1. Probar que si es racional, entonces, y son transitivas.

Microeconomía II. (Materia 286). Facultad de Ciencias Económicas . Universidad de Buenos Aires.

Ejercicios sobre teoría de demanda.

Diego Álvarez y Enrique Kawamura Cuatrimestres I y II

1 Preferencias

1. Probar que si es racional, entonces, y son transitivas.

2. Probar que si X es un conjunto …nito y la relación de preferencias de…nida en X es racional, entonces existe un máximo. ¿Es este máximo necesariamente único?

3. Probar que si f : R ! R es estrictamente creciente y U : X ! R es una función de utilidad representando las preferencias , entonces, la función v : R ! R , donde v = f U es otra función de utilidad representando la misma relación de preferencias.

4. Considere la relación de preferencias racional . Muestre que si U (x) = U (y) implica x y, y si U (x) > U (y) implica x y, entonces U es una función de utilidad que representa a .

5. Demuestre que si X es …nito y es una relación de preferencias racional sobre X, existe una función de utilidad que representa a .

6. Resuelva el ejercicio 7.1 de Varian (1992).

7. Demuestre que las preferencias lexicográ…cas son completas, transitivas, estricta- mente monótonas y estrictamente convexas.

2 Demanda

1. Demuestre que si la función de utilidad U es estrictamente cóncava y C ² en el prob- lema del consumidor, los precios son mayores que cero (y acotados superiormente) para todos los bienes, y el ingreso m < 1, entonces las demandas Marshallianas serán diferenciables.

1

2. Demuestre que si x (p; m) es homogénea de grado 1 respecto a m y satisface la Ley de Walras, entonces la elasticidad-ingreso para cada mercadería es igual a 1.

Interprete este resultado formal. ¿Puede decir algo acerca de D m x (p; m) y acerca de la forma de las funciones y curvas de Engel?

3. Suponga que x (p; m) es un vector de funciones de demanda homogéneas de grado 1 respecto a m, satisfacen la Ley de Walras y es homogénea de grado 0 en todos sus argumentos. Además, suponga que todos los efectos precio cruzados son nulos, es decir ^@x

_@p ^(p;m)

k

= 0 siempre que l 6= k. Muestre que para cada l, entonces x ^l (p; m) =

l m

p

, donde la constante es independiente de (p; m).

4. Suponga que dispone de la siguiente información parcial sobre las compras de un consumidor. Consume sólo dos bienes y tiene una función de demanda que satisface la Ley de Walras.

Cantidad t = 1 Precio t = 1 Cantidad t = 2 Precio t = 2

Bien 1 100 100 120 100

Bien 2 100 100 x 80

Sobre que rango de cantidades del bien 2 consumidas en el año 2, ¿concluiría usted que:

(a) Este comportamiento es inconsistente (i..e., en contradicción con el axioma débil)?

(b) La canasta consumida por el consumidor en el año 1 se revela preferida a la del año 2? Asuma que el axioma débil se satisface.

(c) La canasta consumida por el consumidor en el año 2 se revela preferida a la del año 1? Asuma que el axioma débil se satisface.

(d) No hay su…ciente información para justi…car (a), (b) y/o (c)?

(e) El bien 1 es un bien inferior (para algún vector de precios) para este consum- idor? Asuma que se satisface el axioma débil.

(f) El bien 2 es un bien inferior (para algún vector de precios) para este consum- idor? Asuma que se satisface el axioma débil.

5. Muestre que si x (p; m) es un vector de funciones de demanda Walrasiana que satisface el axioma débil, entonces debe ser homogénea de grado cero.

6. Considere un vector x (p; m) de funciones de demanda Walrasiana continuamente diferenciable. Muestre que si la matriz de sustitución de Slutsky es nula, entonces x (p ⁰ ; m ⁰ ) = x (p; m) siempre que m ⁰ = p ⁰ x (p; m).

7. Juan, Pedro y Esteban son consumidores con preferencias racionales, estrictamente convexas y localmente no saciadas. Consumen exclusivamente manzanas y bananas.

El único proveedor del pueblo es un almacén. En el momento uno, los precios fueron (p _m ; p _b ) = (1; 2) y los consumos fueron:

Juan Pedro Esteban

Manzanas 20 10 15

Bananas 10 20 15

2

Hoy los precios son (p m ; p _b ) = (2; 1). Cada uno dejó su pedido pero se mezclaron.

Juan Pedro Esteban

Manzanas 17 17 9

Bananas 10 12 22

¿Podría usted ayudar a identi…carlos? Justi…que.

3 Problema de Maximización de la Utilidad, Utili- dad Indirecta y Minimización del Gasto.

1. Resolver los problemas 7.2 a 7.5 de Varian (1992)

2. Demostrar que la función de utilidad U (x 1 ; x ₂ ) = Ax ₁ x ₂ , es el resultado de una transformación monótona de Ax ₁ x 2 (donde A > 0; > 0 y > 0), y viceversa.

3. Laura consume x 1 kilos de pan y x 2 litros de cerveza, que consigue a precios p 1 y p 2

respectivamente. Su ingreso es de m pesos. Sus preferencias se pueden representar, por medio de la siguiente función de utilidad:

U (x ₁ ; x ₂ ) = min x ² ₁ ; x ₂ (a) Dibuje las curvas de indiferencia.

(b) Encuentre las demandas Marshallianas y Hicksianas, demostrando matemáti- camente la deducción de tales demandas.

4. Juan consume dos mercancías. Sus preferencias se pueden representar con la función de utilidad U (x 1 ; x ₂ ) = x ₁ max fx ² ; 1 g.

(a) Dibuje las curvas de indiferencia.

(b) Determine grá…camente la cantidad demandada cuando m = p 1 = p ₂ = 1.

(c) Demuestre matemáticamente la resolución grá…ca del punto b.

5. Un consumidor tiene preferencias sobre bienes 1 y 2, representables a través de la siguiente función de utilidad:

U (x ₁ ; x ₂ ) = min f2x ¹ + 1; x ₁ + x ₂ ; 2x ₂ + 1 g (a) Dibuje las curvas de indiferencia.

(b) ¿Qué grado de convexidad satisface esta relación de preferencias?

(c) Encuentre las demandas Marshallianas

6. Resolver los problemas 8.1, 8.2., 8.6, 8.7, 8.9, 8.11, 8.12, 9.1, 9.6, 9.7 y 9.9

3