Teoria errores 0506.pptx

ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICAS

•

_{Clasificación:}

•

_{Errores sistemáticos}



_{defectos intrínsecos}

•

_{Errores accidentales}



_{causas fortuitas,}

tratamiento estadístico

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA





   



 _



 ₂ 2

2 exp

2 1







x x

y



68.27%



2



95.45%



3



99.73%

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0

N x x

N

i i   1

2

) (

DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0

x

 = 0.5

 = 1.0

68.27%

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala del aparato

SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escala que

recorre el indicador del aparato cuando la magnitud a medir varía en una unidad.

Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada; 0.01 A en cierto amperímetro

Ejemplos.: 1 mm –1 _{en la regla milimetrada.}

100 A–1 en el amperímetro.

Umbral de sensibilidad:

CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA

FIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar el mismo

resultado siempre que se mide la misma magnitud física en las mismas condiciones experimentales y distintas

condiciones ambientales del aparato (temperatura, tensión de alimentación, ...).

PRECISIÓN: Es la característica que nos indica globalmente

el error debido al umbral de sensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.

De todas estas características, la precisión es la que más completamente indica el error de la medida debido

intrínsicamente al aparato, es decir, que no puede rebajarse salvo que midamos con un aparato más preciso

Hay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato, pero que pueden corregirse mediante calibrado, es decir, ajustándolos para que den medidas

correctas o corrigiendo sus escalas tras una confrontación con un patrón o un aparato más preciso. Debido a esta circunstancia, es necesario definir otra cualidad.

EXACTITUD: Es la cualidad de un aparato que indica que es preciso y está bien calibrado. Sólo un aparato exacto

permite medidas exactas, pero la exactitud está siempre limitada por la precisión del aparato.

El error más típico que afecta a la exactitud de los aparatos es el

“error de cero”. Causado por un defecto de ajuste del aparato, este da una lectura distinta de cero

cuando lo que mide vale cero. Es fácilmente corregible reajustando el aparato o corrigiendo

numéricamente las lecturas en la cantidad en que difieren el cero real y el de la escala.

7 mV

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

•

_{El número de cifras significativas de una}

medida es el número de dígitos fiables que

dicha medida contiene.

•

_{Ejemplo “dudoso”: tiempo que tarda la luz en}

recorrer UN MILLÓN de kilómetros...

s c

x

t 3.3333333333

10 3

10

5 6

 



CIFRAS SIGNIFICATIVAS (2)

•

_{Los ceros a la izquierda no son significativos,}

indican la colocación del punto decimal; así,

0.000345 tiene TRES cifras significativas.

•

_{Los ceros a la derecha y después del punto}

CIFRAS SIGNIFICATIVAS (3)

•

_{En números enteros terminados en ceros,}

éstos pueden ser significativos o no; debe

distinguirse si sólo sirven para localizar el

punto decimal o son parte de la medida:

3·10

kg



UNA cifra significativa

3.0·10

kg



DOS cifras significativas

3.00·10

kg



TRES cifras significativas

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS











i i

x

N

x

x

N

x

1 2

1

1

...)

(

1

•

_{Error del aparato}

•

Serie de medidas:

Error cuadrático

medio

)

1

(

)

(

1

2











N

N

x

x

x

N

i i

N

x



Resolución



ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

•

_{Error absoluto:}

sensibilidad

•

_{Error relativo:}

precisión

Determinación del error absoluto:

comparamos el error debido a la sensibilidad con el error cuadrático medio. Se toma la mayor de ambas cantidades. Se expresa con una sola cifra significativa, salvo si esta es 1, en cuyo caso se admiten dos cifras significativas.

x





_x

x

Determinación del error relativo:

EJEMPLO 1: Medida de una longitud

Sensibilidad:

Error cuadrático medio: 10

1 .

0 _

L  3.1622777102 mm

mm 10

7610149 .

4  2

 L

Valor aceptado:

L





L



(

635

.

64



0

.

05

)

mm

Media aritmética:

mm 6400 .

635

 L

L (mm)

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

•

_Magnitud

_x

_{que se determina a través de la}

medida de otras con las que mantiene una

relación funcional

)

,...

,

(

x

x

x

x

x



Ley de propagación del error de Gauss

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

•

_{La ley de propagación de Gauss nos da el}

valor medio del error absoluto de la

magnitud medida en forma indirecta

Ejemplo 2. Valor promedio del error

•

_{Determinación de la focal de una}

lente por el método de Bessel.

L

d

L

f

4

'





d

Imagen

Posición 1 Posición 2

L

Ejemplo 2 (cont.)

L

d

L

f

4

'





VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)

•

Si supusiéramos que cada variable

x

es la

única que influye en el error

i i i i

x

x

x

x

x

x

x































El error máximo en la medida indirecta será la suma de los términos de error individual

N N Máximo

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























...

2 1

CASO PARTICULAR 1: productos

•

_{La función consta exclusivamente de}

productos y/o cocientes

n N b

a

_x

_x

x

x







...



Derivadas parciales 1 1 x x a x

x _{ }

  2 2 x x b x

x _{ }

  N N x x n x

x _{ }

 

Error máximo (expresado como error relativo)

CASO PARTICULAR 1: productos

•

_{Fórmula de los logaritmos neperianos}

N

x

Ln

n

x

Ln

b

x

Ln

a

x

Ln











...





N N

x

dx

n

x

dx

b

x

dx

a

x

dx

_

_

_

_

_

_

_

Ejemplo 3. Error en aumento lateral

•

_{Formación de imagen real por lente convergente}

y

y’

Objeto: y = 16±1 mm Imagen: y’ = -12±1 mm

75 . 0 16 12 ' _{ } _   y y m 15 . 0 1458 . 0 0625 . 0 0833 . 0 16 1 12 1 ' ' _  _{     }    y y y y m m 11 . 0 15 . 0 75 .

0  



CASO PARTICULAR 2: error en la media

•

_{Cálculo del error en la media empleando la ley}

de propagación de Gauss.

• Consideramos x₁, x₂,... x_N (las N medidas realizadas de una

magnitud, cada una afectada de un error individual x₁,

x₂,...x_N), como medidas directas a partir de las cuales se obtendrá la media como medida indirecta, siendo la relación funcional entre ellas







i i

x

N

x

1

CASO PARTICULAR 2: error en la media

•

_{Propagación de Gauss: valor medio del error}

       _         _        _ 

 1 ₁ 2 1 ₂ 2 ... 1 x_N 2 N x N x N x           1 x₁ 2 x₂ 2... x_N 2

N       N x N x x x N RMS N _ 

     

 1 1 2 2 2 ... 2

CASO PARTICULAR 2: error en la media

•

_{Propagación de Gauss: valor máximo del error}































N

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

...

2 1

1 máx



x

x

x



N















1

...

26

EJEMPLO 4. Error en medida indirecta

• _{Determinación de la distancia b entre surcos consecutivos de una red de}

difracción. Los diversos valores de b e b se han calculado en nm usando como fuente luminosa un láser He-Ne.

•

_Media

_b

_{= 3380}

nm

•

Media



b

= 28.3

nm

•



b

= 29.2 nm

•

_{N = 6}

•



_b

_=29.2/



_{6=12 nm}

(valor medio del

error)

•



b

=28.3



30 nm

(error máximo)

3370 20

3370 20

3370 30

3390 30

3390 30

3390 40

b _b

338012 nm

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

0

 



m

S _0

  b S       N i i N i i y x b aN 1 1

(x_i,y_i)

y = b+mx y_i -b-m x_i









 N

i i i

mx

b

y

S

)

(

CRITERIO: Minimizar S AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

(Ajuste lineal)         N

MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal de N puntos)

       

 _{2 2}

x N x xy N y x m        

 _{2 2} 2

x N x x y xy x b N x

x   



N y

y  

 2 2 2

x y m 

   

 2 2 2      x x N N

m  _{2  2}

2 2       x x N x b 

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

Coeficiente de correlación

  __    _          2 2 2

2 1 1 _y

MÍNIMOS CUADRADOS (Ejemplo)

0 10 20 30 40 50 60 70

0 10 20 30 40 50 60

x

y

x x y y

50 2 10 2 40 2 21 2 30 2 31 2 20 2 43 2 10 2 54 2

09 . 0 10 .

1 

 

m

3

65



b

99967 .

0

 

r

b mx y  

S x Sx S y S y S xy S x^2 S y^2

150 10 159 10 3670 5500 6267

x x y y xy x^2 y^2

50 2 10 2 500 2500 100

40 2 21 2 840 1600 441

30 2 31 2 930 900 961

20 2 43 2 860 400 1849

EJEMPLO 6: Índice de refracción

• _{Medida del índice de refracción de}

una lámina de vidrio

i

r

n

i i r r

25 1 15 1 30 1 20 1 35 1 21 1 40 1 24 1 45 1 27 1 50 1 29 1 55 1 30 1 60 1 32 1 65 1 33 1 70 1 36 1

b mx y  

x x y y

sen r sen r sen i sen i

1 0,2588 0,0169 0,4226 0,0158

2 0,3420 0,0164 0,5000 0,0151

3 0,3584 0,0163 0,5736 0,0143

4 0,4067 0,0159 0,6428 0,0134

5 0,4540 0,0156 0,7071 0,0123

6 0,4848 0,0153 0,7660 0,0112

7 0,5000 0,0151 0,8192 0,0100

8 0,5299 0,0148 0,8660 0,0087

9 0,5446 0,0146 0,9063 0,0074

10 0,5878 0,0141 0,9397 0,0060

Medidas en grados sexagesimales

Índice de refracción: medidas (2)

r n i sin sin  i i i i i

i   

  

sin sin cos

09 . 0 69 . 1   m 04 . 0 04 . 0    b 99301 . 0  r r r r r r

r   

  

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

sen r

se

n

i

09 . 0 69 .

1 



m

04 . 0 04 .

0 

 

b

99301 .

0



r

Índice de refracción: gráfica (3)

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

CASO 1. EXPONENCIALES

0 1 2 3 4 5

t (s)

V (volts)

0 1 2 3 4 5  / 0 e t

V

V   

V ) 004 . 0 008 . 5 (

0  

V s ) 2 . 0 5 . 251 (    0 1 2 3 4 5   t e V V  ₀ /

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

CASO 1. Las exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos



1

1

a -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0

t (s) ln (V/V₀)

-3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0  t V

V / )   ln( ₀

t a a

y  ₀  ₁

) 002 . 0 015 . 0 (

0   

a

1 -1  (0.0039300.000004 )s

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

s

s’

s s

f

1 ' 1 '

1 _{ }

f’

s f

s

1 ' 1 '

1 _{ }

Ecuación de las lentes: forma de Gauss

s (cm)

s’ (cm) 1/s (cm

) 1/s’ (cm

)

97.50 67.65 0.010256 0.014782

106.00 63.95 0.0094340 0.015637

113.50 61.50 0.0088106 0.016260

120.30 59.70 0.0083126 0.016750

126.80 58.20 0.0078864 0.017182

(distancias s y s’ medidas con 0.05 cm)

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

1.45 10-2 1.50 10-2 1.55 10-2 1.60 10-2 1.65 10-2 1.70 10-2 1.75 10-2

7.50 10-3 8.00 10-3 8.50 10-3 9.00 10-3 9.50 10-3 1.00 10-2 1.05 10-2

1/

s'

1/s

_{2.510 0.003} ₁₀ 2 _cm 1

'

1 _{    }

 f a 004 . 0 004 . 1    b 99998 . 0  r               s b a s 1 ' 1

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

cm

84

.

39

10

510

.

2

1

1

'









a

f



2

.

510

10



0

.

05

cm

10

003

.

0

1

'

2 2

2

















 

a

a

OTROS EJEMPLOS

Ejemplo 7. Ley de Malus

cos

I

=

I

₀

2



Ley de Malus (2)

0 1 6 1 1 0 1 2 5 2 0 8 7 3 0 5 4 4 0 2 8 4 5 1 7 5 0 1 0 5 5 6 6 0 4 6 5 7 7 0 1 4 7 5 2 2 8 0 3 3 9 0 6 3 1 0 0 9 4 1 1 0 1 3 0 1 2 0 1 5 8 1 3 0 1 9 0 1 4 0 2 0 7 1 5 0 2 1 4 1 6 0 2 0 5 1 7 0 1 7 9 1 8 0 1 4 7

 (º) _{I (lux)}

0 50 100 150 200 250

I = m₁ + m₂ cos2(+m 3)

m₁ = (5.6±1.0) lux m₂ = (204.9±1.8) lux

2

0 _{2 ad}

ad 2 sen

   

 

   

 

   

 

 

   

 

  

D D I

I 2a

D

d

D>>d



Difracción por una rendija (3)

d (mm) dc (mm) Intensidad 0 -11.75 0.3 1 -10.75 0.7 2 -9.75 2.3 3 -8.75 5.4 4 -7.75 10.1 5 -6.75 16.2 6 -5.75 23.0 7 -4.75 29.9 8 -3.75 36.3 9 -2.75 41.7 10 -1.75 45.7 11 -0.75 47.9 12 0.25 48.6 13 1.25 47.3 14 2.25 44.3 15 3.25 39.7 16 4.25 33.8 17 5.25 27.1 18 6.25 20.1 19 7.25 13.5 20 8.25 7.9 21 9.25 3.8 22 10.25 1.4 23 11.25 0.3 24 12.25 0.2

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

-5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

In te n si da d (u n id ad es a rb it ra ri as ) distancia (mm) d = 1 1 .7 5 m m 0

Difracción por una rendija (4)

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

-15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0

In

te

ns

id

ad

(u

ni

da

de

s

ar

bi

tr

ar

ia

s)

distancia corregida (mm)

) (

2

0sinc mx

I

Difracción por una rendija (5)

 2 2a m D 0.2545 632.8 10 6 1000  0.0513 mm

         ) ( 2 0sinc mx

I

I  I0  49.30.2

1 ) 0013 . 0 2545 . 0 (    mm m nm ) 1 . 0 8 . 632 (  

 D  (100010) mm







(2a)_maximo 1 D m mD m D





1 _{ 6       6    6  }



   

mm a (0.0513 0.0008)

2  

99955 .

0



BIBLIOGRAFÍA

Alan R. Miller, Pascal Programs for Scientists and Engineers. Sybex 2344 Sixth St. Berkeley, California

Wilhelm H. Westphal, Prácticas de Física. Ed. Labor, Barcelona (1952)

Murray R. Spiegel, Estadística. Teoría y 875 problemas resueltos. McGraw-Hill (Schaum), México (1969)

Jerry D. Wilson, Física (2ª Ed.). Prentice-Hall, Méjico (1996)

W. H. Press y otros, Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, Cambrigde University Press, Cambrigde 1986