SM_M_G08_U01_L04-Estudiante-3

(1)

Introducción

La recta numérica, un camino al estudio de los números reales Deducción de propiedades en las operaciones de números racionales

Resta 2

0,15

0,30

0,25

1/4

2/9

1/5 2/7

0,30 2/9

1/5 2/7

1/3

1/3 Multiplica

por 3 Multiplica por 3

Figura 1. Ruleta

Determinar las propiedades de las operaciones de números racionales

(2)

Suma y resta de números racionales en su representación fraccionaria

Actividad 1

1. Para realizar operaciones de suma y resta con números racionales en su representación fraccionaria debes de tener en cuenta si las fracciones son homogéneas o heterogéneas.

Figura 2.Torta

De acuerdo a la imagen:

Si te comes tres fracciones de la torta eso suma 3/8

Si te comiste 3/8 de la torta, la cantidad de torta que quedó es de 5/8

De acuerdo a lo anterior indica cuál es el procedimiento para sumar o restar fracciones homogéneas

Suma: ________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________

Resta: _________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________

(3)

Ahora veamos qué debemos hacer cuando las fracciones son heterogéneas (diferente denominador) para esto te presentamos tres métodos que te pueden ser de gran ayuda.

Método 1

2/9

2/9 _1/3_1/3

4/9

Jóvenes de 12 a 13 años

Jóvenes de 11 años

Jóvenes entre los 14 y los 15 años

Fracción de estudiantes según la edad Fracción de estudiantes según la edad

Figura 3. Grafica pastel

De acuerdo a los datos de la gráfica:

Si sumamos las fracciones de estudiantes mayores a 11 años, encontraremos la fracción total de estudiantes mayores a dicha edad, entonces:

Si deseamos hallar la fracción que representa la cantidad de la diferencia entre los estudiantes de 11 años, y los estudiantes entre 12 y 13 años, tenemos:

4

9 - 13 = 12-927 =273 19 2

9 + 13 =6+927 =1527= 59

=

Indica cuál fue el procedimiento realizado para calcular el resultado:

_____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

!

_RECUERDA Los criterios de divisibilidad para descomponer en sus factores primos un número y simplificar la fracción son:

• Divisible por 2: Un número es divisible por dos cuando termine en cero o en cifra par. Ejemplo: 286756, 32, 400,-852.

• Divisible por 3: Un número es divisible por tres cuando al sumar sus dígitos da múltiplo de 3, ejemplos: 2421 la suma de sus dígitos es 2+4+2+1=9 el 9 es múltiplo de tres. 123462 el total de la suma es 1+2+3+4+6+2=18 es múltiplo de 3.

(4)

Método 2

Método 3

Si partimos de la gráfica anterior, y deseamos sumar la participación de cada una de las edades para obtener el total de la suma de las fracciones, podemos realizar la siguiente operación:

Este método se conoce como el del mínimo común múltiplo m.c.m

Otra manera de sumar y/o restar fracciones heterogéneas es homogenizando las fracciones. Este es un método muy similar al del mínimo común múltiplo en su forma.

Veamos:

Si deseamos responder el mismo interrogante del segundo método, es decir: sumar la participación de cada una de las edades, podemos realizar las siguientes operaciones:

1 3 2

9 + + 49 =2+3+49 = 99 =1

2

9 ∙ 11 = 29 13 ∙ 33 = 93 49 ∙ 11 = 49 1

3 2

9 + + 49

Indica cuál fue el procedimiento realizado para calcular el resultado:

_____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

3 9 2

9 + + 49 = 99 =1 1

3 2

9 + + 49 =

Como pudiste darte cuenta el proceso que se siguió para llegar a los resultados fue:

• Se halla el mínimo común múltiplo mcm= 9

(5)

#2 1

4 1₃

2

6 ₁₂1

2. Ahora observa la animación de la actividad y luego resuelve el ejercicio

Figura 4. Pista atlética

Ejercicio:

En una carrera de 400m por relevos, donde participarán cuatro atletas se tiene programado para cada corredor los siguientes recorridos:

#1

#3 #4

Primer corredor recorrerá

Segundo corredor recorrerá

Tercer corredor recorrerá Cuarto corredor recorrerá

de la pista _{de la pista}

de la pista de la pista

Entonces:

• ¿Qué fracción representa el recorrido de los tres primeros corredores?

____________________________________________________________________________________________________

• ¿La fracción que representa el recorrido de los tres últimos corredores es?

____________________________________________________________________________________________________

• ¿Cuál es la fracción que muestra la diferencia entre el primer corredor y el último?

(6)

Realiza aquí tus cálculos

Suma y resta de números racionales en su representación decimal

Actividad 2

Para sumar o restar decimales debes tener claro cómo alinear los números de acuerdo a la coma. Veamos:

Suma de números decimales

Si deseamos realizar las siguientes operaciones:

El procedimiento para sumarlos sería:

1,23 + 3,25 + 0,38 + 12,52 23,54 + 7,3 + 0,359 + 12,1

1,23 3,25 0,38 12,52 17,38

(7)

a) b) c)

Ahora describe cuál fue el procedimiento que se siguió para realizar las sumas. Socializa en clase tu respuesta.

Describe el proceso aquí:

___________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Ahora describe cuál fue el procedimiento que se siguió para realizar las sumas. Socializa en clase tu respuesta.

Describe el proceso aquí:

___________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________ Resta de números decimales

Para realizar las siguientes restas el procedimiento sería:

Solución

5,4 - 3,567 4,369 - 2,2 4,52 - 62,3

5,400 - 3,567 1,833

4,369 -2,200 2,169

4,52 - 62,30

(8)

Teniendo claro los procedimientos anteriores resuelve el siguiente ejercicio

Ejercicio:

Figura 5. Manguera en pedazos

La vieja manguera de bomberos de 80,72m por el uso se ha fraccionado en 5 segmentos con las siguientes medidas.

20,35m, 24,92m, 10,21m, y 15,3m

¿Cuánto mide el segmento faltante?

____________________________________________

(9)

35

10 5210 5

4 + + - 36 - 235100

Suma y resta de números racionales en sus diferentes representaciones

Actividad 3

Cuando tenemos operaciones con ambas representaciones podemos llevarlo todo a términos de decimales, o a términos fraccionarios, veamos:

Resuelve

Como decimales Como fracciones

a)

Solución 1

Se deben convertir las fracciones a decimales

Se realizan las operaciones con decimales

b)

Solución 2

Se convierten los decimales a fracciones

5

4 + 3,5 + 5,2 - 36 -2,35 54 + 3,5 + 5,2 - 36 -2,35

1,25 + 3,5 + 5,2 - 0,5 - 2,35

Positivos:

Negativos:

1,25 + 3,5 + 5,2 = 9,95 - 0,5 - 2,35 = -2,85 = 7,10

=___________________________375+1050+1560-150-705₃₀₀

2985-855 2130 71 300 = 300 10=

Ahora resuelve la siguiente situación problema:

37 3 m 37 3 m 42,8m 42,8m

Figura 6. Campo

Un granjero está cercando su terreno con alambre de púas. El terreno tiene forma rectangular y sus medidas son: m. de ancho y 42,8 m de largo.

El número de vueltas que se decide darle a la cerca con el alambre es de tres.

(10)

• ¿Cuántos metros de alambre de púas se necesita para cercar el terreno?

____________________________________________________________________________________________________

• Si luego de cercar el terreno, el granjero decide hacer una puerta de 14.2 m de ancho. en uno de los lados del largo, ¿cuál sería la cantidad de alambre colocado finalmente para cercar dicho lado?

(11)

Propiedades de la suma con números racionales

Actividad 4

1. A continuación encontrarás una serie de ejercicios donde se presentan las propiedades de la suma de números racionales, estúdialos con atención y escribe el nombre de la propiedad que se trata en cada caso. Define en qué consiste cada una de ellas.

a)

b)

3 5

5

2 59 59

9 5

4 3

5 2 2 6 24

29 15

118

60 5930

+

+ - +

-- +

=

= =

R/ Nombre de la propiedad

____________________________________________________________________________________________________

La propiedad consiste en:

___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

(12)

c) d) e) 2 3 3 2 3

2 43 43

4 5 2 3 8+9 12 2 3 17 12 23 10 0 0 23 10 2 3 46 12 8+38 12 23 6 46 12 236 29 12 38 12 20+9 12 9+20+9 12 5 3 5 3 3 4 4 5 3 2 3 2 3 4 3 4 3 4 + + + + + + + + + + = = - -= = = = = = = = = = = + + + +

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

(13)

2. Con respecto a la experiencia anterior, asocia con una flecha los ejercicios de la columna izquierda con las propiedades presentadas en la columna derecha de la tabla, que se presenta a continuación.

PROPIEDADES EJERCICIOS

Propiedad del elemento neutro

Propiedad asociativa Propiedad interna o clausurativa

Propiedad conmutativa

Propiedad del elemento opuesto

3

5 - 92 = 6-4510 = -3910

3

8 +104 - 75 =104 - 57 + 38 =- 2540 =- 58

12

7 +127 0

- =

4 5 + 0

- =

7

5 + - 75 =0

13

5 + =0 135

4

3 + 54 - 86 = 43 + 45 - 86 = 1512= 45

7

2 + 35 + 93 = 72 + 35 + 39 = 21330 =1071

4 5

-9

12 + 53 - 64 = - 64 + 53 +129 = 1211

7

4 + 32 - 57 = 49+42-2028 =7128

(14)

Multiplicación y división de racionales

Multiplicación y división de racionales en su representación fraccionaria

De acuerdo a tus saberes previos, realiza las siguientes operaciones y define el proceso. Socializa tus respuestas en clase.

Actividad 5

2

3 . 49 . - 74 =

1. Ahora resuelve la siguiente situación problema

Se desea cubrir la superficie de una piscina con una manta de tela. La piscina tiene las medidas y la forma que se presenta en la figura ¿Cuánta tela se necesita para cubrir la piscina?

Figura 7. Abstracta 1

5/2 m

7/3 m

(15)

A continuación te describimos el proceso para realizar el cálculo que necesitas, y te presentamos las fórmulas que necesitarás:

Área del cuadrado = Área del triángulo =

Área del trapecio =

En este caso, por ser dos triángulos iguales no se necesita dividir por dos, ya que estos forman un rectángulo y la formula seria b. h

lado . lado

base . altura

2 (base mayor+base menor).altura

2

• Identifica cada una de las figuras que forman la piscina, y halla el área de cada una, aplicando las fórmulas que se presentan a continuación

• Suma las áreas para hallar el área total, y así dar respuesta a la pregunta

(16)

2. Halla el área de la siguiente figura.

Figura 8. Triangulo rectángulo y paralelogramo

2

3

cm

1

3

cm

13

3

cm

(17)

División de fraccionarios

La división entre dos fraccionarios la podemos realizar de varias formas, así:

Primer método

a) Multiplicando la primera fracción por el reciproco de la segunda fracción

El recíproco de una fracción

Como ves el resultado es el mismo.

a b es ba 5

4 ÷ 32 = 54 . 23 =1012= 56 -4

5 ÷ 38 = -45 . 83=-3215

segundo método

b) Aplicando la ley de extremos y medios: la cual podemos presentar de dos formas

1)

5 4 3 2 5

4 . 23 =1012 56

= =

5

4 ÷ 32 = 54 . 23 =1012= 56

Extremos

Extremos Medios

Medios

2)

(18)

Ahora resuelve los ejercicios, aplicando alguna de las formas presentadas

Ejercicios

1. Si desea comprar de kilos de comida para perro, pero en la tienda solo venden paquetes de de kilo.

¿Cuántos paquetes deberás comprar para llevar los de kilos?72₂ 72

2 1

5

(19)

2. Si se tiene una cuerda de m y se desea recortar por pedazos de m ¿cuántos pedazos se obtienen? (para su desarrollo, aplica un método diferente al que aplicaste en el ejercicio anterior)

49

2 12

Multiplicación y división de racionales

Multiplicación de racionales su presentación decimal

Observa las siguientes multiplicaciones. Ten en cuenta el número de decimales de cada factor, porque la respuesta deberá tener tantos decimales, como decimales tengan los factores.

Actividad 6

34

2,3 6,82396 ₂9,7,363

68102 3834 2808

x + x + x +

0 decimales 2 decimales 2 decimales

1 decimal 0 decimales 1 decimal

1 decimal

2 decimales 3 decimales

a) b) c)

78,2

5278,14

1278 6552

1872 5112

(20)

Ahora resuelve el siguiente ejercicio Ejercicio

2,2 Kilos 2,2

Kilos

2,2 Kilos

Si se tienen 7,5 paquetes de 2,2 kilos de arroz cada uno ¿cuántos kilos de arroz se tienen?

Figura 9. Paquetes de arroz

(21)

Tabla 2. División de decimales

El dividendo es un decimal El divisor es un decimal Dividendo y divisor son

decimales

Ejemplo:

323,745÷ 5

a) Se realiza la división como números enteros.

b) Cuando bajes la primera cifra decimal, colocas una coma en el cociente y continúa dividiendo.

323,745 5

23 64,749 37

24 45 0

c) O multiplica por 1000 el dividendo y el divisor (por 1000, porque el número con más decimales, tiene 3 decimales)

d) Divide como si fueran enteros

323745 5000 23745 64,749 37450 24500 45000 0000 Ejemplo: 1756÷3,2

a) Quita la coma del divisor y añade al dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor (lo que equivale a multiplicar por 10 el divisor y el dividendo. Por 10, porque el número que tiene más cifras decimales, tiene un decimal):

32 y 17560

b) Divide como si fuera un entero

17560 32 156 548,75 280 240 160 00 Ejemplo: 21,45÷5,2

a) Multiplicar por 100 ambos números. Por 100, porque el número que tienes más cifras decimales, tiene 2 decimales, entonces: 2145 y 520

b) Divide como si fueran enteros.

2145 520

0650 4,125 1300 2600 000

(22)

Ahora resuelve los ejercicios que se encuentran a continuación Ejercicio 1

Ejercicio 2

12,57 Kilos 12,57

Kilos

820,34m

2

Un agricultor ha vendido 12,57 kilos de papa por

$14082,171 ¿cuál es el costo del kilo de papa?

R/_______________________________________________

Un terreno de 820,34m2 se desea

dividir en 10 parcelas iguales, ¿cuál será la medida de cada una de las parcelas?

R/________________________________ Figura 10. Bulto de papas

Figura 11. Terreno parcelado Realiza aquí tus cálculos

(23)

Ejercicio 3

100

one hundred dollars one hundred dollars

100

100 100

100

one hundred dollars

100

100 100

100

one hundred dollars

one hundred dollars 100

100 100

50

MILPESOS BIA OM COL

50

MILPESOS BIA OM COL

50

MILPESOS BIA OM COL

50

MILPESOS BIA OM COL

Si tienes $240000 para comprar dólares y el dólar cuesta $1872,5

¿cuántos dólares puedes comprar?

R/___________________________________

Figura 12. Billetes

Propiedades de la multiplicación con números racionales

1. A partir de los siguientes ejercicios, escribe el nombre de la propiedad que se trata en cada ejemplo y describe en qué consiste cada una de las propiedades.

Actividad 7

a) 3

5 . 34 = 1215 = 45 95 . -2 6 . 24 = -36120=-310

¿Qué propiedad es?

____________________________________________________________________________________________________

¿En qué consiste la propiedad?

(24)

2 3

3 2

5

2 87 59

4 5 2

3 2₃

3 4

4

5 32

3

4 4548 3₄ 3₄ 3₄

5 3 5

3 5₃

3 4 3 4 6 12 6 5 5

2 87 59

6 5 2

3 14490 58 30₃₆ ₁₄₄90 5₈

5 8 90 144 15 12 . .

.₁ .₁ .₁

. . _. . . _. . . . . _. _. = = = = = = = = = ₌ ₌ ₌ = = b) c) d)

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

(25)

3

2 . 23 = 1 43 . 34 = 1

e)

f)

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

2

3 35 + 54 = 23 . 53 + 32 . 54 =3730

En la suma y resta de fracciones puedes encontrar: • Fracciones homogéneas.

• Fracciones heterogéneas.

La multiplicación de racionales se resuelve multiplicando numeradores con numeradores y de-nominadores con dede-nominadores

En la división de decimales puedes encontrar tres casos: • Cuando el dividendo es un decimal

• Cuando el divisor es un decimal

(26)

Propiedades de la multiplicación de números Q

Propiedades de la suma de números Q

Propiedad existencia del elemento neutro

Propiedad del Inverso

Propiedad distributiva Propiedad existencia del elemento neutro

Propiedad del opuesto

Propiedad asociativa Propiedad asociativa

Propiedad interna o clausurativa Propiedad interna o clausurativa

Propiedad conmutativa Propiedad conmutativa

c

d ef ab dc ef a

b . . = . .

a

b . =1 ab

a b . a

b + =0 ab

a

b + - ab c

d ef ab dc ef a

b + + = + +

a

b . cd =Q a

b + cd =Q

a

b . cd = cd . ad a

b + cd = cd + ad

= 0 b_a = 1

a

(27)

1) Realiza las siguientes operaciones:

2) ¿Cuál es el perímetro (suma de la medida de los lados) de la siguiente figura? 3

6 - 48 -6,3 + 34 +3,34 32 + 94 - 65 +5,34 - 52

a) b)

5,76cm

2,8cm

14cm

3 14cm

3

(28)

3) hallar el área total de la siguiente figura

15cm 2 2cm

3cm 3cm

10,5cm 6,3cm

(29)

Lista de figuras

Figura 1. Ruleta Figura 2.Torta

Figura 3. Gráfica pastel Figura 4. Pista atlética

Figura 5. Manguera en pedazos Figura 6. Campo

Figura 7. Figura abstracta 1 Figura 9. Paquetes de arroz Figura 10. Bulto de papas Figura 11. Terreno parcelado Figura 12. Billetes

Figura 13. Trapecio

Figura 14. Figura abstracta 2

Lista de tablas

Tabla 1. Ejercicio de propiedades de la suma y resta de números racionales. Tabla 2. División de decimales.