Ejemplo.-Se hará el análisis sísmico modal de un tanque elevado sobre una Se hará el análisis sísmico modal de un tanque elevado sobre una est
estrucructurtura a rereticticulaular r artarticuiculadlada, a, ubiubicadcada a en en la la onona a II II del del D!"D!"!, !, laslas dimensiones de la
dimensiones de la estructura # estructura # del tanque se del tanque se dan en la $i%urdan en la $i%ura a No! &'!No! &'! (sta construcci)
(sta construcci)n *ertenece al %ru*o +n *ertenece al %ru*o +- con estructuraci)n ti*o I! - con estructuraci)n ti*o I! SeSe omiten los cálculos de car%as, así como el dimensionamiento de la omiten los cálculos de car%as, así como el dimensionamiento de la armadura que so*orta al tanque!
armadura que so*orta al tanque!
.lanta de la estructura .lanta de la estructura metálica de so*orte metálica de so*orte
T
Tanque *ara almacenamientanque *ara almacenamientoo de
de a%ua!a%ua!
Figura
Figura No. No. 2424 asease
&!//0&!// m! &!//0&!// m! 1cotaci)n en metros! 1cotaci)n en metros! Peso y masas: Peso y masas: .
.eesso o dde e lla a eessttrruuccttuurra a ''22/// / 33%%ss!!
m m seg seg ton ton Masa Masa 2 2 4587 4587 .. 0 0 981 981 4500 4500 .eso
.eso del del tanque tanque 4&/5 4&/5 3%s!3%s!
m m seg seg ton ton Masa Masa 2 2 6328 6328 .. 0 0 .eso
.eso del del líquido líquido 4672 4672 3%s!3%s!
m m seg seg ton ton Masa Masa 2 2 6315 6315 .. 0 0
equivalentes, se necesitan tambi8n las ri%ideces9
al!ulo "e la rigi"e# "e la es$ru!$ura "e sopor$e.
Se calculara la ri%ide de una armadura *lana, $orma a*ro0imada, em*leándose el m8todo de la car%a virtual unitaria *ara obtener el des*laamiento en la *arte su*erior de la armadura debido a una $uera .! i i i i n i i E A L n N d
1 Donde9d 9 Des*laamiento en el e0tremo libre de la armadura!
i
N 9 "ueras a0iales en las barras debido a la car%a .! i
n 9 "ueras a0iales en las barras debido a la car%a :irtual Unitaria!
i
L 9 ;on%itudes de las barras
i
A 9 <reas de las secciones transversales de las barras!
i
E 9 =odulo de elasticidad de los materiales!
(n la tabla I se anotan las áreas de los *er$iles laminados # las lon%itudes de las barras, res*etando la numeraci)n asi%nada en la $i%ura No! &'!
Calculo de las reacciones verticales en los a*o#os de la estructura debido a la $uera .! 0 6 17 VB A P R M 8333 . 2 VA VB R R
.ara analiar esta armadura # obtener las $ueras a0iales N i se
*ueden usar m8todos %rá$icos, analíticos manuales o em*lear al%>n *ro%rama de com*utadora! ;os valores de las $ueras a0iales, *ara esta estructura isostatica, están anotadas en la cuarta columna de la tabla I, # en la quinta columna se encuentran los valores debidos a la car%a unitaria ?.@6A!
(n la $i%ura No! &2 se ilustran las $ueras a0iales de las barras ?tensi)n o com*resi)nA sobre el esquema de la estructura! Con líneas *unteadas se muestran las $ueras equivalentes em*leadas *ara analiar la estructura!
Se su%iere tomar al%unos nodos ?i, B, %, etc!A # com*robar el equilibrio! (n la tabla I se e$ect>an las o*eraciones # al sumar los valores de la >ltima columna se obtiene el valor del des*laamiento en $unci)n de .!
P A E L n N d i i i i i i 0.41021635 16 1
.or de$inici)n9 Si d 1 P k (rigidez ) cm ton k 1 2.8621 ?.lanaA Ri%ide de la armadura9 cm ton k 5.7242
:alor corres*ondiente al *rimer resorte del modelo!
(n escritos de diversos investi%adores sobre el com*ortamiento dinámico de líquidos en vasos de almacenamientos, se han *resentado resultados de di$erentes estudios! .ara nuestro *roblema, en el ca*itulo 4 del libro de N! =! Nemar3 # (! Rosenblueth ?ver biblio%ra$íaA, en la secci)n +vibraci)n de los líquidos en tanques- se dan e0*resiones *ara calcular las masas equivalentes *ro$undidades # ri%ide del liquido!
Se ha encontrado que en las *resiones de los tanques tiene im*ortancia el oleaBe # se *uede des*reciar la com*resibilidad del a%ua! .ara un tanque rí%ido com*letamente lleno que esta cubierto con una ta*a rí%ida, la masa total del liquido se mueve con el tanque como si se tratase de una masa rí%ida no obstante, cuando se tiene un es*acio *equeo entre la su*er$icie del liquido en las *aredes # el $ondo serán *rácticamente i%uales a las que se *roducirían con su*er$icie libre! Se recomienda estudiar las condiciones del tanque, totalmente lleno # con su*er$icie libre!
Se demuestra que el liquido *uede sustituirse *or masas unidas al tanque mediante resortes lineales # elementos rí%idos, *ara calcular las $ueras horiontales que re*resentan la acci)n resultante de los em*uBes hidrodinámicos!
(l re%lamento de construcciones, en el art! &'2 dice +
.ara tanques rectan%ulares que miden 2 L en la direcci)n del movimiento, los *arámetros que de$inen a la estructura equivalente se obtienen con las si%uientes e0*resiones9
M H L H L Tanh M 7 . 1 7 . 1 0 M L H L H Tanh M 6 . 1 6 . 1 83 . 0 1 0.83 1 1 0 0 M M H H 1 0.833 0.63 0.28 1 2 1 2 1 1 H M ML H L H L M M H H 2 2 1 3 ML H gM k
(n donde9
M 9 =asa del líquido contenida en el tanque!
0
M 9 =asa del líquido considerada unida rí%idamente al tanque!
1
M 9 =asa del líquido unida *or medio de resortes! H 9 .ro$undidad de re*oso del líquido contenido!
0
H 9 (levaci)n de la masa desde el $ondo!
1
H 9 (levaci)n de la masa desde el $ondo! k 9 Ri%ide de los resortes *ara la masa!
L 9 Dimensi)n de la base del tanque en la direcci)n del movimiento!
g 9 Constante de %ravedad! 33 . 1 00 . 2
Si se considera en los cálculos momentos hidrodinámicos del $ondo del tanque! 00 . 0 00 . 1
Si solamente im*ortan los e$ectos de *resiones hidrodinámicas en las *aredes del reci*iente!
Substitu#endo valores9 .ara 0.00E 1.00E H 2.00m.E L 1.00m. # m seg ton M 2 6315 . 0 m seg ton M M L L Tanh M 2 0 0.813 0.5134 0 . 2 7 . 1 0 . 2 7 . 1 m seg ton M M x x Tanh M 2 1 0.2585 0.1632 0 . 1 0 . 2 6 . 1 0 . 1 0 . 2 6 . 1 83 . 0 . 76 . 0 0 . 2 38 . 0 0 x m H . 499 . 1 1 2 2585 . 0 28 . 0 0 . 2 0 . 1 0 . 1 63 . 0 0 . 2 0 . 1 2585 . 0 33 . 0 1 0 . 2 2 2 1 m Mx M x M M H . 4837 . 2 93315 . 3 ) 0 . 1 ( 2 ) 2585 . 0 ( 81 . 9 3 2 2 2 m ton M M x M x k
=asa considerada de la estructura9
m seg ton M 2 229 . 0
al!ulo "e los mo"os "e Vi(ra!i)'.
Se *rocederá a calcular los modos de :ibraci)n, las $recuencias # los *eriodos! Usando el *rocedimiento que se e0*uso en el ca*itulo :! Idealiaci)n de la estructura *ara el análisis dinámico9
' 0 m m1 K k =atri de ri%ideces9 024837 . 0 024837 . 0 024837 . 0 74905 . 5 k 001632 . 0 0000 . 0 0000 . 0 013752 . 0 m 0 001632 . 0 024837 . 0 024837 . 0 024837 . 0 013752 . 0 74905 . 5 2 2 2 m k ($ectuando o*eraciones!
2 2 433.27048
2 6334.73919 0Resolviendo la ecuaci)n cuadrática, encontramos las $recuencias de vibraci)n9 1505 . 15 2 1 seg rad 892 . 3 2 1 1199 . 418 2 2 seg rad 447 . 40 2 2 .eriodos de :ibraci)n9 . 614 . 1 2 1 1 seg T . 307 . 0 2 2 2 seg T
1 continuaci)n se em*leara esta ultima e0*resi)n +U ir -, *ero antes
obtendremos las ordenadas del es*ectro de aceleraciones de diseo *ara la ona IIIa! (sto es9
*O NA
! ao Ta+ T(+ r
; ) ( 0 0 a T T a c a a si T G Ta ; c a si Ta H T H Tb ; qc a si T Tb
.rimer modo T 1 0.671 seg entonces utiliamos9 a c;
Sustitu#endo valores, tenemos9
40 . 0
a
(ste valor se *uede obtener de la %ra$ica de es*ectros de aceleraciones, *a%ina '!
Se%undo modo T 2 0.245 seg . a 0.239
Tercer modo T 3 0.163seg . a 0.192
Cuarto modo T 4 0.137 seg . a 0.178
Calculo de los coe$icientes de *artici*aci)n +C r -!
3889 . 0 ) 29 . 3 306 . 0 ( ) 888 . 2 408 . 0 ( ) 016 . 2 408 . 0 ( ) 00 . 1 408 . 0 ( ) 29 . 3 306 . 0 ( ) 888 . 2 408 . 0 ( ) 016 . 2 408 . 0 ( ) 00 . 1 408 . 0 ( 2 2 2 2 1 x x x x x x x x c 3321 . 0 ) 2017 . 1 306 . 0 ( ) 1022 . 0 408 . 0 ( ) 1219 . 1 408 . 0 ( ) 00 . 1 408 . 0 ( ) 2017 . 1 306 . 0 ( ) 1022 . 0 408 . 0 ( ) 1219 . 1 408 . 0 ( ) 00 . 1 408 . 0 ( 2 2 2 2 2 x x x x x x x x c 1674 . 0 ) 0033 . 1 306 . 0 ( ) 0753 . 1 408 . 0 ( ) 1835 . 0 408 . 0 ( ) 00 . 1 408 . 0 ( ) 0033 . 1 306 . 0 ( ) 0753 . 1 408 . 0 ( ) 1835 . 0 408 . 0 ( ) 00 . 1 408 . 0 ( 2 2 2 2 3 x x x x x x x x c 1101 . 0 ) 427 . 0 306 . 0 ( ) 828 . 0 408 . 0 ( ) 159 . 1 408 . 0 ( ) 00 . 1 408 . 0 ( ) 427 . 0 306 . 0 ( ) 828 . 0 408 . 0 ( ) 159 . 1 408 . 0 ( ) 00 . 1 408 . 0 ( 2 2 2 2 4 x x x x x x x x c
Dividiendo cada coe$iciente entre su $recuencia al cuadrado corres*ondiente # llamándole r , obtenemos los si%uientes valores9
004428 . 0 1 0005047 . 0 2 0001124 . 0 3 00005214 . 0 4
1hora #a *odemos substituir sim*lemente las cantidades anteriores9
. 46201 . 1 ) 00 . 1 )( 004428 . 0 )( 981 )( 337 . 0 ( 11 cm U
:eamos la in$luencia que tienen los modos en su *artici*aci)n, indicándolo en *orcentaBes9 5 5 4 3 2 1 10 (442.7 50.71 11.22 5.33) 509.96 10
r x .ara el *rimer modo9% 85 . 86 100 96 . 509 70 . 442 1 x i
.ara los modos su*eriores9
% 9 . 9 2 i % 2 . 2 3 i % 05 . 1 4 i
Como *uede observarse la in$luencia ma#or es la del *rimer modo, *or lo cual deberán tomar en cuenta los *rimeros modos,
al!ulo "e las uer#as !or$a'$es ssmi!as.
;as $ueras cortantes sísmicas en cada entre*iso, *ara cualquier modo, *ueden obtenerse como el *roducto de la ri%ide del entre*iso *or el des*laamiento relativo de dicho entre*iso!
.ara evaluar las $ueras sísmicas, es necesario considerar la reducci)n *or ductilidad, que al res*ecto se ha establecido!
; ' ! ! Si se desconoce T, o si T J Ta 1; 1 ' ! T T ! a Si TG Ta
.ara este *roblema tomamos K@F, que de*ende del ti*o de estructura, de los materiales a usar # de al%unos detalles de diseo # construcci)n!
Como el *eriodo $undamental es menor que T6, tenemos9
a T seg T 1 0.671 3 ' !
(ste $actor, es el divisor de las ordenadas de los es*ectros de aceleraciones de diseo, lo consideramos hasta este *unto *orque en el re%lamento se estableceE que los des*laamientos no deben dividirse entre dicho $actor! Desde lue%o, estas dis*osiciones se basan en investi%aciones!
;as res*uestas modales, se combinan de acuerdo a la e0*resi)n dada9
2 12 ' 1 i i r ! V Sustitu#endo valores9 438.604 27.824 5.20 2.328 174.15 . 3 1 2 2 2 2 1 ton V . 02 . 153 2 ton V . 70 . 111 3 ton V . 26 . 52 4 ton V La se ha mencionado la %ran *artici*aci)n del modo $undamental, no obstante, en el re%lamento se considera que deberán tomarse cuando menos tres modos de vibraci)n!
Se considera conveniente hacer las si%uientes observaciones9 la e0*resi)n anterior *ara combinar e$ectos modales es válida *ara casos en donde los *eriodos de vibraci)n están claramente di$erenciados unos de otros! (n caso contrario deberá a*licarse otra e0*resi)n, *resentada *or el Dr! (! Rosenblueth en el trabaBo +sobre la res*uesta sísmica de estructuras de com*ortamiento lineal- ?6745A! Tambi8n se hace la si%uiente aclaraci)n res*ecto a la su*er*osici)n
modal, en donde se *ide que las res*uestas modales ?$ueras cortantes, de$ormaciones, momentos de volteo, etc!A se combinen de acuerdo a la e0*resi)n #a mencionadaE si se su*er*onen directamente los des*laamientos relativos # a *artir de los nuevos des*laamientos se obtienen las $ueras cortantes sísmicas, estos valores di$ieren de los valores obtenidos como se hio en este eBem*lo *or lo que se recomienda se ha%a en esta $orma! (l *roblema anterior se debe a que el criterio de combinaci)n no es una trans$ormaci)n lineal entre las contribuciones modales!
tener en los niveles su*eriores considerable in$luencia al%uno de los modos su*eriores!
