GUIA No. 6
TEMAS A TRABAJAR:
Distribuciones Discretas de Probabilidad Distribución Normal de Probabilidad
ENCUENTRO VIRTUAL PARA LA CLASE NO PRESENCIAL
Los encuentros virtuales se realizan utilizando la herramienta TEAMS de Microsoft, esta herramienta está vinculada al correo institucional, por lo que es imprescindible que lo usen. A sus correos les llega recordatorio para ingresar a la clase.
ACTIVIDADES DE TRABAJO INDEPENDIENTE
Material de consulta
Variables aleatorias discretas y continuas
Distribuciones de probabilidad discretas
Tabla de la distribución Normal estándar
Uso de la tabla de distribución Normal estándar
ARCHIVO A ENTREGAR:
El trabajo debe entregarse, de manera organizada, con buena presentación. El trabajo se puede entregar en GRUPO
De los ejercicios propuestos, cada grupo debe entregar:
- Un (1) ejercicio sobre valor esperado y variable aleatoria discreta - Un (1) ejercicio sobre distribución binomial
- Un (1) ejercicio sobre distribución binomial negativa o geométrica - Un (1) ejercicio sobre distribución hipergeométrica
- Un (1) ejercicio sobre distribución Poisson - Un (1) ejercicio sobre distribución normal - Dos (2) estudios de caso (A, B, C, D, E)
TALLER
A.- Variable aleatoria discreta y Valor Esperado
1.- En una lotería se venden 200 boletos, de los cuales uno gana $500.000, 2 son ganadores de $100.000, siete son ganadores de $50.000, cinco son ganadores de $20.000 y cincuenta de $5.000. Sea X la variable aleatoria que representa la ganancia del jugador, Determinar la función de probabilidad y el valor esperado del juego.
$80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Encuentre la función de probabilidad f (X) y, determine el valor esperado de X.
3.- Una variable aleatoria X representa el número de fallas que puede tener un estudiante que está asistiendo a un curso en la universidad. La tabla presenta la función de probabilidad de la variable aleatoria.
X 1 2 3 4 5
f (x) 0.01 0.60 0.22 0.15 0.02
4.- Una urna contiene 4 balotas con los números 1, 3, 5 y 7 respectivamente. Si se toman dos bolas de la urna sin sustitución y X representa la suma de los números de las dos balotas extraídas. Determine la función de probabilidad f(X) y el valor esperado E(X) de la variable aleatoria
ESTUDIO DE CASO A1
Una empresa nueva de buses del Sistema Integrado de Transporte de Bogotá (SITP) ha comenzado a dar servicio en un nuevo barrio. Se ha registrado el número de usuarios que hay en este barrio en el servicio a primera hora de la mañana (5:00 a.m.).
X: número de usuarios 0 2 3 5 6 8 10 12 15
f(x) 0.02 0.05 0.12 0.18 0.13 0.16 0.14 0.12 0.08
Si X es la variable que representa el número de usuarios que la empresa debe atender a la hora de inicio del servicio, con base en esta información y haciendo uso de los conceptos de variables aleatorias discretas y función de probabilidad, responda las siguientes preguntas:
1. Probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente haya exactamente seis usuarios del barrio esperando el servicio
2. Probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente haya más de seis usuarios del barrio esperando este servicio
3. Probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente haya máximo seis usuarios del barrio en este servicio
4. Con base en estos resultados, redacte un breve resumen de sus hallazgos para la empresa
B.- Distribuciones Discretas: Binomial, Binomial Negativa y Geométrica
1.- Según datos de la secretaria de movilidad, el 23% de los conductores de buses urbanos manejan con imprudencia. Calcule la probabilidad de que cuatro de los próximos 10 buses que pasen sean conducidos con imprudencia.
2.- La oficina de atención al usuario de un banco determino que aproximadamente el 75% de las personas llenan bien el formato de solicitud para un crédito bancario. Si se revisan 10 solicitudes. Determine la probabilidad de que se encuentren máximo 2 que estén mal diligenciadas.
3.- Al revisar un autobús de turistas, un agente de migración sabe que el 80% de los ocupantes son extranjeros. ¿Cuál es la probabilidad de que el noveno turista al azar sea el sexto extranjero que entrevista?
4.- El futbolista Falcao convierte en gol el 40% de los tiros libres que ejecuta. Determine la probabilidad de que el décimo tiro libre que cobre en las eliminatorias para el mundial sea el tercero que convierta en gol
5.- En el metro de la ciudad de México, los trenes deben detenerse solo unos cuantos segundos en cada estación, pero por razones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de varios minutos. La probabilidad de que el metro se detenga en una estación más de tres minutos es de 0,20. Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estación desde que un usuario lo abordo?
ESTUDIO DE CASO B 2
La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia.
Un estudio del Departamento de Transporte de Illinois concluyó que 78.5% de quienes ocupaban los asientos delanteros de los vehículos utilizaba cinturón de seguridad. Esto significa que los dos ocupantes de la parte delantera utilizaban cinturones de seguridad. Suponga que decide comparar la información con el uso actual que se da al cinturón de seguridad, para lo cual selecciona una muestra de 8 vehículos.
Usando sus conocimientos sobre distribuciones discretas de probabilidad, y la distribución binomial responda las siguientes preguntas:
1. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera en exactamente 5 de los 8 vehículos seleccionados utilicen cinturones de seguridad
2. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de por lo menos 5 de los 8 vehículos utilicen cinturón de seguridad
3. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de máximo 5 de los 8 vehículos utilicen cinturón de seguridad
4. Número de vehículos esperado en los que los ocupantes de la parte delantera utilizan el cinturón de seguridad.
C.- Distribuciones Discretas: Hipergeométrica
1.- Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepte sin inspección adicional, si contiene ocho calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo
2.- Un inspector de aduanas decide revisar 2 de 6 embarques provenientes de Madrid por la vía aérea. Si la selección es aleatoria y 3 de los embarques contienen contrabando. Cuál es la
probabilidad de que el inspector encuentre que los 2 embarques llevan contrabando. ¿Cuál es la probabilidad que encuentre máximo 1 embarque con contrabando?
3.- Una mesera verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes de entre 10 estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar las identificaciones se rehúse a servir las bebidas alcohólicas pues tres de ellos no tienen la edad legal para comprar bebidas alcohólicas
ESTUDIO DE CASO C3
Baloto es un juego novedoso de tipo loto en línea, de suerte y azar, donde el jugador elige 5 números del 1 al 43 y una súper balota con números del 1 al 16 a través de una terminal de venta. El juego consiste en acertar 5, 4 o 3 números en cualquier orden de una matriz del 1 al 43 y otro número (superbalota) del 1 al 16.
El jugador señala en un tarjetón los 6 números que escoge. Los números están representados en 43 balotas amarillas numeradas del 1 al 43 y 16 balotas rojas numeradas del 1 al 16. Cada número aparece una sola vez y las balotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. El premio acumulado se entrega a quien haga coincidir los seis números. En la tabla aparecen las opciones para ganar
Usando sus conocimientos sobre distribuciones discretas de probabilidad, y la distribución hipergeométrica, responda:
1. Probabilidad de obtener el “Gran acumulado” con los 6 números (5 números del 1 al 43 y la súper balota).
2. El sorteo también otorga otros premios (ver tabla). Presente la probabilidad de obtener alguno de los premios que incluyen acertar la súper balota.
3. Presente la probabilidad de obtener alguno de los premios que no incluyen acertar la súper balota.
4. La empresa encargada del sorteo informa que, Hasta el sorteo anterior, la posibilidad de “pegarle al gordo” era de 1 en 8 millones, mientras que ahora será de 1 en 15 millones. Explique esta afirmación.
5. Con base en los resultados obtenidos, ¿usted invertiría dinero en el BALOTO?.
D.- Distribuciones discretas: Poisson
1.- En la inspección del pavimento y el asfalto de una calle de una zona lujosa de Bogotá, se determinó que hay aproximadamente un hueco cada cuatro kilómetros, por lo que el número de
huecos promedio por kilómetro es de 0,25. Encuentre la probabilidad de que en un tramo cualquiera de dos kilómetros de pavimento se detecte máximo un hueco.
2.- El propietario de una farmacia local sabe que, en promedio, llegan a su farmacia 8 personas cada hora. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 30 minutos entren más de 3 personas a la farmacia
3.- Un estudio sobre las filas en las cajas registradoras de un supermercado reveló que, durante un cierto periodo, en la hora más pesada, el número de clientes en espera era en promedio de cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que durante ese periodo no haya clientes esperando?
ESTUDIO DE CASO D4
La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos.
La compañía de aviación Delta Airlines, se caracteriza por su responsabilidad y cuidado con el equipaje de sus pasajeros, por lo que pocas veces se pierde equipaje. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres, etc. Suponga que una muestra aleatoria de 1 000 vuelos arroja un total de 400 maletas perdidas. De esta manera, el número promedio de maletas perdidas por vuelo es de 0.4.
Usando la distribución de Poisson responda:
1. Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo no se pierda ninguna maleta 2. Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierda exactamente una maleta 3. Determine cuál es la probabilidad de que en un vuelo se pierdan entre dos y cuatro maletas 4. Podría establecer cuál es la probabilidad de que se pierdan en un vuelo más de cuatro maletas 5. ¿En qué momento debe sospechar el supervisor de la Aerolínea que en un vuelo se están
perdiendo demasiadas maletas?
E.- Distribución Normal
1.- El tiempo promedio que cierto usuario de Internet emplea en leer y escribir mensajes por e-mail es de 30 minutos diarios, con una desviación estándar de 10 minutos. Si se supone que el tiempo empleado tiene una distribución normal,
a.- ¿cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera dicha persona pase menos de 10 minutos leyendo y escribiendo mensajes electrónicos?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que pase más de 12 minutos, pero menos de 15 leyendo y escribiendo mensajes?
2.- La duración de un tanque lleno de gasolina, para cierto automóvil de modelo anticuado, tiene una distribución normal con una media de 350.6 Km y una desviación estándar de 15.9 km. ¿Cuál es la probabilidad de que el tanque lleno dure más de 360 Km?
3.- Una empresa ha encontrado que las duraciones de sus llamadas telefónicas tienen una distribución normal con media tres minutos y desviación estándar de 1,8 minutos. a.- En qué proporción las llamadas tendrían una duración de más de dos minutos, pero menos de tres y medio minutos. b.- Si una secretaria va a realizar una llamada cual es la probabilidad de que la llamada dure más de cinco minutos
4.- Un empleado viaja todos los días de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con una desviación estándar de 3,8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente a.- ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje le tome al menos media hora?
b.- Si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45 am ¿Qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo?
c.- Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café?
ESTUDIO DE CASO E5
El Coeficiente intelectual C.I. de un individuo es medido en una escala que va de 45 a 155. Un C.I. de 100 es el promedio. En la figura siguiente se puede ver que la mayoría de la población tiene el C.I. alrededor de 100. Existen menos personas que tienen el CI menor a 85 y muy pocos tienen el CI por encima de 115.
Una empresa que recluta personal para multinacionales, aplica un test de inteligencia a todos los posibles candidatos. Una persona que
desea ser contratada, acaba de presentar el test y le informan que ha obtenido C.I. igual a 95.
Asumiendo que las puntuaciones en un test de inteligencia se distribuyen normalmente y sabiendo que las puntuaciones CI tienen promedio 100 y desviación estándar 15, usted debe presentarle un informe acerca de sus resultados. Usando sus conocimientos sobre la distribución de probabilidad normal, responda las siguientes preguntas
1. Porcentaje de personas que podrían tener un C.I. inferior o igual a 95. 2. Porcentaje de personas podrían tener un C.I. superior a 95.
3. Probabilidad de que una persona tenga un C.I. entre 85 y 90
4. Con base en los resultados obtenidos, que podría concluir la empresa con relación al puntaje del coeficiente intelectual.
