Actividades Sesión 9b-1

A

S

9

PROF. ISRAEL SÁNCHEZ LINARES 07 de enero de 2012

DE : JOSÉ WENCESLAO BRIONES OROPEZA

- Debe elaborarse por binas incluyendo todos los procesos de resolución de manera detallada y con precisión en los resultados, agregar la argumentación del proceso de la solución mejora la calificación. Como fecha límite de envío considera el miércoles 11 de enero de 2012 a través de la plataforma en el apartado de actividades. No se aceptarán trabajos escaneados.

Combinatoria Pa’ Recordar:

1.- Escriba una definición de combinatoria.

Entre las subdivisiones más comunes se encuentran las siguientes.

Combinatoria enumerativa

La combinatoria enumerativa o enumeración estudia los métodos para contar (enumerar) las distintas configuraciones de los elementos de un conjunto que cumplan ciertos criterios especificados.

Esta fue una de las primeras áreas de la combinatoria en ser desarrollada, y como otras áreas más recientes se estudian sólo en cursos especializados, es común que se haga referencia a esta subárea cuando se menciona

combinatoria en entornos escolares.

Ejemplo.

Considérese el conjunto S = {A,E,I,O,U}. Podemos imaginar que estos elementos corresponden a tarjetas dentro de un sombrero.

 Un primer problema podría consistir en hallar el número de formas diferentes en que podemos sacar las tarjetas una después de otra (es decir, el número de permutaciones del conjunto).

Por ejemplo, dos formas distintas podrían ser: EIAOU o OUAIE.

 Después, se puede preguntar por el número de formas en que se puede sacar sólo 3 tarjetas del sombrero (es decir, el número de 3-permutaciones del conjunto).

En este caso, ejemplos pueden ser IOU, AEI o EAI.

Aquí, consideraríamos AOU y UAO como un mismo resultado.

 Otro problema consiste en hallar el número de formas en que pueden salir 5 tarjetas, una tras otra, pero en cada momento se regresa la tarjeta escogida al sombrero.

En este problema los resultados posibles podrían ser EIOUO, IAOEU o IEAEE.

La combinatoria enumerativa estudia las técnicas y métodos que permiten resolver problemas anteriores, así como otros más complejos, cuando el número de elementos del conjunto es arbitrario. De esta forma, en el primer ejemplo la generalización correspondiente es determinar el número de formas en que se pueden ordenar todos los elementos de un conjunto con n elementos, siendo la respuesta el factorial de n.

Combinatoria extremal

El enfoque aquí es determinar qué tan grande o pequeña debe ser una colección de objetos para que satisfaga una condición previamente establecida;

Ejemplo.

Considérese un conjunto S. con n elementos. A continuación se empieza a hacer un listado de subconjuntos de tal manera que cualquier pareja de subconjuntos del listado tenga algún elemento en común.

Para clarificar, sea S = {A,B,C,D} y un posible listado de subconjuntos podría ser

Conforme aumenta el listado (y dado que hay una cantidad finita de opciones), el proceso se hace cada vez más complicado. Por ejemplo, no podríamos añadir el conjunto {A, D} al listado pues aunque tiene elementos en común con los últimos 3 subconjuntos del listado, no comparte ningún elemento con el primero.

La pregunta sobre qué tan grande puede hacerse el listado de forma que cualquier pareja de subconjuntos tenga un elemento en común es un ejemplo de problema de combinatoria extremal (o combinatoria extrema). La respuesta a este problema es que si el conjunto original tiene n elementos, entonces el listado puede tener como máximo 2n − 1 _{subconjuntos.}

2.- Calcule el factorial de los diez primeros números naturales.

Factorial de un número equivale a multiplicar ese número por todos los números que le preceden hasta llegar al uno.

1! = 1x1 = 1 8! = 40320=8x7x6x5x4x3x2x1

2! = 2x1 = 2 9! = 362,880= 9x8!

3! = 6 = 3x2x1 10! = 3,628,800= 10x9!

5! = 120=5x4x3x2x1 6! = 720=6x5x4x3x2x1 7! = 5040

3.- Simplifique las siguientes expresiones con factoriales:

a) b)

4.- Calcule los siguientes números combinatorios:

a) b)

c) d)

5.- Compruebe algunas de las propiedades de los números combinatorios:

a) b)

(

n

n

−

1

)

=

n

c)

(

n

0

)

=1

(

n

1

)

=

n

e)

f)

Pa’ Identificar:

En los siguientes problemas aplica el Principio de la Suma o de la Multiplicación:

1. Un juego educativo contiene figuras con forma de triángulos, cuadrados y círculos, en dos tamaños, grandes y pequeñas, y en cuatro colores, amarillo, azul, rojo y verde. ¿Cuántas figuras distintas hay? Ilustra tu respuesta.

3 x 2 x 4 = 24

Tres representa a la forma de las figuras ; 2 representa a los tamaños, grandes y pequeñas y los colores disponi-bles. Lo anterior puede ser representado y comprendido en un diagrama de árbol.

2. El sistema de matriculación español consiste en tres consonantes y un número de cuatro cifras. ¿Cuántas matriculas distintas se pueden formar? ¿Cuántas matriculas distintas se pueden formar si en lugar de 3 constantes se utilizan 3 vocales? En cada caso, si no se permiten ni letras ni números repetidos, ¿Cuántas matriculas se pueden formar?

21x20x19x10x9x8x7 = 40,219 200 matrículas

Si en lugar de consonantes se usan vocales y éstas NO se pueden repetir 5x4x3x10x9x8x7 = 302400 matrículas

3. ¿Cuántos números capicúas hay de dos cifras? ¿Cuántos números capicúas hay de tres cifras? De 2 cifras existen 9 x 1 = 9 números capicúas (11,22,33,44,55,66,77,88,y 99)

De 3 cifras existen 9 x 10 x 1 = 90 números capicúas

El primer 9 representa las 9 diferentes posibilidades ( del 1 al 9) ; el 10 representan todos los dígitos posibles, es decir del 0 al 9 y el último dígito, el 1 representa el número elegido entre las 9 posibilidades.

¿De cuántas formas se puede obtener múltiplo de 4? ¿De cuántas múltiplo de 6?

¿Y múltiplo de 4 y 6? ¿Y múltiplo de 4 ó 6?

Las posibles combinaciones son (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),(2,6),(3,1), (3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), (5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5) y (6,6), es decir un total de 36 formas

a) Formas de obtener múltiplos de 4: (1,3), (2,2), (2,6), (3,1), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) y (6,6), es decir 9 formas de 36. En términos de probabilidad 25%

b) Formas de obtener múltiplos de 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) y (6,6) c) Formas de obtener múltiplos de 4 y 6: solamente (6,6)

d) Formas de obtener múltiplos de 4 o 6: 14 formas

6. Una urna contiene 100 bolas numeradas de la forma: 00, 01, ... 98, 99. Se saca una bola al azar, sea M la primera cifra y N la segunda. Determinar en cuántos casos se pueden dar las siguientes situaciones:

a) M = 3 : 30,31,32,33,34,35,36,37,38,39 10 formas b) N = 4 : 04,14,24,34,44,54,64,74,84 y 94 10 formas

c) M ≠ N : 100 – (00,11,22,33,44,55,66,77,88 y 99), es decir de 90 formas d) M > N :

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/principios.htm

Combinatoria Sesión 7

- Variaciones sin repetición o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n)son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por Vm,n. (n≤m).

2. Con los elementos del conjunto A = {a, e, i, o, u}, construir todas las variaciones sin repetición de orden 2

(a,e),(a,i),(a,o),(a,u),(e,a),(e,i),(e,o),(e,u),(i,a),(i,e),(i,o),(i,u),(o,a),(o,e),(o,i),(o,u),(u,a),(u,e),(u,i),(u,o) Que confirma el resultado del ejercicio anterior.

3. ¿Cuántas elecciones distintas de delegado(a) y subdelegado(a) se pueden realizar en una clase de 25 alumnos(as)?

Corresponde a V 25,2

Que calculando según el procedimiento anterior tenemos 600 formas distintas.

- Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por VRm,n.

VRm,n = mn

1. Calcula: a) VR4, 2

b) VR2, 4

2. Con los elementos del conjunto A = {a, b, c, d}, construir todas las variaciones con repetición de orden 2. Aa,ab,ac,ad,ba,bb,bc,bd,ca,cb,cc,cd,da,db,dc,dd

3. Con los elementos del conjunto A = {4, 7}, construir todas las variaciones con repetición de orden 4. 4444,4447,4477,4777,

- Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn.

Pn = Vn,n = n · (n-1) · · · (n-n+1) = n!

1. Calcula: P4 4! = 24

2. Con los elementos del conjunto A = {2, 4, 6, 8}, construir todas las permutaciones sin repetición de orden 4. 2468,2486,2684,2648,2846,2864,4682,4628,4826,4862,4268,4286,6248,6284,6482,6428,6824,6842,8246,826 4,

8468,8486,8624 y 8642

3. En una asignatura optativa de primer curso de Bachillerato hay matriculados tres alumnos y seis alumnas. Un día de corrección de ejercicios, cada uno realiza uno en la pizarra.

9! = 362880

b) ¿De cuántas formas si los alumnos salen de forma consecutiva?

3! 6! = 4320 formas

- Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el

segundo se repite n2 veces ... y el último se repite nk veces son los distintos grupos de n elementos que se

pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pnn1,n2,...,nk.

1. Una persona intenta recordar una clave de seis letras que ha olvidado, aunque recuerda que estaba formada utilizando dos veces cada una de las iniciales de su nombre "abc". ¿Cuántas posibilidades tiene?

2. ¿Cuántas palabras con o sin significado se pueden construir con las letras de la palabra ISOMORFISMO?

- Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Cm,n. (n≤m).

1. Calcula: C5, 3 5C3 = 10

2. Con los elementos del conjunto A = {1, 3, 5, 7,9}, construir todas las combinaciones sin repetición de orden 3.

3. En un grupo de amigos hay cinco hombres y seis mujeres. Cuatro de estas personas van a un supermercado cercano a comprar refrescos.

a) ¿De cuántas formas se pueden elegir las cuatro personas que van a realizar la compra? 11C4 = 330 formas

b) ¿Y si tienen que ir dos hombres y dos mujeres? 5C2 x 6C2 = 10 x 15 = 150 formas

- Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CRm,n.

1. Calcula: a) CR3,3

2. Con los elementos del conjunto A = {3, 6, 9}, construir todas las combinaciones con repetición de orden 3.