3 ESTADÍSTICA II

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Hagamos un esquema para su mejor comprensión:

01.- MEDIA ARITMÉTICA A) Para datos No Agrupados Dado los datos:

x

; x

; x

; …..; x

, la media aritmética de ellos se designa por x

 x ₌

1 2 3 n

x x x .... x

n

   

Ejemplo: Si las marcas obtenidas por un atleta de salto alto fueron: 1,67; 1,65; 1,63 ; 1,62 ; 1,63 Su media aritmética es:

x ₌

1,67 1,65 1,63 1,63 1,62 5

   

x ₌ 8,2

5 x _{= 1,64}

NOTA: Promedio Ponderado

En algunos casos podemos tener datos no agrupados pero no todos los datos tienen el mismo peso o importancia, a ese peso o importancia se la llama “ponderación” y a la media aritmética calculada con esas ponderaciones se le llama Promedio Ponderado.

ESTADÍSTICA II

3

Ejemplo:

El siguiente esquema muestra la distribución de las edades de una clase. Hallar el promedio de las edades de los jóvenes.

Número de alumnos 4 2 5 6 3 Edad 20 18 16 14 15 Solución:

Como se pide el promedio de edades, el número de alumnos hacen la vez de “ponderación”

Entonces:

4(20) 2(18) 5(16) 6(14) 3(15)

P 4 2 5 6 3

80 36 80 84 45

P 20

P 16,25

   

    

   





B) Para datos Agrupados

Consideremos la siguiente distribución de frecuencias de 30 datos numéricos donde “x”, que representa al punto medio de cada intervalo, se llama marca de clase.

f



= 30

x .f



= 645

Para calcular la media aritmética de las 30 cantidades numéricas se procede de la manera siguiente:

x ₌

i i

i

x .f f





 x = = 21,5 02.- MEDIANA

A) Para datos No Agrupados

La mediana de un conjunto de datos numéricos ordenados en forma creciente o decreciente, es el dato que se encuentra en el centro de dicha distribución o la media aritmética de los dos datos centrales.

Ejemplo:

Hallar la media aritmética de los siguientes datos ordenados:

i) 5 ; 6 ; 8; 9; 11; 15 ; 16  M

= 9 ii) 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9; 10  M

= 6 iii) 13 ; 15 ; 16 ; 20 ; 21 ; 24

Intervalos x

f

x

.f

[10 –15> 12,5 4 50

[15 – 20> 17,5 8 140

[20 – 25> 22,5 10 225

[25 – 30> 27,5 6 165

[30 – 35> 32,5 2 65

 M

= 16+20

2 _{ M}

_{= 18} B) Para Datos Agrupados

En este caso el valor de la mediana se calcula a partir de la siguiente fórmula:

e i

med

n F

M L 2 .c

f

  

 

   

 

 

 

Donde:

L

= Limite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana.

n = Número de datos

F = Frecuencia absoluta acumulada hasta antes del intervalo mediano F

= frecuencia simple del intervalo donde se encuentra la mediana c = ancho de base

Como habrás notado para calcular la mediana en datos agrupados se requiere identificar el intervalo donde se encuentra la mediana y este se ubica de la siguiente manera:

Ubique el primer intervalo cuya frecuencia

Acumulada F sea mayor o igual a

n 2 Ejemplo:

Solución:

Determinamos la “clase mediana”

i) El número de datos es N = 30, la mediana será el promedio de los datos cuyas posiciones son

n 2 _y

n 2

+1 , es decir los datos cuyas posiciones son 15 y 16.

ii) Determinar la frecuencia acumulada:

El intervalo mediano será el primero cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a 15 y este intervalo es el tercero. Entonces el intervalo que contiene la mediana es [18;20> por lo tanto:

Temperatura ºC Días

[14 –15> 2

[16 – 20> 9

[18 – 25> 13

[20 – 22> 4

[22 – 24] 2

T ( ºC ) f F

[14 –15> 2 2

[16 – 20> 9 11

[18 – 25> 13 24

[20 – 22> 4 28

[22 – 24] 2 30

Reemplazando debidamente:

e i

med

n F

M L 2 .c

f

  

 

   

 

 

 

e

30 11

M 18 2 .(2)

13

  

 

   

 

 

  = 18,6  M

= 18,6 03.- MODA

A) Para Datos No Agrupados

La moda de un conjunto de datos es el dato que tiene la mayor frecuencia, es decir, el que más se repite.

Dependiendo de los datos es posible que la moda no exista y, también, que pueda haber más de una.

Ejemplos:

a) La moda de los datos:

5 ; 6 ; 8 ; 8 ; 8 ; 7 ; 7 ; 9 es: M

= 8 b) El conjunto de datos:

3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 9 ; 9 ; 9 ; 9 ; 14 ; 14 ; 15 tiene dos modas: M

= 4 y M

= 9

c) El conjunto de datos

9 ; 11 ; 13 ; 14 ; 17 ; 18 ; 19 No tiene moda B) Para Datos Agrupados

Es el dato cuya frecuencia es la mayor.

Mo=LI

+Wo ( ^d

^d +d

)

La moda es tener 1 mascota: significa lo más frecuente en encontrar hogares que tienen una mascota.

NOTA: Para Distribuciones de Frecuencia

Se determina ubicando la marca de clase del intervalo con mayor frecuencia de clase.

Si los datos tabulados son distribuidos en una tabla de frecuencias, la moda es aquel dato que posee mayor frecuencia.

x

f

19 13

23 21

27 25

31 22

ii. Si los datos son agrupados en intervalos, el intervalo que contiene a la moda es aquel que posee la mayor frecuencia y es llamado intervalo de clase modal o intervalo modal.

Mayor frecuencia Mo=27

La distribución es unimodal Nº de mascotas Hogares

0 70

1 90

2 30

3 6

4 4

LI_Mo

Límite inf erior del int ervalomod al

Límite sup erior del int ervalo mod al I_Mo=[¿ ¿

¿; LS_Mounderbracealignl¿

⏟

¿

¿⟩int ervalo mod al¿ ¿

Luego:

Mo=LI

+Wo ( ^d

^d +d

)

W ₀ :

Ancho de la clase modal

d ₁ : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior.

d 2 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase siguiente.

Ejemplo:

Calcular la moda de la tabla:

I

f

[4 ; 8>¿

¿

16

[8 ; 12>¿

¿

24

[12 ; 16>¿

¿

32

[16 ; 20>¿

¿

28

[20 ; 24>¿

¿

16

[24 ; 28>¿

¿

4

Entonces:

Mo=12+4 ( ^{32−24 ( 32−24 ) + ( 32−28 )} ) ^{=14 , 6}

01.- Para cada uno de los siguientes datos calcule la Media Aritmética:

a) El precio en soles de un Kg de pollo. 4 ; 4,50 ; 5,50 ; 4,50 ; 4,50

b) La temperatura del mes de febrero al mediodía (°C).24;25;24;24,25;23,25;25;24 c) Nota obtenida en matemática por un alumno: 17;15;14;16;14;15;18;12;18

d) Sueldo mensual de un empleado público ($) dólares durante un año: 200; 220; 215; 225; 230; 220; 225; 230;

240; 208; 212; 240

02.- Considerando las ponderaciones en cada caso calcule la media aritmética para los siguientes datos:

Mayor frecuencia (intervalo modal)

Problemas en Clase

Problemas en Clase

a) Calcular el promedio de notas de un alumno que obtuvo:

b) Calcular el precio promedio de un kilogramo de papa, con los siguientes datos, obtenidos por una señora en diversos mercados de la ciudad.

c) Si usted compra oro en cuatro tiendas, de acuerdo a:

Calcule el precio promedio

d) Calcular la estatura promedio de acuerdo a la siguiente tabla de distribución de frecuencias en un salón de clase.

Considere la estatura anotada como el promedio de cada grupo de estudiantes.

e) Calcular el peso promedio de todos los estudiantes, si se han dividido en cuatro grupos, formados por 15; 18;

20; 17 estudiantes y cada grupo registra un peso promedio de 40 kg; 45 kg; 50 kg y 60 kg.

03.- Calcular la Media Aritmética en cada uno de los siguientes casos:

a) Calcular la temperatura promedio en el mes de febrero en °C.

Prueba Nota Peso

Oral 15 1

Escrito 13 1

Parcial 12 2

Final 12 3

Cuaderno 18 1

Precios($) Nº Kilos

1,00 4

1,20 4

1,40 6

1,60 5

2,00 4

Tienda Peso

(g) Precio x gramo

A 10 $ 14

B 20 $12

C 8 $ 16

D 8 $ 8

Estatura (m) Nº

alumnos

1,45 1

1,50 4

1,55 10

1,60 8

1,65 2

Temperatura Nº de días

[23;24> 6

[24;25> 5

[25;26> 13

[26;27> 4

b) Determinar el salario promedio en:

04.- Calcular la mediana de:

12; 13; 17; 14; 18; 20; 22; 16 05.- Calcular la mediana de:

2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12

06.- Calcular el precio mediano de un kg de camote, de acuerdo a:

07.- Calcular la ganancia mediana en $ en la distribución.

08.- ¿Cuál es la moda del número de hijos por familia?

09.- determine la moda en cada caso:

a) 2; 2; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 b) 12; 10; 14; 10; 15; 12; 16; 12; 10

Salario (S/.) persona s [300 – 350> 10 [350 – 400> 10 [400 – 450> 20 [450 – 500> 15 [500 – 550> 25

Precio (S/.) Kg [0,40 – 0,60> 5 [0,60 – 0,80> 9 [0,80 – 1,00> 9 [1,00 – 1,20> 4 [1,20 – 1,40> 3

Ganancia $ Tiendas

[800 – 1000> 2 [1000 – 1200> 6 [1200 – 1400> 10 [1400 – 1600> 8 [1600 – 1800> 4

Nº de hijos Hogares

0 2

1 10

2 20

3 30

Más de 3 18