Divisibilidad, M.C.D. y M.C.M.

(1)

Divisibilidad, M.C.D.

y M.C.M.

DIVISIBILIDAD

DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS: Un número entero “A” es divisible entre otro entero positivo “B” llamado módulo, si al dividir “A” entre “B” resulta una división exacta (cociente entero y residuo cero).

Esquemáticamente se tiene: A B

0 K donde:

A,

K

Î

Z

B (módulo)

Î

Z

+ Se lee: A es divisible entre B

B es divisor de A B divide a A

MULTIPLICIDAD DE NÚMEROS: Un número entero es múltiplo de otro entero positivo (Módulo), cuando es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por otro factor entero.

A = B x K donde:

A,

K

Î

Z

B (módulo)

Î

Z

+ Se lee: A es múltiplo de B B es submúltiplo de A B es factor de A Ejemplos: 1.

24 =

3

º porque 24 = 8 x 3

24 es divisible por 8 <> 24 es múltiplo de 8 2.

-

45 =

5

º porque -45 = 5 x (-9) 3.

31¹

4

º porque 31 = 4(7) + 3 ;donde: r = 3 PRINCIPIOS: I. A = n° y B = ° n Þ A ± B = ° n II. Si: A = n° Þ (A)K = (

° n)K = ° n,

Î

Z

+ III. Si: A = n° Þ K A = ° n , K

Î

Z

IV. Si: A = n° + r1 B = n° + r2 Þ AB = n° + r1 r2 V. Si: A = n + r °₁ A = n + r °₂ Þ A =

MCM

n

+

r

º 2 1

,

)

(

K

B

A =

(2)

Ejemplos:

1. Si al dividir A y B entre 9, se obtiene 2 y 5 como resto. ¿Cuál es el resto de AB entre 9? Solución: A =

9

° + 2 B =

9

° + 5 Þ A B =

9

° + 2(5) =

9

°+ 10 =

9

°+ 1(9) + 1 =

9

°+

9

°+ 1 =

9

°+ 1 \ el resto es 1. 2. Si: 48 =

3

° 48 =

4

° Þ 48 = º

)

6 ,

4 ,

3 (

MCM

48 =

6

° 48 =

12

° Principio De Arquímedes

“Si un módulo divide al producto de dos enteros y no tiene divisores comunes (aparte de la unidad) con uno de ellos, entonces divide al otro número”.

Ejemplos:

· 3 x A =

7

o ® A =

7

o

· 11 x B =

5

o ® B =

5

o

Utilización del Binomio de Newton para Obtener el Resto (

n

°+ r)k₌

_n

°_{+ r}k

donde rk_{es resto de (n + r)}k_{entre n, si r}k_{> n, se reduce hasta llegar que sea menor que n.} Observación

,

k k k

n r si k es par

n r

n r si k es impar

°

ì +

_ï

æ

_-

ö

_{= í}

ç

÷

è

ø

_ï

-î

o o Ejemplos 1. 2014

)

1

7 (

+

° = 2014

)

1 (

7 +

° =

7 +

1

° 2.

₍

₁₃

°

-

₁

₎

2015₌

₁₃

°

+

₍

-

₁

₎

2015 =

13 -

1

° 3. 2

)

3 2611

(

+

° = 2

)

3 (

2611+

° =

2611+

9

°

(3)

EJERCICIO DE APLICACION:

Hallar el resto de:

₁₈₆

CPUFAC2_{entre 11.}

Solución: 2

186

CPUFAC =

(

187 -

1 )

CPUFAC2 = 2

)

1

11 (

-

CPUFAC ° = 2

)

1 (

11 +

-

CPUFAC ° =

11+

1

°

\el resto es: 1 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas prácticas o procedimientos que aplicados a las cifras de un numeral permiten su divisibilidad respecto a cierto módulo.

1.

_K

a a a a a a

_{6 5} _{4 3} _{2 1}

= Û

2

o

a

₁

=

2

o 2.

_K

a a a a a a

_{6 5} ₄ _{3 2 1}

= Û

4

o

a a

_{2 1}

=

4

o 3.

_K

a a a a a a

_{6 5} _{4 3} _{2 1}

= Û

8

o

a a a

₃ _{2 1}

=

8

o 4.

_K

a a a a a a

_{6 5} _{4 3} _{2 1}

= Û

5

o

a

₁

=

5

o 5.

_K

a a a a a a

_{6 5} ₄ _{3 2 1}

=

25

o

Û

a a

_{2 1}

=

25

o 6.

_K

a a a a a a

_{6 5 4 3 2 1}

=

125

o

Û

a a a

_{3 2 1}

=

125

o 7.

_K

a a a a a a

_{6 5 4 3 2 1}

= Û + + + =

3

o

a

₁

a

₂

a

₃

_K

3

o 8.

_K

a a a a a a

_{6 5 4 3 2 1}

= Û + + + =

9

o

a

₁

a

₂

a

₃

_K

9

o 9. ₆ ₅ ₄ ₃ ₂ ₁ 1 3 1 2 3 2

7 a a a a a a

-- --

=

o

K

Si:

a

₁

+

3 a

₂

+

2 a

₃

- -

a

₄

3 a

₅

-

2 a

₆

+ =

_K

7

o 10. ₆ ₅ ₄ ₃ ₂ ₁ 1 1 1 1 1 1

11 a a a a a a

- --

=

o

K

Si:

a

₁

- + - + - +

a

₂

a

₃

a

₄

a

₅

a

₆

_K

=

11

o 11. ₆ ₅ ₄ ₃ ₂ ₁ 1 3 1 4 3 4

1 3

a

a a

a

- -

-=

o

K

Si:

a

₁

-

3 a

₂

-

4 a

₃

- +

a

₄

3 a

₅

+

4 a

₆

+

_K

=

13

o

(4)

NÚMEROS PRIMOS

I. NÚMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO

Es aquél número que tiene únicamente dos divisores: La unidad y él mismo. Ejemplos:

2,3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29,31,

_K

Observación: Al número 1 no se le considera número primo, por tener sólo 1 divisor que sería él mismo. II. NÚMERO COMPUESTO

Son aquellos que admiten más de dos divisores, incluyendo la unidad y él mismo. Ejemplos:

1. El número 9, tiene por divisores a: 1, 3 y el mismo 9. 2. El número 15, tiene por divisores a: 1, 3, 5 y el mismo 15. III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)

Son dos ó más números que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo:

Dado los números: 12; 22 y 15, se tiene: Número Divisores

12 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 22 1 ; 2 ; 11 ; 22

15 1 ; 3 ; 5 ; 15

Se observa que el único divisor común de los tres números es la unidad (1); por lo tanto son PESI llamados también coprimos o primos relativos.

IV. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

“Todo número compuesto se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes. Esta descomposición es única y se llama descomposición canónica”. Esto es:

. . .

.

a b c d e

N

=

A B C D E

_K

Donde: A, B, C, D,... son factores primos a, b, c, d, ... son enteros positivos Se definen:

1. Cantidad de divisores de un número N

Ejemplo:

Hallar la cantidad de divisores del número N = 4840 Solución: N = 4840 N = (2)3_(5)(11)2 CDN = (3+1)(1+1)(2+1) CDN = (4)(2)(3) CDN = 24

2. Suma de los divisores de un número N

Ejemplo:

D(N) =

(

a

+

1 )(

b

+

1 )(

c

+

1 )...

SD(N)

...

1

1 .

1

1 A

1 1 1

-=

+ + +

C

B

A

c b a

(5)

Hallar la suma de los divisores del número N = 6615 Solución: N = 6615 N = (3)3_{(5) (7)}2

1

7

1

7

1

5

1

5

1

3

1

3

31 11 2 1

-=

+

x

+

x

+

SD

_N

÷

ø

ö

ç

è

æ

÷

ø

ö

ç

è

æ

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

6

342

4

24

2

80

N

SD

( )( )( )

40

6

57 =

13680

=

N

SD

3. Suma de la inversas de los divisores de un número N

Ejemplo:

Hallar la suma de las inversas de los divisores del número N = 360 Solución: N = 360 N = (23₎₍₃2₎₍₅₎

1

5

1

5

1

3

1

3

1

2

1

2

31 2 1 11

-=

+

x

+

x

+

SD

_N

÷

ø

ö

ç

è

æ

÷

ø

ö

ç

è

æ

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

4

24

2

26

1

15 ( )( )( )

15

13

6 =

1170

=

360 1170

=

N

SID

=

3 ,

25

4. Producto de los divisores de un número N

Ejemplo:

Hallar el producto de los divisores de N = 18 Solución: N = 18 N = (2)(3)2 CDN = (1+1)(2+1) CDN = (2)(3) CDN = 6

SID(N)

N

)

N

(

SD

=

PD(N) =

_N

D( N)

(6)

( )

6

18 =

N

PD

( )

3

18 =

₌

₅₈₃₂

¡RECUERDA SIEMPRE…! Sea “N” un número compuesto:

La cantidad de divisores de N, es igual al número de divisores primos de N(Dp), más el número de divisores compuestos de N.(Dc) y más 1; es decir:

MCD - MCM

MÁXIMO COMÚN DIVISOR MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

1) MCD (A, B) = d Þ A = d p

B = d q

p y q son primos entre sí. 2) MCD (A, B, C) = MCD [MCD (A, B), C] 3) MCD (A, B) = d Þ MCD (An, Bn) = dn MCD n d n B , n A = ÷ ø ö ç è æ

_n

_Î

_Z

4) Si MCD (A, B) = 1

Þ A y B son primos entre sí.

1) MCM (A, B) = m Þ m = Ap

m = Bq

p y q son primos entre sí. 2) Análogo 3) Análogo 4) MCM (A, B) =

₍

₎

B A, MCD AB

Algoritmo de Euclides (o Divisiones Sucesivas): para hallar el MCD de dos números dados.

Hallar el MCD de 34 715 y 24 235 C1 1 C2 2 C3 3 C4 5 34 715 24 235 10 480 3 275 655 10 480 r1 3 275 r2 655 r3 0 r4

MCD es 655 cuando el resto es 0, se toma el último divisor.