Factorizando : ( x 3)( x 2) 0

Texto completo

(1)

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Si a, b y c son números reales, el raciocinio anterior es por supuesto válido, pero es práctico distinguir dos casos, según el signo del

discriminante :

Si , entonces para d se puede tomar su raíz cuadrada, y las soluciones son:

Si , entonces ni Δ ni la ecuación tienen raíces reales. Es preciso emplear números complejos: para d se puede tomar la raíz cuadrada de -Δ, multiplicado por i (que verifica ), pues:

y las soluciones son:

Por ejemplo resolver la ecuación por factorización:

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:

Una ecuación de segundo grado, se resuelve aplicando factorización, cuando la ecuación sea rápidamente factorizable o mediante la fórmula

general. 2

5

6

0

:

(

3)(

2)

0

3

0

2

0

x

x

Factorizando

x

x

x

x

 

(2)

Resolver la ecuación aplicando la Fórmula general:

Tener presente que el coeficiente de b cambia de signo al aplicar la fórmula general.

Métodos de Resolución

1)

Factorización.- Según la regla del aspa simple, se iguala cada factor a cero.

2)

Fórmula.- Se sustituye el valor numérico de los coeficientes en la fórmula:

Ecuación Completa

Ecuación Incompleta

Ecuación Incompleta

ax

2

+

b x

+

c

=

0

ax

2

+

b x

=

0

ax

2

+

c

=

0

Problemas

1. La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 166. Hallar dichos números.

2 2 2 1 2

2

15

0

4

2

2

2

4 (1)( 1 5)

2 (1)

2

4

60

2

2

64

2

8

2

2

5

3

x

x

b

b

ac

x

a

x

x

x

x

x

 

 

2 2 2 2

:

: Pr

(

1) :

sec

.

(

2) :

sec

.

:

(

1)

(

2)

194

:

3

6

189

0

Re

:

7

1 8

2

9

Sea

x

imer Número

x

Segundo entero con

utivo

x

Tercer entero con

utivo

Luego x

x

x

Efectuando operaciones y simplificando

x

x

solviendo la ecuación

x

x

x

 

 

(3)

2. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcular la edad de Pedro.

3. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcular las dimensiones de la finca.

5 5 55 - x 55 55- x 2

13

13

11

11

:

(

13)

11

2

:

21

Edad actual

x

Edad hace

años

x

Edad dentro de

años

x

Según el enunciado

x

x

De donde

x

2 2 1 2

55 (

)

55

:

750 (

)

(55

)

750

55

750

:

55

750

0

25

30

Semiperímetro

mitad del perímetro

Base

x

Altura

x

Según el enunciado

El área es

base por altura

x

x

x

x

De donde

x

x

x

x

(4)

4. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

3x 5x

4x

5. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

x 34 50 2 2

:

2

(3 ) ( 4 )

2 4

2

1 2

2 4

2

6

2 4

2

3

6

2 º

4

8

3 º

5

1 0

Á r e a d e l tr iá n g u lo

b a s e x a ltu r a

A

x

x

x

x

x

C a te to

x

C a te to

x

H i p o te n u s a

x

(5)

:

:

50 34

:

min

:

min

min

540

(50 2 )(34 2 )

(50)(34)

Ancho que rodea al jardín

x

Área del jardín

x

Área total

área del jardín área del ca

o

Luego

Área del ca

o

área total

área del jardín

Área del ca

o

Área total

x

x

Área del jardín

2 2 1 2 540 (50 2 )(34 2 ) (50)(34) : 4 168 540 0 4 42 135 0 : ( 45)( 3) 0 min : 45 0 3 0 45 3 x x

Efectuando operaciones y simplificando

x x

Dividiendo entre a la ecuación

x x Factorizando x x Igualando a cerocada tér o x x x x El ancho del c                     min 3 a o es metros

(6)

Resolver las ecuaciones y los problemas:

1. (x + 6) (x - 6) = 13

2. (x + 11) (x - 11) = 23

3. (x - 3)

2

- (2x + 5)

2

= - 16

4. (4x - 1) (2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

1

1

1

1

5.

6

1

2

2

5

6.

2

2

7.

6

2

4

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

8) Se quiere hacer una caja de 50 cm3 de volumen con una cartulina cuadrada. Para hacerla se cortan en las esquinas cuadrados de 2 cm. de lado. ¿Cuánto mide el lado de la cartulina cuadrada?

9) Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su semiperímetro es 25m y su área es 150m2.

10) La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Determina la edad actual.

11) Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 80 m y la suma de los catetos es 46 m.

12) El área de un rectángulo es 360 m2 y el largo excede al ancho en dos unidades. Calcula el perímetro del rectángulo.

13) Determinar las longitudes de los lados de un rectángulo si el lado mayor excede en 10 cm. al menor y la diagonal mide 50 cm.

14) Una persona compró cierto número de objetos en $ 300. Podría haber comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado $ 5 menos. ¿Cuántos objetos compró?

15) Calcular la altura y la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 m y la altura es 2 m. más larga que la base.

16) Determina los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que las

(7)

17) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 25 metros y la suma de los catetos es 35 metros ¿Cuánto miden los catetos?

18) La suma de los perímetros de dos cuadrados es 240 m. y la suma de sus áreas es 2 522 m2. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadrado?

19) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 71 cm. y el área del triángulo es 330 cm2. ¿Cuánto miden los catetos?

20) El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide 60 m. y la diferencia de las proyecciones sobre la hipotenusa es 21 m. Calcular los otros dos lados del triángulo.

21) En un triángulo la base mide 15 m. más que el doble de la altura. Calcular la base y la altura, sabiendo que el área del triángulo es 301 m2. 22) Alguien regala 525 soles para repartirlos entre los niños del nivel cuarto básico de una escuela. Como 25 niños estaban ausentes, cada uno de los niños presentes obtuvo 0,50 soles más. ¿De cuántos niños se componía el nivel cuarto?

(8)

1.

Solución: x = 7

2. Solución: x = 12 3. Solución: x = - 26/3 4. Solución: x = - 8/7 1 2 2 5. : 3 3 Solución xx   1 2 6. Solución: x 3, 08 x 0, 52 1 7. : 4 Solución x 8. Solución: x = 9 cm 1 2 9. Solución: x 15m x 10m 10. Solución: x10años 1 2 11. : 30 16 34

Solución Cateto m Cateto m hipotenusa m

 

 12. Perímetro: 76 m

13. Solución: Largo40cm Ancho30cm

14. Solución: 20 objetos (costo de cada uno 15) 15. Altura: 9,31 m base: 7,31 m

16. Dimensiones: 3, 4 y 5

1 2

17. Solución: Cateto 15m Cateto 20m

1 2

19. Solución: Cateto 60cm Cateto 11cm

20. Solución: Cateto45m Hipotenusa75m

21. Solución: Altura14m Base43m

22. Solución: 175niños (cada uno recibe3soles)

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :