Siguiendo lo que hicimos en V2 consideraremos ahora un punto fijo O del espacio y una base B = {x, y, z} de V3. Llamaremos referencial o sistema de referencia en el espacio al conjunto {O, x, y, z}
porque justamente nos permite determinar de manera única cualquier punto del espacio.
En efecto, sea P un punto cualquiera del espacio, entonces queda determinado el vector OP que debe pertenecer a una cierta clase de equivalencia de vectores del espacio equipolentes con él. Elijamos como vector libre un representante de la clase al que denotaremos por p.
Como p ∈ V3 y justamente B es una base de V3, existen tres reales p1, p2 y p3 de forma que p = (p1, p2, p3), entonces si convenimos en que las coordenadas de O son (0, 0, 0) se tiene que
P− O = (p1, p2, p3) con lo que podemos escribir
P= O + (p1, p2, p3) y finalmente
P= (p1, p2, p3)
Diremos entonces que (p1, p2, p3) son las coordenadas del punto P en el referencial {O, x, y, z}.
Definición
Las coordenadas de un punto P del espacio respecto de un sistema de referencia {O, x, y, z}
son las componentes del vector posición de P en la base B = {x, y, z}.
Ejercicio
Halla las coordenadas de los puntos A, B, O y O0 en los referenciales R = {O, x, y, z}
y R0=O0, a, b, c , sabiendo que la figura es un prima recto de base cuadrada en el que la arista lateral es el doble de la arista de la base y que los vec- tores que aparecen tienen to- dos módulo uno.
3.2 Punto medio de un segmento Consideremos el seg- mento en el espacio de extremos A = (a1, a2, a3) y B= (b1, b2, b3). Si llamamos M = (m1, m2, m3) al punto medio de dicho segmento, entonces se verifica que
−→
AB= 2.−→
AM
Diego Charbonnier 1
Si calculamos las componentes de−→
ABy de−→
AM, la ecuación anterior queda (b1− a1, b2− a2, b3− a3) = 2.(m1− a1, m2− a2, m3− a3)
igualando la primer componente del primer miembro a la primer componente del segundo miembro y haciendo lo propio con las segundas y terceras componentes, tenemos el siguiente sistema
b1− a1= 2.(m1− a1) b2− a2= 2.(m2− a2) b3− a3= 2.(m3− a3) es muy fácil hallar las expresiones correspondientes a m1, m2y m3
m1= a1+ b1
2 m2= a2+ b2
2 m3=a3+ b3 2
4. Producto escalar de vectores en el espacio
Continuando con el paralelo que estamos haciendo con V2 correspondería ahora definir el producto escalar de dos vectores de V3,
Definición
Lamaremos producto escalar de dos vectores u y v de V3 y lo representaremos por u.v, al número real definido de la siguiente forma
u.v =
(|u| |v| cos [(u, v) si u 6= o y v 6= o
0 si u = o o v = o
Observa que al igual que en V2 cuando hablamos del ángulo [(u, v) nos referimos al menor de los ángulos que forman dos semirectas concurrentes que tengan direcciones u y v.
A partir de la definición anterior, valen los siguientes resultados
si 0 ≤ [(u, v) < π2 −→ cos [(u, v) > 0 −→ u.v > 0 si [(u, v) = π2 −→ cos [(u, v) = 0 −→ u.v = 0 si π2 < [(u, v) ≤ π −→ cos [(u, v) < 0 −→ u.v < 0
/ En particular diremos que u y v son ortogonales sii su producto escalar es cero
/ Supongamos ahora como caso particular que u = v entonces su producto escalar queda:
u.u = |u| |u| cos(0) = |u|2−→
|u| =√ u.u 4.1 Propiedades del producto escalar
1. u.v = v.u para todo par de vectores u y v de V3,
2. u.(v + w) = u.v + u.w para toda terna de vectores u, v y w de V3,
3. k.(u.v) = (k.u).v = u.(k.v) para todo par de vectores u y v de V3, con k ∈ R.
4. u.u ≥ 0 para todo vector u de V3.
Haremos la misma obsevación que hicimos en el plano: el producto que involucra k con u no es el mismo que el producto escalar de u con v por más que los representemos a ambos con un punto. El contexto es que indica de qué producto se trata.
4.2 Base ortogonal y base ortonormal
Definición
Diremos que una base de V3es ortogonal si sus vectores son dos a dos ortogonales. Si además tienen módulo 1 diremos que se trata de una base ortonormal.
x⊥y, x⊥z, y⊥z x⊥y, x⊥z, y⊥z
|x| = |y| = |z| = 1
Base ortogonal Base ortonormal
4.3 Interpretación geométrica
Sean u y v dos vectores de V3y escribamos Proyuvpara referirnos al vector proyección de v sobre u y α para referirnos al ángulo [(u, v) .
Si recuerdas la definición de coseno de un ángulo, se tiene / si α es agudo
cos(α) =|Proyuv|
|v| −→
|v| cos(α) = |Proyuv|
/ si α es obtuso
cos(π − α) =|Proyuv|
|v| −→
|v| cos(π − α) = |Proyuv|
pero como cos(π − α) = −cos(α) se tiene que
|v| cos(α) = |Proyuv| −→ u.v = |u| |Proyuv| si α es agudo
|v| cos(α) = − |Proyuv| −→ u.v = − |u| |Proyuv| si α es obtuso
claro está que en cualquier caso vale
|u.v| = |u| |Proyuv|
Razona de forma similar pero ahora considerando la proyección del vector u sobre el v y escribe el resultado correspondiente.
4.4 Expresión analítica del producto escalar en una base ortonormal
Considera que V3 está munido de una base ortonormal B =i , j, k y sean x e y dos vectores de V3 de forma que sus componentes en la base indicada son x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3). Tratemos de encontrar una expresión para el producto escalar x.y en función de sus componentes en la base B.
Para ello escribimos
x.y = (x1i+ x2j+ x3k).(y1i+ y2j+ y3k)
y utilizando las propiedades vistas antes para el producto escalar, tenemos que
x.y = x1y1i.i + x2y1j.i + x3y1k.i + x1y2i. j + x2y2j. j + x3y2k. j + x1y3i.k + x2y3j.k + x3y3k.k pero recuerda que la base es ortonormal, entonces los productos escalares correspondientes a vectores diferentes de la base, valen cero y los productos escalares correspondientes a vectores iguales valen uno. Por tanto la ecuación anterior, queda
x.y = x1y1+ x2y2+ x3y3 que es una fórmula similar a la que obtuvimos en V2.
El resultado anterior para el cálculo del producto escalar de dos vectores dados por sus componentes en una base ortonormal, nos permite también encontrar expresiones para el cálculo del módulo de un vector y del ángulo que forman dos vectores dados también en una base ortonormal.
Como ejercicio se te pide que halles esas expresiones.
4.5 Aplicación geométrica
Considera el triángulo rec- tángulo de la figura, en el que la hipotenusa mide a y los cateros miden respectiva- mente b y c.
Introduzcamos un referencial con origen en O y una cierta base. Llamemos u al vector definido por los puntos O y A, de igual forma, llamemos v al definido por los puntos A y B, finalmente llamaremos w al vector definido por los puntos O y B. Evidentemente |u| = b, |v| = c y |w| = a. Podemos ahora calcular el módulo del vector w.
a2= |w|2= w.w = (u + v).(u + v) = u.u + u.v + v.u + v.v = |u|2+ 2u.v + |v|2
pero los vectores u y v son ortogonales, por lo que su producto escalar vale cero, por lo que finalmente queda
a2= |u|2+ |v|2= b2+ c2 o sea que hemos probado que en un triángulo rectángulo se cumple
a2= b2+ c2
Ejercicio
Utilizando el producto escalar, prueba que cualquier ángulo inscripto en una semi circunferen- cia cuyos lados pasan por los extremos del diámetro, es recto.
4.6 Aplicación física
Como ya saben es en física donde aparecen inicialemente las magnitudes vectoriales, que quedan determinadas por su dirección, sentido y módulo, por ejemplo la fuerza, la velocidad, etc.
Pero si recuerdas la definición del trabajo W realizado por una fuerza constante F sobre un objeto que se desplaza desde un punto A hasta un punto B, notarás que en ella aparece el producto escalar de la fuerza por el vector asociado al desplazamiento.
W = F.AB
Podríamos investigar ahora cómo varía el trabajo que realiza una fuerza constante F aplicada sobre un cuerpo, en función del ángulo ϕ que dicha fuerza forma con la dirección de desplazamiento del cuerpo.
0 ≤ ϕ < π2 ϕ = π2 π2 < ϕ ≤ π
W= F
. AB
cos(ϕ) > 0 W=
F .
AB cos(π
2) =
= F
. AB
· 0 = 0
W= F
. AB
cos(ϕ) < 0
En este caso el trabajo es positivo.
¿Cuándo te parece que será máximo?
El trabajo es nulo. Cualquier fuerza perpen- dicular al desplazamiento, no produce tra- bajo.
El trabajo se opone al desplazamiento, en este caso el trabajo es negativo.
Ejercicio
Calcula el trabajo que realiza una fuerza de 39 N sobre un cuerpo que se desplaza sobre el piso a lo largo de 10 m, sabiendo que la fuerza forma un ángulo ϕ con la dirección del desplazamiento.
i) ϕ = 3π4 , ii) ϕ =5π12, iii) ϕ =π4
