20 1 19 1 1 ... 5 1 4 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 a) 3 1 9 b) 9 2 8 c) 3 1 20 d) 20 9 8 e) 1
20. Calcular la cifra de las decenas de la siguiente suma:
1! + 2! + 3! + 4! + ………. + 2002! a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 8
21. Indicar la suma de cifras del resultado de:
cifras 40 ..99 999 . 999 99 9 a) 45 b) 90 c) 99 d) 360 e) 48 22. Calcular “S” : productos S 20 ... 9 5 8 4 7 3 6 2 5 1 a) 250 b) - 250 c) 320 d) - 320 e) - 800 23. Sea: 4 2 2 1 0
x x x a n k k k Calcular:
n k k a 0 a) 4 b) 2 c) 0 d) 3 e) 824. Cuál es la suma de la serie :
44 . 42 . 40 1 ... 10 . 8 . 6 1 8 . 6 . 4 1 6 . 4 . 2 1 S a) 115 4 b) 3696 115 c) 294 230 d) 7392 115 e) 7320 236 25. Si:
e dn cn bn an k k k n k
2 3 4 1 2 3 2002 2001 2000 2003 Calcular a + b + c + d + e a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) - 1 EJERCICIOS1. La suma de 20 números enteros consecutivos es 430.
¿Cuál es la suma de los 20 siguientes? a) 830 b) 720 c) 630 d) 820 e) 900
2. Al sumar 61 números naturales consecutivos el resultado da 2745.
Hallar el mayor de los sumandos. a) 75 b) 74 c) 73 d) 76 e) 77
3. La suma de todos los números naturales desde “n” hasta “5n” es 1230.
Calcular el valor de “n” y dar como respuesta el producto de sus cifras.
a) 0 b) 24 c) 12 d) 32 e) 40 4. Si : 1 + 2 + 3 + … + n = 990 3 + 6 + 9 + … + 3m = 360 Hallar : mn a) 10 b) 12 c) 7 d) 8 e) 6 5. Calcular el valor de : J = 3,01 + 3,02 + 3,03 + …… + 7
a) 200 2 b) 200 4 c) 200 6 d) 120 0 e) 802
6. Determinar el valor de la siguiente suma : S = 2,01 + 4,04 + 6,09 + ……. + 18,81 a) 90,2
8 b) 92,85 c) 98,25 d) 92,2
8 e) 93,23
7. Calcular el valor de los 100 primeros términos de: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , -8 , 9 , 10 , 11 , -12 a) 264 0 b) 265 0 c) 266 0 d) 267 0 e) 268 0
8. Disponga los números naturales en forma adjunta y de enseguida el último término de la fila número 30.
.
.
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
a) 465 b) 850 c) 890 d) 910 e) 9999. Hallar la suma total si hay 20 filas :
.
.
5
5
5
5
5
4
4
4
4
3
3
3
2
2
1
a) 2870 b) 2780 c) 2875 d) 2872 e) 288010. Se arreglan números en forma de “diamante”, como se muestra en el diagrama.
1 2 2 1 3 3 3 2 2 1 4 4 4 4 3 3 3 2 2 1 3 3 3 2 2 1 2 2 1 1 ...
Cual es la suma de todos los números en el siguiente diamante. a) 84 b) 74 c) 72 d) 94 e) 82 11. Calcular:
20 1 2 2 3 1 2 20 k k k k k k S a) 240 b) 220 c) 230 d) 210 e) 25012. Hallar el valor de:
10 1 3 4 2 k k k a) 204 6 b) 220 0 c) 185 6 d) 102 3 e) 480 13. Calcular:
22 2 1 5 k k k a) 120 b) 100 c) 105 d) 110 e) 117 14. Calcular el valor de E:
26 710 1 1 9 k n k n k k k E n100 a) 1 236 b) 1 296 c) 1 342 d) 1 242 e) 1 316 15.
10 5 2 k k Cos a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 16. Calcular:
30 4 1 1 4 k k k M a) 31 12 b) 31 23 c) 31 26 d) 31 27 e) 31 25 17.
5 3 2 a a a a) 3 18 b) 3 20 c) 3 22 d) 3 24 e) 3 21 18.
270 1 1 k k k a a Donde: ak = 1 + 3k a) 800 b) 805 c) 810 d) 820 e) 825 19.
20 0 2 2 20 0 20 0 4 4 1 1 2 2 1 k k k k k k k a) – 3 b) - 2 c) – 1 d) - 4 e) – 5 20. Calcular:
100 1 2 1 1 k kk k k a) 101 100 b) 101 10099 c) 101 51500 d) 101 10200 e) 101 10300 21. Calcular:
99
1
2
1
k
k
k
k
k
a) 0,9 b) 1 c) 0,9 9 d) 1,1 e) 2,9 9 22. Halle el valor de “m”, si :aabb
m
70
68
66
...
72
Donde : 1 3 3 2 2 a b b aSiendo “a” y “b” cifras significativas diferentes entre si. a) 12 b) 18 c) 30 d) 40 e) 44 23. Hallar M: M = 50 + 50 + 49 + 51 + 48 + 52 + ….. + 1 a) 4 000 b) 4 500 c) 4 900 d) 4 901 e) 5 000
24. Halle la suma de los términos de la siguiente progresión aritmética:
...
;
;
;
;
;
min
os ter ccca
ab
aa
b
a
a) 1 045 b) 1 177 c) 1 221 d) 1 771 e) 2 77225. Halle la suma de los 6 términos de una progresión aritmética cuyo primer término es , siendo el último término y además :
n
mn
m
3
2
27
a) 240 b) 225 c) 216 d) 210 e) 19526. La suma de los “n” primeros números impares, más 47, es igual a la suma de los (n + 1) primeros números impares.
¿En cuánto es mayor la suma de los (n + 1) primeros números pares a la suma de los “n” primeros números pares?
a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49 27. Halle S: abc ba ab S 41...
Si los términos forman una progresión aritmética, donde a, b y e son cifras significativas. a) 2 375 b) 3 275 c) 3 525 d) 3 575 e) 5 275 28. Determine M = S + V donde: sumandos S 40 ... 19 20 20 21 19 20 20 21 Sumandos V 50 ... 13 8 13 8 8 13 8 13 8 8 a) 6 000 b) 4 500 c) 3 200 d) 1 300 e) 1 600
29. Halle la suma de todos los números que utilizan 4 cifras pares que empiezan en 2 y acaban en 4.
a) 59 600 b) 52 900 c) 59 200 d) 61 100 e) 62 500
30. Indique el valor de la suma de todos los términos del siguiente arreglo:
49 31 29 27 25 . . . . . . . . . . . . . . . 9 11 13 ... 31 7 29 ... 11 9 7 5 27 ... 9 7 5 3 25 ... 7 5 3 1 a) 4 225 b) 4 280 c) 4 500 d) 4 850 e) 4 950
31. Halle el valor de sumar las cifras de S, si: sumandos n S " " ... 8 6 4 2 donde 1 + 2 + 3 + …… + n = 55 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5
32. Halle a + b + c de la siguiente suma : aabc 71 46 69 49 67 ... 70 43 a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
33. Encuentre la suma de cifras del resultado que se obtiene al sumar todos los números diferentes de 9 cifras diferentes que se pueden formar al colocar la última cifra como primera del número siguiente:
1234 … 9 ; 9123 … 8 ; 8912 … 7 y así sucesivamente :
a) 20 b) 27 c) 36 d) 72 e) 81
34. La suma de los “n” primeros números naturales es igual a 45 veces el último sumando.
¿Cuál es la suma de los “n” primeros números impares? a) 2 025 b) 2 116 c) 2 601 d) 7 921 e) 8 100 35. Al hallar el valor de S : S = 1 + 12 + 123 + … + 123 … 89 sus cuatro últimas cifras son :
a) 3 2 0 5 b) 2 0 0 5 c) 2 1 0 5 d) 4 2 0 5 e) 4 1 0 5
36. Calcule el valor de la siguiente expresión:
3 3 3 3 2 40 ... 6 4 2 39 ... 5 3 1 E a) 100/14 7 b) 200/44 7 c) 200/44 1 d) 141/12 1 e) 21/20 37. Se conoce : sumandos los De S 10 125811... a) 248 b) 249 c) 250 d) 247 e) 246OPERACIONES MATEMÁTICAS
OPERACIÓN MATEMÁTICA: Procedimiento que valiéndose de reglas o leyes previamente establecidas, transforma cantidades o funciones en otra.
OPERADOR MATEMÁTICO: Es un símbolo que representa a una operación matemática.
Aquí mostramos otros operadores: * Operador asterisco Operador cuadrado Operador nabla # Operador grilla Operador triángulo Operador rectángulo Operador diamante @ Operador arroba
Los símbolos que se indican son la base para crear operaciones de diferentes reglas o leyes de operar.
Ejemplo:
Operador
m n = m + n
operador regla de formación Ejercicio: Si: m n = m + n2 a) 11 b) 10 c) 14 Calcular: 5 3 d) 12 e) 13 Solución:
En este caso el operador es . La regla de formación es m + n2.
Lo que tenemos que hacer, es hallar el V.N. de tal regla para m = 5 y n= 3, ya que:
m n 5 3 m n = m + n 2 5 3 = 5 + 32 = 5 + 9 5 3 = 14 Ejercicio: Si A * B = A2 – 2B. Calcular 5 * 2 Solución: De la condición: A * B = A2 – 2B 5 * 2 = 52 – 2(2) 5 * 2 = 25 – 4 5 * 2 = 21 EJERCICIOS 1) es un operador x = 7x – 25 Si x 4 x = 25 – 7x Si x < 4 OPERADOR OPERACIÓN + - x Adición Sustracción Multiplicación División Radicación
Calcular el valor de: P = 2 + 5 a) 114 b) 108 c) 96 d) 101 e) 122 2) Si se cumple que: x = 3x – 1 Hallar: 4 - 2 2 a) 2 b) 3 c) 7 d) 11 e) 5 3) Si: a b = 5a – 3b Calcular: (5 2) (3 1) a) 30 b) 35 c) 59 d) 56 e) 61 4) x * y = 3y – x; Si x y x * y = 3x – y; Si x > y Calcular de izquierda a derecha: 7 * 3 * 20 * 16
a) 82 b) 64 c) 32 d) 110 e) 84
5) Una operación representada por se define así:
x = 2x si x es par x = x si x es impar Hallar el valor de:
3 + 7 - 5 – 3 – 7 a) 5 b) 6 c) 9
d) 10 e) 12
6) es un operador de tal modo que: x = 7x – 25, Si x 4
x = 25 – 7x, Si x < 4 Calcular el valor de: 2 + 5 – 1 a) - 4 b) 4 c) 3 d) -2 e) 1 7) Si: a b = a2 – b2 a b = (a - b)2 a * b =
b
b
a
b
a
Hallar C, Si:)
2
*
4
(
)
4
3
(
2
1
C
a) -1 b) 3 c) 1 d) -2 e) 2 8) Sabiendo que: a =2
2
x
, si a es par a =2
1
x
, si a es impar Hallar: 7 – 4 a) 2 b) -2 c) -1 d) 1 e) 3 9) Si se define x = 2x, si x es par x = x + 1; si x es impar. Calcula: 4 a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 3 e) 5 10) Si: a = 2a – 1; Si a es par a = a + 1; Si a es impar Calcula: 2 a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 1411) Definimos la operación ( * ) mediante la siguiente tabla. Hallar ( 2 * 1) * ( 1 * 2) * 0 1 2 3 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2 0 2 4 0 3 1 1 0 2 a) 3 * 2 b) 3 * 3 c) 0 * 3 d) 2 * 2 e) 4 * 1 12) Según la tabla: 1 2 3 4 1 1 3 2 1 2 2 2 1 2 3 3 4 3 3 4 1 1 3 4 Calcular: ) 2 2 (
)
4
4
(
)
2
3
(
)
1
3
(
)
2
2
(
E
a) 1/16 b) 1/4 c) 0 d) 2 e) 1/5 13) Si: a b = a –b - b –a Calcular el valor de M = 24 + 2 2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 0 14) Dada la tabla * 2 3 5 2 5 3 2 3 3 2 5 5 2 5 3 Calcular el valor de:)
2
*
3
(
*
)
2
*
5
(
)
2
*
3
(
*
)
5
*
3
(
M
a) 5/3 b) 3 c) 2 d) 1 e) 4 15) Se define: m * n = n : (n : m) 2 Entonces hallar: N = 2 * 16 a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 c) 1/8 e) 1/5 16) Z = 3Z – 2; Si Z 0 Z = 2Z + 1; Si z < 0 Hallar “x” si además: x + - 3 = 12 – 4 a) 4 ó3
11
b) 5 ó5
12
c) -5 ó2
7
d)5
6
ó 3 e) 3 ó5
4
17) Se define:a
* b3 = a – b 2Calcular el valor de: (4 * 27) * (6
2
* 512) a) 33 b) 45 c) 47 d) 64 e) 8 18) Si: a % b =1
b
10
a
2 2
Hallar: (5 % 2) % (4 % 2) a) -1/10 b) 1/10 c) 1/14 d) 1/3 e) 5 19) Dado: p * q = p + q p # q = 5p + q2 p % q = p2 + q2 Hallar: (3 # 2) * [(3%2) # (3*2)] a) 105 b) 107 c) 110 d) 109 e) 116 20) Si: a* b =b
a
b
a
b a
Hallar:
(
1
*
2
)
*
3
*
4
*
5
*
6
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 21) Si: a % b = 1 2b
x
a
4
b
3
b
a
Hallar: 3% (3%{3%[3% (...)]}) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 522) Si a b =
;
b
a
a
*
a
x * y = y - 2y Hallar: 6 2 a) 3/4 b) -3/4 c) 1/2 d) -1/2 e) 2 23) Si a * b = 4a 2 + 3 Hallar: 6 * [(a*(b*(c*(d * … ))))] a) 36 b) 72 c) 108 d) 147 e) 150 24) Si: x + 5 =x
- 3 Hallar: 49 + 69 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 25) Si: x % = 2x – 3 X = 3x – 4 Hallar: (x ) % - (x %) a) -2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4 26) Si: a * = 2 (a%)2
a
4
a
%
a
2
; a b = ab -1 Hallar: [(2*)*] (4*) a) 6 b) 9 c) 8 d) 10 e) 12 27) Si: a * b =
b
a
Si
;
b
a
2
b
a
Si
;
b
x
a
2 2 Además: a # b = a2 x b2 Hallar:#
4
4
*
4
)
1
*
3
(
*
)
1
*
1
(
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 1028) En el conjunto de los números naturales se define el operador * por:
m
n
:
Si
;
m
2
n
3
n
m
:
Si
;
n
2
m
3
n
*
m
Hallar:
5
2
*
1
*
)
2
*
5
(
2 a) 71 b) 80 c) 60 d) 100 e)120 29) Calcule : a) 1 000 b) 4 000 c) 10 000 d) 2 000 e) 100 000 30) Sabiendo que: Calcular: a) x – 398 b) x – 399 c) x - 400 d) x - 401 e) x - 402 31) Si : Hallar el valor de : a) 16 b) 12 c) 20 d) 18 e) 2432) Se define una operación matemática mediante la tabla : * 1 2 3 123 231 123 312 Calcular : [(1 * 2) * 3 ] * [(3 * 2) * 1] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 33) Si : 2 ) 1 ( nn n
Calcular “x”: Si: a) 1 b) 1/2 c) 2 d) 3/4 e) 2 34) Si : P Q = 5p2 - 3 Calcular: E = 2 (3 (4 (… (19 20)…))) a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 35) Hallar : E 4 4 4... Si: m * n = (2n)2 – 3m a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 36) Dado : 3 1 1 1 1 ) ( x x f x x fx Halle: f(1/2) a) 5 12 b) 12 5 c) 12 5 d) 5 12 e) 2 1 37) Si : 1 3 ax bx x Calcule:3 7 4 1 a) ab 1 b) ab c) - ab d)
3 1 ab e) – 2 38) Se define : Si: 500 = 3 Halle el valor de 600 a) 1 b) 2 c) 52 d) 3 e) 185 39) Si : 1 1 x x x Calcule “n” en : 2 x 4 x 6 x … x 2n = 145 a) 72 b) 145 c) 73 d) 146 e) 147 40) Dado : Halle : M = 1 + 2 + 3 + … + 10 a) - 25 b) 165 c) 220 d) - 55 e) 11 41) Se define : mn
mn
nm a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 542) Se define en Z+ , la siguiente operación :
100 ; 5 100 ; 3 x x x x x Calcule: 97 a) 95 b) 96 c) 97 d) 98 e) 99
RAZONES Y PROPORCIONES
Razón o Relación: Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente.
A. COMPARACIÓN POR DIFERENCIA: consiste en determinar en cuanto excede una de las cantidades a la otra.
La razón por diferencia, se le saber llamar “Razón Aritmética”.
Ejm:
15
6
= 9 razón aritmética = 9 unidades 15 excede a seis en 9 unidades TÉRMINOS DE LA RAZÓN ARITMÉTICA: Los términos de la razón aritmética son el antecedente y consecuente.
Ejemplo:
15
6
= 9 → razón aritmética antecedente consecuente B. COMPARACIÓN POR COCIENTE: Consiste endeterminar cuantas veces una de las cantidades contiene a la otra.
La razón por cociente se le sabe llamar “Razón Geométrica” Ejemplo:
1
3
4
12
razón geométrica = 3 Términos de la razón geométrica: los términos de la razón geométrica son el antecedente y consecuente. Ejemplo: antecedente
4
12
= razón geométrica consecuenteb
a
se lee “a es a b”PROPORCIÓN: Es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas ó geométricas.
1. Proporción Aritmética: Es la comparación de dos razones aritméticas iguales.
Ejemplo 13 - 6 = 11 - 4
Razón aritmética = 7 razón aritmética = 7 Se lee: “13 es a 6 como once es a 4” En general: a - b = c - d Donde:
d
y
b
c
y
a
Además: ) medios os min tér ( b y c ) extremos os min tér ( d y aCLASES DE PROPORCIONES ARITMÉTICAS:
Proporción Aritmética Discreta: Es aquella cuyos términos son diferentes.
Ejemplo: 16 – 9 = 11 – 4 16 9 11 4
En toda proporción aritmética debe cumplirse que la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios o sea:
16 + 4 = 9 + 11
Extremos Medios
Proporción aritmética Continua: Es aquella cuyos términos medios son iguales llamándose a cada uno de estos términos medios. Media diferencial o Media Aritmética.
Ejemplo: 9 - 6 = 6 - 3 “La media
diferencial es 6”
En la proporción aritmética continua se cumple que la media diferencial es igual a la semisuma de los extremos
2 3 9 6
¿Cómo se halla la media diferencial?
Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x” colocando “x” dos veces como término medio repetido. Se halla el valor de “x” y ese valor es la media diferencial.
Ejemplo: Hallar la media diferencial de 8 y 2 8 - x = x – 2 8 + 2 = x + x
10 = 2x
medios 5 = x (La media diferencial de 8 y 2 es 5)
¿Cómo se halla la tercera o tercia diferencial? Se forma una proporción aritmética con los dos números dados y con “x” repitiéndose como
3
medios Extremos medios Son antecedentes Son consecuentestérmino medio uno de los números dados. Se halla el valor de “x”; y ese valor es la tercera diferencial.
Ejemplo: Hallar la tercera diferencial de 2 y 8. 2 - 8 = 8 – x trasponiendo términos tenemos:
medios x = 8 – 2 + 8 = 14 (La tercera diferencial de 8 y 2 es 14) ¿Cómo se halla la cuarta diferencial?
Se forma una proporción aritmética con los tres números dados y con “x”, colocándolos en cualquier orden. Se halla el valor de “x” y ese valor es la cuarta diferencial.
Ejemplo: Hallar la cuarta diferencial de 10; 4 y 8 10 – 4 = 8 – x
x = 8 – 10 + 4 x = 2
PROMEDIOS
PROMEDIO: Es un valor representativo de un conjunto de números que tiene la característica de ser mayor que el menor de ellos pero menor que el mayor.
Los promedios más utilizados son:
Dado un conjunto de números: x1, x2, x3... xn
El promedio aritmético se define:
Este promedio es quizá el que más usamos. Por ejemplo lo utilizamos para obtener la nota promedio. Si un alumno tiene por ejemplo, notas como 12; 15; 17 y 16 en cada uno de los bimestres, su nota promedio se obtendrá así:
Particularmente para 2 números se le llama media aritmética:
El promedio geométrico se define:
Veamos un ejemplo:
Calcular el promedio geométrico de 2; 4 y 8. De acuerdo con la definición:
P.G. = 3
2
.
4
.
8
= 4Particularmente para 2 números se le llama media geométrica:
El promedio armónico se define:
Veamos un ejemplo;
Calcular el promedio armónico de 2; 4; 6. De acuerdo con la definición:
P.H. =
11
36
12
2
3
6
3
6
1
4
1
2
1
3
Particularmente para 2 números se le llama media armónica.
Cuando un móvil recorre espacios iguales con velocidades diferentes, la velocidad promedio se calcula por medio del promedio armónico. PROPIEDADES
1) La relación de orden entre los promedios es: RA. P.G. RH.
Ejemplo: sean los números 6 y 24 P.A. =
15
2
24
6
P.G. =6
x
24
12
P.H. =9
,
6
5
48
24
1
6
1
2
se cumple que: 15 > 12 > 9,6 2) M.G. =(
M
.
A
).
(
M
.
H
.)
Ejemplo:P.A. =
x1x2xn3...xnP.A. =
15
4
60
4 16 17 15 12
M.A. =
a2bP.G. =
nx
1.
x
2.
x
3....
x
nM.G. =
a
x
b
P.H. =
n 3 2 1x
1
...
x
1
x
1
x
1
n
M. H. =
a2abbTomaremos los valores de la propiedad anterior.
144
5
48
x
15
12
3) Si una constante multiplica a todos los núme-ros, también multiplica a su promedio. Por ejemplo: P.A. =
3
a
a
a
k
3
Ka
Ka
Ka
1 2 3 1 2 3Cuando tenemos el promedio aritmético de dos o más grupos y queremos determinar el promedio de todos en conjunto, aplicamos el promedio aritmético ponderado:
Donde:
Pa1 = promedio aritmético del primer grupo.
Pa2 - promedio aritmético del segundo grupo. y así sucesivamente; también:
n1 = número de elementos del primer grupo. n2 = número de elementos del segundo grupo. Es decir el número de elementos del grupo correspondiente.
1) La media aritmética de dos números es 13 y la media armónica de los mismos es
13
144
. Hallar la media geométrica. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Solución:La media aritmética, la media geométrica y la media armónica cumplen una propiedad que las relaciona entre sí. La aplicación de esta relación da solución al problema. •
Por la propiedad: M.G.
(
M
.
A
.)
(
M
.
H
.)
Reemplazando:
M.G. =
13
x
144
/
13
144
12
2) La media arimética y la media geométrica de dos números son entre sí como 7 es a 5. En qué relación se encuentra la media aritmética y la media armónica.
a) 21/25 b) 25/40 c) 140/125 d) 25/49 e) 49/25
Solución:
La palabra relación implica cociente, es decir razón geométrica, así la razón entre la media aritmética y la media armónica debe entenderse. Como:
.
H
.
M
.
A
.
M
Luego; por dato:
5
7
.
H
.
M
.
A
.
M
; y como: M.G.(
M
.
A
.)
(
M
.
H
.)
Reemplazando:5
7
.)
H
.
M
(
.)
A
.
M
(
.
A
.
M
Elevando al cuadrado:25
49
.)
H
.
M
(
.)
A
.
M
(
.
A
.
M
2
Simplificando25
49
.
H
.
M
.
A
.
M
3) El promedio armónico de 20 números es 12. Calcular el promedio armónico del doble de cada uno de los números.
a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 30 Solución:
Recurrimos a la propiedad siguiente: Sí una constante multiplica a todos los números de una serie, también multiplicará a su respectivo promedio; para este caso particular se cumplirá: P.H. (Kx1; Kx2; Kx3; … Kxn) = K P.H. (x1; x2; … xn) = Luego, si: P.H. = (x1; x2; x3;...x20)= 12 entonces: P.H. (2x1 + 2x2 + 2x3+ ...2x20)= 2 x 12 = 24
4) El producto de notas de 12 alumnos es 15 y el promedio de notas de otros 4 alumnos es 13. Hallar el promedio de los 16 alumnos.
a) 15 b) 14 c) 14,5 d) 13 e) 13,5
Solución:
Son dos grupos con número de elementos dife-rentes por lo que hay que aplicar el promedio aritmético ponderado.
